MĐ A U 1 Lýdochonđetài Lý thuyet phân bo giá trị (hay còn goi là Lý thuyet Nevanlinna) đãđượchìnhthànhvàpháttrientrongsuotganm®tthe kqua Có the coi năm 1925 là c®t moc đánh dau sự ra đời của Lý thuyet[.]
MĐ A U Lýdochonđetài Lý thuyet phân bo giá trị (hay cịn goi Lý thuyet Nevanlinna) đãđượchìnhthànhvàpháttrientrongsuotganm®tthe kqua Có the coi năm 1925 c®t moc đánh dau đời Lý thuyet nàykhi R Nevanlinna công bo báo ve phân bo giá trị hàm phân hìnhtrênmtphȁngphác C®t moc quan tiep theo Lý thuyet Nevanlinna năm 1933khi mà H Cartan tőng quát ket Nevanlinna cho đường congchỉnh hình khơng gian xạ ảnh phác có ảnh giao với m®t ho siêuphȁngởvịtrítőngqt Trong gan m®t thekqua, Lý thuyet Nevanlinna liên tục thu hút đượcsựquantâmcủađơngđảocácnhàtốnhocởcảhaikhíacạnh:pháttrienlý thuyetn®itạivàtìmkiemnhǎngmoiliênhvới lĩnh vực khác củaTốnhoc N®id u n g c o t l õ i c ủ a L ý t h u y e t N e v a n l i n n a t pt r u n g h a i đ ị n h l ý chính,đượcgoilàcácĐịnhlýcơbảnthánhatvàĐịnhlýcơbảntháhai Định lý thá nhat suy tà công thác Jensen nói chúngchúng ta hieu biet tương đoi rõ ve Tuy nhiên, Định lý thá haithìk h n g n h v y.V i ct h i e t l pĐ ị n h l ý c b ả n t h h a i l r a t k h ó v chúngtamớichỉthietlpđượcnótrongm®tsttrườnghợp Có the nói lịch sả phát trien suot gan m®t thekqua LýthuyetNevanlinnaganbómtthietvớivicthietlpcácdạngcủaĐịnh lý thá hai với ket tiêu bieu H Cartan cho đường congchỉnh hình không gian xạ ảnh phác với mục tiêu siêu phȁng ởvịtrítőngqt,E.Nochkachođườngcongchỉnhhìnhtrongkhơnggia nxạả n h p h c v i m ụ c ti ê u l c c s i ê u p h ȁ n g v ị t r í d i t ő n g q u t , W StollvàH.Fujimotochốnhxạphânhìnhnhieubienphácvàokhơnggianxạảnhphácvớimụctiêulàcácsiêu phȁng vị trí tőng quát, W Stoll- M.Ruv M R u c h o đ n g c o n g c hỉ nh hì nh t r o n g k hô ng g i a n x ả n h p h c vớimụctiêulà cácsiêuphȁngdiđ®ng Gan đây, nhờ vi c ket hợp tien b® Lý thuyet xap xỉ Diophantinetrong cơng trình Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretii, với ky thu tcủaHìnhhocđạisovàĐạisogiaohốn,Ru,Dethloff-Tan,Dethloff-TanThaiđãthietlpcácdạngđịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpsiêumt.Các ketquảcủacáctácgiảtrênlànguoncảmhángvàlàđịnhhướngcách tiep c n cho nhieu tác giả sau vi c nghiên cáu Định lý cơbản thá hai Lý thuyet Nevanlinna định lý khơng gian conSchmidtcủaLýthuyetxapxỉDiophantine.Trongboicảnhđóchúngtơichonh ướngnghiêncáuthánhatcủađetàilunánlànghiêncáuĐịnhlýcơbảntháhaicho trườnghợpsiêumt Song song với vi c phát trien n®i Lý thuyet Nevanlinna, vi c tìmkiemmoiliênhc ủ a nóvớicáclĩnhvựckháccủatốnhoccũngđượcnhieunhà tốn hocquantâm.Năm1926,R.Nevanlinnathietlpm®tángdụngcủa Lý thuyet phân bo giá trị toán ve xác định nhat hàmphân hình m t phȁng phác m®t đieu ki n ve ảnh ngược cácgiátrịphânbit.Cụthngđãchángminhrang:Neuhaihàmphânhìnhkháchang trênmtphȁngphác cócùngảnhngược(khơngtính b®i)của5giátrịphânbit thìchúngtrùngnhau.Năm1975,H.Fujimotovàsauđó vào năm 1983, L Smiley lan lượt mở r®ng ket Nevanlinnatheo hướng khác sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khơnggian xạ ảnh phác có ảnh ngược (với b®i tính tới mác củacácsiêuphȁngởvịtrítőngqt.VanđenàyđượcH.Fujimoto,S.Ji,W đó) Stoll tiep tục quan tâm nhieu cơng trình sau Gan đây, bang vi ccải tien đáng ke phương pháp tác giả trước với kythutti n h x ả o , c c t c g i ả Đ o Đ c T h i , T r a n V ă n T a n , S ĩ Đ c Quang, G Dethloff, Z Chen Q Yan thu nhieu ket sâu sac ve chủđe này, theo hướng tinh giảm đáng ke đieu ki n đưa ra, đ c bi t sosiêuphȁngcanthiet Tiep noi nghiên cáu này, chon hướng nghiên cáu thá haicủa đe tài lu n án thiet l p định lý ve suy bien tuyen tính củatích ánh xạ phân hình tàCmvàoCP n đieu ki n có ảnhngượccủam®tstcácsiêuphȁng Mncđ í c h n g h i ê n c fí u Năm 1997, P Vojta M Ru thiet l p định lý thá hai chotrường hợp đường cong nguyên khơng suy bien tuyen tính khơnggian xạ ảnh với mục tiêu siêu phȁng tùy ý (thay vìởvị trí tőngqt) Mục đích thá nhat chúng tơi mở r®ng ket sangtrường hợp đường cong chỉnh hình khơng suy bien đại so đa tạp xạảnhphácvớimụctiêu làcácsiêumt Năm 1985, H Fujimoto nghiên cáu phân bo giá tr ca ỏnh x phõnhỡnhtmđtatpKăahlervokhụnggianxnhphỏcvimctiờulcỏcsiờ u phng v trớ tőng quát Mục đích thá hai lu n án mở r®ng ketquả sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại so xạ ảnh với mục tiêu làcácsiêumtởvịtrídướitőngquát Mục đích thá ba lu n án thiet l p định lý ve tính suy bien tuyentính tích ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh có ảnhngượccủam®tstcácsiêuphȁngởvịtrítőngqt Đoitưngvàphạmvinghiêncfíu Định lý thá hai Lý thuyet Nevanlinna dụng Lýthuyet Nevanlinna vào vi c nghiên cáu toán xác định nhat ánh xạphânhình 4 Phươngphápnghiêncfíu Chúng tơi dùng ky thu t Giải tích phác, Hình hoc đại so, XapxỉDiophantine Cácketquảđạtđưcvàjnghĩacủađe tài - Thiet l p m®t dạng mở r®ng Định lý thá hai tớitrườngh ợp c c si ê u m tt ùy ý K e t qu ả n y l àm ® t m r ® ng k e t q u ả củaVojta,Rutàtrườnghợpsiêuphȁng sangsiêumt - Thiet l p định lý ve quan hso khuyet, phn ỏnh s phõn bogiỏtrcaỏnhxphõnhỡnhtmđtatpKăahlervoatpisoxnhvim ctiờulcỏcsiờumtvtrớditngquỏt.NúlmđtsmrđngketqucaFujimo tottrnghpsiờuphngsangsiờumt - Thietl pđược định lý ve tính suy bien tuyen tính tích ánh vào n xạphân hình khơng suy bien tuyen tính tàCm CP có ảnh ngượccủa m®t so siêu phȁng vị trí tőng qt Ket tőng qt ketquảcủaJitớitrườnghợpcóítsiêuphȁnghơn Cautrúclunán Ngồicácphanmởđau,tőngquan,ketlunvàkiennghị,lunánbaogom3ch ương: - Chương1 : Đ nhl ý c b ả n t h ú h a i c h o đ n g c o n g n g u y ê n t r o n g đ a tạpx ả n h , v i m ự c ti ê u l c c s i ê u m ¾ t t ự y ý - Chng2:SphõnbogiỏtrcaỏnhxphõnhỡnhtựatpKăahlerayv o a t p x ả n h , v i m ự c ti ê u l c c s i ê u m ¾ t - Chương3:Tính s u y b i e n t u y e n tí n h c ủ a tí c h c c n h x p h â n h ì n h t ù Cm vào CP n TONGQU A N Trướchetchúngtađiemlạicácsựki ntiêubieucủaLýthuyetNevanlinna vi c thiet l p định lý thá hai cho trường hợpđườngcongtrongkhônggianxạảnhgiaocácsiêuphȁng: - Năm 1925, Nevanlinna thiet l p định lý thá hai cho hàm phânhình khác hang m t phȁng phác, với mục tiêu điem cáckhơngđiemđượcngatb®ibởi1(nóicáchkháckhơngtính b®i) - Năm 1986, Steinmetz mở r®ng ket Nevanlinna sangtrường hợp mục tiêu hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm canxem xét phân bo giá trị) Tuy v y, định lý thá hai củaSteinmetz, b®i giao khơng ngat (nói cách khác, hàm đem, tatính b®i khơng điem tương áng) Năm 2006, Yamanoi đạt đượcđịnh lý thá hai cho trường hợp mục tiêu hàm phân hình"nhỏ"vàb®icũngđượcngatbởi1nhưtrongketquảcủaNevanlinna - Năm 1933, Cartan mở r®ng ket của Nevanlinna sang trường hợpđườngc o n g c h ỉ n h h ì n h k h ô n g s u y b i e n t u y e n tí n h t r o n g k h ô n g g i a n x ảnhp h c v c c m ụ c ti ê u l c c s i ê u p h ȁ n g v ị t r í t ő n g q u t K e t q u ả củaCartankhôngchỉđánhdausựmởđauchovicnghiêncáuLýthuyetphân bo giá trị cho trường hợp chieu cao mà phương pháp Cartan (cókhởinguontàNevanlinna) cịncóảnhhưởngtrựctieptớicáchtiepcnvan đe nhieu tác giả sau Chúng sě mơ tả rõ ket quantrongnàycủaCartanphía sau - Năm1953,Stollthietlpđịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpánhxạ chỉnh hình khơng suy bien tuyen tính tàCm(nhieu bien) vào khơnggianxạảnhphácvàcácmụctiêulàcácsiêuphȁngởvịtrítőngqt - Năm 1983, Nochka thiet l p định lý thá hai cho đường congchỉnh hình khác hang không gian xạ ảnh với mục tiêu siêuphȁng vị trí tőng qt (nói cách khác đường cong chỉnh hình trongkhơnggianxạảnhkhơngsuybientuyentínhvàmụctiêulàcácsiêuphȁngởvịt rídướitőngqt).KetquảcủaNochkagiảiquyettronvengiảthuyetnăm1933của Cartan - Năm 1985, Fujimoto nghiên cáu phân bo giá trị ca ỏnh x phõnhỡnhtmđtatpKăahlervokhụnggianxnhphỏcvmctiờulcỏcsiờu phngdiđngvtrớtngquỏtvditngquỏt - Nm 1991, Ru-Stoll thiet l p định lý thá hai cho trường hợpmụctiêulàcácsiêu phȁngdiđ®ngnhỏ - Năm 1997, Vojta, Ru thiet l p dạng mở r®ng định lý bảntháhaichotrườnghợphocácsiêuphȁngtùyý - Năm 2004, Ru thiet l p định lý thá hai cho đường cong chỉnhhình khơng suy bien đại so không gian xạ ảnh phác mục tiêu làcácsiêumtởvịtrítőngquát - Năm 2009, Ru thiet l p định lý thá hai cho đường cong chỉnhhìnhkhơngsuybienđạisotrongđatạpđạisoxạảnhphácvàmụcti êulàcácsiêumtởvịtrítőng qt - Năm 2010, Dethloff-Tan thiet l p định lý thá hai cho ánh xạphân hình khơng suy bien đại so khơng gian xạ ảnh phác mụctiêulàcácsiêumtdiđ®ng - Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiet l p định lý thá hai chođường cong chỉnh hình khơng suy bien đại so đa tạp đại so xạ ảnhphácvàmụctiêulàcácsiêum tởvịtrídướitőngquát Bây sě phân tích rõ khó khăn g p phải nghiêncáuđịnhlý c ơbản thá hai c ho trư ờnghợp siêu mt.Tabat đau vớ iket quảvàcáchtiep cncủaCartan Địnhlj0.0.1(Định lý thá hai Cartan).Choflà m®t ánhxạchínhhìnhkhơngsuybientuyentínhtùCvàoCP n (cónghĩaảnhcủafkhơn g nam bat kỳ siêu phȁngnào) Gi sHj(1jq)l cỏcsiờuphngtrongCP n vtrớtngquỏt.Khiú, ă(qn1)Tf(r) q N[n] Hj(f) (r)+o(Tf(r)) j=1 [n] ởđóT f(r),N (f,Hj) (r)lanlượtlàcáchàmđctrưng,hàmđemcủaf,các kháinimnàysěđượcđịnhnghĩatrongcácchươngsau Cácbőđesauđóngvaitrịquantrongtrongphépchángminhđịnhlýtrên Bođ e ( C ô n g t h c J e n s e n ) Đ o i v i h m p h â n h ì n h ϕ b a t k ỳ k h c đongnha tkh ơng ,ta lnc ó ∫ N( r)= log|ϕ|dθ+O(1),vớim o i r >0, ϕ |z|=r 2π ớđóN ϕ(r)làhàmđemcáckhơngđiemcủaϕ Bo đe 0.0.3(Bő đe đạo hàm Logarit).Choflà ánh xạ không suy bientuyentí n h t ù C v o CP n v i b i e u d i e n r ú t g o n f = (f0: ···: f n),v c h o H1, ,HqlcỏcsiờuphngtrongCPn vt r tngquỏt.Khiútoỏnt WronskianW(f):=W(f0, ,fn) =det ă|z|=r log+ |W(f)| |Hj0(f)···Hjn(f)| dfkd i zk /≡0và 0≤k,i≤n dθ=o(T f (r)), vớimoi1≤j0 0,t o n t i m ® t s o n g u y ê n d n g M p h ự t h u ® c v o ,dj,q,n,degVsaoc h o max ă ă KK j∈Kd i j λDj(f(re))θ ∫ rdt max Σ d νD( z)−ν[M](z) θ + j dj t K∈Kj ∈K,|z|0,t o n t i m ® t s o nguyênd n g M chíp h ự t h u ® c v o ϵ , d,q,n,degV,s a o c h o rdt max 1 i ă D(j z)[M](z) max + ă d d t RRj λDj(f(re)) ∈R,|z|