Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TRỌNG ĐOÀN ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2014 z LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người động viên, quan tâm tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học khoa học tự nhiên, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân, bạn bè động viên tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Trọng Đoàn z Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian L(X, Y ) 1.3 Không gian đối ngẫu X ∗ 1.4 Định lý giải tích hàm 1.5 Tôpô yếu, yếu∗ không gian định chuẩn 1.5.1 Tôpô yếu 1.5.2 Tôpô yếu∗ 11 1.6 Không gian phản xạ 12 1.7 Không gian Hilbert 13 1.8 Đạo hàm Gâteaux, Fréchet vi phân 15 1.9 Không gian Banach trơn 17 1.10 Không gian Banach lồi chặt 18 1.11 Không gian Banach lồi 22 Ánh xạ đối ngẫu ứng dụng 2.1 Khái niệm tính chất ánh xạ đối ngẫu z 26 26 2.2 Ứng dụng ánh xạ đối ngẫu 47 2.2.1 Toán tử chiếu suy rộng khơng gian Banach 47 2.2.2 Bài tốn bất đẳng thức biến phân 56 Thuật toán lặp cho toán V I(T − f, K) 64 2.2.3 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 z BẢNG KÍ HIỆU R+ tập hợp số thực dương ∥.∥ chuẩn không gian vectơ L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y L(X, K) khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn X σ(X, X ∗ ) tôpô yếu không gian định chuẩn X σ(X ∗ , X) tôpô yếu∗ X ∗ w xn −→ x w ∗ xn hội tụ theo tôpô yếu đến x xn −→ x xn hội tụ theo tôpô yếu∗ đến x ⟨x, y⟩ tích vơ hướng khơng gian Hilbert ⟨x∗ , x⟩ giá trị x∗ x F+′ (x, y) đạo hàm theo hướng y x ∂f vi phân hàm f ρ(τ ) môđun tính trơn khơng gian Banach X ρ(τ, x) mơđun tính trơn x ∈ X ∆(ϵ) mơđun tính lồi khơng gian Banach X ∆(ϵ, x) mơđun tính lồi x ∈ X ∆(ϵ, x∗ ) môđun tính lồi yếu x∗ ∈ X πK tốn tử chiếu suy rộng V I(T, K) toán bất đẳng thức biến phân định nghĩa ánh xạ T tập K z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 LỜI NÓI ĐẦU Để phát triển tương tự đồng thức từ không gian Hilbert sang khơng gian Banach, người ta phải tìm thay phù hợp cho tích vơ hướng không gian Hilbert Sự thay phù hợp ánh xạ đối ngẫu Đó ánh xạ cho cặp đối ngẫu phần tử không gian Banach X phần tử không gian đối ngẫu X Ánh xạ đối ngẫu dùng nhiều nghiên cứu toán tử phi tuyến liên quan đến phiếm hàm phi tuyến phương trình tiến hóa Sau học xong chương trình cao học tốn, với lịng mong muốn tìm hiểu sâu giải tích hàm ứng dụng, tơi chọn đề tài ”Ánh xạ đối ngẫu ứng dụng” Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất ánh xạ đối ngẫu ứng dụng Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Trình bày khái niệm tính chất không gian Banach, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, yếu∗ , không gian phản xạ, không gian Hilbert để phục vụ cho việc nghiên cứu chương Đặc biệt chương trình bày khái niệm không gian Banach trơn, không gian Banach lồi chặt, khơng gian Banach lồi Chương Trình bày vấn đề ánh xạ đối ngẫu tính chất nó, đồng thời trình bày ứng dụng ánh xạ đối ngẫu, bao gồm : Toán tử chiếu suy rộng bất đẳng thức biến phân Vì khả thời gian có hạn nên luận văn cịn thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng học góp ý để luận văn hoàn thiện 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian Banach, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu∗ , không gian phản xạ, không gian Hilbert không gian Banach trơn, lồi chặt, lồi 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K Xét hàm ∥ ∥: X −→ R (a) ∥ ∥ gọi sơ chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ R; λ ≥ i) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ ii) ∥ λx ∥= λ ∥ x ∥ (b) ∥ ∥ gọi nửa chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ K i) ∥ x ∥≥ ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥ iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 (c) ∥ ∥ gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ K i) ∥ x ∥≥ ∥ x ∥= ⇔ x = ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥ iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ Định nghĩa 1.1.2 Không gian vectơ X với chuẩn ∥ ∥ X gọi không gian định chuẩn Nhận xét 1.1 Giả sử X không gian định chuẩn, dễ thấy hàm số thực ρ xác định X × X cơng thức ρ(x, y) =∥ x − y ∥ mêtric Như không gian định chuẩn không gian mêtric Nếu {xn } dãy phần tử X x0 ∈ X lim xn = x0 có nghĩa n→∞ lim ∥ xn − x0 ∥= n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn (i) Dãy {xn } X gọi dãy lim n,m→+∞ ∥ xn − xm ∥= (ii) Dãy X gọi hội tụ ∥ xn − xm ∥→ tồn x0 ∈ X cho ∥ xn − x0 ∥→ Khi X gọi khơng gian định chuẩn đủ dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach không gian định chuẩn đủ Định lý 1.1.1 Nếu X không gian định chuẩn, hàm chuẩn x −→∥ x ∥ liên tục X Chứng minh Với x, y ∈ X ta có: ∥ x ∥=∥ x − y + y ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ y ∥ ∥ y ∥=∥ y − x + x ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ x ∥ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Từ ta suy |∥ x ∥ − ∥ y ∥|≤∥ x − y ∥ Vậy ∀ϵ > 0; ∃δ = ϵ cho ∀x, y ∈ X ta có ∥ x − y ∥< δ ta suy |∥ x ∥ − ∥ y ∥|< ϵ Định lý 1.1.2 Nếu X không gian định chuẩn phép tốn: + : X × X −→ X (x, y) −→ x + y : K × X −→ X (λ, x) −→ λx liên tục Chứng minh Xét dãy {xn }, {yn } X cho lim ∥ xn − x0 ∥= n→+∞ lim ∥ yn − y0 ∥= n→+∞ Ta có ∥ (xn + yn ) − (x0 + y0 ) ∥ =∥ (xn − x0 ) + (yn − y0 ) ∥ ≤∥ xn − x0 ∥ + ∥ yn − y0 ∥−→ Vậy lim (xn + yn ) = x0 + y0 n→+∞ Xét dãy {λn } K mà lim λ = λ0 , ta có n→+∞ ∥ λn xn − λ0 x0 ∥ =∥ λn xn − λn x0 + λn x0 − λ0 x0 ∥ =∥ λn (xn − x0 ) + x0 (λn − λ0 ) ∥ ≤| λn |∥ xn − x0 ∥ + ∥ x0 ∥| λn − λ0 |−→ Vậy lim λn xn = λ0 x0 n→+∞ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ví dụ 1.1.1 Xét khơng gian Lp (Ω) Cho Ω tập đo Lebesgue Rn , µ độ đo Lebesgue Ω ∫ { L (Ω) = f : Ω −→ K đo Ω; p } | f (x) |p dµ < +∞ Ω p Khơng gian L (Ω) với chuẩn xác định (∫ ) p1 p ∥ f ∥p = | f (x) | dµ Ω Lp (Ω) khơng gian Banach Ví dụ 1.1.2 Xét không gian ℓp ℓp tập hợp tất dãy số (thực phức) x = (xn ) cho ∞ ∑ | xn |p < +∞ n=1 Không gian ℓp với chuẩn ∥ x ∥p = ∞ (∑ | xn | p ) p1 n=1 không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 ([6], chapter 2, definition 5.1) Ta nói khơng gian Banach X có tính chất (h) w dãy {xn } ⊂ X mà xn −→ x ∥ xn ∥−→∥ x ∥ xn −→ x 1.2 Không gian L(X, Y ) Giả sử X, Y không gian định chuẩn trường K Kí hiệu L(X, Y ) khơng gian ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y Với f ∈ L(X, Y ), ta đặt ∥ f ∥= inf{k : ∥ f (x) ∥≤ k ∥ x ∥, ∀x ∈ X} Định lý 1.2.1 Với f ∈ L(X, Y ) ∥ f ∥= sup x̸=0 ∥ f (x) ∥ = sup ∥ f (x) ∥= sup ∥ f (x) ∥ ∥x∥ ∥x∥≤1 ∥x∥=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 49 Từ tính hội tụ yếu ta có ∥ x0 ∥≤ lim inf ∥ xn ∥, mặt khác ta có n→+∞ V (φ, x0 ) =∥ φ ∥2 −2⟨φ, x0 ⟩+ ∥ x0 ∥2 ( ) = lim ∥ φ ∥2 −2⟨φ, xn ⟩+ ∥ x0 ∥2 n→+∞ ( ) ≤ lim inf ∥ φ ∥2 −2⟨φ, xn ⟩+ ∥ xn ∥2 n→+∞ = lim inf V (φ, xn ) n→+∞ = lim V (φ, xn ) = inf V (φ, y) n→+∞ y∈K x0 ∈ πK φ Vậy πK φ ̸= ∅ Nếu K tập khơng bị chặn, ∀r > 0, ta kí hiệu Br = {x ∈ B :∥ x ∥≤ r} Trong trường hợp ta tìm R > cho ∥ φ ∥< R K ∩ BR ̸= ∅ ( Nếu x ∈ K ∩ BR ta có V (φ, x) ≤ ∥φ∥+∥x∥ )2 ≤ (2R)2 = 4R2 , ta suy inf y∈K∩BR V (φ, y) ≤ 4R2 Nếu x ∈ K ∥ x ∥> 4R V (φ, x) ≥ ( ∥φ∥−∥x∥ (2.11) )2 > (3R)2 = 9R2 , suy V (φ, y) > 9R2 inf (2.12) y∈K;∥y∥>4R Kết hợp (2.14) (2.15) ta có ( ) inf V (φ, y) = inf V (φ, y); inf V (φ, y) y∈K y∈K∩B4R y∈K;∥y∥>4R ( ) ≥ inf V (φ, y); inf V (φ, y) y∈K∩B4R = ta suy inf V (φ, y) = y∈K inf y∈K∩B4R y∈K∩BR V (φ, y) ≥ inf V (φ, y) y∈K inf y∈K∩B4R V (φ, y), K ∩ B4R khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn B Khi tồn x0 ∈ K ∩ B4R cho V (φ, x0 ) = inf y∈K∩B4R V (φ, y) = inf V (φ, y) y∈K Vậy x0 ∈ πK φ hay πK φ ̸= ∅ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 50 Mệnh đề 2.2.20 ([7], theorem 2.2) Cho B không gian Banach phản xạ B ∗ không gian đối ngẫu B, K ⊂ B tập lồi, đóng, khác rỗng Khi ∀φ ∈ B ∗ πK φ khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn K Chứng minh Theo định lý (2.2.1) ta có ∀φ ∈ B ∗ πK φ ̸= ∅ Nếu x0 ∈ πK φ, suy ( ∥ φ ∥ − ∥ x0 ∥ )2 ≤ V (φ, x0 ) √ ⇔|∥ φ ∥ − ∥ x0 ∥|≤ V (φ, x0 ) √ ⇔∥ x0 ∥≤ V (φ, x0 )+ ∥ φ ∥ πK φ tập bị chặn Giả sử dãy {xn } ⊂ πK φ xn → x0 , ta có V (φ; x0 ) =∥ φ ∥2 −2⟨φ; x0 ⟩+ ∥ x0 ∥2 ( ) = lim ∥ φ ∥2 −2⟨φ; xn ⟩+ ∥ xn ∥2 n→∞ = lim V (φ; xn ) = inf V (φ; y) n→∞ y∈K ta suy x0 ∈ πK φ Vậy πK φ đóng Giả sử x1 , x2 ∈ πK φ λ ∈ [0, 1], λx1 + (1 − λ)x2 ∈ K Ta có V (φ, λx1 + (1 − λ)x2 ) =∥ φ ∥2 −2⟨φ, λx1 + (1 − λ)x2 ⟩+ ∥ λx1 + (1 − λ)x2 ∥2 ≤∥ φ ∥2 −2λ⟨φ, x1 ⟩ − 2(1 − λ)⟨φ, x2 ⟩+ + λ ∥ x1 ∥2 +(1 − λ) ∥ x2 ∥2 = λV (φ, x1 ) + (1 − λ)V (φ, x2 ) = λ inf V (φ, y) + (1 − λ) inf V (φ, y) y∈K y∈K ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ πK φ Vậy πK φ lồi Mệnh đề 2.2.21 ([7], theorem 2.2) Cho B không gian Banach phản xạ B ∗ không gian đối ngẫu B, K ⊂ B tập lồi, đóng 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 51 B, ta có tính chất sau: a) Với φ ∈ B ∗ hai phần tử πK φ không phụ thuộc tuyến tính b) Nếu B lồi chặt tốn tử πK φ đơn trị Chứng minh a) Giả sử x1 , x2 ∈ πK φ x1 = µx2 với µ ∈ R, µ ̸= 1, ta có V (φ; x1 ) = V (φ; x2 ) từ suy 2⟨φ; x2 − x1 ⟩ =∥ x2 ∥2 − ∥ x1 ∥2 thay x1 µx2 vào đẳng thức ta 2(1 − µ)⟨φ; x2 ⟩ = (1 − µ2 ) ∥ x2 ∥2 µ ̸= nên ta có 2⟨φ; x2 ⟩ = (1 + µ) ∥ x2 ∥2 1+µ x1 + x2 = x2 Từ tính lồi πK φ x3 ∈ πK φ từ đặt x3 = 2 V (φ; x2 ) = V (φ; x3 ) ta suy ( + µ) 2⟨φ; x2 ⟩ = + ∥ x2 ∥2 Khi ta có + µ = + µ ̸= 1+µ , suy µ = 1, mâu thuẫn với giả thiết b) Giả sử tồn φ ∈ B ∗ mà πK φ không đơn trị, nghĩa x1 , x2 ∈ πK φ; x1 ̸= x2 V (φ, x1 ) = V (φ, x2 ), ta suy 2⟨φ, x2 − x1 ⟩ =∥ x2 ∥2 − ∥ x1 ∥2 (2.13) mà πK φ lồi nên ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx2 + (1 − λ)x1 ∈ πK φ Từ V (φ, λx2 + (1 − λ)x1 ) = V (φ, x1 ) ta có 2⟨φ, (λx2 + (1 − λ)x1 ) − x1 ⟩ =∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 − ∥ x1 ∥2 ⇔ 2λ⟨φ, x2 − x1 ⟩ =∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 − ∥ x1 ∥2 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (2.14) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 52 Kết hợp (2.16) (2.17) ta có ( ) λ ∥ x2 ∥2 − ∥ x1 ∥2 =∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 − ∥ x1 ∥2 ⇔ ∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 = λ ∥ x2 ∥2 +(1 − λ) ∥ x1 ∥2 mà ( )2 ∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 ≤ λ ∥ x2 ∥ +(1 − λ) ∥ x1 ∥ ≤ λ ∥ x2 ∥2 +(1 − λ) ∥ x1 ∥2 =∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥2 ∥ λx2 + (1 − λ)x1 ∥= λ ∥ x2 ∥ +(1 − λ) ∥ x1 ∥ Đặt λ = ta ∥ x2 + x1 ∥=∥ x2 ∥ + ∥ x1 ∥ Giả sử x1 , x2 ̸= 0, ∥ x2 ∥ đặt α = < α < ; < − α < ∥ x1 ∥ + ∥ x2 ∥ x2 x α =1 + (1 − α) ∥ x2 ∥ ∥ x1 ∥ x2 x1 ∥ x2 ∥ = , suy x2 = x1 ∥ x2 ∥ ∥ x1 ∥ ∥ x1 ∥ Vì phần tử πK φ phụ thuộc tuyến tính không xảy nên πK φ B lồi chặt nên đơn trị Mệnh đề 2.2.22 ([7], theorem 3.1) Nếu B không gian Banach phản xạ, lồi chặt B ∗ không gian đối ngẫu B, K ⊂ B tập lồi, đóng, khác rỗng tốn tử chiếu suy rộng πK : B ∗ −→ K liên tục Chứng minh Vì B phản xạ, lồi chặt trơn nên theo mệnh đề (2.2.21) πK φ đơn trị Giả sử φn −→ φ xn = πK φn ; x = πK φ, từ bất đẳng thức ( ∥ φn ∥ − ∥ xn ∥ )2 ≤ V (φn , xn ) ≤ V (φn , x) ≤ ( ∥ φn ∥ + ∥ x ∥ )2 φn −→ φ Ta biết dãy {xn } bị chặn B, B không gian phản xạ nên tồn dãy {xn }, không giảm tổng quát 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 53 w ta giả sử dãy xn −→ x′ , ta có V (φ, x′ ) =∥ φ ∥2 −2⟨φ, x′ ⟩+ ∥ x′ ∥2 ( ) ≤ lim inf ∥ φn ∥2 −2⟨φn , xn ⟩+ ∥ xn ∥2 n→+∞ = lim inf V (φn , xn ) n→+∞ = lim inf V (φn , y) = inf V (φ, y) n→+∞ y∈K x′ ∈ πK φ Vì πK φ đơn trị nên ta có x′ = πK φ = x Với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)xn ∈ K Từ V (φ, x) ≤ V (φ, λx + (1 − λ)xn ) ta có ∥ φ ∥2 −2⟨φ, x⟩+ ∥ x ∥2 ≤∥ φ ∥2 −2⟨φ, λx+(1−λ)xn ⟩+ ∥ λx+(1−λ)xn ∥2 ⇒ 2⟨φ, (1 − λ)(xn − x)⟩ ≤∥ λx + (1 − λ)xn ∥2 − ∥ x ∥2 (2.15) Tương tự từ V (φn , xn ) ≤ V (φn , x) ta có 2⟨−φn , xn − x⟩ ≤∥ x ∥2 − ∥ xn ∥2 (2.16) Kết hợp (2.18) (2.19) ta 2⟨φ − φn , xn − x⟩ ≤∥ λx + (1 − λ)xn ∥2 − ∥ xn ∥2 +2λ⟨φ, xn − x⟩ ≤ λ ∥ x ∥2 +(1 − λ) ∥ xn ∥2 − ∥ xn ∥2 +2λ⟨φ, xn − x⟩ ( ) = λ ∥ x ∥2 − ∥ xn ∥2 + 2λ⟨φ, x − xn ⟩ Vì ( ) 2⟨φ − φn , x − xn ⟩ ≥ λ ∥ xn ∥2 − ∥ x ∥2 + 2λ⟨φ, x − xn ⟩ (2.17) Từ V (φ, x) ≤ V (φ, xn ) V (φn , xn ) ≤ V (φn , λx + (1 − λ)xn ), ta có ( ) 2⟨φ − φn , x − xn ⟩ ≥ (1 − λ) ∥ x ∥2 − ∥ xn ∥2 + 2(1 − λ)⟨φn , x − xn ⟩ (2.18) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 54 Kết hợp (2.20) (2.21), đặt λ = ta có 4⟨φ − φn , x − xn ⟩ ≥∥ xn ∥2 − ∥ x ∥2 +2⟨φ, x − xn ⟩ (2.19) 4⟨φ − φn , x − xn ⟩ ≥∥ x ∥2 − ∥ xn ∥2 +2⟨φn , x − xn ⟩ (2.20) w Từ điều kiện φn → φ; xn −→ x, kết hợp (2.22) (2.23) ta ∥ xn ∥−→∥ x ∥ w Vì xn −→ x B phản xạ lồi chặt nên ta có xn −→ x Từ suy πK φn −→ πK φ Vậy πK φ liên tục với φ ∈ B ∗ Mệnh đề 2.2.23 ([7], theorem 2.2) Cho B không gian Banach trơn K ⊂ B tập lồi đóng, khác rỗng Khi với φ ∈ B ∗ x0 ∈ πK φ ⟨Jx0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ 0; ∀y ∈ K Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x0 ∈ πK φ, cho y ∈ K; λ ∈ [0, 1] Ta có V (φ, x0 ) ≤ V (φ, (1 − λ)x0 + λy), từ suy ≥ V (φ, x0 ) − V (φ, (1 − λ)x0 + λy) = 2⟨φ, λ(y − x0 )⟩+ ∥ x0 ∥2 − ∥ (1 − λ)x0 + λy ∥2 Mặt khác, áp dụng J(λy + (1 − λ)x0 ) ta ⟨ ⟩ V (φ, x0 ) − V (φ, (1 − λ)x0 + λy) = φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) ⟨ ⟩ +2 J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) + ∥ x0 ∥2 − ∥ λy + (1 − λ)x0 ∥2 ⟨ ⟩ = φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) ⟨ ⟩ +2 J(λy + (1 − λ)x0 ), λy + (1 − λ)x0 − x0 + ∥ x0 ∥2 − ∥ λy + (1 − λ)x0 ∥2 ⟨ ⟩ = φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) + ∥ λy + (1 − λ)x0 ∥2 ⟨ ⟩ −2 J(λy + (1 − λ)x0 ), x0 + ∥ x0 ∥2 − ∥ λy + (1 − λ)x0 ∥2 ⟨ ⟩ = φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) + ∥ λy + (1 − λ)x0 ∥2 ⟨ ⟩ −2 J(λy + (1 − λ)x0 ), x0 + ∥ x0 ∥2 ⟨ ⟩ ≥ φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) ⟨ ⟩ Vậy φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), λ(y − x0 ) ≤ 0; ∀λ ∈ [0, 1], ta suy 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 55 ⟨ ⟩ φ − J(λy + (1 − λ)x0 ), y − x0 ≤ Cho λ → ta ⟨φ − Jx0 , y − x0 ⟩ ≤ ⇔ ⟨Jx0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ Điều kiện đủ: Giả sử ⟨Jx0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ 0; ∀y ∈ K Ta có V (φ, y) − V (φ, x0 ) = ( ) ( ) = ∥ φ ∥2 −2⟨φ, y⟩+ ∥ y ∥2 − ∥ φ ∥2 −2⟨φ, x0 ⟩+ ∥ x0 ∥2 = −2⟨φ, y⟩+ ∥ y ∥2 +2⟨φ, x0 ⟩− ∥ x0 ∥2 = −2⟨φ, y⟩ + 2⟨φ, x0 ⟩ − 2⟨Jx0 , x0 ⟩+ ∥ Jx0 ∥2 + ∥ y ∥ ≥ −2⟨φ, y⟩ + 2⟨φ, x0 ⟩ − 2⟨Jx0 , x0 ⟩ + ∥ Jx0 ∥∥ y ∥ ≥ −2⟨φ, y⟩ + 2⟨φ, x0 ⟩ − 2⟨Jx0 , x0 ⟩ + 2⟨Jx0 , y⟩ = 2⟨φ − Jx0 , x0 − y⟩ ≥ Từ suy V (φ, y) ≥ V (φ, x0 ); ∀y ∈ K Vậy x0 ∈ πK φ Hệ 2.8 Giả sử H không gian Hilbert, K ⊂ H tập lồi, khác rỗng Khi ∀ φ ∈ H ∗ = H; x0 ∈ πK φ ⟨x0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ 0; ∀ y ∈ K Mệnh đề 2.2.24 ([9], proposition 3.4) Cho B không gian Banach trơn, K ⊂ B khơng gian đóng, khác rỗng φ ∈ B ∗ Khi x0 ∈ πK φ ⟨Jx0 − φ, y⟩ = 0; ∀y ∈ K Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x0 ∈ πK φ, K khơng gian nên x0 − y, x0 + y ∈ K; ∀y ∈ K, theo mệnh đề (2.2.23) ta có ⟨Jx0 − φ, (x0 − y) − x0 ⟩ = ⟨Jx0 − φ, −y⟩ ≥ ⟨Jx0 − φ, (x0 + y) − x0 ⟩ = ⟨Jx0 − φ, y⟩ ≥ Vậy ta ⟨Jx0 − φ, y⟩ = 0; ∀y ∈ K Điều kiện đủ: Giả sử ⟨Jx0 − φ, y⟩ = 0, y − x0 ∈ K; ∀y ∈ K nên ta có ⟨Jx0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ 0; ∀y ∈ K Theo mệnh đề (2.2.23) x0 ∈ πK φ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 56 Hệ 2.9 Nếu H không gian Hilbert, K ⊂ H khơng gian đóng, khác rỗng φ ∈ H ∗ x0 ∈ πK φ ⟨x0 − φ, y⟩ = 0; ∀ y ∈ K Mệnh đề 2.2.25 ([7], theorem 2.2) Cho B không gian Banach trơn, K ⊂ B tập lồi đóng, khác rỗng φ ∈ B ∗ ; ∀x0 ∈ πK φ ta có V (φ, x0 ) + V (Jx0 , y) ≤ V (φ, y); ∀y ∈ K Chứng minh Ta có V (φ, y) − V (φ, x0 ) − V (Jx0 , y) = −2⟨φ, y − x0 ⟩ + 2⟨Jx0 , y⟩ − ∥ x0 ∥2 = 2⟨Jx0 − φ, y − x0 ⟩ ≥ 2.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 2.2.2 ([10], introduction) Cho B không gian Banach, B ∗ không gian đối ngẫu B, K ⊂ B tập lồi đóng, khác rỗng ánh xạ T : K → B ∗ (i) Bài toán bất đẳng thức biến phân định nghĩa ánh xạ T tập K VI(T,K): Tìm x′ ∈ K cho ⟨T x′ , y − x′ ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ K (ii) Cho f ∈ B ∗ , toán bất đẳng thức biến phân định nghĩa ánh xạ T − f tập K VI(T-f, K): Tìm x′ ∈ K cho ⟨T x′ − f, y − x′ ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ K Định nghĩa 2.2.3 ([10], definition 2.2)(Ánh xạ KKM) Cho X khơng gian tuyến tính, ∅ ̸= K ⊂ X Ánh xạ G : K −→ 2X gọi ánh xạ KKM tập hữu hạn {y1 , y2 , , yn } ⊂ K ta có co{y1 , y2 , , yn } ⊆ n ∪ G(yi ) i=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 57 bao lồi co{y1 , y2 , , yn } định nghĩa n ∑ co{y1 , y2 , , yn } = {v = λi yi ; ≤ λi ≤ 1, i=1 n ∑ λi = 1} i=1 Định nghĩa 2.2.4 ([10], definition 3.1) Cho X, Y hai không gian tôpô, ánh xạ đa trị F : X −→ 2Y gọi nửa liên tục x0 tập mở V ⊂ Y mà F (x0 ) ⊂ V tồn lân cận mở U ⊂ X x0 cho F (x) ⊂ V ; ∀x ∈ U Định lý 2.2.2 ([10], theorem 2.1) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B Ánh xạ T : B → B ∗ , cho số α > f ∈ B ∗ , x′ ∈ K ⊂ B nghiệm toán VI(T-f, K) x′ nghiệm phương trình toán tử x = πK (Jx − α(T x − f )) Chứng minh Vì B phản xạ, lồi chặt trơn nên B ∗ có tính chất đó, J, πK φ ánh xạ đơn trị Theo mệnh đề (2.2.23) ta có x′ ∈ πK (Jx − α(T x − f )) ⟨ ( ) ⟩ ⇔ Jx′ − Jx′ − α(T x′ − f ) , y − x′ ≥ 0; ∀y ∈ K ⟨ ⟩ ⇔ α(T x′ − f ), y − x′ ≥ ⇔ ⟨T x′ − f, y − x′ ⟩ ≥ 0; ∀y ∈ K hay x′ nghiệm toán V I(T − f, K) Định lý 2.2.3 ([8], theorem C) (Fan-KKM) Giả sử X khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff, ∅ = ̸ K ⊂ X tập lồi, G : K −→ 2X ánh xạ KKM Nếu tồn y0 ∈ K mà G(y0 ) ⊂ K tập compact ∩ G(y) ̸= ∅ y∈K Định lý 2.2.4 ([10], theorem 3.1) Cho B không gian Banach phản xạ trơn, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi, đóng Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 58 (i) T : K −→ B ∗ ánh xạ cho với điểm cố định y ∈ K { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y (ii) Tồn tập ∅ ̸= D ⊂ K tập compact yếu y0 ∈ K cho ( ) ( ) V Jy0 − α(T y0 − f ), x ≥ V Jy0 − α(T y0 − f ), y0 ; ∀x ∈ K \ D Khi tồn x¯ ∈ D ⊂ K cho ( ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K α > 0, f ∈ B ∗ Chứng minh Trước tiên ta ý: Nếu B phản xạ B trơn B ∗ lồi chặt, suy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Ta định nghĩa hai ánh xạ G, F : K −→ 2K xác định { ( ) ( )} G(y) = x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y { ( ) ( )} F (y) = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y G(y) ̸= ∅ y ∈ G(y), ∀y ∈ K Với điểm y ∈ K cố định ánh xạ x −→ V (Jy − α(T y − f ), x) lồi liên tục, ta suy G(y) lồi đóng nên G(y) lồi, đóng yếu Tiếp theo ta chứng minh F : K −→ 2K ánh xạ KKM n ∑ Giả sử {y1 , , yn } ⊂ K ≤ λi ≤ 1; ∀i = 1, , n; λi = Đặt v = n ∑ i=1 λi yi , ta có i=1 ( ) ( V Jv − α(T v − f ), v = V Jv − α(T v − f ), ≤ n ∑ n ∑ λi yi ) i=1 ( ) λi V Jv − α(T v − f ), yi i=1 ( ) ≤ max V Jv − α(T v − f ), yi 1≤i≤n 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 59 tồn số i = 1, , n cho ( ) ( ) V Jv − α(T v − f ), v ≤ V Jv − α(T v − f ), yi n ∪ Vậy v ∈ G(yi ), ta suy v ∈ F (yi ) hay F ánh xạ KKM i=1 Mặt khác F (y) ⊂ G(y) nên G(y) ánh xạ KKM, theo (ii) ta có G(y0 ) ⊂ D, G(y0 ) đóng yếu D tập compact yếu nên G(y0 ) ∩ tập compact yếu Theo định lí (2.2.3) G(y) ̸= ∅, y∈K ∩ tồn x¯ ∈ G(y) Thế ( y∈K ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K mà G(y0 ) ⊂ D nên x¯ ∈ D ⊂ K Bổ đề 2.3 ([10], lemma 3.1) Cho B không gian Banach phản xạ trơn, ∅ = ̸ K ⊂ B tập lồi Ánh xạ T : K −→ B ∗ liên tục đoạn thẳng K tôpô yếu∗ B ∗ , với điểm cố định ∩ y ∈ K tập A [x1 , x2 ] đóng K [x1 , x2 ] đoạn thẳng K { ( ) ( )} A = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y Chứng minh Với x1 , x2 ∈ K, tập [x1 , x2 ] = {tx1 +(1−t)x2 ; t ∈ [0, 1]} ∩ Giả sử dãy {xn } ⊂ A [x1 , x2 ] cho xn → x0 ∈ [x1 , x2 ] Ánh xạ T : K −→ B ∗ liên tục từ đoạn thẳng K vào tôpô yếu∗ B ∗ , w∗ T xn −→ T x0 Vì J ánh xạ liên tục từ tôpô mạnh B vào tôpô yếu∗ B ∗ nên w∗ Jxn −→ Jx0 , ta suy w∗ Jxn − α(T xn − f ) −→ Jx0 − α(T x0 − f ) { } Vì Jxn − α(T xn − f ) bị chặn tơpơ yếu∗ , theo ngun lí bị chặn bị chặn theo chuẩn Từ xn ∈ A định nghĩa V ta có ⟨ ⟩ ∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥2 −2 Jxn − α(T xn − f ), xn + ∥ xn ∥2 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 60 ⟨ ⟩ ≤∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥2 −2 Jxn − α(T xn − f ), y + ∥ y ∥2 ⟨ ⟩ ⇔ Jxn − α(T xn − f ), y − xn + ∥ xn ∥2 ≤∥ y ∥2 (2.21) Ta ý ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ | Jxn − α(T xn − f ), y − xn − Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 | ⟨ ⟩ ≤| Jxn − α(T xn − f ), y − xn − (y − x0 ) | ⟨ ⟩ + | Jxn − α(T xn − f ) − (Jx0 − α(T x0 − f )), y − x0 | ≤∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥∥ xn − x0 ∥ ⟨ ⟩ + | Jxn − α(T xn − f ) − (Jx0 − α(T x0 − f )), y − x0 | Từ ta suy lim n→+∞ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ Jxn − α(T xn − f ), y − xn = Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 Từ (2.24) cho n → +∞ ta ⟨ ⟩ Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 + ∥ x0 ∥2 ≤∥ y ∥2 ( ) ( ) ⇒ V Jx0 − α(T x0 − f ), x0 ≤ V Jx0 − α(T x0 − f ), y Vậy x0 ∈ A Định lý 2.2.5 ([10], theorem 3.2) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn: (i) T : K −→ B ∗ ánh xạ liên tục đoạn thẳng K tôpô yếu∗ B ∗ (ii) Với y ∈ K cố định, ta có { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 61 (iii) Tồn tập ∅ ̸= D ⊂ K tập compact yếu y0 ∈ K cho ) ( ) ( V Jy0 − α(T y0 − f ), x ≥ V Jy0 − α(T y0 − f ), y0 ; ∀x ∈ K \ D Khi tốn V (T − f, K) có nghiệm x¯ ∈ K \ D , α > số, f ∈ B ∗ Chứng minh Theo định lý (2.2.4) tồn x¯ ∈ K \ D cho ( ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K (2.22) Ta có ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ ≤ V J x¯ − α(T x¯ − f ), y ; ∀y ∈ K Thật vậy, giả sử tồn y¯ ∈ K cho ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ > V J x¯ − α(T x¯ − f ), y¯ (2.23) Đặt yt = t¯ y + (1 − t)¯ x ∈ K; ∀t ∈ [0, 1], thay yt vào (2.25) ta ( ) ( ) V Jyt − α(T yt − f ), x¯ ≤ V Jyt − α(T yt − f ), yt ⟨ ⟩ ⇔∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 (Jyt − α(T yt − f ), x¯ + ∥ x¯ ∥2 ⟨ ⟩ ≤∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), yt + ∥ yt ∥2 ⟨ ⟩ ⇔ 2t Jyt − α(T yt − f ), y¯ − x¯ + ∥ x ∥2 ⟨ ⟩ = Jyt − α(T yt − f ), yt − x¯ + ∥ x ∥2 ≤∥ yt ∥2 =∥ t¯ y + (1 − t)¯ x ∥≤ t ∥ y¯ ∥2 +(1 − t) ∥ x¯ ∥2 ⟨ ⟩ ⇒ Jyt − α(T yt − f ), y¯ − x¯ + ∥ x¯ ∥2 ≤∥ y¯ ∥2 ; ∀t ∈ [0, 1] (2.24) ∩ Theo (2.26) bổ đề (2.3) W [¯ y , x¯] mở [¯ y , x¯] chứa x¯ với { ( ) ( )} W = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x > V Jx − α(T x − f ), y¯ Cho yt → x¯; (t → 0+ ) tồn t0 ∈ [0, 1] cho yt ∈ W ; ∀t ∈ (0, t0 ) Vậy ( ) ( ) V Jyt − α(T yt − f ), yt > V Jyt − α(T yt − f ), y¯ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 62 ⟨ ⟩ ⇔∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), yt + ∥ yt ∥2 ⟨ ⟩ >∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), y¯ + ∥ y¯ ∥2 Mặt khác, yt − y¯ = (1 − t)(¯ x − y¯) nên ⟨ ⟩ 2(1 − t) Jyt − α(T yt − f ), x¯ − y¯ + ∥ y¯ ∥2 = ⟨ ⟩ = Jyt − α(T yt − f ), yt − y¯ + ∥ y¯ ∥2 ∥ y¯ ∥2 ; ∀t ∈ (0, t0 ) điều mâu thuẫn với (2.27) Vậy ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ ≤ V J x¯ − α(T x¯ − f ), y ; ∀y ∈ K Theo định nghĩa toán tử chiếu suy rộng πK : B ∗ −→ K ta có x¯ = πK (J x¯ − α(T x¯ − f )) Vậy x¯ nghiệm toán V I(T − f, K) Định lý 2.2.6 ([10], theorem 3.3) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn (i) F : K −→ 2K ánh xạ nửa liên tục yếu, cho ∪ F (K) = F (x) ⊂ K; x ∈ K tập tiền compact yếu x∈K (ii) T : K −→ B ∗ ánh xạ cho với y ∈ K cố định, ta có { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 63 (iii) Tồn tập {y(z); z ∈ K} cho với z ∈ K; y(z) ∈ F (z) ta có ( ) ( ) V Jy(z) − α(T y(z) − f ), x > V Jy(z) − α(T y(z) − f ), y(z) ∀x ∈ K \ F (z) Khi tồn x¯ ∈ K cho: (a) x¯ ∈ F (¯ x) ( ) ( ) (b) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K Chứng minh Xét ánh xạ G : K −→ 2K định nghĩa sau: { } G(z) = z ′ ∈ F (z) : V (Jy − α(T y − f ), z ′ ) ≤ V (Jy − α(T y − f ), y) ∀y, z ∈ K, G(z) ̸= ∅, mà theo tính chất V G(z) tập lồi, đóng Do F nửa liên tục yếu ánh xạ { } z ′ −→ sup V (Jy − α(T y − f ), z ′ ) − V (Jy − α(T y − f ), y) y∈K nửa liên tục yếu K, theo tính chất V đồ thị G đóng K × K Vì F (K) tập tiền compact nên tồn tập compact yếu C ⊂ F (K) cho G(z) ⊂ C; ∀z ∈ K Từ đó, ta suy G nửa liên tục yếu K, G có điểm cố định Vậy tồn x¯ ∈ K thỏa mãn điều kiện (a), (b) định lý Định lý 2.2.7 ([10], theorem 3.4) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử bốn điều kiện sau thỏa mãn: (i) F : K −→ 2K ánh xạ nửa liên tục yếu, cho F (K) = ∪F (x) ⊂ K; x ∈ K tập tiền compact yếu (ii) T : K −→ B ∗ liên tục từ đoạn thẳng K vào tôpô∗ B ∗ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z
Ngày đăng: 05/09/2023, 01:01
Xem thêm:
