TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA VAT LY
HA THI TRUC LINH
KHẢO SÁT TÍNH ĐÔI XỨNG
CUA MOT SO BAI TOAN TRONG
TRUGNG XUYEN TAM
THU VIEN
LUAN VAN TOT NGHIEP DAI HOC KHOA VAT LY - TO VAT LY LY THUYET
GVHD: ThS PHAN NGOC HUNG
Trang 2Mục lục
Lời mở đầu 4
1 Tổng quan 7
2 Đối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát 12
21 Các xác định một đại lượng vật lý bảo toàn 12
211 Xác đính đại lượng vật lý bảo toàn trong cơ học cổ điển 13
212 _ Xác định đại lượng vật lý bảo toàn trong cơ học lượng tử 14
2.2 Dối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát cổ điển 14
23 Dối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát lượng tử _ 15
3 Mở rộng đối xứng trong bài toán Kepler và bài toán dao động tử
điều hòa 17
3.1 Đối xứng ẩn trong bài toán Kepler cổ điển _ 18 3.2 Đối xứng ấn trong bài toán Kepler lượngtử 23 3.3 Dối xứng ẩn trong bài toán dao dong tử điều hòa cổ điển 24
3.4 Dối xứng ấn trong bài toán dao động tử điều hòa lượngtử .Ắ 27
Kết luận và hướng phát triển đề tài 28
Trang 3Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thấy cõ và các bạn Với lòng biết ơn chân thành
tôi xin gửi lời cảm ơn tới:
Toàn thể thầy cô Khoa vật lý, trường Đại học Sư Phạm Tp Hỗ Chí Minh
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận
vẫn
Thầy Phan Ngọc Hưng là một người thấy kính mến và là một tấm gương để tôi noi theo trong công việc cũng như cuộc sống Thầy đã giúp đỡ, dạy dỗ hết
lòng và động viên tôi vượt qua khó khăn để hoàn thành tốt luận văn
Xin chân thành cảm ơn tắt cả các bạn sinh viên lớp Lý 4C CN, khoa Vật lý
Trang 4Lịch sử nghiên cứu vật lý trải qua rất nhiều giai đoạn, mỗi giai đoạn đều có
đặc điểm riêng Ở thời cỗ đại, con người bất đầu tìm hiểu về khoa học chủ yếu dựa
vào quan sát các hiện tượng tự nhiên tức nghiên cứu khoa học bằng con đường
trực quan Bước sang thời của Galileo, khi ông đưa ra tư tưởng rằng các qui luật
vật lý phải được kiểm chứng bằng thực nghiêm cũng là lúc đánh dẫu một giai đoạn
mới, nghiên cứu thực nghiêm Khoa học không dừng lại ở đó ngày càng có nhiều
công trình nghiên cứu mang tính lý thuyết có ý nghĩa cao điển hình là các phương trình Maxwell đã mở ra thời kì mới của vật lý ở đó hướng tiếp cận từ lý thuyết
đóng vai trò dẫn đường, kim chỉ nam mở đường cho nghiên cứu khoa học Tính tới
thời điểm hiện tại, con người đã nghiên cứu, xây dựng được một thư viện vật lý
lý thuyết đô sộ Từ những cái đã có này, con người tiếp tục phát triển nó và kiểm
chứng bằng thực nghiệm rồi đưa vào ứng dụng Ta có thể chắc chắn một điều con người đang từng bước vẽ được bức tranh khá đây đủ mô tả thế giới còn nhiều bí ẩn này bằng con đường nghiên cứu lý thuyết Và nhiệm vụ của chúng ta, những
người đam rnê nghiên cứu vật lý là hãy lĩnh hội hết các kiến thức trong thư viện này, có thế thì thời gian hoàn thành bức tranh sẽ không còn quá xa Để hình dung
điều này, tôi xin mượn câu nói của nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng Issac Newton: “Nêu tôi nhìn được xa hơn những người khác, ấy là tôi đang đứng trên đõi vai các
vị nhân”
Chuyên ngành vật lý lý thuyết thường được các nhà khoa học quan tâm, lựa
chọn nghiên cứu vì những lí do khá thực tế: trong quá trình nghiên cứu không cân
Trang 5Luan van tét nghiép dat hoe - Khoa Vat ly Trang 5
nen tang toan hoc va ly thuyét vat lý đã bỏ xa thực nghiệm buộc con người phải
lựa chọn phương pháp nghiên cứu lý thuyết Ngoài ra, các thí nghiệm thực nghiệm hién giờ đòi hỏi mức độ phức tạp cao rất công phu kéo theo chỉ phí tăng lên vì vậy có lý thuyết đẫn đường trước là một điều kiện quan trọng
Luận văn này cũng trình bày một vẫn đẻ của vật lí lý thuyết: vẫn đề đối
xứng của các bài toán xuyên tâm, mà điển hình nhất là bài toán Kepler Van dé
nay khong qua mdi mé, nhimg dude nhiều người quan tâm Trong đẻ tài này, tôi sẽ
sử dụng các phương pháp lý thuyết để khảo sát tính chất đối xứng của một số bài
toán trong trường xuyên tâm Các bài toán trường xuyên tâm thì khá quen thuộc
với chúng ta, nó được trình bày kĩ lưỡng trong tất cả các giáo trình hoặc các tài
liêu tham khảo khác Tuy nhiên, trong các tài liệu này các tác giá chỉ chú trọng trình bày các tính chất của trường xuyên tâm, các đại lượng bảo toàn trong bài
toán hay giới thiệu cách xác định các đại lượng liên quan đến chuyển đông như vận
tốc, gia tốc, lực Nên trong luận văn này tôi xin để cập đến một khía cạnh còn
khá mới, ít có tài liệu để cập đó là tính chất đối xứng của bài toán xuyên tâm gắn với các đại lượng bảo toàn tương ứng Ngoài ra, tôi cũng giới thiệu lại đại lượng
vector Runge-Lenz là đại lượng bảo toàn trong bài toán Kepler, từ đại lượng này ta dễ dàng xác định được quỹ đạo lẫn hướng của quỹ đạo Ứng với đại lượng bảo
toàn này ta cũng tìm được một đối xứng
Để tiếp cận bài toán trường xuyên tâm, ta có thể sử dụng nhiều phương
pháp khác nhau Trong luận văn này, tôi sẽ phân tích bài toán trong hai giới hạn:
giới hạn cổ điển và giới hạn lượng tử Hướng đi chính trong bài toán là tìm và
chứng mình đại lượng bảo toàn rồi ứng với mỗi đại lượng tìm được ta sẽ chỉ ra đối
xứng trên cơ sở lý thuyết nhóm Trong giới hạn cổ điển, tôi sẽ trình bày sơ lược
lại cách xác định đại lượng bảo toàn đưa trên các phép toán giải tích vector Còn trong giới han lượng tử, tôi sẽ xác định các đại lượng bảo toàn bằng phương pháp
đại số Với phương pháp trên tôi có thể xác định được các đại lượng bảo tồn trong bài tốn trường xuyên tâm Từ các đại lượng này, tôi tiếp tục tìm ra các đỗi xứng
của bài tốn
Sau khi hồn thành, hỉ vọng cuốn luận văn này là một tài liện tổng hợp hữu ich vé các bài toán trường xuyên tâm
Trang 6Ludn van tét nghiép dat hoc - Khoa Vat ly Trang 6
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn , không thể tránh khỏi
các sai sót mong nhận được sự góp ý chân thành của thảy cõ và các bạn
Trang 7Chương 1
Tổng quan
Bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm là một trong số các bài toán
điển hình, được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu, và nhận được rất nhiều sự quan tầm của cộng đồng khoa học Trong vật lý cổ điển, các bài toán xuyên
tâm được quan tâm từ rất sớm, chẳng hạn như trong các bài toán chuyển động của thiên thể Từ những quan sát ban đầu cia Brahe, Kepler, và những đóng góp
của nhiều nhà khoa học khác, Newton đã đưa ra định luật vạn vật hấp dẫn, định
luật đã trở thành rường cột của vật lý thiên thể cho đến nay Các bài toán phức
tạp hơn, như bài toán nhiều vật, cũng được đưa về bài toán một vật chuyển động trong trường xuyên tâm và đạt được nhiều thành công Trong vật lý lượng tử, bài
toán xuyên tâm cũng là một đối tượng được đặc biệt chú ý Hai bài toán xuyên
tâm lượng tử phổ biến nhất là bài toán nguyên tử hidro và bài toán dao động tử điều hòa là hai bài toán hiếm hơi có được lời giải chính xác Điều này càng cho
thây sự quan trọng của các bài toán xuyên tâm trong nghiên cứu vật lý cơ bản
Trong vật lý cổ điển, bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm tổng quát thường được biếu diễn bởi phương trình chuyến động:
r+ f(r.0,8@)r = 0, (1.1)
trong d6, r la vector toa dé va f(r, o,@) la ham võ hướng đặc trưng cho lực xuyên tam và phụ thuộc vào vị trí của vật Trong luân văn này, tôi sử dụng kí hiệu dấu chấm phía trên (?) với ý nghĩa đạo hàm theo thời gian các đại lượng vector được in
Trang 8Luận trăn tốt nghiệp đạt học - Khoa Vật lý Trang 8 đâm Ngoài ra, để việc trình bày gọn gàng, chúng tôi sử dung qui ước Einstein cho việc lấy tông trên các chỉ số lặp lại, cũng như chọn hệ đơn vị h = ra = c = £ = 1
Đói với phương trình (1.1), cách tiếp cận thông thường được giới thiêu trong các sách giáo trình là giải trực tiếp bằng phương pháp giải tích nhằm tìm ra qui đạo chuyển động, Dây là cách giải thường gặp không chỉ cho bài toán xuyên tâm, mà còn cho tắt cả các bài tốn trong giới hạn cơ điển Riêng đối với các bài toán xuyên tâm, có một cách giải khác để tìm ra qui đạo chuyển động mà không cẩn phải giải trực tiếp phương trình (1.1) là một phương trình vị phân bậc hai, đó là cách giải
đại số "Theo cách giải này, ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các đại lượng bảo toàn trong
bài toán, và đưa trên mối quan hề này để xây dựng phương trình qui đạo Cách giải đại số sẽ giúp hạn chế việc giải các phương trình vi phân
Trong vật lý lượng tử bài toán chuyển động trong trường xuyên tam tong
quát thường được biểu diễn hởi phương trình Schrödinger:
HÙ(r.ó, 8) = 1°" + vine} V(r, 6,8) = EV(r, 0,8), (1.2)
trong đó, H la Hamiltonian, W là hàm sóng, Ð là toán tử xung lượng, E là năng lượng và V(r, ó.Ø) là thế năng tương tác của vật với trường xuyên tâm Cách giải
thường được giới thiệu đối với một bài toán lượng tử là cách giải giải tích trực tiếp
phương trình Sehrödinger (1.2) nhằm tìm hàm sóng (hàm riêng) và năng lượng (trị
riêng) Tương tự như trong bài toán cổ điển, phương pháp đại số cũng được sử dụng cho bài toán lượng tử, trong đó ta sẽ tìm mối quan hệ giữa các đại lượng bảo toàn của bài toán, từ đó xây dựng nhóm đối xứng mô tả bài toán này
Như vậy, để khảo sát tính chất đối xứng, trước tiên ta cần phải xác định các đại lượng bảo toàn trong bài toán, rà trong luận văn này, hai đại lượng tôi quan
tam la vector moment xung lugng và vector Runge-Lenz Từ mối quan hệ giữa các
đại lượng này, tôi sẽ tiến hành xây dựng nhóm đối xứng để tìm phố năng lượng
cho bài toán lượng tứ hoặc phương trình qụ đạo trong bài tốn cổ điển
Câu hỏi đầu tiên khi xác định các đại lượng bảo toàn là: có bao nhiên đại
lượng bảo tồn trong bài tốn này? Hất nhiều! Lấy ví dụ như bài toán rất quen
thuộc chuyển đồng trong trưởng hấp dẫn là bài toán được dạy và học từ trường
Trang 9Luận van tốt nghiệp đại học - Khoa Vat ly Trang 9
dién tich quét, vector lunge-Lenz, vector Hamilton và rất nhiều đại lượng hệ quả khác từ sự kết hợp của các đại lượng bảo toàn này Tuy nhiên trong phương pháp đại số, ta không cần phải tìm hết tất cả các đại lượng này Ta chỉ cần tìm một bộ các đại lượng bảo toàn độc lập là đủ đề thiết lập nhóm đối xứng của bài toán Đối với bài toán xuyên tâm, đại lượng được quan tâm nhất là vector moment xung lượng và một vector khác, thường được chọn là vector Runge-Lenz
Moment xung lượng là khái niệm rất quan trọng của cơ học cổ điển khi mô tả chuyển động quay của các vật thể trong không gian Trong cơ học cổ điển, vector này có dang:
L=rxr, (1.3)
và tương ứng trong cơ học lượng tử là toán tử mornent xung lượng có dang:
L=rxp (1.4)
Đối với hệ kín và những hệ có đối xứng cầu, moment xung lượng là đại lượng bảo toàn Tinh chất này võ cùng quan trọng khi nghiên cứu chuyển động quay, được
xem là đặc trưng cho tính chất đối xứng không gian của hệ vật lý Trong cơ học
lượng tit, moment xung lượng cũng có ý nghĩa rất lớn, nhưng như ta sẽ thấy, khái niệm này còn rộng hơn, sâu sắc hơn khái niệm rnoment xung lượng của cơ học cổ điển Ngoài moment xung lượng quỹ đạo, các hạt vi mô còn có moment xung lượng riêng gọi là spin và đặc trưng nội tại của những hạt này mà trong cơ học cổ điển
không có một đại lượng nào tương tự Nhưng ở đây, tôi chỉ xét đến chuyển động bên ngoài của vật chứ không quan tâm đến tính chất chuyển nôi tại vì thế tôi sẽ
không để cập tới spin
Nếu vector moment xung lượng là vector rất phổ biến và được nhắc đến
trong tắt cả các sách giáo trình cơ học thì vector Runge-Lenz lại là vector ít người biết đến Vector Runge-Lenz trong lịch sử phát triển của vật lý đã được định nghĩa nhiêu lấn, và có ý nghĩa tương tự như vector tâm sai thường sử dụng trong vật
lý thiên thể (5]Í6] Vector này cũng được định nghĩa với nhiều dạng, có tính đến
các hiệu ứng tương đối tính, trong điện từ trường và trong các bài toán xuyên
Trang 10Ludn van tắt nghiện dai hoc - Khoa Vật lý Trang 10 tìm ra và định nghĩa nhiều lần hoàn toàn độc lập với nhau trong ba thế kỉ qua
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên bởi Hermann và Bernoulli từ đầu thế kỉ XVIII,
duge phat trién bdi Laplace, Jacobi, Hamilton, Gibbs, nhung mai dén bai bao của Pauli năm 1926Ì, vector này mới được sử dụng rộng rãi Vì được định nghĩa nhiễu lân, nên vector này cũng có nhiều tên gọi khác như vector Runge, vector
laplace-Runge-Lenz, vector Lenz., |7| Vector Runge-Lenz trong bài toán Kepler cố điển và lượng tử lần lượt được định nghĩa như sau:
Ac=: px L—k= (1.5)
A = 3(bxÈ~xð) —w= (1.6)
trong đó ø¿ là tham số đặc trưng cho cường độ của trường xuyên tâm, có giá trị
bằng Z trong trường hợp lực tĩnh điện Coulomb và bằng Œ trong trường hợp lực là lực hấp dẫn Vector Runge-Lenz được sử dụng để mõ tả hình dạng quỹ đạo
và hướng chuyển động trên quỹ đạo đó của một vật thể quanh một vật thể khác,
chang han như chuyển động của một hành tỉnh quanh ngôi sao Khi hai vật thể tương tác với nhau bởi lực hấp dẫn Newton, vector Runge-Lenz đã được chứng
mình là một tích phân chuyển động, hay nói cách khác, vector Runge-Lenz được
bảo toàn Tổng quát hơn, vector Runge-Lenz được bảo toàn trong tắt cả các bài
toán hai vật tương tác với nhau bởi lực xuyên tâm có độ lớn tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, gọi là các bài toán Kepler
Với mong muốn có một cái nhìn rõ ràng hơn về tính đối xứng của các bài
toán xuyên tâm, là một lớp bài toán quan trọng trong vật lý, tôi thực hiện đề tài
nghiên cứu này với mục tiêu: Khảo sát tính chất đối xứng của một số bài toán
trong trường xuyên tâm trong không gian ba chiều, trong đó tập trung vào hai bài toan Kepler va bài toán dao động tử điều hòa
Cụ thể, tôi sẽ thực hiện những nội dung nghiên cứu sau:
Trang 11Ludn van tốt nghiệp đạt học - Khoa Vật lý Trang 11
e ‘Tim các đại lượng bảo toàn ứng với hai trường hợp riêng là bài toán Kepler
và bài toán đao động tử điều hòa
se Xây dựng nhóm đối xứng ứng với hai bài toán trên
Nội dung luận văn được trình bày gồm các phân sau:
e Chương 1: Tổng quan
Trong phân này, tôi sẽ giới thiệu mục tiêu nghiên cứu, cũng như trình bày sơ
lược ý nghĩa của đề tài
e Chương 2: Đối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát
Trong phần này, tôi sẽ khảo sát đại lượng bảo toàn phố biến trong các bài
toán xuyên tâm là vector moment xung lượng, từ đó chỉ ra đối xứng không
gian của các bài toán xuyên tâm là đối xứng quay SO(3)
e Chương 3: Mở rộng đối xứng trong bài toán Kepler và bài toán dao
động tử điều hòa
Với hai bài toán đặc trưng cho chuyển động trong trường xuyên tâm, tôi sẽ đi
tìm đối xứng ẩn trong mỗi bài toán Đó là vector Runge-Lenz trong bài toán Kepler và tensor Runge-Lenz trong bài toán dao động tử điều hòa Với các đại lượng bảo toàn mới này, nhóm đối xứng của bài toán được mở rộng
e Két luận và hướng phát triển
Những nhận xét về kết quả thu được cũng như những hướng phát triển tiếp
theo trong tương lai
e« Tài liệu tham: khảo
Các tài liệu tham khảo trong quá trình thực hiện luận văn sẽ được thống kê theo thứ tự ABC tên tác giả
Trang 12Chương 2
Đôi xứng trong bài toán
xuyên tâm tổng quát
Những bài toán chuyển động của một hệ kín gồm hai chất điểm với thế năng
tương tác chỉ phụ thuộc khoảng cách tương đối của các chất điểm đó gọi là bài
toán xuyên tâm và chuyển động tương ứng gọi là chuyển động xuyên tâm Trong luận văn này, tôi chỉ xét các hạt chuyển động trong không gian ba chiều và trình
bày các tính chất tổng quát của chuyển động trong trường xuyên tâm bằng cách
sử dụng phương pháp đại số Đối xứng của bài toán xuyên tâm tổng quát được chỉ
ra là đối xứng SO(3) được xây dựng từ sự bảo toàn của moment xung lượng
2.1 Các xác định một đại lượng vật lý bảo toàn
Như đã trình bày ở các phần trên, việc xác định một đại lượng là bảo tồn
hay khơng là một công đoạn quan trọng để khảo sát tính đối xứng của bài toán Trong phần này, tôi sẽ nhắc lại các tiêu chuẩn để xác định một đại lượng có bảo
tồn hay khơng trong hai trường hợp cô điển và lượng tử [8]
Trang 13Ludn van tốt nghiệp đại học - Khoa Vật lý Trang 13
2.1.1 Xác định đại lượng vật lý bảo toàn trong cơ học cổ
điển
Đầu tiên trong giới hạn cõ điển, để nhận biết một đại lượng có bảo tồn hay khơng thì ta tìm đạo hàm toàn phần của đại lượng đó theo thời gian Giả sử ta gọi đại lượng 4 là đại lượng bảo toàn thì đại lượng này bắt buộc phải không thay đổi theo thời gian, hay nói cách khác, đạo hàm toàn phan cia dai lượng đó theo thời gian phải triệt tiêu: i
—=0 (2.1)
Trong trường hợp tổng quát, đại lượng vật lý 4 sẽ có thể biểu diễn như một hàm
của toạ độ r, xung lượng p và thời gian f Khai triển đạo hàm trong phương trình (2.1), ta có: MA _ Ø4Ðn,, 240p, , OA Ôn, 0t | Op, a Ot GA , 0A , OA or, Bo, dt trong đó, các chỉ số s = 1,2, 3 là các chỉ số hình chiêu lên các trục tọa độ Sử dụng hệ phương trình Hamilton ‘ OH Tạ = >? py (2.2) ~~ = ~ Or, ta suy ra:
dt Or, Op, Op,dr,
trong dé, {A.H}p la kí hiệu ngoặc Poisson Nếu đại lượng A không phụ thuộc tường mình vào thời gian, tức là Ø4/Ø! = 0, ta suy ra điều kiện để đại lượng này bảo toàn là:
OAOH OAOH |
Or, Op Op, Or,
Các phương trình (2.1) hoặc (2.3) chính là điều kiện để một đại lượng 4 bảo toàn trong cơ học có điển [4)|RÌ,
{A H}p = 0 (2.3)
Trang 14Luận uăn tốt nghiệp dai hoc - Khoa Vật lý Trang 14
2.1.2 Xác định đại lượng vật lý bảo toàn trong cơ học lượng tử
Trong cơ học lượng tử, ta có thể thiết lập một toán tử tương ứng với một đai lượng trong cơ cổ điển bang cách sử dụng những qui tắc tương ứng Theo đó,
ta có thể thay thế ngoặc Poisson {a,b} bằng (¡h)- l[a,b) Ta suy ra điều kiện để
một đại lượng được bảo toàn là khi toán tử tương ứng của nó Á thỏa mãn:
|A, H] = 0, (2.4)
tức là toán tử A phai giao hodn với Hamiltonian của hệ [3]
Những điều kiện này sẽ được tõi áp dụng cho phần tiếp theo để chứng minh
taoment xung lượng bảo toàn trong bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm
2.2 Đối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát cổ điển
Bài toán xuyên tâm tổng quát trong không gian ba chiều được mô tả bởi
phương trình (1.1):
r+ f(r)r =0,
trong đó, r là vector tọa độ và ƒ(r) là hàm võ hướng đặc trưng cho lực xuyên tâm
và phụ thuộc vào vị trí của vật Lây tích hữu hướng của r với phương trình trên, ta dễ dàng suy ra:
rxr+f(r)rxr = 0,
eorxFr = 0,
= Tứ xr) = 0 (2.5)
Gọi E = + x ? là vector moment xung lượng, từ phương trình (2.5) ta có thể kết luận rằng vector mmoment xung lượng là một vector bảo toàn Một cách tường minh,
Trang 15Luận uăn tốt nghiép dai hoc - Khoa Vat ly Trang 15 các thành phần của vector moinent xung lượng như sau: Ly = 12) ~ rape, (2.6) Lo = T3J\ — TIĐ3, (2.7) LÙỳ = TỊJP» ~= T3jt (2.8) Các thành phần này thỏa mãn hệ thức: {Lì La}p = La, (La.Lạ}p = Ly, {La.Li}p = la, hoặc viết gọn hơn (bi, bj}p = tkEị- (2.9)
Trong đó e¿;¿ là kí hiệu Levi-Civita Hệ thức liên hệ này cho phép ta kết luận rằng
bài toán xuyên tâm tổng quát có đối xứng là SU(2) hoặc SO(3) là nhóm đẳng cấu với SU(2), đối xứng ứng với phép quay trong không gian ba chiều
2.3 Đối xứng trong bài toán xuyên tâm tổng quát lượng tử
Ỏ giới hạn lượng tử, bài toán xuyên tâm tổng quát được mõ tả qua phương trình Schrödinger:
HV (r, 6,0) = {-ạ?” be ví} W(r, 6,8) = EV(r, 6,6), (2.10)
trong đó, Д = ؇ + ÿ‡ + Ø3 với p, = —ihd, 1A céc todn tit hinh chiéu xung lugng
Tit cong thức của vector moment xung lượng trong cổ điển, ta suy ra cơng
thức tốn tử mornent xung lượng trong giới hạn lượng tử với các thành phan: Ly = reps — rgpe,
Lo = rap — 11ps, (2.11)
L3 = x12 — repr,
Trang 16Luan van tốt nghiệp đại học - Khoa Vat ly Trang 16
hoặc dưới dạng tensor: L jk = +jÔy — TKD; (2.12) với liên hệ glữa hai cách định nghĩa: Ù¡è = tu (2.13) Từ định nghĩa của toán tử moment xung lượng, ta có thể đễ đàng suy ra: [Èjz z¡] = lỗjift — tỖM1;j, (2.14) [Lies] = 16m?» - tốmp; (2.15) Sử dụng hệ thức này, ta có thể thu được kết quả tính giao hoán tử [E;z #] = 0 (2.16)
Phương trình này chứng tỏ rằng moment xung lượng là đại lượng bảo tồn trong
bài tốn xun tâm ở giới hạn lượng tử
Tính toán trực tiếp các giao hoán tử của các thành phần moment xung
lượng này, ta suy ra hệ thức:
Dây là công thức giao hoán của nhóm SO(n) Ba thanh phan déc lap cha moment xung lượng ứng với đối xứng SO(3)
Từ những kết quả trên, ta kết luận rằng bài toán xuyên tâm tổng quát trong
không gian ba chiều có đối xứng ít nhất là SO(3) Những đại lượng bảo toàn khác (nếu có) sẽ bổ sung đối xứng cho bài toán và nâng đối xứng của bài toán lên các
nhóm cao hơn trong đó có chứa nhóm con SO(3)
Trang 17Chương 3
Mở rộng đôi xứng trong bài toán Kepler và bài toán dao động tử điều hòa
Trong số các bài toán xuyên tâm, có hai bài toán hết sức đặc biệt và quan trọng: bài toán Kepler và bài toán đao động tử điều hòa Ỏ giới hạn lượng tử, đây là hai bài toán hiếm hoi có được lời giải chính xác, và do đó là cơ sở cho rất nhiều
bài toán khác Còn ở giới hạn cổ điển, đây cũng là hai bài toán nhận được sự quan
tâm đặc biệt vì theo định lý Bertrand (1873)!, đây là hai trường hợp duy nhất
chuyển động trong không gian ba chiều có qui đạo kín Tính chất này đến những
năm 1960 đã được khảo sát lại?3, và chỉ ra rằng có tôn tại một số ít hệ siêu khả tích khác cũng cho qui đạo kín, dựa trên những nghiên cứu vẻ tính siêu khả tích của một hệ vật lý
Một hệ được gọi là khả tích (integrable) nếu nó có số đại lượng bảo toàn độc lập đúng bằng với số bậc tự do của nó Nếu một hệ có số đại lượng bảo toàn
!Ị Rertrand (1873), CN Math, Acad Set Paris TT, 849853
2J Pris, V.Mandrosov, Ya A Smorodinsky, M.Uhlir and P.Winternitz (1965), Phys.Lett 16, pp 354- 356
4P Winternitz Ya.A.Smorodinsky, M.Ublir and L.Fris (1966), Yad Fiz 4, pp 625-635 (ban dich
tiếng Anh: Sow J Nucl Phys 4 pp 444-450 (1967).)
Trang 18Luan van tat nghiép dat hoc - Khoa Vật lý Trang 18
doc lap nhiéu hon số bậc tự do, hệ này được gọi là siêu khả tích (superintegrable)
Giả sử rằng ta có một hệ vật lý trong không gian n chiêu có n + & đại lượng độc
lập được chứng tỏ bảo toàn Nêu & = 0 hệ được gọi là khả tích Khi k = 1, hệ gọi
là siêu khả tích cực tiểu Khi k = n — 1 hệ gọi là siêu khả tích cực đại Một hệ siêu khả tích có một số tính chất đặc biệt sau [10):
e Tắt cà các hệ siêu khả tích cổ điển đểu cho qui đạo chuyển động kín
e Trong giới hạn lượng tử, hệ siêu khả tích cho phổ năng lượng suy biến
e Phương trình Schrodinger của các hệ siêu khả tích có lời giải chính xác
e Nếu một hệ là siêu khả tích ở giới hạn cổ điển thì cũng siêu khả tích trong
giới hạn lượng tử và ngược lại
e Các đại lượng bảo toàn tạo ra đại số không Abel
Những tính chất này đã làm cho các hệ siêu khả tích đang rất được quan tâm trong công đơng vật lý tốn
Trong trường hợp của bài toán Kepler và dao động tử điều hòa, với ba thành phan của vector moment xung lượng là độc lập và bảo toàn cho phép ta nói rằng hệ này có tính khả tích Mở rộng hơn, một đối xứng an được tìm thấy, đó là vector
Runge-Lenz (trong bài toán Kepler) và tensor Runge-Lenz (trong bài toán dao
động tử điều hòa), làm cho số đại lượng bảo toàn của hệ tăng lên Với sự bổ sung các đối xứng ấn đó, như ta sẽ thấy trong những phần tiếp theo, các bài toán này
được chứng tỏ là siêu khả tích cực đại
3.1 Đối xứng ẩn trong bài toán Kepler cổ điển
Trong cơ học có điển, một hạt chuyển động trong trường xuyên tam có cường độ lực tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách (bài tốn lepler) sẽ tơn tại đại lượng bảo toàn là vector Runge-Lenz Dể chứng mình, ta xét bài toán Kepler có
phương trình chuyển động:
7 +¬ = Ú (3.1)
Trang 19
Luận tăn tốt nghiệp đại học - Khoa Vật lý ‘Trang 19
Trong chương 2, ta đã chứng minh duge vector moment xung lượng L = r «xr là đại hưựng bảo toàn Ta lẫy tích hữu hướng của (3.1) với E và sử dụng hệ thức
rx = -r3# với # là vector bán kính đơn vị ta thu được: ˆ.#w _ (#+4) xx = 0 = fe m2 œ7 xL + (rx L) = 0) erxL+ S(-r??) = 0 Fx L- pr = 0 oo SFL i) = 0 Dat A=rx L ~ pr la vector Runge-Lenz theo định nghĩa ở chương | ta suy ra d a4 = () (3.2)
Phương trình (3.2) chứng tỏ vector Runge-Lenz bảo toàn trong bài toán Kepler,
đác trưng cho một đối xứng ẩn của bài toán A px px A A mkt px A
Hình1, Vector Runge-Lenz tại bến vị trí (kí hiệu 1,2,3.4) trong một chuyển đông
ellipse quanh tam Trong hình, tâm hấp dẫn được đánh dẫu bởi diém tron mau den ma tai
đó các vector bán kính # xuất phát, vector E vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, các vector
Trang 20Ludn van tét nghiép dai hoc - Khoa Vat ly Trang 20
Đo các vector L, A đều bảo toàn nên ta dé dang suy ra vector Hamilton cing bao
toan,
Lấy tích vô hướng của phương trình (3.1) với ? ta cũng suy ra đại lượng
E= by? ~ /r là đại lượng bảo toàn tiếp theo Đây chính là biểu thức quen thuộc của năng lượng của bài toán Kepler
Như vậy với sự xuất hiện của đại lượng bảo toàn mới là vector Runge-Lenz và vector Hamilton, bài toán Iepler đã có mười đại lượng bảo toàn (ba thành phần
vector moinent xung lượng, ba thành phần vector Runge-Lenz, ba thành phần của
vector Hamilton va tong nang lượng) Trong số đó, ta thấy các thành phần của vector Hainilton định nghĩa từ hai vector moment xung lượng và Runge-Lenz nên
không phải là đại lượng bảo toàn độc lập Ngoài ra, bằng cách nhãn võ hướng các phương trình (3.2) và (3.3) với chính nó, ta suy ra được các liên hệ:
2
2 _ là KK" = 2E + 7
A® = QL7E + yp’
Các phương trình này cùng ba phương trình định nghĩa ba thanh phan vector
Hamilton cho phép ta giảm bớt số lượng đại lượng bảo toàn từ 10 chỉ còn 5
Với bài toán đang xét trong không gian n = 3 chiều, số đại lượng bảo toàn là
n+k=5=>k=2=n-—], ta có thể kết luận rằng bài toán Kepler có tính siêu
khả tích cực đại [10]
Phương trình quï đạo cũng có thể được tìm thấy mà không cần phải giải phương trình chuyển đông Nếu gọi Ø là góc giữa vector Runge-Lenz và trục r trong tọa độ cực, phép tích võ hướng giữa r và A cho ta: r-A rAcos@ = r-(txL)-j_r-f ¬ ur L? F =————— 4i + Á cos Phương trình (3.4) mõ tả qui đạo là một đường conic với trục tọa độ là một trong (3-4)
hai tiêu điểm, điều này phù hợp với những kết quả trước đây về qui đạo của hạt chuyển động trong bài toán Kepler,
Trang 21Luận van tot nghiép dar hoc - Khoa Vat ly Trang 21
Tiếp theo, để xây dựng nhóm đối xứng, ta sẽ xây dựng các hệ thức ngoặc Poisson giữa các thành phân của vector Runge-Lenz và vector moinent xung lượng Bằng cách thay biểu thức của các thành phan này vào ngoặc Poisson, ta thu được
{L,, Ly} = tL,
{A La} = tHuÁC (3.5)
{A, Ax} = —2Ee ji Lt
Từ những kết quả này ta chia thành hai trường hợp, đối xứng của bài toán Kepler ba chiéu la SO(4) néu E < 0 và là SO(3 1) nếu £ > 0 [7]
Sự mở rộng vector Runge-Lenz cho bài toán tương tự Kepler
Ta xét một hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có dạng tương tự như
bài toán Kepler nghĩa là lực vẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách có
phương trình chuyển đông có dạng tổng quát:
r+f(ryp)r=0 (3.6)
Do vector moment xung lượng bảo toàn, nên hạt chuyển động trong một mặt
phẳng, để đơn giản chuyển động, ta xét hạt chuyển động trong mặt phẳng hai chiêu với tọa độ cực (R8) với các mối quan hệ giữa hệ tọa độ này với hệ tọa độ Descates: # = icosy +jsiny, @ = -‡SỈn ¿ + j coS ý, ‡ = #C0Sự¿T— Øsin ự, j =rsing + ¿cœs¿ Vector Hamilton được bảo toàn có thể suy ra bằng cách lấy tích phân của phương trình chuyển động (3.6):
K = J?e+ [ srar=e+ [ rar (3.7)
Với những bài toán có thế tương tự như thế của bài toán Kepler, ta có thể tính tích phân ƒ ƒrdt bằng cách đối biến số lắy tích phân nhờ sử dụng hệ thức ¿ = L/r? va
Trang 22Luân uãn tốt nghiệp đạt học - Khoa Vật ly Trang 22
sứ dụng hàm r(¿}) xác định bằng phương trình:
fr = vl 9) 9
từ đó, ta có thế tính được tich phan trên:
[ma = i [ cos eve) de+3 [ singo(e) dy
=F ose f costa dé + sing [ sindv (6 ở)
+ự |-sme [e=án)di + cost [sin o(6) a3 = £ [ e(z- 6)dv (6) dé — @ | sin(e — b)u(d) dé, = Z(y)?- Z(y)è, trong đó, ẹ Ziv) = J*6)snb ~ ñ) dễ (3.8) ro v Z(y) = J v (8) cos (y — 8) dé (3.9) eo
V6i diéu kién dau: Z'(yo) = 0 vA Z(yo) = 0 ta thu được biểu thức của vector
Hamilton trong trường xuyên tâm tổng quát như sau:
Trang 23
Luan van tốt nghiệp đạt học - Khoa Vat ly Trang 23
Từ biểu thức vừa tìm được ở trên ta thấy rằng quỹ đạo chuyển động của hạt
trong trường xuyên tâm phụ thuộc độ lớn của vector moinent xung lượng, vector
lunge-Lenz và góc +
Ví dụ 1: Hạt chuyển động với phương trình ? + =r = 0 Từ phương trình chuyến động, ta suy ra s(¿) = a, từ đó tính tích phân thủ được:
Z(ý) = a(1— cos(y — ýn)): Z'{g) = asìn(¿ — Yo)
Ví dụ 2: Bài toán Kepler: ? + #‡r = 0 Từ phương trình chuyển động, ta
suy ra u(y) = £, ta tính được:
Z(y)=r — cos(y — #0)
Z'{y)= T sin( — go):
Chon yo = 0, ta suy ra vector Hamilton va Runge-Lenz:
neue
K=r LY?
A=rxL-Tr
3.2 Đối xứng ẩn trong bài toán Kepler lượng tử
Toán tử Hamilton của bài toán Kepler lượng tử có dạng: „lạ Z
H= 2P i =? (3.12)
trong đó, П = DÐ; VỚI py = oo (j = 1.2.3) là các toán tử hình chiếu xung lượng j
trên các trục tọa độ tương ứng Một cách tương tự như trong bài toán cổ điển, ta đưa ra toán tử vector Runge-Lenz như sau:
SW Pa an r
A=5(pxb-Lxp)- n= (3.13)
Trang 24Ludn van tét nghiép dai hoc - Khoa Vat ly Trang 24
Khai triển biểu thức trên ta có dạng tường rninh của các thanh phan vector nay:
- Dice Bk a vowels
A, = (Mi + Lier + 2Z—) (3.14)
Vai vector Runge-Lenz duce dinh nghia nhu (3.14) va vector moment xung lugng
được định nghĩa trong (2.11) ta có được các hệ thức giao hoán:
[AnH] = 0, (3.15)
l„.Ây} = iổ&Â; - tổ,Â,, (3.16)
[4 4,] = -?2iW, (3.17)
Hệ thức (3 15) chứng, tỏ vector Runge-Lenz là đại lượng bảo toàn
Để xây dựng nhóm đối xứng của bài toán, ta định nghĩa ma trận Ð là ma
tran 4 x 1 được xác định như sau:
DB = ( at we (3.18)
A, 0
trong d6, AL = (—2H)~'/2 Ay Từ các hệ thức (2.17), (3.16) và (3.17) ta chứng
mình được:
[Dus Dy, = ib,» Dyp + ibypDyr - iỗuøЄà ~ tỗ„AÐ ‘ (3.19)
nghĩa là các thành phần của Ð tạo thành nhóm SO(4) Nói cách khác, bài toán Kepler lượng tử có đối xứng SO(4) 5 SO(3)
3.3 Đối xứng ẩn trong bài toán dao động tử điều
hòa cõ điên
Bài toán dao động tử điều hòa cổ điển có phương trình chuyển động:
F +uiÝn = Ú (3.20)
Bên canÌi vector momient xung lượng Ù = r xứ bảo toàn, cũng nh bài toán Kepler, ta hi vong sé tim dude cac dai hương bảo toàn theo cách tương tự
Trang 25Luận uãn tắt nghiệp dai hoc - Khoa Vat ly Trang 25
Nhân vô hướng r vào hai về phương trình (3.20) ta được:
rerptu'r-r = 0 ee ee = 0
1d ,
® s3p(P:p+er-r) = 0
Dat W = 3 (p-p+u?r -r) là năng lượng của hệ, ở đây p = ? là xung lượng của
hat, ta suy ra dW/ dt = 0 N6i cach khac, nang lượng của hệ là một đại lượng bảo tồn
Khác với bài tốn Kepler, trong bai toan dao dong tu diéu hòa không thể
tìm được một vector bảo toàn tương tự như vector Runge-Lenz [L1] Thay vào đó,
một tensor hạng 2 được giới thiệu (còn gọi là tensor Runge-Lenz) [2]:
Ay = (Pip; + w*rr;), t,j = 1,2,3 (3.21) Với định nghĩa như trên, bằng cách tính trực tiếp các ngoặc Poisson của 4;; với
ham Hamilton H = }(p;p; + ä#?r;r;), ta có thế chứng mình được:
{Ai; H}p = 0, (3.22)
chứng tỏ rằng tensor 4,; là một đại lượng bảo toàn Cũng từ biểu thức định nghĩa
của tensor này, ta dé dang suy ra đây phải là một tensor hạng 2 đối xứng, do đó chỉ có 6 thành phẫn độc lập với nhau
Như vậy, ta đã có 10 đại lượng bảo toàn (6 thành phần tensor Runge-Lenz, 3 thành phần moment xung lượng và năng lượng) quá nhiều đối với một hệ chuyển
động trong không gian ba chiều Các hệ thức sau đãy sẽ giúp ta giảm số đại lượng
bảo toàn độc lập:
hgh; = LịÀy»#Q, (3.23)
AyAe = WAu + z6®(Lil¿ — 412), (3.24)
TraceA = W, (3.25)
trong đó, 4; % la ki hiéu Kronecker Cac hé thite trén gidp ta gidm sé dai lugng bảo
toàn từ 10 xuống 5, và do đó ta có thể kết luận bài toán đao động tử điều hòa ba
Trang 26Luận tân tắt nghiệp đại học - Khoa Vật ly Trang 26 chiến cũng có tính siêu khả tích [2] Một hệ thức quan trọng có thể chimg minh được là: : i? r, (i dij - Aj) yr = > Plufdng trình này chỉ chứa các thành phần tọa độ và các giá trị không đổi nên (3.26) chính là phương trình qui đạo của bài toán này
Tiếp theo ta sẽ đi tìm nhóm đối xứng của bài toán này Với chú ý rằng vết
(Trace} của tensor 4 chính là Hamiltonian của bài toán ta còn lại 5 thành phần
của tensor này độc lập và giao hoán với Hamiltonian Để thuận tiên, ta đưa ra
năm đại lượng mới từ các thành phản độc lập của tensor Runge-Lenz như sau [2]:
Ag = 7Ì(24a— Ai — Az),
Ap = =tÌ(Atis + 4g), e= +1, (3.27)
An = w {Aj — Az + 2ieAj2), c=+tl,
Dòng thời ta cũng định nghĩa ba đại lugng mdi tir cdc thanh phan cia moment xung lượng là Lạ và L, = Lị +¡cL¿, ¢ = +1 Ta c6 thé thu được các biểu thức giao hoán sau:
{L3, Ao} = {Ao, Aa} = {Ac, Arc} = (Le, Are} = 0,
(Le, Loe} = ~4{ A Ag} = 5 Are, Ate} = Dele, {Le,A-<} = Ao,
c(Ea, L,} = — (Áo, A.} = (Ane Ane} = be
‹{Ls, A,} = ~g(Ao, ) - Gib es Ane} = Ay,
€{ Lg, Ang = -2{ Ag, Le} = 2A»
Với hệ thức ngoặc Poisson như trên, bộ § thành phần này tạo thành nhóm SU(3)
J1] Đây cũng là nhóm đối xứng của bài toán, trong đó, nhóm con SO(3) là nhóm gồm các thành phẫn Lạ L, xây dựng nên
(3.28)
Trang 27Luận tăn tắt nghiệp đại học - Khoa Vat hj Trang 27
3.4 Đối xứng ấn trong bài toán dao động tử điều hòa lượng tử
Hamiltonian của bài toán đao động tử điều hòa lượng tử cũng có dạng tương
tự như trong bài toán cõ điển:
fi = =5.p+ sur r® >) (3.29)
trong d6, p là toán tử xung lượng có các hình chiến có dạng j¿ = -ihØ, với k = 1,2.3 Từ định nghĩa trên, ta suy ra hệ thức giao hoán giữa xung lượng mà
tọa độ:
|P;.rxÌ = -tơj [P.Ðx| = [r;.rx] = 0, j,k =1,2,3 (3.30)
Trong bài toán đao động tử điều hòa cổ điển, ta cũng đưa ra các đại lượng bảo toàn là moment xung lượng È như định nghĩa ở chương 2 và tensor Runge-Lenz
có dạng:
Au = 5 (Bổ; + uÊnø)), (3.31)
Sử dụng các hệ thức giao hoán giữa xung lượng và tọa độ để tính giao hoán tử giữa các thành phần tensor Runge-Lenz, ta thu được kết quả:
[H, Aja] = 0, (3.32)
chứng tỏ tensor Runge-Lenz bảo toàn và đặc trưng cho một đối xứng ẩn trong bài
toán
Nhóm đối xứng của bài toán dao động tử điểu hòa cổ điển cũng được xây dựng từ những toán tử tương tự như trong bài toán cổ điển, và thỏa mãn hệ thức
giao hoán giống như (3.28), trong đó các ngoặc Poisson được thay bằng ngoặc giao hoán tử và nhân cho thừa số (¡h)~! Từ đãy, ta cũng kết luận rằng bài toán dao động tử điển hòa có đối xứng SU(3) 5 SO(3)
Trang 28Kết luận và hướng phát
triên đề tài
Bài toán trường xuyên tâm được thừa nhận rộng rãi có đối xứng SO(3) ứng
với phép quay trong không gian ba chiều Trong những bài toán với thế năng cụ
thể, sẽ có những đối xứng khác được bồ sung và nãng đổi xứng của bài toán lên
cao hơn Qua luận văn này, tôi đã thực hiện được các công việc sau:
- Hệ thông lại được cách xác định các đại lượng bảo tồn trong bài tốn xuyên
tâm
Khảo sát lại bài toán xuyên tâm tổng quát và chứng tỏ rằng đối xứng thấp
nhất của một bài toán xuyên tâm trong không gian ba chiều là SO(3)
Tìm ra đối xứng của hai bài toán xuyên tâm điển hình là bài toán Kepler và
bài toán đao động tử điều hoà là SO(4) và SU(3) chứa nhóm con SO(3)
Bên cạnh đó, luận văn cũng còn nhiều hạn chế:
- Chỉ mới sử dụng phương pháp đại số, chưa có sự so sánh với các phương pháp
khác
Chưa áp dụng khảo sát tình chất đối xứng cho các bài toán xuyên tâm phức Lập
Trong quả trình nghiên cứu, chúng tôi nhận thây còn rất nhiễu vẫn đề thú
vị nhưng chưa có thời gian tìm hiểu như: tính siêu khả tích của các bài toán xuyên
Trang 29Luận van tét nghiép dai hoc - Khoa Vat ly Trang 29
tâm, sự giải thích phổ năng lượng suy biến trên cơ sở lý thuyết nhóm đối với các bài toán siêu khả tích, Dây sẽ là những hướng phát triển tiếp theo cho đề tài
này
Trang 30Tai liéu tham khao
[1] M.S Byrd (1997), “The geometry of SU(3)", arXiv;physics/9708015
[2] D.M Fradkin (1965), “hree-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator and SU3", Am J Phys 33, pp 207-211
(3| Hoàng Đũng (1999), Nhập môn Cơ học lượng tử, NXB giáo dục, Tp Hỗ Chí Minh
(4| F lachello (2006), “Lie algebras and applications”, Lect Note Phys 708, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
|5| Goldstein H (1975), “Prehistory of the “Runge-Lenz” vector”, Am J Phys 43 (8), pp 737-738
(6) Goldstein H (1976), “More on the prehistory of the Laplace or Runge-Lenz
vector”, Am J Phys 44 (11), pp 1123-1124
[7] P.G.L Leach and G.P Flessas (2003), “Generalisations of the Laplace-Runge-
Lenz vector”, JNMP 10(3), pp 340-423
[8] Lé Quang Toai (2007), Co hoc ly thuyét, NXB Dai học quốc gia, Tp Hỗ Chí
Minh
(9] K.S Mallesh, S Chaturvedi, V Balakrishman, R Simon, N Mukunda (2011), “Symmetries and consevation laws in classical and quantum mechanics’, Reso-
nance 16(3), pp 254-273
Trang 31Ludn van tốt nghiệp đạt học - Khoa Vat ly Trang 31 (10) I Marquette and P Winternitz (2008), “Superintegrable systems with third-
order integrals of motion”, J Phys A: Math Theor 41, 304031
[11] A_L Salas-Brito, H.N Nufiez-Yepez, R.P Martinez, and Y Romero (1997),
“Superintegrability in Classical Mechanics: A Contemporary Approach to Bertrand’s Theorem”, Jnt Jour Mod Phys A 12(1), pp 271-276