Luận văn thạc sĩ các phương pháp tính tích phân gần đúng cho hàm số có số biến rất lớn và ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TIẾN ĐÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GẦN ĐÚNG CHO HÀM SỐ CĨ SỐ BIẾN RẤT LỚN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH DŨNG HÀ NỘI - Năm 2013 z Mục lục Lời nói đầu CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CĨ SỐ CHIỀU RẤT LỚN 1.1 Phân rã ANOVA 1.1.1 Phân rã ANOVA cổ điển 1.1.2 Phân hoạch ANOVA có điểm neo 1.2 Phương pháp tính tích phân theo số chiều 1.2.1 Sự chặt cụt rời rạc hóa 1.3 Sai số chi phí 1.4 Xây dựng tiên nghiệm sử dụng khơng gian hàm có trọng 5 12 14 14 15 18 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA 20 2.1 Lưới thưa tổng quát 20 2.2 Mối quan hệ phương pháp tính tích phân lưới thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều 21 2.3 Lưới thưa tối ưu khơng gian có trọng 23 2.4 Tỉ lệ chi phí lợi nhuận 24 2.5 Phân tích chi phí 27 2.6 Phân tích sai số 28 2.7 Phân tích sai số so với chi phí 30 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH VÀ 3.1 Kết số 3.1.1 Xây dựng đường ngẫu nhiên (RW) 3.1.2 Xây dựng cầu Brown (BB) 3.1.3 Xây dựng thành phần chủ yếu (PCA) 3.2 Tùy chọn kiểu Châu Á 3.2.1 Mơ hình toán 3.2.2 Số chiều hiệu dụng 3.2.3 Sai số chi phí tích phân 3.3 Trái phiếu lãi suất không 3.3.1 Mơ hình tốn 3.3.2 Số chiều hiệu dụng z KẾT QUẢ SỐ 33 33 34 34 35 36 37 38 39 40 40 42 3.4 3.3.3 Sai số chi phí tích phân Trái vụ bảo đảm tài sản chấp 3.4.1 Mơ hình tốn 3.4.2 Số chiều hiệu dụng 3.4.3 Chi phí sai số tích phân 42 43 44 45 45 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 z Lời nói đầu Lý thuyết xấp xỉ nhánh tốn học nói chung giải tích nói riêng Hiện phát triển mạnh mẽ, thâm nhập vào hầu hết ngành toán học ngành khoa học khác hóa học, vật lí chí tài tốn Đơi phải làm việc với tốn mà việc tính giá trị xác gặp nhiều khó khăn số lí biểu thức tốn học cồng kềnh, phức tạp phải tính tích phân có số chiều lớn nhiều lúc người ta xem thảm họa cần phải khắc phục loại trừ hay làm giảm theo nghĩa đó.Với tốn việc tính gần giá trị cho sai số tính tốn nhỏ cần thiết Điều đáng nói xuất nhiều tích phân có số chiều lớn nhiều mơ hình bao gồm từ tốn học, vật lí, hóa học đến tài Trong hầu hết trường hợp, tích phân xuất khơng thể tính tốn theo cơng cụ giải tích thông thường phương pháp số cần phải áp dụng Ở vấn đề tiên thảm họa số chiều cần phải tránh theo nghĩa Thảm họa số chiều thể chỗ chi phí để xấp xỉ tích phân với độ xác ε cho trước phụ thuộc theo hàm mũ vào số chiều tốn Nó trở ngại lớn cho phương pháp số truyền thống với tốn có số chiều cao Điều nói đến [8] Hơn thảm họ số chiều tìm thấy theo quan điểm định lý phức tạp lý thuyết số Ở đó, thể vài tốn tích phân với thuật tốn tốt chí không tránh khỏi thảm họa số chiều, tốn gọi khơng khả thi Tuy nhiên nhiều tốn ứng dụng đơi lại xuất lớp tốn nhỏ khả thi, thêm vào tồn thuật tốn phá vỡ thảm họa số chiều, thuật toán ngẫu nhiên Monte Carlo (MC) thuật tốn có dạng Mặc dù tốc độ hội tụ thấp phải sử dụng số lượng tương đối lớn điểm đánh giá Sau phương pháp tựa Monte Carlo (QMC) thay cho phương pháp Monte Carlo, phương pháp giành tốc độ hội tụ nhanh Sai số z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 phương pháp đạt ε(n) = O(n−1 (log n)d ) cho hàm dấu tích phân có phương sai bị chặn Với nhiều toán tài chính, chuyên gia lý thuyết số chứng minh phương pháp tựa Monte Carlo hội tụ gần độc lập với số chiều, đồng thời nhanh xác phương pháp Monte Carlo Với hàm đủ trơn, kết tương tự tìm thấy cho phương pháp tính tích phân lưới thưa Một giải thích cho thành cơng phương pháp dựa phân tích phân rã phương sai gọi tắt ANOVA Trong luận văn, tác giả trình bày lại số phương pháp tính tích phân gần cho hàm số có số chiều lớn dựa theo nội dung báo: Michael Griebel, Markus Holtz, "Dimension - wise integration of high - dimensional functions with applications to finance", Journal of Complexity 26 (2010), pp 455 - 489 Đồng thời dựa theo nội dung báo tác giả đưa vài kết số quan trọng số ứng dụng tài Cụ thể là, phương pháp tính tích phân xây dựng sở chặt cụt rời rạc hóa phân rã ANOVA có điểm neo Những phương pháp thiết lập nhằm khai thác số chiều hiệu dụng thấp hàm dấu tích phân mà phương pháp lưới thưa trường hợp đặc biệt Hơn phương pháp áp dụng theo cách thích nghi theo số chiều thích nghi địa phương Hiệu chúng kiểm tra chuyên gia số học tích phân có số chiều lớn xuất phát từ tài Nội dung luận văn gồm chương Chương Các phương pháp tính tích phân có số chiều lớn Chương nhắc lại hai phân rã ANOVA, phân rã ANOVA cổ điển phân rã ANOVA có điểm neo Qua đưa khái niệm tương ứng số chiều chặt chụt số chiều hiệu dụng cho loại phân rã Sau sử dụng phân rã ANOVA có điểm neo để giới thiệu lớp phương pháp cho việc tính tích phân nhiều biến Chương Phương pháp tính tích phân tối ưu lưới thưa Chương trình bày phương pháp lưới thưa tổng quát, lưới thưa cổ điển lưới thưa có trọng Qua phân tích mối quan hệ yếu tố sai số, chi phí lợi nhuận phương pháp cho việc tính tích phân nhiều biến Chương Một số kết số ứng dụng tài Chương trình bày kết số số ứng dụng tài mơ hình tùy chọn kiểu Châu Á, trái phiếu khơng lãi suất tốn CMO ( trái vụ bảo đảm tài sản chấp) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đinh Dũng, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, thông qua luận văn tác giả xin lời cảm ơn chân thành đến thầy cô hội đồng phản biện đọc đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn Một lần tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Do thời gian, kinh nghiệm lực nhiều hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến phê bình kịp thời thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện mặt nội dung lẫn hình thức Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013 Tác giả Nguyễn Tiến Đà 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CĨ SỐ CHIỀU RẤT LỚN 1.1 Phân rã ANOVA Trong mục giới thiệu phép phân tích phương sai cổ điển (ANOVA cổ điển) phép phân tích phương sai có điểm neo (ANOVA có điểm neo) hàm nhiều biến f Dựa phân rã này, định nghĩa khái niệm khác số chiều hiệu dụng f Để bắt đầu, cho Ωd ⊆ Rd tập xác định f giả sử dµ(x) = n ∏ dµj (x) kí hiệu tích độ đo định nghĩa j=0 tập Borel Ωd Ở x = (x1 , , xd ) µj với j = 1, 2, , d độ đo Ω Với ∫ dµj (xj ) = (1) Ω[0,1] Đồng thời kí hiệu V (d) khơng gian Hilbert gồm tất hàm f : Ωd → R Trong tích vơ hướng xác định ∫ (f, g) = f (x)g(x)dµ(x) Ωd Với tập u ⊆ D, D = {1, , d} tập số, độ đo µ cảm sinh phép chiếu Pu : V (d) → V (|u|) ∫ cho Pu f (xu ) = f (x)dµD\u (x) Ωd−|u| Ở ta kí hiệu xu kí hiệu véc tơ có số chiều |u| gồm thành phần x mà số thuộc u dµD\u (x) := ∏ j̸∈u dµj (xj ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Phép chiếu định nghĩa phân rã f ∈ V (d) thành tổng hữu hạn f (x1 , , xd ) = f0 + d ∑ d ∑ fj1 (xj1 ) + j1 fj1 ,j2 (xj1 , xj2 ) + + fj1 , ,jd (xj1 , , xjd ) j1 ε} Nhiều hàm f có số chiều hiệu dụng thấp theo nghĩa chặt cụt theo nghĩa chồng chất Với hai lớp hàm hi vọng vào việc xác định tập số Sγ gồm số hạng quan trọng cụ thể • Trọng phụ thuộc vào bậc xác định γu = |u| Rõ ràng trọng có cấp lớn bé trường hợp có điểm neo Nếu hàm f có số chiều chồng chất nhỏ ta hi vọng nhận kết tập số Sγ bao gồm số hạng quan trọng 18 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 • Giả sử ta có chuỗi trọng γ1 ≥ γ2 ≥ ≥ γd ≥ 0, trọng tích xác định γu := ∏ γj , (24) j∈u u ⊆ D Ở γj := |qj | |Qj (Pj f ) − f (a)| = , |q∅ | |f (a)| với j = 1, , d Theo cách ta hi vọng tập số Sγ bao gồm số hạng quan trọng hàm f có số chiều chặt cụt nhỏ Chú ý kí hiệu sử dụng thường xuyên phần luận văn Để ý có nhiều trọng phổ biến sử dụng việc xây dựng miễn điều kiện chấp nhận thỏa mãn Tuy nhiên chuyển toán lựa chọn tập S thành toán xác định trọng γ 19 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỐI ƯU TRÊN LƯỚI THƯA Trong chương sử dụng phương pháp tích tenxơ Qu cho việc xấp xỉ tích phân Ifu (17) Điều cho phép kết hợp chặt cụt phân rã ANOVA rời rạc hóa chuỗi con, đồng thời cho phép cân sai số mơ hình hóa sai số rời rạc hóa theo cách tối ưu 2.1 Lưới thưa tổng quát Cho hàm biến f : [0, 1] −→ R dãy số nguyên không giảm mk , k ∈ N, ta đặt Umk f := mk ∑ wi,k f (xi,k ) (25) i=1 kí hiệu phép tính tích phân với mk điểm xi,k trọng wi,k đồng thời chuỗi hội tụ tới If k → ∞ Chúng ta quy ước m1 = 1, U1 f = f ( 12 ) cơng thức tính tích phân sai phân ∆k := Umk − Umk−1 (26) với Um0 = k ≥ Bây cho f : [0, 1]d → R hàm nhiều biến Khi tích phân d - chiều viết thành tổng thu gọn vô hạn If = ∑ ∆k , f (27) k∈Nd k ∈ Nd kí hiệu tích số với kj > ∆k f := (∆k1 ⊗ ∆k2 ⊗ ∆kd )f (28) Một lớp đặc biệt phương pháp tính tích phân cho xấp xỉ If dựa vào chặt cụt tổng việc sử dụng tập số xấp xỉ I ⊂ Nd Tập 20 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 coi làm mịn tập S ⊆ D Tuy nhiên tập I phải thỏa mãn điều kiện chấp nhận Nếu k ∈ I l k l ∈ I, (29) l k nghĩa lj kj với j = 1, , d Theo hướng phương pháp lưới thưa tổng quát SGI f := ∑ ∆k f (30) k∈I giành [3], [4], [12] Với phương pháp tính tích phân khác có cách chặt cụt khác Ví dụ phương pháp lưới thưa cổ điển người ta chọn tập số { } I = k ∈ Nd : |k|1 l + d − , |k|1 = d ∑ (31) kj , phương pháp tích tập I lại có dạng j=1 { } I = k ∈ Nd : |k|∞ l , (32) |k|∞ := max {kj : j = 1, , d} 2.2 Mối quan hệ phương pháp tính tích phân lưới thưa với phương pháp tính tích phân theo số chiều Có mối quan hệ gần gũi phương pháp lưới thưa phân rã ANOVA có điểm neo Thực phương pháp lưới thưa giải thích làm mịn phép phân rã ANOVA, trước hết mở rộng số hạng phép phân rã ANOVA thành sở vô hạn sau chặt cụt mở rộng cách gần Do xem trường hợp đặc biệt phương pháp (20) tập S Qu chọn cách hệ thống để khai thác độ trơn hàm dấu tích phân Từ trở điểm neo a = ( 21 , , 12 ) sử dụng Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau Bổ đề 2.1 Cho fu Pu f (16) đồng thời kí hiệu { } Nu := k ∈ Nd : kj > j ∈ u Khi ∆k f = ∆k (Pu f ) k ∈ Nv v ⊆ u Hơn nữa, ∆k f = ∆k fu k ∈ Nu 21 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Việc chứng minh bổ đề đơn giản, k ∈ Nv v ⊆ u kj = với j ̸∈ u ∆k f = ∆k (Pu f ) ∆k f = ∆k1 ⊗∆k2 .⊗∆kd ∆1 f = P∅ f = f ( 21 ) với hàm biến f Tiếp theo cho k ∈ Nu , ta ∆k (Pu f ) = ∆k fu + ∑ ∆k fv v⊂u Ta có fv (xv )|xj = = với j ∈ v, điều có tính trực giao phép phân hoạch có điểm neo, từ cho ta kết luận ∆k fv = với v ∈ u k ∈ Nu , điều dẫn đến ∆k f = ∆k (Pu f ) = ∆k fu với k ∈ Nu Từ suy điều phải chứng minh ∑ Bây sử dụng bổ đề If = ∆k f ta k∈Nd If = ∑∑ ∆k f u⊆D k∈Nu ∑ Lại (17) nên ta thu If = Ifu , ta có u⊆D ∑ Ifu = ∆k f k∈Nu Tiếp theo, đề cập phần trước ta chặt cụt tổng này, để bắt đầu ta chọn tập số Iu ⊂ Nu với u ⊆ D (tập phải thỏa mãn điều kiện chấp nhận được) người ta xem qu := ∑ ∆k f (33) k∈Iu xấp xỉ Ifu Tương ứng vây, phương pháp (20) với tập S = D viết tường minh AS f = ∑ u⊆D qu = ∑ ∪ ∆k f , I = Iu u⊆D k∈I Ta định nghĩa { } Iu := k ∈ I : kj > j ∈ u = I ∩ Nu (34) Định lý 2.1 Phương pháp tính tích phân (20) với điểm neo a = ( 12 , , 12 ), tập số S = D phương pháp tính tích phân Qu f := ∑∑ ∆k f v⊆u k∈Iv trùng với phương pháp lưới thưa tổng quát (30) 22 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (35) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Ta chứng minh (20) trùng với (33) (35), ta có Qu (Pu f ) − ∑ qv = u⊂v ∑∑ ∆k (Pu f ) − ∑ ∆k (Pu f ) + = ∑∑ (∆k (Pu f ) − ∆k f v⊂u k∈Iv k∈Iu ∑ ∆k f v⊂u k∈Iv v⊆u k∈Iv = ∑∑ ∆k f = qu k∈Iu Từ suy điều phải chứng minh 2.3 Lưới thưa tối ưu khơng gian có trọng Trong Mục 2.2 giới thiệu tập số I ⊂ Nd làm mịn tập S ⊆ D cơng thức tính tích phân đặc biệt Qu cho phương pháp pháp (20) tương ứng lớp phương pháp lưới thưa tổng quát Trong mục xác định tập số I, tập làm cân sai số mơ hình hóa sai số rời rạc hóa theo cách tối ưu cho hàm dấu tích phân lấy từ khơng gian hàm Sobolev Bây xem xét cơng thức tính tích phân biến Umk (25) cho cơng thức hình thang, ta giả sử m1 = 1, U1 f = f (0) mi = + 2i−2 điểm với i > 2, phân tích dựa không gian hàm biến Hγ1 ([0, 1]) := {f : [0, 1] → R : ||f ||1,γ < ∞} với chuẩn ′ ||f ||21,γ := f (0) + γ −1 ||f ||2L2 , (36) γ ∈ (0, 1] kí hiệu trọng Trong trường hợp nhiều biến xem xét dãy trọng = γ1 > γ2 > · · · γd > Chú ý u ⊆ D ta có trọng γu Tiếp theo, ta định nghĩa khơng gian tích tenxơ Hγ1,mix ([0, 1]d ) chuẩn xác định ||f ||21,γ ∑ := ∫ ||fu ||21,mix := d ⊗ Hγ1j ([0, 1]), j=1 γu−1 ||fu ||21,mix , u∈D := |u| ∂ dxu f (x , 0) u