Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS MAI VĂN TƢ NGHỆ AN-2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: Các kiến thức giải tích – tổ hợp Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải toán tổ hợp 2.1 Phƣơng pháp phân tích 2.2.Phƣơng pháp song ánh 2.3 Phƣơng pháp truy hồi 2.4 Phƣơng pháp đồ thị 2.5 Phƣơng pháp hàm sinh 2.6 Phƣơng pháp tổng hợp Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.PHÉP ĐẾM 1.1 QUY TẮC CỘNG 1.2 QUY TẮC CỘNG CHO n TẬP HỢP 1.3 QUY TẮC NHÂN 1.4 QUI TẮC NHÂN CHO n TẬP HỢP 1.4.1 Mệnh đề 1.5 Hệ 1.6 SỐ PHÂN TỬ CỦA HỢP HAI HOẶC BA TẬP HỢP HỮU HẠN .4 1.6.1 Trƣờng hợp hai tập hợp 1.6.2 Trƣờng hợp ba tập hợp TỔ HỢP KHÔNG LẶP 2.1 TỔ HỢP (TỔ HỢP KHÔNG LẶP) 2.2 TỔ HỢP 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Nhận xét 2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA CÁC SỐ Cmk HOÁN VỊ 3.1 HỐN VỊ KHƠNG LẶP 3.1.1.Hoán vị 3.1.2 Định lí 3.1.3 Mệnh đề CHỈNH HỢP 4.1.CHỈNH HỢP 4.2.1 Định lí 4.2.2 Mệnh đề CHỈNH HỢP CÓ LẶP 5.1 Định nghĩa HỐN VỊ CĨ LẶP 6.1 HỐN VỊ CĨ LẶP 6.1.1 Định nghĩa 6.1.2 Định lí 6.1.3 Mệnh đề 10 6.2.HỐN VỊ VỊNG QUANH( HỐN VỊ TRỊN) 10 6.2.1 Ví dụ dẫn dắt 10 6.2.2 Mệnh đề 10 TỔ HỢP LẶP 11 7.1 Định nghĩa 11 7.2 Định lí 11 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT 11 8.1 Nguyên lý bù trừ 11 8.2 Định lí 11 Chƣơng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỔ HỢP 12 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 12 2.1.1 Nội dung phƣơng pháp 12 2.1.2 Các ứng dụng 12 2.2 PHƢƠNG PHÁP SONG ÁNH 18 2.2.1 Nội dung phƣơng pháp 18 2.2.2 Các ứng dụng 19 2.3 PHƢƠNG PHÁP TRUY HỒI 25 2.3.1 Nội dung phƣơng pháp 25 2.3.2 Các ứng dụng 25 2.4.PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ 30 C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.4.1 Nội dung phƣơng pháp 30 2.4.2 Các ứng dụng 31 2.5 PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH 37 2.5.1 Nội dung phƣơng pháp 37 2.5.2 Các ứng dụng 39 2.6.PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP 45 2.6.1 Nội dung phƣơng pháp 45 2.6.2 Các ứng dụng 45 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 53 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an LỜI NĨI ĐẦU Trong kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, cấp khu vực Olympic Tốn quốc tế….thì hầu nhƣ lần có tốn tổ hợp Đây tốn khó, gây nhiều khó khăn cho học sinh giải toán thuộc dạng Vì thế, luận văn chúng tơi muốn nêu số phƣơng pháp giải toán tổ hợp nhằm giúp em học sinh bạn đồng nghiệp tìm cách giải thích hợp cho toán dạng Luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1: Các kiến thức giải tích – tổ hợp Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày số kiến thức tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, cơng thức nhị thức Newton, ngun lí bù trừ tổng quát Đó kiến thức nhằm giúp cho việc giải toán chƣơng Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải toán tổ hợp Đây nội dung luận văn Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày phƣơng pháp giải tốn tổ hợp 2.1 Phƣơng pháp phân tích 2.1.1 Phƣơng pháp giải 2.1.2 Bài toán vận dụng 2.2.Phƣơng pháp song ánh 2.2.1 Phƣơng pháp giải 2.2.2 Bài toán vận dụng 2.3 Phƣơng pháp truy hồi 2.3.1 Phƣơng pháp giải 2.3.2 Các toán vận dụng 2.4 Phƣơng pháp đồ thị 2.4.1 Phƣơng pháp giải Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.4.2 Các toán vận dụng 2.5 Phƣơng pháp hàm sinh 2.5.1 Phƣơng pháp giải 2.5.1 Bài toán vận dụng 2.6 Phƣơng pháp tổng hợp Luận văn đƣợc thực hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh Nhân dịp này, em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Mai Văn Tƣ, ngƣời đặt vấn đề, định hƣớng nghiên cứu trực tiếp hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Nhân đây, em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Đào tạo sau đại học, thầy cô giáo Khoa Tốn Bộ mơn Đại số, Trƣờng Đại học Vinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu tập thể giáo viên trƣờng THPT Cù Huy Cận, Vũ Quang, Hà Tĩnh tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp từ thầy giáo, giáo đồng nghiệp Nghệ An, tháng 11 – 2011 Tác giả Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.PHÉP ĐẾM 1.1 QUY TẮC CỘNG Cho A, B hai tập hữu hạn A B A B A B 1.2 QUY TẮC CỘNG CHO n TẬP HỢP Nếu A1, A2 , , An tập hữu hạn đôi rời nhau, tức Ai Aj i j A1 An A1 A2 An Ở Ai lực lƣợng ( số phần tử) tập Ai Nhận xét : Giả sử ta có n hành động loại trừ lẫn H1, , H n , tức xảy hai hành động đồng thời Ta giả sử hành động H i có cách thực Khi đó, hành động H : H1 xảy ra, H xảy ra,…hoặc H n xảy ra, có thảy a1 a2 an cách thực 1.3 QUY TẮC NHÂN Cho A, B hai tập hữu hạn A B A B A B 1.4 QUI TẮC NHÂN CHO n TẬP HỢP Nếu A1 , , An tập hữu hạn A1 An tích Đề-các tập đó, thì: A1 A2 An A1 A2 An Nhận xét : Giả sử hành động H bao gồm n giai đoạn độc lập với nhau, giai đoạn thứ i hành động H i Ta giả sử hành động H i có cách thực Khi đó, hành động H có a1.a2 an cách thực Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 1.4.1 Mệnh đề Số ánh xạ ánh xạ từ tập hợp X có k phần tử tới tập Y phần m phần tử m k 1.5 Hệ Qui tắc trừ A tập hữu hạn, B tập A Đặt B A B Ta có: B A B A B 1.6 SỐ PHÂN TỬ CỦA HỢP HAI HOẶC BA TẬP HỢP HỮU HẠN 1.6.1 Trƣờng hợp hai tập hợp Cho hai tập hữu hạn A B ta có cơng thức: A B A B A B (1) 1.6.2 Trƣờng hợp ba tập hợp A B C A B C A B AC B C A B C 1.6.2.1 Hệ Với A , B hai tập hữu hạn bất kì, ta ln có A B A B Đẳng thức A B A B xảy A B 1.6.2.2 Hệ Giả sử A , B hai tập hữu hạn B A B A 1.6.2.3.Mệnh đề (Đề thi HSG Quốc gia THPT Bảng B - 2005) Tìm hiểu kết học tập lớp học, người ta thấy: Hơn số học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn đồng thời đạt điểm giỏi môn Vật lí Hơn số học sinh đạt điểm giỏi mơn Vật lí đồng thời đạt điểm giỏi môn Văn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Hơn số học sinh đạt điểm giỏi môn Văn đồng thời đạt điểm giỏi môn Lịch sử Hơn số học sinh đạt điểm giỏi môn Lịch sử đồng thời đạt điểm giỏi mơn Tốn Khi lớp học nói có học sinh đạt điểm giỏi bốn mơn Tốn, Vật lí, Văn Lịch sử Chứng minh: Kí hiệu T , L,V , S lần lƣợt tập hợp học sinh giỏi Tốn, Vật lí, Văn, Lịch sử Theo đề bài, ta có: T L T , L V L V S V , S T S (*) Ta giải toán phƣơng pháp phản chứng Giả sử khơng có học sinh đạt điểm giỏi bốn mơn Tốn, Vật lí, Văn Lịch sử, ta còn: T V L S Nếu T V T L L V T S S V Mà T L L V L T S S V S nên T L L V L Và T S S V S Suy T L L V T S S V L S (1) Mặt khác, từ (*) ta có: T L L V T S S V T L V S Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Cho u số thực k số nguyên không âm Ta định nghĩa u k k u u 1u 2 u k k! k = Với công thức hệ số nhị thức mở rộng đƣợc định nghĩa nhƣ ta có khai triển 1 x u x k k u k 0 u số thực tùy ý x 2.5.2 Các ứng dụng Đối với số toán đếm, ta qui xác định công thức tƣờng minh dãy số công thức truy hồi Sử dụng hàm sinh dãy, việc khai triển hàm số hai cách khác so sánh hệ số lũy thừa x , ta dễ dàng xác định đƣợc công thức tƣờng minh dãy cho Đó ý tƣởng phƣơng pháp hàm sinh Để làm quen với phƣơng pháp này, ta làm số toán sau: 2.5.2.1 Bài toán 1: Xét dãy Fibonacci a0 a1 1, an an1 an2 , n Tìm cơng thức tƣờng minh hạng số tổng quát x n ? Lời giải: Xét chuỗi: S x a0 a1 x a x Ta có : S x x a0 a1 x a1 a x x a0 a1 x a x x a0 a1 x a x xSx x S x 39 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Suy S x 1 x x2 Bây ta khai triển hàm số S x theo chuỗi lũy thừa Để khai triển S x theo chuỗi lũy thừa ta biểu diễn S x qua hàm Ta có: S x Trong đó: r1 1 r1 x 1 r2 x r1 r2 r1 r2 r1 x r2 x 1 , r2 1 Do đó: S x 1` n n r1 r1 x r2 r2n x n r1 r2 n 0 n 0 r1 r2 = r n 0 n 1 r2n 1 x n So sánh hệ số x n ta suy ta: n 1 n 1 1 n 1 n 1 an r1 r2 r1 r2 2.5.2.2 Bài toán Cho dãy an xác định bởi: a0 1, an 3an1 2n , n Chứng minh rằng: an 3n1 2n1 Lời giải:Xét chuỗi S x a0 a1x a2 x Ta có: 40 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an S x a0 3a0 x 3a1 22 x = 3x a0 a1 x a2 x 1 x 22 x = 3xS x 1 2x Suy S x 1 x 1 3x Ta có S x 3x x Do S x 3 3x 2 x 3n1 2n1 x n n n 0 n n 0 n 0 n1 n1 Vậy an 2.5.2.3 Bài toán 3: giả sử ta có lƣợng đủ lớn loại hoa gồm táo, mận, lê, đào Hỏi có cách xếp giỏ gồm n trái thỏa mãn yêu cầu sau đây: Số táo phải chẵn Số mận phải chia hết cho Số lê không vƣợt Số đào không nhiều Lời giải: Gọi a n , bn , c n , d n tƣơng ứng số cách chọn n quả: táo, mận, lê, đào thỏa mãn yêu cầu toán Khi số cách chọn n trái thỏa mãn yêu cầu toán là: Sn p q r s n a pbqcr d s 41 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Ta có: Hàm sinh dãy a n là: Ax x x Hàm sinh dãy bn là: Bx x x10 x15 Hàm sinh dãy cn là: C x x x x x Hàm sinh dãy d n là: Do S n a p pqr s n 1 x2 1 x5 x5 1 x D x x bq c r d s nên hàm sinh dãy S n là: S x Ax Bx C x Dx = = Khai triển S x 1 x 2 1 x5 1 x x2 x5 x 1 x 2 theo chuỗi lũy thừa ta có: S x x 3x Vậy S n n 2.5.2.4 Bài tốn 4: Tìm số nghiệm ngun khơng âm phƣơng trình x1 x x n m , m, n số nguyên dƣơng cho trƣớc Lời giải: Gọi a p, q số cách chọn x p q Khi đó, số nghiệm phƣơng trình cho là: Sm a1, q .a2, q an, q q1 q2 qn m n Vì a p, q 1, p, q nên với p , hàm sinh dãy a p, q là: Ap x x x 42 1 x Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Suy hàm sinh dãy S m là: S x A1 x A2 x An x 1 x n Ta có: nn 1 n k 1 S k x 1 x n k k!C nk k 1 1 x nk Suy ra: S k 0 k!C nk k 1 Khai triển S x theo chuỗi lũy thừa ta đƣợc: S x S 0 Do đó: Sm S 1 0 S 2 0 x x 1! 2! S m 0 m!C nm m 1 C nm m 1 m! m! 2.5.2.5 Bài toán 5: Có cách đổi n dollars thành đồng dollars dollars? Lời giải: Gọi an số cách đổi n dollar thành đồng dollars bn số cách đổi n dollars thành đồng dollars Khi đó, số cách đổi n dollars thành đồng dollars là: Sn a p q n p bq Hàm sinh dãy an là: A x x x 1 x Hàm sinh dãy bn là: Bx x x 1 x2 Suy hàm sinh dãy S n là: 43 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an S x Ax B x 1 x 2 1 x Bây ta khai triển hàm số S x thành chuỗi lũy thừa Ta có: S x = 1 1 1 x 1 x2 1 x 3x x x = x x x 3x 3x = n 1 n 0 n Vậy Sn 1 n 0 2 2.5.2.6 Bài toán 6: Cho n Hỏi có đa thức P x có hệ số thuộc tập hợp 0,1,2,3 thỏa mãn P n Lời giải: Đặt Px c0 c1 x c2 x cm x m , ci 0,1,2,3, i 1; m Ta có: P2 n c0 2c1 2 c m c m n Do số đa thức thỏa c0 ; c1; ; cm 0,1,2,3 mãn yêu cầu toán số thỏa mãn c0 2c1 2 c2 m cm n Do ci 0,1,2,3 nên hàm sinh số cách chọn 2i ci là: Ai x x 2i x 2.2i x 3.2i x 4.2 1 x2 i i Gọi S n số đa thức P x thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có hàm sinh dãy S n là: S x Ai x i 1 1 x x Theo ta có S n 2 n 44 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.6.PHƢƠNG PHÁP TỔNG HỢP 2.6.1 Nội dung phƣơng pháp Ngoài phƣơng pháp nêu trên, cịn giải toán tổ hợp phƣơng pháp nhƣ sử dụng công thức nhị thức Niu tơn, dùng ngun lí Dirichlet, dùng số phức, Tuy nhiên, có tốn tổ hợp mà việc giải chúng địi hỏi khả suy luận cao, phải huy động nhiều kiến thức liên quan kết hợp nhuần nhuyễn nhiều phƣơng pháp nêu 2.6.2 Các ứng dụng 2.6.2.1.Bài toán (Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh 2007-2008) Chứng minh: M C2nn C2nn1 C2nn1 chia hết cho n n N * Lời giải: n k 1 k 1 Sử dụng đẳng thức C k C n C n1 k , n N * , n k , ta có: M C2nn1 C2nn C2nn1 C2nn1 C2nn11 C2nn12 Ta cần chứng minh: C2nn12 chia hết cho n n N * Đặt n k k N * , k 2 , ta chứng minh: C2kk chia hết cho k hay N C 2kk Z k 1 Ta có: N = k 1 k C k k 1 C 2kk 2k C 2kk k k 2k ! C 2kk C 2kk k 1 k k! k! 2k ! Ck k 1!k 1! 2k C 2kk1 Z , đpcm 2.6.2.2 Bài toán (Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh 2008-2009) Chứng minh với số nguyên n ta ln có: C n1 C n2 n C nn n1.n Trong đó, C nk số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử 45 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời giải: +) Với n , n thay vào ta thấy thỏa mãn +) Với n Áp dụng bất đẳng thức Bunhia kơpxky ta có: 1 C = n C n2 n C nn 1 n C C 2 2 n n C nn nn 12n 1 n 1 Ta cần chứng minh nn 12n 1 n n n với n (1) Thật (1) 2n 3n 12 n 1 3.2 n.n Mà với n n 3n n 3n 3n 2n 3n Mặt khác n n 2n 3n 12 n 1 3n 2 n đpcm 2.6.2.3 Bài toán (Đề thi hsg tỉnh Hà Tĩnh 2009-2010): Sau khai triển rút gọn biểu thức sau có số hạng: 20 1 A x x3 x x 10 20 10 1 Lời giải: Số hạng tổng quát x , x thứ tự là: x x T1 1 C x m m 20 m 20 m m m 20 3 m 1 C 20 x x 10 n n T2 1 C10n x x n 1 C10n x 30 n n T1 , T2 rút gọn đƣợc số mũ x T1 , T2 hay 20 3m 30 4n n m 10 n (1) Từ (1) suy 10 n chia hết cho Do m, n N 10 n 10 nên có khả sau xảy ra: + 10 n n 10 , m 10 + 10 n n , m + 10 n n , m 46 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an + 10 n n 1, m 2 (loại) Vậy, khai triển làm gọn biểu thức A giảm số hạng, nên số số hạng lại 21 11 29 (số hạng) 2.6.2.4 Bài toán (Đề thi hsg tỉnh Hà Tĩnh 2010-2011): a) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển: 1 x 3x 10 Cn0 Cn1 Cn2 Cnk Cnn b) Tính tổng: S k 1 n1 (với n N * ) C n C n 3 C n Cnk 2 C2n2 Lời giải: a) Ta có 1 x 3x 1 x 3x 10 10 2 = C10 1 x C10 1 x 3x C10 1 x x 10 Nhận xét: từ số hạng thứ tƣ trở khai triển không chứa x 0 2 3 4 Ta có: C10 1 2x C10 C10 C10 2x C10 4x C10 8x C1016x 10 C 3x 2C101 1 2x 3x 2C101 C90 C91 2x C92 x 9 x C102 1 x x C102 8 Vậy hệ số số hạng chứa x là: C100 C104 16 3C101 C92 9.C102 C80 8085 b) Ta có C nk k 1!n 1! n!n 1!k 1! n! k 1 n k !n k 2! C n k k!n k ! n k ! 1 n!n 1! n!n 1! n k !n k 1! n k 1!n k ! C 2nnk1 C 2nnk11 C 2nn1 C n0 C 2nn 1 C 2nn11 Cho k có: C n2 C 2nn 1 Cho k có: C n1 C 2nn11 C 2nn21 C n23 C 2nn 1 47 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an …………………………………… Cho k n có: C nn 1 C 21n 1 C 20n 1 C 2nn 1 C 2nn 1 C nn C 20n 1 Cho k n có: n 1 C n 2 C 2nn 1 Cộng theo vế n đẳng thức ta có: S 2.6.2.5 Bài toán 5: Cho dãy gồm 19 số nguyên dƣơng không vƣợt 93 dãy số gồm 93 số nguyên dƣơng không vƣợt 19 Chứng minh từ hai dãy số đó, ta lần lƣợt trích hai dãy có tổng số hạng Lời giải: Ta xét toán tổng quát: Cho hai dãy (hữu hạn) số nguyên dƣơng: x1 x2 xm n , y1 y2 yn m Khi đó, tồn “chỉ số” i1 i2 m , j1 j2 n cho i2 i i1 xi j2 j x j j Giải toán tổng quát: Đặt a p : i 1 xi p p Z,1 p m bq : j 1 y j q Z,1 q n q Thay đổi vai trò “kí tự” x, a, m, i, p tƣơng ứng với kí tự y, b, n, j, q cần, ta xem am bn Khi đó, với p 1, m , tồn f p : q 1, n số bé mà a p bq Xét m hiệu: b f 1 a1; b f2 a2 ; ; b f m am 48 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn (1) C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trƣớc hết, ta có nhận xét hiệu bé m Thật vậy, có số p Z 1, m cho m b f p a p , m b f p nên f p m b f p 1 y f p a p m y f p b f p 1 a p a p b f p 1 mâu thuẫn với định nghĩa f p Mâu thuẫn chứng tỏ thực, hiệu (1) bé n Bây giờ, hiệu triệt tiêu: b f p a p , rõ ràng ta có đpcm với cách chọn i1 : : j1 , i2 : p, j2 : f p Trong trƣờng hợp cịn lại, theo nhận xét trên, tồn m hiệu (1) thuộc 1, m 1 , tập hợp có m phần tử, nên theo ngun lí Dirichlet, có hai hiệu nhau; tức là, tồn r , s 1, m, r s để: b f r ar b f s as b f r b f s ar as ta có đpcm, với i1 : s 1, i2 : r , j1 : f s 1, j2 : f r 2.6.2.6 Bài toán Cho n điểm mặt phẳng, với n khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh có n 3 n tứ giác lồi có đỉnh nằm số n điểm cho Lời giải: Trƣớc tiên ta xét điểm bất kì, khơng có điểm thẳng hàng Ta vạch bao lồi từ điểm Nếu bao lồi có điểm hiển nhiên có tứ giác lồi Nếu gồm điểm, chẳng hạn A, B, C , 49 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an hai điểm D, E lại phải nằm tam giác ABC Khi đó, có hai đỉnh tam giác ABC nằm phía với đƣờng thẳng DE , với D, E , hai đỉnh tạo thành tứ giác lồi Nhƣ vậy, mệnh đề cần chứng minh với n (để ý 3 4 1) Xét n điểm với n Vì khơng có điểm thẳng hàng nên số tất cách chọn n điểm nhƣ là: Cn5 n n 1 n n 3 n 120 Mỗi cách chọn cho ta tứ giác lồi; nhiên, tứ giác lồi số đƣợc lập từ n tập hợp khác gồm điểm nói trên, vậy, có n n 1 n n 3 Cn5 n4 120 số tất tứ giác lồi đƣợc thành lập từ n điểm cho Để kết thúc chứng minh, ta chứng tỏ rằng: n n 1 n n 3 n 3 n 120 với n Điều phải chứng minh tƣơng đƣơng với: n n 1 n 60 n n n 1 n 60 n Dễ dàng thấy số n n nghiệm phƣơng trình n n 1 n 60 n , đó, ta phân tích thành nhân tử nhƣ sau: n n 1 n 60 n n 5 n n Với n nguyên dƣơng , ta lập bảng xét dấu, dễ thấy dấu n 5 n n 8 dấu n 5 n 50 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Và ta đƣợc n 5 n 6 n 5, 6; n 5 n n , suy điều phải chứng minh 51 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an KẾT LUẬN Luận văn trình bày đƣợc số phƣơng pháp giải tốn tổ hợp: + Phƣơng pháp phân tích + Phƣơng pháp song ánh + Phƣơng pháp truy hồi + Phƣơng pháp đồ thị + Phƣơng pháp hàm sinh + Phƣơng pháp tổng hợp Với đề tài: “Một số phƣơng pháp giải toán tổ hợp”, luận văn nêu lên đƣợc số phƣơng pháp thƣờng gặp việc giải tốn tổ hợp Ngồi việc trình bày hệ thống nội dung phƣơng pháp, luận văn nêu ví dụ điển hình minh họa cho phƣơng pháp 52 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 21/08/2023, 01:58
Xem thêm:
