Thông tin tài liệu
Mục Lục Mở đầu Ch¬ng Chuẩn bị 10 1.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 1.2 Kiểu đa thức hệ tham số p-chuẩn tắc 1.3 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao 10 13 14 Chương dd-DÃy đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao 2.1 Các tính chất dd-dÃy 2.2 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao phức Koszul 2.3 Liên hệ với đối đồng điều địa phương 16 17 25 33 Ch¬ng Môđun Cohen-Macaulay dÃy 45 3.1 Lọc thỏa mÃn điều kiện chiều hệ tham số tốt 3.2 Môđun Cohen-Macaulay dÃy 3.3 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dÃy 46 54 59 Ch¬ng Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy 4.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy 4.2 Đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao số 4.3 Đặc trưng tham số Kết luận Tài liệu tham khảo 70 IF (M ) 71 78 85 93 96 z Më đầu Nghiên cứu cấu trúc môđun thông qua nghiên cứu tính chất hàm độ dài môđun modulo hệ tham số phương pháp đà xuất từ lâu Đại số giao hoán Từ năm 50 kỷ trước, Serre đà cã thĨ dïng phøc Koszul ®Ĩ tÝnh béi cđa mét môđun hệ tham số, từ đưa mối liên hệ hàm độ dài, số bội với độ dài môđun đồng điều Koszul Các mối liên hệ tiếp tục nghiên cứu công trình Auslander-Buchsbaum tác giả khác, dẫn đến kết mà ngày trở thành Đại số giao hoán Để phát biểu xác, với iđêan cực đại Ký hiệu (R, m) ta xét m M , vành giao hoán, R x = x1 , , x d ∈ m , ®ã M hệ tham số cho x -môđun hữu hạn sinh có chiều hệ tham số `(M/xM ) > e(x, M ) `(?) hàm độ dài, Khi dấu đẳng thức xảy ra, `(M/xM ) = e(x, M ) M , địa phương, M Noether dim M = d Khi ta có e(x, M ) lµ sè béi cđa nghÜa lµ tån x gọi môđun Cohen-Macaulay Có thể nói môđun Cohen-Macaulay cấu trúc môđun nghiên cứu kỹ có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán Nếu Macaulay ta có `(M/xM ) = e(x, M ) M víi mäi hƯ tham sè lµ Cohen- x M cđa Më réng theo hướng lớp môđun Cohen-Macaulay khái niệm môđun Buchsbaum St cho tồn mét h»ng sè víi mäi hƯ tham sè I(M ) = x u ă ckrad Vogel đưa Đó môđun I(M ) thỏa mÃn Như môđun Cohen-Macaulay Buchsbaum với M , tự môđun cho với hệ tham số Hằng số có tên số Buchsbaum tương C mà tồn số M `(M/xM ) e(x, M ) + C chÊt `(M/xM ) = e(x, M ) + I(M ) Năm 1979, ba nhà toán học N T Cường-Schenzel-N V Trung xét môđun tính M M C nhỏ ký hiệu z I(M ) Các môđun có nhiều Cohen-Macaulay x gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Rõ ràng môđun Cohen-Macaulay Buchsbaum trường môđun hợp riêng Cohen-Macaulay môđun suy rộng Cohen-Macaulay phát triển suy rộng nhanh Lý thuyết thập kỷ 80 năm đầu thập kỷ 90 kỷ 20 nhà toán häc N T Cêng, Schenzel, N V Trung, St Yamagishi, Takayama, Hình học đại số Ký hiệu n1 , , n d ckrad, Vogel, L T Hoa, Brodmann, Goto, có nhiều ứng dụng Đại số giao hoán x(n) = xn1 , , xnd d Cohen-Macaulay suy rộng với u ă , với n1 , , n d > `(M/x(n)M ) = n1 nd e(x, M ) + I(M ) ®đ lớn (để ngắn gọn ta dùng ký hiệu ), nói môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Sharp đặt câu hỏi: hàm `(M/x(n)M ) có dạng đa thức theo đa thức theo n1 , , n d n1 , , n d n1 , , n d M riªng, `(M/x(n)M ) M NÕu n1 , , n d Khi không? Không khó khăn tìm ví dụ câu trả lời phủ định, dẫn đến câu hỏi tiếp `(M/x(n)M ) theo với điều kiện hàm có dạng đa thức Một điều kiện cần đủ N T Cường đưa [8] qua khái niệm up-dÃy Hơn nữa, báo [9] ông chứng minh trường hợp tổng quát hàm `(M/x(n)M ) thương mét hƯ tham sè ký hiƯu linh vµnh ta suy vµnh x cđa Gorenstein, M cho N T Cêng `(M/x(n)M ) a(M ) = a0 (M )a1 (M ) ad1 (M ) hóa bị chặn đa thức tử thương môđun tồn đối đồng vành hệ điều địa Gorenstein tham với đà từ xi a(M/(xi+1 , , xd )M ) i = 1, , d , r»ng vành tồn (M ) = Ann(Hmi (M )) Hmi (M ) mét kÕt x = x1 , , x d sè R đa thức Cụ thể hơn, phương Khi vành thỏa M mÃn R Khi Schenzel, tÝnh chÊt Mét hÖ tham sè nh tác giả N T Cường gọi hệ tham số p-chuẩn tắc, `(M/x(n)M ) = d X n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ), ? ( ) i=0 lµ mét ®a thøc víi mäi n1 , , n d > Kh¸i niƯm hƯ tham số p-chuẩn tắc sau đà Kawasaki sử dụng công cụ then chốt để giải toán z Macaulay hóa đa tạp đại số Faltings đặt ra, từ đưa câu trả lời khẳng định cho giả thuyết Sharp điều kiện tồn phức đối ngẫu Các kết thúc đẩy việc nghiên cứu kỹ tính chất hệ tham số p-chuẩn tắc ứng dụng nghiên cứu cấu trúc vành môđun Bản thân hệ tham số p-chuẩn tắc có nhiều tính chất tốt Hầu ? hết tính chất hệ tham số thỏa mÃn công thức ( ) Vì luận án này, đặt vấn đề nghiên cứu tÝnh chÊt cđa c¸c hƯ tham sè tháa m·n ( ? ) cịng nh c¸c øng dơng cđa chóng C¸c hệ tham số trường hợp riêng khái niệm dd-dÃy định nghĩa luận án Một mở rộng khác môđun Cohen-Macaulay theo hướng hoàn toàn khác khái niệm môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rộng dÃy Ta gọi M môđun Cohen-Macaulay dÃy (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng dÃy) tồn lọc môđun M M0 M1 ⊂ ⊂ Mt = M, cho `(M0 ) < ∞ dim M0 < dim M1 < < dim Mt = d Mi /Mi−1 , Cohen-Macaulay (tương ứng, Cohen-Macaulay suy rộng) víi i = 1, 2, , t Các lọc gọi lọc Cohen-Macaulay (tương ứng, lọc Cohen-Macaulay Macaulay iđêan nguyên suy rộng) Cohen-Macaulay tè liªn kÕt cđa Chó suy ý r»ng réng môđun thỏa không mÃn trộn môđun lẫn, Cohen- nghĩa dim R/p = dim M dim R/p = (trong trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng), iđêan tố nguyên Macaulay suy liên rộng kết dÃy có đối môđun chiều Cohen-Macaulay tùy ý, thay đổi từ dÃy đến Cohen- dim M Đây điểm khác biệt lớp môđun Cấu trúc môđun Cohen-Macaulay dÃy xuất tự nhiên ứng dụng Đại số giao hoán vào toán tổ hợp Stanley định nghĩa môđun phân bậc [38], trường hợp môđun vành địa phương z xét N T Cường-L T Nhàn [18], Schenzel [37] Hiện việc nghiên cứu cấu trúc môđun thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, đặc biệt ứng dụng tổ hợp lý thuyết đồ thị (xem [19], [20], ) Bên cạnh đó, việc nghiên cứu cấu trúc môđun Cohen-Macaulay dÃy từ khía cạnh Đại số giao hoán vấn đề quan trọng thu hút nhà toán học Các công trình tiêu biểu theo hướng kể đến [18], [28], [37], [38] chất Một kết quan trọng đặc trưng tính Cohen-Macaulay dÃy qua tính triệt tiêu tính chất Cohen-Macaulay đối ngẫu Matlis môđun đối đồng điều địa phương Một mở rộng khác tự nhiên khái niệm Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rộng Môđun tượng dÃy ®ỵc N T Cohen-Macaulay tiÕp theo cđa Cêng d·y chóng và L T Nhàn đưa Cohen-Macaulay luận án suy rộng Chúng dÃy báo [18] hai đối môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rộng dÃy ? tồn hệ tham số thỏa mÃn công thức ( ) Từ ứng dụng để quay lại nghiên cứu cấu trúc môđun Mặc dù định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dÃy Cohen-Macaulay suy rộng dÃy giống nhau, nhiên tương tự môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng, kỹ thuật làm việc với hai lớp môđun khác nhau, mang đặc thù lớp môđun Luận án chia thành bốn chương Chương chương chuẩn bị Trong chương nêu lại ngắn gọn số kết quen biết Đại số giao hoán để tiện cho việc trình bày kết chương sau Cụ thể Tiết 1, nêu lại khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng, khái niệm d-dÃy, d-dÃy mạnh, hệ tham số chuẩn tắc số kết liên quan, chủ yếu từ báo [46], [43] Trong Tiết 2, nhắc lại khái niệm kiểu đa thức, hệ tham số p-chuẩn tắc số tính chất chúng trình bày [8], [9], [10], [30], [31] Mét sè kÕt qu¶ đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao z phức Koszul trình bày Tiết Các kết chủ yếu từ [17], [45] Các Trong kết Chương luận chúng án Đó dÃy phần tử i = 1, 2, , s giới trình thiệu bày khái x1 , , x s ∈ m xn1 , , xni i niệm Chương dd-dÃy cho với 2, môđun n1 , , n s > , n lµ d-d·y i+1 M/(xi+1 , , xns s )M trªn Một kết Chương đặc trưng tính chất dd-dÃy hệ tham số thông qua hàm độ dài số bội Cụ thể có định lý (xem Định lý 2.1.8) Định lý Gi¶ sư x = x1 , , x d lµ mét hƯ tham sè cđa M Các điều sau tương đương: (i) x dd-d·y trªn M (ii) Víi mäi n1 , , nd > 0, `(M/x(n)M ) = d X n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ) i=0 (iii) Tồn số nguyên a0 , a1 , , ad `(M/(xn1 , , xnd d )M ) cho víi mäi = d X n1 , , nd > 0, n n i i=0 Một hệ định lý hệ tham số p-chuẩn tắc dd-dÃy Ngược lại, từ kết N T Cường hệ tham số dd-dÃy với số mũ đủ lớn hệ tham số p-chuẩn tắc tham số tham số k dd-dÃy hÖ x = x1 , , x d cña phøc Koszul cña tham cña M M sè tắc tương đương Với hệ , ta định nghĩa đặc trưng Euler-Poincaré bậc ứng với k (x, M ) = p-chuẩn Do tồn hệ x d X lµ (−1)i−k `(Hi (x, M )), i=k z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ®ã Hi (x, M ) nãi r»ng χ0 (x, M ) = e(x, M ) dÉn môđun đồng điều Koszul thứ k (x, M ) > i Mét kÕt qu¶ cđa Serre víi mäi k = 0, 1, , d , χ1 (x, M ) = `(H0 (x, M )) − χ0 (x, M ) = `(M/xM ) − e(x, M ) ®Õn Nh vËy tÝnh chÊt ®a thøc cđa hµm `(M/x(n)M ) χ1 (x(n), M ) Trong trường hợp thức hàm d1 X (x(n), M ) = x tương đương với tính đa dd-d·y th× n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 , ,xd )M ) i=0 Điều giả N T dẫn đến Cường k (x(n), M ) [1]: câu phải đa hỏi mở thức x theo luËn lµ mét n1 , , n d ¸n tiÕn hƯ víi sÜ tham mäi khoa số học p-chuẩn k > ? Trả tác tắc lời câu hỏi có kết quan trọng thứ hai Chương (xem Định lý 2.2.3) x = x1 , , x d Định lý Cho dd-dÃy hệ tham số M Giả sử x M Khi ®ã víi mäi n1 , , nd > 0, χk (x(n), M ) = d−k X n1 ni e(x1 , , xi , (0 : xi+1 )Hk−1 (xi+2 , ,xd ,M ) ) i=0 Hệ trả lời khẳng định cho dạng tường minh hàm câu hỏi k (x(n), M ) Hơn trường hợp Phần cuối Chương dành để nghiên cứu tính chất môđun có hệ tham dd-dÃy, vành R số dd-dÃy M công trình có sử thường giả sử có phức đối ngẫu đảm môđun hữu hạn sinh Trong M dụng khái niệm Giả thiết bảo có hệ tham số dd-dÃy, bên cạnh có nhiều tính chất khác đóng vai trò quan trọng nghiên cứu có sử dụng dd-dÃy tính đóng quĩ tích không Cohen-Macaulay, tÝnh catenary, Tuy nhiªn, thùc tế có nhiều ví dụ vành R phức đối ngẫu catenary, có quĩ tích không Cohen-Macaulay đóng có hệ tham số dd-dÃy Trong tiết cuối chương này, 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z bỏ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 giả thiết R có phức đối ngẫu, giả sử M có hệ tham số dd-dÃy nghiên cứu thay đổi tính chất khác Một số kết ban đầu theo hướng liên quan đến đối đồng điều địa phương, địa phương hóa đ trường hợp đặc biệt ịnh lý Triệt kiểu Faltings trình bày tiết cuối chương Chương dành cho nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay dÃy Chúng trước hết giới thiệu khái niệm lọc thỏa mÃn điều kiện chiều hệ tham số tốt Các khái niệm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu chương chương sau môđun Cohen-Macaulay suy rộng d·y Ta nãi mét läc F : M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M M c¸c môđun thỏa mÃn điều kiện chiều dim M0 < dim M1 < < dim Mt = dim M = d Ký hiÖu di = dim Mi sè tèt ®èi víi x1 , , x di F nÕu x = x1 , , x d Mét hÖ tham sè (xdi +1 , , xd )M ∩ Mi = lµ mét hƯ tham sè cđa Mi lµ mét hƯ tham i = 0, 1, , t với Khi ta cã thĨ xÐt hiƯu IF,M (x) = `(M/xM ) − t X e(x1 , , xdi , Mi ) i=0 IF,M (x) đà có nhiều tÝnh chÊt t¬ng tù nh hiƯu xÐt Macaulay IF,M (x) tríc suy lu«n n1 , , n d IF,M (x) > rộng hàm nhiều số tương nghiên vấn cứu đề âm, không giảm, đương với môđun khác không IM (x) = `(M/xM )−e(x, M ) xÐt Cohen-Macaulay, đại số IF,M (x(n)) Cũng `(M/xM ) > chó ý giao nh r»ng ho¸n mét bÊt Cohen- Cụ thể, hàm theo đẳng thức Pt i=0 e(x1 , , xdi , Mi ) lµ mở rộng đáng ý bất đẳng thức quen biết độ dài số bội `(M/xM ) > e(x, M ) Kết Chương định lý sau (xem Định lý 3.3.2) Định lý Các mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay dÃy 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z tóm tắt 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 F (ii) Tồn lọc x = x1 , , x d tèt x = x1 , , x d Như vậy, F F (iii) Tồn mét läc M ⊂ Mt = M thỏa mÃn điều kiện chiều hệ tham số tèt cho IF,M (x(n)) = 0, víi mäi n1 , , nd > tháa m·n ®iỊu kiƯn chiỊu cho víi mäi hƯ tham sè F , IF,M (x) = Cohen-Macaulay d·y, tån t¹i mét läc cho víi mäi hƯ tham sè tèt `(M/x(n)M ) = t X F : M0 ⊂ M1 ⊂ x = x1 , , x d ta lu«n cã n1 ndi e(x1 , , xdi , Mi ) i=0 đặc đa thức trưng víi mét mäi hƯ n1 , , n d > , tham sè lµ dd-d·y qua hàm di = dim Mi độ dài Từ Chương 2, ta suy môđun Cohen-Macaulay dÃy có hệ tham số dd-dÃy Khi xét kết e(x1 , , xdi , Mi ) trường hợp vành Stanley-Reisner, hệ số tính tường minh thông qua số mặt cực đại phức đơn hình tương ứng với vành Trong chương cuối Macaulay suy rộng dÃy nghiên rộng tồn mét h»ng sè F IF,M (x) < C , c¸c hệ tham số tốt cho lớp môđun Kết môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy cứu đ Æt M IF (M ) = supIF,M (x) ®ã x x M chạy x với t X lµ mét lµ mét läc Cohen-Macaulay suy cho víi mäi hƯ tham sè tèt ®èi víi läc IF,M (x(n)) = IF (M ) `(M/x(n)M ) = C F M Cohen- F Luôn tồn hệ tham sè x n1 , , n d > Do ®ã n1 ndi e(x1 , , xdi , Mi ) + IF (M ) i=0 vµ x lµ mét dd-dÃy M Hằng số IF (M ) môđun Cohen-Macaulay suy rộng dÃy đóng vai trò tương tự số Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng lµ viƯc tÝnh h»ng sè IF (M ) I(M ) Kết quan trọng thứ hai Chương thông qua độ dài số môđun đối đồng điều địa phương Ta có định lý (xem Định lý 4.2.6) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Định lý Cho môđun Cohen-Macaulay suy réng d·y Macaulay suy réng M víi mét läc Cohen- F : M0 ⊂ M1 ⊂ Mt = M Đặt di = dim Mi , i = 0, 1, , t − Khi ®ã IF (M ) = −1 di+1 −1 t di+1 X X X k − 1 i=0 k=di KÕt qu¶ quan träng thø ba j−1 j=1 Chương `(Hmj (M/Mi )) định lý sau (xem Định lý 4.3.2) Định lý Các mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay suy réng d·y (ii) Tån t¹i mét läc x = x1 , , xd cđa M víi mäi F tháa m·n ®iỊu kiƯn chiỊu, mét hƯ tham sè tốt F số C cho IF,M (x(n)) C n1 , , nd > (iii) Tån t¹i mét läc F tháa m·n ®iỊu kiƯn chiỊu cho IF (M ) < Từ định lý chứng minh tiêu chuẩn hữu hạn để kiểm tra tính chất Cohen-Macaulay suy réng d·y: M suy réng d·y vµ chØ tån t¹i mét läc mét hƯ tham sè tốt x M F môđun Cohen-Macaulay F cho thỏa mÃn điều kiện chiều IF,M (x) = IF,M (x21 , , x2d ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ¸ n1 , , n d > víi mäi p dụng giả thiết qui nạp D0 ta nhận (x1 , , xd1 )[xd (M/D1 ) : xi ] ⊆ xd (M/D1 ) + (0 : xi )M/D1 1
Ngày đăng: 05/09/2023, 00:56
Xem thêm:
