Luận văn thạc sĩ ảnh hưởng của hóa chất bảo vệ thực vật đến vi sinh vật đất trồng chè

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN PHAN THỊ THANH VÂN TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU TRÊN ĐA TẠP TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2012 z Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Hệ tam phân mũ 1.1.1 Hệ tam phân mũ 1.1.2 Hệ tam phân mũ không 1.1.3 Không gian tâm, ổn định không ổn định Đa tạp tâm 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Sự tồn đa tạp tâm 2 8 Tính thuận tính nghịch phương trình vi phân khơng gian Banach 12 2.1 Hệ đối xứng 12 2.2 Tính nghịch phương trình vi phân khơng ơtơnơm 14 2.3 2.4 2.5 Tính nghịch phương trình vi phân ơtơnơm 16 Ví dụ 18 Tính thuận phương trình vi phân khơng gian Banach 22 Tính thuận tính nghịch hệ tam phân mũ khơng đa tạp tâm 3.1 Tính nghịch hệ tam phân mũ không đa tạp tâm 3.1.1 Xây dựng kết 3.1.2 Các kết phụ 3.1.3 Chứng minh tính nghịch 3.2 Tính thuận hệ tam phân mũ không đa tạp tâm 24 24 24 27 37 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 i z Lời nói đầu Luận văn trình bày khái niệm hệ tam phân mũ khơng đều, số tính chất chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam phân mũ không đa tạp tâm Đối xứng thuận nghịch thời gian đối xứng nghiên cứu khoa học tự nhiên, xuất nhiều hệ vật lý, đặc biệt học cổ điển lượng tử Trong khuôn khổ luận văn tơi trình bày tính thuận tính nghịch phương trình vi phân có tam phân mũ không đa tạp tâm không gian Banach vô hạn chiều Luận văn chia thành chương: Chương 1: Giới thiệu sơ lược khái niệm tam phân mũ đều, tam phân mũ không phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch phương trình vi phân không gian Banach vô hạn chiều Chương 3: Trình bày tính thuận tính nghịch phương trình vi phân có tam phân mũ khơng đa tạp tâm không gian Banach vô hạn chiều Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình TS Lê Huy Tiễn - Giảng viên khoa Tốn-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi suốt khóa học Cuối cùng, tơi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đặc biệt chồng tôi, bên tơi, động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Phan Thị Thanh Vân z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Hệ tam phân mũ Hệ tam phân mũ Cho X không gian Banach, xét ánh xạ liên tục t 7→ A(t) cho A(t) tốn tử tuyến tính bị chặn X với t ∈ R phương trình v = A(t)v (1.1) Nghiệm (1.1) với v (s) = vs viết dạng v (t) = T (t, s)v (s), với T (t, s) toán tử tiến hóa liên kết Ta có T (t, t) = Id T (t, s)T (s, r) = T (t, r) với t, s, r ∈ R, T (t, s) khả nghịch T (t, s)−1 = T (s, t) với t, s ∈ R Giả sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với thành phần hợp thành E , F1 , F2 (X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), với E , F1 , F2 tương ứng không gian tâm, ổn định khơng ổn định Khi nghiệm (1.1) viết dạng v (t) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s))v (s) U (t, s), V1 (t, s) V2 (t, s) tốn tử tiến hóa liên kết tương ứng với ba khối A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s)) Định nghĩa 1.1 Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ tồn số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, D > cho 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Với s, t ∈ R, t ≥ s, −1 ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s) , ||V2 (t, s) || ≤ De−b(t−s) , Với s, t ∈ R, t ≤ s ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t) , ||V1 (t, s) 1.1.2 −1 || ≤ De−d(s−t) Hệ tam phân mũ không Hệ tam phân mũ không trường hợp mở rộng hệ tam phân mũ đều, tìm hiểu giống khác chúng Giả sử X không gian Banach, A : R → B (X ) hàm liên tục, B (X ) tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn X Xét toán giá trị ban đầu v = A(t)v, v (s) = vs , (1.2) với s ∈ R vs ∈ X Giả thiết tất nghiệm (1.2) toàn cục Ta viết nghiệm toán giá trị ban đầu (1.2) dạng v (t) = T (t, s)v (s), T (t, s) tốn tử tiến hóa liên kết Xét số ≤ a < b, ≤ c < d, (1.3) a0 , b , c d ≥ (1.4) Định nghĩa 1.2 Ta nói phương trình tuyến tính v = A(t)v có tam phân mũ không tồn hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) cho P (t), Q1 (t) Q2 (t) phép chiếu với P (t) + Q1 (t) + Q2 (t) = Id, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi (t)T (t, s) = T (t, s)Qi (s), i = 1, với t, s ∈ R, tồn số (1.3)-(1.4) Di > 0, ≤ i ≤ cho Với t, s ∈ R, t ≥ s, ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a |s| , ||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; (1.5) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Với t, s ∈ R, t ≤ s, 0 ||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+c |s| , ||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| (1.6) Các số a, b, c, d coi số mũ Lyapunov, tính khơng dáng điệu mũ định số a0 , b0 , c0 , d0 Khi ba thành phần nghiệm tương ứng với thành phần tâm, ổn định khơng ổn định A(t) ta lấy a = c = (do b > d > 0) Nhận xét 1.1 So sánh hai định nghĩa tam phân mũ tam phân mũ không ta thấy hệ tam phân mũ khơng có thêm lượng mũ a0 |s|, b0 |t|, c0 |s|, d0 |t| Khi a0 = b0 = c0 = d0 = khái niệm tam phân mũ không trùng với khái niệm tam phân mũ Ví dụ 1.1 Cho ω > ε > hệ số thực hệ phương trình R3 x0 = , y = (−ω − εt sin t)y, z = (ω + εt sin t)z (1.7) Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không Chứng minh Ta thấy nghiệm hệ (1.7) viết dạng x(t) = U (t, s)x(s), y (t) = V1 (t, s)y (s), z (t) = V2 (t, s)z (s), U (t, s) = 1, V1 (t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s , V2 (t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s Tốn tử tiến hóa T (t, s) hệ (1.7) cho T (t, s)(x, y, z ) = (U (t, s)x, V1 (t, s)y, V2 (t, s)z ) Giả sử P (t), Q1 (t), Q2 (t) : R3 → R3 phép chiếu xác định P (t)(x, y, z ) = x, Q1 (t)(x, y, z ) = y, Q2 (t)(x, y, z ) = z Rõ ràng phép chiếu thỏa mãn điều kiện phép chiếu định nghĩa hệ tam phân mũ không Chọn b = d = ω − ε, b0 = d0 = 2ε 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 số a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε Ta tồn D1 = D2 = D3 = D4 = D > cho ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| , ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| , Vì ||U (t, s)|| = nên ta có ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| với t ≥ s ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| với t ≤ s với a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > Ta chứng minh ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s (1.8) ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s (1.9) Ta viết lại V1 (t, s) sau: V1 (t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) , suy V1 (s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) (1.10) Với ≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2εt , với t ≤ ≤ s ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t) , với t ≤ s ≤ ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| mà V1 (s, t) = V1 (t, s)−1 suy V1 (t, s)−1 ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Điều cho ta (1.8) Để thu (1.9) ta chứng minh tương tự Từ V2 (s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t) ta có V2 (t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Từ việc thỏa mãn (1.9) (1.8) ta có hệ (1.7) có tam phân mũ không 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 1.1.3 Không gian tâm, ổn định không ổn định Giả sử phương trình v = A(t)v có tam phân mũ không Ta xét ba không gian tuyến tính E (t) = P (t)X, Fi (t) = Qi (t)X, i = 1, với t ∈ R Ta gọi E (t), F1 (t) F2 (t) tương ứng không gian tâm, ổn định khơng ổn định thời điểm t Ta có: X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) với t ∈ R dim E (t), dim F1 (t), dim F2 (t) không phụ thuộc vào thời điểm t Nghiệm (1.2) viết dạng v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R (1.11) với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s) Vi (t, s) := T (t, s)Qi (s) = T (t, s)Qi (s)2 = Qi (t)T (t, s)Qi (s), i = 1, Trong trường hợp đặc biệt, không gian tâm, ổn định không ổn định không phụ thuộc vào t, tức E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, với t, tốn tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T (t, s) biểu diễn dạng   U (t, s) 0     T (t, s) =  V1 (t, s)    0 V2 (t, s) Ngồi ra, tốn tử U (t, s) : E (s) → E (t) Vi (t, s) = Fi (s) → Fi (t), i = 1, khả nghịch Kí hiệu tốn tử nghịch đảo tương ứng U (t, s)−1 Vi (t, s)−1 , i = 1, ta có: U (t, s)−1 = U (s, t) Vi (t, s)−1 = Vi (s, t) với t, s ∈ R Chú ý bất đẳng thức (1.5)-(1.6) viết lại thành: ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+b |t| 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| , ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−d(s−t)+d |t| Tiếp theo ta định nghĩa góc hai khơng gian F1 F2 , E F1 , E F2 tương ứng sau α(t) = inf {||y − z|| : y ∈ F1 (t); z ∈ F2 (t); ||y|| = ||z|| = 1} (1.12) β1 (t) = inf {||x − y|| : x ∈ E (t); y ∈ F1 (t); ||x|| = ||y|| = 1} β2 (t) = inf {||x − z|| : x ∈ E (t); z ∈ F2 (t); ||x|| = ||z|| = 1} Mệnh đề 1.1 Với t ∈ R ta có: ≤ α(t) ≤ , ||Q1 (t)|| ||Q1 (t)|| ≤ α(t) ≤ , ||Q2 (t)|| ||Q2 (t)|| ≤ β1 (t) ≤ , ||P (t)|| ||P (t)|| ≤ β2 (t) ≤ , ||P (t)|| ||P (t)|| ≤ β1 (t) ≤ , ||Q1 (t)|| ||Q1 (t)|| ≤ β2 (t) ≤ ||Q2 (t)|| ||Q2 (t)|| Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp góc khơng gian ổn định khơng ổn định α(t) Các bất đẳng thức khác chứng minh tương tự Chú ý Q1 (t)(y − z ) = y với y, z cho (1.12) Do đó, = ||Q1 (t)(y − z )|| ≤ ||Q1 (t)||.||y − z||, suy ≤ α(t) ||Q1 (t)|| Tiếp theo ta chứng minh α(t) ≤ ||Q1 (t)|| Thật vậy, với v, ω ∈ X mà v¯ = Q1 (t)v 6= ω ¯ = Q2 (t)ω 6= v¯ ω ¯ ≤ 2||z|| ≤ − ||v|| ||ω||