ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN THI VÀO LỚP 10

CÁC BÀI TẬP THI TUYEN SINH LỚP 10

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2 .

H ớng dẫn :

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm x để A = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1 Biểu thức rút gọn : A =

Baứi 5 : Cho biểu thức: A =

2 2

b) Tìm x để A < 0

c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

H ớng dẫn :

b) Tính giá trị của P với a = 9

H ớng dẫn :

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

H ớng dẫn :

a) ĐKXĐ : a  0, a 1 Biểu thức rút gọn : N = 1 – a

b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ Suy ra N = 2005

Baứi 10 : Cho biểu thức

3 x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

a ) ĐKXĐ : x  0, x 9 Biểu thức rút gọn :

3 x

3 P



 )

3

)

x x

 )

)

b Tìm x để A < -1

2 ( KQ : A = 3

x x

a Rút gọn A

5

)



)

BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT

Baứi 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

4 2

b a

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

Baứi 2 : Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

H ớng dẫn :

2

x y

x y

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0  



 2 1

0 0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2)

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

H ớng dẫn :

2 1 1

b a

2 3

2 2

m m

m m

 m = 2

Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời

đi qua điểm C(0 ; 2)

Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .

H ớng dẫn :

0 0

y x

7

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;

3) và B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

x a'

c

by

ax

Ph

ơng pháp giải :

Sử dụng một trong các cách sau :

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

1 -2x

4

.8

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1.

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

H ớng dẫn :

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

có nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y  2.

Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình : 

0 3)y (m

-x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Giải và biện luận pt theo m

Baứi 9 : (trang 24): Cho hệ phơng trình : 

mx

0

y m -

x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn

c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0

Baứi 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ

thỡ gaởp nhau Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28

km Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe

HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h.

Baứi 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc

35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứtrửa Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A

ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng.

Baứi 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau 454 giụứ thỡ ủaày beồ.Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau 56 giụứ nửừa mụựi nay beồ Neỏumoọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ

ẹaựp soỏ : 8 giụứ.

Baứi 13 : (trang 24): Bieỏt raống m gam kg nửụực giaỷm t0C thỡ toỷa nhieọt lửụùng Q = mt (kcal) Hoỷiphaỷi duứng bao nhieõu lớt 1000C vaứ bao nhieõu lớt 200C ủeồ ủửụùc hoón hụùp 10 lớt 400C

y 2,5

x

Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C

Baứi 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50% Laùi theõm

300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40% Tớnh noàng ủoọ axớt trongdung dũch ban ủaàu

Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

% 100 500

y 200) (

% 50

% 100 200

y 200) (

y 400

x

Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%

Phơng trình bậc hai

định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào

(1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất

- hoặc vụ nghiệm

- hoặc vụ số nghiệm

b)Nếu a 0

10

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 ( / < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm

p = x1x2 =

a c

Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phơng trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng

trình Ta có các kết quả sau:

 Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

tr-ớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x





p S

*)

2 1

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

*) 2

2 1

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện   0)

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có

 < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

* Nếu m – 3 0  m  3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số /

 = m2 –(m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu /

 = 0  9m – 18 = 0  m = 2 phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

x1,2 =

3

2 3

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

7 2 - 3 x x

2 1 2 1

2 1

m

m x

1)(

1(

2)(

2 1

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

1 1

1

2 1

1 )

1 )(

1

(

1

2 1

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

14

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

2

5 1 2

4 2

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp

3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11

vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

(thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

15

1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x =

4 3

2 4 2

0  m < 4 : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

2 (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu 

m m

m m

Trêng hîp 



 0 3

m

m

kh«ng tho¶ m·nTrêng hîp 



 0 3

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m =

2

1

x x

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

x1 + x2 =

9344

9

)24

9(2)2(2

9

34

93

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào  / = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => /

 = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -

8 70 49 2 2

35 4

BAỉI TAÄP PHAÀN PHệễNG TRèNH BAÄC HAI

Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Không giảiphơng trình, hãy tính:

1) x1 + x2

2) x1 x1 x2 x2

17

Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x1 + x2

Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

1 2

=

1 2

0 1 1 2

0 1 2

2

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

GIAÛI BAỉI TOAÙN BAẩNG CAÙCH LAÄP PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

18

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :

Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)

Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 1

x

300 - 10 -

x

300



Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60

ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h

Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với

vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng cònlại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)

Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh :

2

1 50 40 3.

x 50 3

Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km

Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Neỏu chảy cùng một thời gian

nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thìsau bao lâu đầy bể

24 5 y 1

x 1

Giải ra ta đợc : 



 8

x 12

y

(tmđk) Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ

Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng

đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

x 2)

y ( 35

suy ra : 35y + 70 = 50y -50 y = 8 (TMẹK)

Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)

ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB : 350 (km)

Thụứi gian dửù ủũnh ủi : 8 (giụứ)

Baứi 5 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc

của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Hửụựng daón : Gọi x (km) là vận tốc của ôtô thứ 2 ĐK x > 0.

Theo gt bài toán ta có pt : 2

15 x

180 x

Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc

tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằngnhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữcủa tổ

Giải : Gọi số học sinh nam là x (em) ĐK : x nguyên dơng, x  13

Theo gt bài ra ta có pt : 3

x - 13

40 x

40



  3x2 – 119x + 520 = 0 (  = 89)Giải ra ta đợc : x =

6

89

119 

(loại) ; x = 5 (TMĐK) Đáp số : Số HS nam : 5 (em)

Số HS nữ : 8 em

19

Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở

B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốclúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

Giải : Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h) ĐK : x > 5.

Theo gt bài ra ta có pt : 10

5 - x

180 2

3 x

180





  17x2 – 805x + 1800 = 0 (  = 725)Giải ra ta đợc : x =

Baứi 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ

A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôitại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

Giải : Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) ĐK x > 4.

Theo gt bài ra ta có pt : 2

4 -

x

16 4 x

24





  2x2 – 40x = 0Giải ra ta đợc : x = 0 (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực của canô : 20 (km/h)

Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vậntốc mỗi xe

Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h) ĐK x > 0.

Theo gt bài ra ta có pt :

5

1 6

108 x

Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải

điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sảnphẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là

360





  x2 – 3x – 270 = 0 (  = 33 )Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18

Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)

Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót

vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ

2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó Tìm thể tích của mỗi bình

Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình ĐK : x,y, z > 0.

y

y 2 z

x

120 z

40 y

Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h Sau

2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặpnhau cách A bao nhiêu km

Giải : Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C ĐK : x > 0.

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

Cách A : 35 (km)

Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A Thời gian đi

xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40' Tính khoảng cách giữa A và B Biết vận tốc ca nô không đổi,vận tốc dòng nớc là 3km/h

Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB ĐK : x > 0.

Theo gt bài ra ta có pt :

24

x 3

2 30

Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A

và đến B sớm hơn một giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời đi xe đạp ĐK x > 0.

Theo gt bài ra ta có pt : 2

5 2,5x

50 x

Vận tốc ngời đi xe máy : 30(km/h)

Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng

nhau Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Hỏi

có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Giải : Gọi x là số dãy ghế của phòng họp ĐK x nguyên dơng.

Theo gt bài ra ta có pt : (x + 1)( 1 )

x

360

 = 400  x2 – 39x –360 = 0 ( = 9 )Giải ra ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK)

Đáp số : Có thể xảy ra 2 khả năng.

+) KN 1 : Phòng họp có 24 dãy ghế và mỗi dãy có 15 ghế

+) KN 2 : Phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 24 ghế

Baứi 17 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ

và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đótrong mấy giời thì xong?

Giải : Gọi x, y (giờ) lần lợt là thời gian mỗi ngời làm một mình hoàn thành công việc

16 1 y 1 1

x

(TMĐK)

Đáp số : Ngời thứ nhất hoàn thành công việc trong : 24 giờ.

Ngời thứ hai hoàn thành công việc trong : 48 giờ

Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một lúc từ

cùng một điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau Nếu chúngchuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Giải : Gọi x, y (m/s) lần lợt là vận tốc của hai vật ĐK x > y > 0.

10x

62,8 2y

x

(TMĐK)

Đáp số : Vận tốc của hai vât lần lợt là : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h)

Baứi 19 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2

v-ợt 20% Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem trong tháng thứ nhấtmỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm

Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm của tổ 1 và tổ 2 làm đợc trong tháng thứ nhất ĐK : x, y nguyên

Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất

300 chi tiết máy trong một ngày Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sảnxuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày

21

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.

Giải : Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên dơng.

Theo gt bài toán ta có pt : 1

400

600

x 300

x





Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết)

Bài 21: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc

của dòng chảy là 2km/h Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng

Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2)

Theo gt bài toán ta có pt : 5

2 -

x

20 2

5

2

(loại) ; x = 12

Đáp số : Vậy vận tốc của ca nô lúc n ớc yên lặng : 12 (km/h)

Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên

mỗi xe phải chở thêm 16 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Giải : Gọi x là số xe của đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2)

Theo gt bài toán ta có pt : 16

x

120 2

Đáp số : Vậy đội xe có 5 xe

Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy

nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc của mỗi ôtô biết quãng đờng AB dài 240km

Giải : Gọi x là vận tốc của ôtô thứ hai (Km/h ĐK : x > 0).

Theo gt bài toán ta có pt :

3

5 x

240 2

Đáp số : Vận tốc của ôtô thứ hai : 48 km/h

Vận tốc của ôtô thứ nhất : 60 km/h

Bài 24: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể Nếu mở riêngtừng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòithì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Giải : Gọi x là th

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng

Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổmột

Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?

Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và gặpnhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vậntốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B

Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã

bán cho nhà nớc Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần sốthóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn

ôn tập hình học 9

Phần 1 : hình học phẳngI.Đờng tròn:

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :

xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

* Của hai đờng tròn :

xét ( O;R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )

Hai đờng tròn tiếp xúc nhau

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách

đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi haitiếp tuyến

c, Cách chứng minh :

 Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó

 Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một điểm

và điểm đó thuộc đờng tròn

23

4 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằngnhau

* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc vớidây cung ấy

5 Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm

* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉkhi nó gần tâm hơn

II Góc trong đờng tròn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn :

- Góc ở tâm

- Góc nội tiếp

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc

B Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC

lần lợt tại E và F

a CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b CM: tứ giác EFCB nội tiếp

c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I Chứng minh I là trung điểm của BC

d CMR: Nếu S ABC = 2 S AEHF thì tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác của góc  cắt (O) tại M Nối

OM cắt BC tại I

1 Chứng minh tam giác BMC cân

2 Chứng minh: góc BMA < góc AMC

24

THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập

3 Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC

4 Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q Chứng minh OH // AH

5 Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO Tứ giác OMDA là hình gì?

6 Chứng minh AM là phân giác của góc OAH

7 OM kéo dài cắt (O) tại N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE MB

2

1

8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE

9 Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp

10 Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K Chứng minh CM là phân giác của góc BCK

11 So sánh các góc KMC và KCB với góc A

12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S Chứng minh tam giác BMS cân tại M

13 13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC

14 Chứng minh góc SBC = góc NCM

15 Chứng minh góc ABF = góc AON

16 Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O) Chứng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự

tại D, E Gọi I là giao điểm của BE và CD

1 Chứng minh AI vuông góc với BC

2 Chứng minh góc IDE = góc IAE

3 Chứng minh : AE EC = BE EI

4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O) tại D , AO

kéo dài cắt (O) tại E

a) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân

b) Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I Chứng minh I là trung điểm của BC.c) Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm và IM = 8 cm

Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN,

NB bằng nhau Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM CMR:

a) Tứ giác AMNB là hình thang cân

b) PH ┴ AB Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng

c) ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Kẻ hai dây

MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F CMR:

a Tam giác MAE và MCA đồng dạng

b ME MC = MF MD

c Tứ giác CEFD nội tiếp

d Khi AB  R 3 thì tam giác OAM đều

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng

kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F

a Tứ giác AEHF là hình gì?

b Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

c Chứng minh AE AB = AF AC

d Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I)

e Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF

25

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với

CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E

a Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp

b Tính góc AHE

c Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng

d Chứng minh AD = AE

e Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E là giao điểm

của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC Chứng minh rằng:

b DA DF = DC DE

c Tứ giác BDFE nội tiếp

Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K và A

nằm cùng phía đối với BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I

a Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O)

b Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI

c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB Vẽ về cùng phía với AB các tia Ax, By

cùng vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho góc MON =

900 Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh rằng :

a AB là tiếp tuyến của (I ; IO)

b MO là tia phân giác của góc AMN

c MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB

d Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM BN không dổi

Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đ ờng

tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M

a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?

c Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M

d Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M

Bài 13: Cho (O) và (O’)tiếp xúcngoài tại A Đờng thẳng Ô’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu B và C

( khác A ) Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M làgiao điểm của BD và CE Chứng minh rằng :

a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

b Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng

c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE

d Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều

Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE Gọi

H là trung điểm của DE

26