CÁC BÀI TẬP THI TUYEN SINH LỚP 10
THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập BAỉI TAP PHAN RUT GOẽN Baứi : 1) Đơn giản biểu thức : P = 14 + + 14 − x +2 x − x +1 2) Cho biÓu thøc : Q= − x + x + x − ÷ x ÷ a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : Q = x −1 b) Q > - Q ⇔ x > c) x = { 2;3} th× Q ∈ Z Bài : Cho biĨu thøc P = a) Rót gän biĨu thøc sau P x +1 + b) Tính giá trị cđa biĨu thøc P x = x x −x Híng dÉn : x +1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : P = 1− x b) Víi x = th× P = - – 2 Bài : Cho biĨu thøc : A = a) Rót gän biĨu thøc sau A x x +1 x −1 − x −1 x +1 b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x ®Ĩ A = A Híng dÉn : a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x x −1 th× A = - c) Víi ≤ x < th× A < d) Víi x > th× A = A b) Víi x = + Baøi : Cho biĨu thøc : A = ÷ − ÷ a + a a −3 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a ®Ĩ biĨu thøc A > Híng dÉn : THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập a) ĐKXĐ : a > a BiĨu thøc rót gän : A = a +3 b) Víi < a < th× biĨu thøc A > x + x − x − 4x − x + 2003 − + Bài : Cho biĨu thøc: A= ÷ x2 − x x x +1 1) Tìm điều kiện x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa 2) Rót gän A 3) Víi x ∈ Z ? ®Ĩ A ∈ Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ± x + 2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 th× A ∈ Z ( ) x x −1 x x +1 x − x +1 − A= ÷: x− x x −1 x+ x ÷ Bài : Cho biĨu thøc: a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hớng dẫn : x +1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x −1 b) Víi < x < th× A < c) x = { 4;9} th× A ∈ Z Bài : Cho biĨu thøc: x+2 x x −1 + + : A= x x −1 x + x +1 − x ÷ ÷ a) Rót gän biĨu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x + x +1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp : +) A > ⇔ > với x > ; x (1) x + x +1 +) A < ⇔ < ⇔ 2( x + x + ) > ⇔ x + x > ®óng v× theo gt th× x > (2) x + x +1 Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) Bài : Cho biĨu thøc: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P víi a = a +3 a −2 − a −1 a +2 + a −4 (a ≥ 0; a ≠ 4) 4−a Híng dÉn : THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập a) ĐKXĐ : a ≥ 0, a ≠ BiĨu thøc rót gän : P = a −2 ∈ §KX§ Suy P = b) Ta thÊy a = a + a a − a ÷ − ÷ Bài : Cho biĨu thøc: N = 1 + ÷ a + ÷ a −1 1) Rót gän biĨu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Hớng dÉn : a) §KX§ : a ≥ 0, a ≠ BiĨu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 ∈ §KX§ Suy N = 2005 Baøi 10 : Cho biÓu thøc P = x x + 26 x − 19 x − + x+2 x −3 x −1 x −3 x +3 a Rót gän P b Tính giá trị P x = c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhá nhÊt ®ã Híng dÉn : x + 16 a ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ BiĨu thøc rót gän : P = x +3 103 + 3 b) Ta thÊy x = − ∈ §KX§ Suy P = 22 c) Pmin=4 x=4 x Baøi 11 : Cho biÓu thøc P = x +3 + x x +3 − 3x + x − : − 1 x−9 x c Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P Híng dÉn : −3 a ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ BiĨu thøc rót gän : P = x +3 b Víi ≤ x < th× P < − c Pmin= -1 x = b Tìm x để P < a Rút gọn P a +1 a −1 Bµi 12: Cho A= − + a ÷ a + ÷ víi x>0 ,x ≠ a −1 ÷ a +1 a a Rót gän A ( )( b TÝnh A víi a = + 15 )( 10 − − 15 ) ( KQ : A= 4a ) x −3 x 9− x x −3 x −2 Bµi 13: Cho A= − 1÷: + − ÷ víi x ≥ , x ≠ 9, x ≠ x−9 ÷ x+ x −6 x −2 x +3÷ a Rót gän A b x= ? Th× A < c T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z (KQ : A= ) x THCS Mỹ trung- đề cơng «n tËp 15 x − 11 x − 2 x + víi x ≥ , x ≠ + − x + x − 1− x x +3 Rót gän A T×m GTLN cđa A Tìm x để A = 2 25 x CMR : A ≤ (KQ: A = ) x +3 Bµi 14: Cho A = a b c d Bµi 15: Cho A = a Rót gän A x+2 x +1 + + x x −1 x + x + 1− x b T×m GTLN cđa A Bµi 16: Cho A = víi x ≥ , x ≠ x ) x + x +1 ( KQ : A = − + víi x ≥ , x ≠ x +1 x x +1 x − x +1 a Rót gän A b CMR : ≤ A ≤ ( KQ : A= x ) x − x +1 x −5 x 25 − x x +3 x −5 Bµi 17: Cho A = − 1÷: − + ÷ x − 25 ÷ x + x − 15 x +5 x −3÷ a Rót gọn A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A = ) x +3 a −9 a + a +1 − − a−5 a +6 a − 3− a a Rút gọn A b Tìm a để A < víi a ≥ , a ≠ , a Bài 18: Cho A = c Tìm a ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z ( KQ : A = a +1 ) a −3 x− x +7 x +2 x −2 x Bài 19: Cho A= + ữ: ÷ víi x > , x ≠ x−4 x −2÷ x −2 x +2 x−4÷ a Rót gän A x+9 b So s¸nh A víi ( KQ : A = ) x A 3 x− y x − y Bài20: Cho A = ữ: + x− y y−x ÷ a Rót gän A b CMR : A ≥ ( x− y ) + xy víi x ≥ , y ≥ 0, x ≠ y x+ y ( KQ : A = xy x − xy + y ) THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập x x x x +1 x +1 x −1 Bµi 21 : Cho A = − + x − + ÷ Víi x > , x ≠ ÷ x− x x+ x x x −1 x +1÷ a Rót gän A b Tìm x để A = ( KQ : A = ( ) x + x +1 ) x x −4 ÷ x +2 x Bµi 22 : Cho A = + : − ÷ x x −2 x −2÷ x x −2÷ a Rót gän A b TÝnh A víi x = − (KQ: A = − x ) ( ) víi x > , x ≠ 1 Bµi 23 : Cho A= víi x > , x ≠ + − ÷: ÷+ 1− x 1+ x 1− x 1+ x x a Rót gän A b TÝnh A víi x = − (KQ: A = ) x 2x +1 x+4 Bµi 24 : Cho A= víi x ≥ , x ≠ − ÷: − ÷ x + x +1 ÷ x −1 x −1 a Rót gän A x b Tìm x Z để A Z (KQ: A = ) x −3 x −2 Bµi 25: Cho A= − − ÷: x + x x − x + x − ÷ x − x − ÷ víi x ≥ , x ≠ a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = ) x +1 x x 3x + x − Bµi 26 : Cho A = + − − 1÷ víi x ≥ , x ≠ ÷: x +3 ÷ x −3 x −9 ÷ x −3 a Rót gän A b Tìm x để A < ( KQ : A = ) a +3 x +1 x −1 x x − x − Bµi 27 : Cho A = − − − ÷: ÷ víi x ≥ , x ≠ x −1 x +1 x −1 ÷ x −1 x −1 ÷ a Rót gän A b TÝnh A víi x = − (KQ: A = x ) x+4 c CMR : A ≤ Bµi 28 : x +1 Cho A = + ÷: x −1 x − x +1 x− x a Rót gän A (KQ: víi x > , x ≠ A= x −1 ) x THCS Mü trung- ®Ị cơng ôn tập b.So sánh A với x −1 x x −2 Cho A = − + x − x + x − ÷: 1 − x + ÷ Víi x ≥ 0, x ≠ ÷ ÷ a Rút gọn A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x+ x ( KQ : A = ) x −1 x −2 x + x2 − x + Bµi30 : Cho A = víi x ≥ , x ≠ − x − x + x + ÷ ÷ a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x (1 − x ) ) Bµi 29 : x+2 x x −1 Bµi 31 : Cho A = + + x x − x + x + 1 − x ÷: ÷ víi x ≥ , x ≠ a Rót gän A b CMR nÕu x ≥ , x ≠ th× A > , (KQ: Bµi 32 : x−2 x Cho A = − + ÷: x +1 x −1 x −1 A= ) x + x +1 víi x > , x ≠ 1, x ≠ a Rót gän x +1 x − x − x + Bµi 33 : Cho A = − + ÷: ÷ víi x ≥ , x ≠ x −1 x −1 ÷ x −1 x +1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c Tìm x Z để A ∈ Z x x +3 x +2 x +2 Bµi 34 : Cho A= − + + ÷: + x ÷ x − − x x − x + ÷ víi x ≥ , x ≠ , x ≠ ÷ a Rót gän A b T×m x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z x −2 c T×m x ®Ĩ A < (KQ: A = ) x +1 b Tìm x để A = BAỉI TAP PHAN HAỉM SO BAC NHAT Baứi : 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b THCS Mü trung- đề cơng ôn tập = a + b a = Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt : ⇔ − = − a + b b = Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng Bài : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) T×m điều kiện m để hàm số nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – ®ång quy Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = y = x + 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – lµ nghiƯm cđa hƯ pt : y = 2x (x;y) = (1;1) Để đồ thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + vµ y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) nghiệm cña pt : y = (m – 2)x + m + −1 Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = Bài : Cho hµm sè y = (m 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ®i qua víi mäi m Híng dÉn : 1) §Ĩ hai đồ thị hàm số song song với cÇn : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 đồ thị hàm số ®i qua ®iÓm (1 ; -4) 3) Gäi ®iÓm cè định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta cã x = y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ y0 = Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2) Baứi4 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) ViÕt phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có d¹ng : y = ax + b 1 = a + b a = Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) (2 ;-1) ta có hÖ pt : ⇔ − = a + b b = Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = - 2x + 2) Để ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thêi ®i qua m − 3m = −2 ®iĨm C(0 ; 2) ta cÇn : ⇔ m = m − m + = THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập Vậy m = đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bài : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) T×m m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Hớng dẫn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta cã −1 x0 = y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ y = − −1 Vậy với m đồ thị ®i qua ®iĨm cè ®Þnh ( ; ) 2 Baứi : Tìm giá trị k để ®êng th¼ng sau : 6−x 4x − y= ;y= y = kx + k + cắt điểm Baứi : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai ®iĨm A(1; 3) vµ B(-3; -1) Bài : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003) 2) Song song với ®êng th¼ng x – y + = Chđ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn A kiến thức cần nhớ : Phơng trình bậc : ax + b = Phơng pháp giải : + Nếu a phơng trình có nghiệm nhÊt : x = −a b + NÕu a = b phơng trình vô nghiệm + Nếu a = b = phơng trình có vô số nghiệm ax + by = c Hệ phơng trình bậc hai Èn : a' x + b' y = c' Phơng pháp giải : Sử dụng cách sau : +) Phơng pháp : Từ hai phơng trình rút ẩn theo ẩn , vào phơng trình thứ ta đợc phơng trình bậc ẩn +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn ®ã (lµm cho mét Èn nµo ®ã cđa hƯ cã hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn - Giải mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dụ minh họa : Ví dụ : Giải phơng trình sau : x x a) ĐS : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } + =2 x -1 x + THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tËp 2x - =2 x + x +1 Giải : ĐKXĐ : x + x + ≠ (*) −3 2x - Khi ®ã : = ⇔ 2x = - ⇔ x = x + x +1 −3 −3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 −3 VËy x = nghiệm Ví dụ : Giải biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m2 – = (1) + NÕu m ≠ th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + Nếu m = (1) vô nghiệm Ví dụ : Tìm m Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên (2m 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : b) Ta cã : víi m ∈ Z 2m , vây phơng trình cã nghiƯm : x = - (m + 2) ®Ĩ pt có nghiệm nguyên 2m Giải ta đợc m = 2, m = Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23 Giải : 23 - 7x x −1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = = – 2x + 4 V× y ∈ Z ⇒ x Giải ta đợc x = vµ y = BÀI TẬP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRèNH Baứi : Giải hệ phơng trình: 2x 3y = −5 a) b) −3x + 4y = 2x + = e) 4x + 2y = −3 x + 4y = 4x − 3y = 5 2 x + x + y = f) + = 1, x x + y 2x − y = c) 5 + y = 4x 2m - x − y = d) x + y = Baứi : Cho hệ phơng trình : mx − y = x + my = 1) Giải hệ phơng trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Hớng dẫn : Baứi : Cho hệ phơng trình: x − 2y = − m 2x + y = 3(m + 2) 1) Giải hệ phơng trình thay m = -1 2) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Baứi : Cho hệ phơng trình: THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập (a − 1)x + y = a cã nghiÖm nhÊt lµ (x; y) x + (a − 1)y = 1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mÃn 6x2 17y = 2x 5y 3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên x+y Baứi : Cho hệ phơng trình: x + ay = (1) ax + y = 1) Gi¶i hƯ (1) a = 2) Với giá trị a hệ có nghiệm nhÊt mx − y = n Baøi : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình nx + my = cã nghiƯm lµ −1; ( ) ( a + 1) x + y = Baøi : Cho hệ phơng trình (a tham sè) ax + y = 2a 1) Gi¶i hƯ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ x - (m + 3)y = Bài (trang 22): Cho hƯ phơng trình : (m tham số) (m - 2)x + 4y = m - a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Giải biện luận pt theo m x - m y = Baøi : (trang 24): Cho hệ phơng trình : (m lµ tham sè) mx − 4y = m + a) Gi¶i hƯ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y > Bài 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau bể Nếu vòi thứ hai chảy bể Đáp số : Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : x + y = 10 x = 2,5 ⇔ Ta có hệ pt : 100x + 20y = 400 y = 7,5 10 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập Do ú vận tốc dự định ô tô 40 km/h Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB 80 : 40 = (giờ) Bài 4: a/ P nằm đường trịn tâm O1 đường kính IC ⇒ IPC = 900 x Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù) ⇒ CPK = 90 Do CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2 P đường kính CK I b/ Vì ICK = 900 ⇒ C1 + C2 = 900 ∆ AIC vuông A ⇒ C1 + A1 = 900 ⇒ A1 + C2 có A = B = 900 01 Nên ∆ AIC ∆ BCK (g.g) AI AC = ⇒ ⇒ AI BK = AC BC (1) BC BK A y K O2 B C c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt chắn cung PC) Trong (O2) có B1 = K1 (gnt chắn cung PC) Mà I2 + K1 = 900 (Vì ∆ ICK vng C) ⇒ A1 + B1 = 900, nên ∆ APB vuông P 2/ Ta có AI // BK ( vng góc với AB, nên ABKI hình thang vng Do SABKI = AB.(AI + BK) Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn ⇔ BK lớn Từ (1) có AI BK = AC BC ⇒ BK = AC BC AI Nên BK lớn ⇔ AC BC lớn Ta có ( AC − BC ) ≥ ⇒ AC + BC ≥ AC BC ⇔ AC BC ≤ AC + BC AB AB2 ⇔ AC BC ≤ AB AB2 Vậy AC BC lớn AC BC = ⇔ AC = BC = ⇔ C trung điểm AB ⇔ AC BC ≤ Vậy SABKI lớn C trung điểm AB Bài 5: Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008 • Cách : Từ 1003x + 2y = 2008 ⇒ 2y = 2008 − 1003x ⇒ y = 1004 − 1003x 1003x 2008 >0 ⇒x< 1003 2008 Suy < x < x nguyên ⇒ x ∈ {1 ; 2} 1003 1003 Với x = ⇒ y = 1004 − ∉ Z nên x = loại 1003 Với x = ⇒ y = 1004 − = ∈ Z+ nên x = thỏa mãn Vì y > ⇒ 1004 − • Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1 Cách : Vì x ; y số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 ⇒ 1003x < 2008 39 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tËp ⇒x< 2008 < Do x ∈ Z+ ⇒ x ∈ {1 ; 2} 1003 1005 ∉ Z+ nên x = loại Với x = ⇒ 2y = 2008 − 1003 = 1005 ⇒ y = Với x = ⇒ 2y = 2008 − 2006 = ⇒ y = ∈ Z+ nên x = thỏa mãn Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1 §Ị Bài : (2 điểm) Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10 a/ Chứng minh với m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x ; x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi Bài : (2 điểm) a/ Giải phương trình : x + 15 + x − + x + 3+ x −1 = b/ Chứng minh : Với a ; b không âm ta có a3 + b3 ≥ 2ab ab Khi xảy dấu đẳng thức? Bài : (2 điểm) Một phịng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 nên phải kê thêm hàng ghế ngồi thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế ngồi Bài : (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp xác định tâm I đường tròn b/ Vẽ đường kính AK đường trịn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng c/ Giả sử BC = AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R Bài : (1 điểm) Cho y = x2 − x − , Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên x +1 GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI - Bài 1: a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 nghiệm số phương trình: x2 = 4mx + 10 ⇔ x2 − 4mx − 10 = (1) Phương trình (1) có ∆’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 cắt hai điểm phân biệt b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = − 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 − x1x2 = 16m2 + 10 ≥ 10 Dấu “ = ” xảy 16m = ⇔ m = Vậy GTNN F = 10 m = Bài 2: a/ Giải phương trình: x + 15 + x − + x + + x − = Điều kiện x 40 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập ⇔ ( x − + x − + 16 + x − 1+ ) + ( x −1 + x − + x − 1.2 + = ⇔ ) =6 ⇔ x − 1+ + x −1 + = ⇔ x − + = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x = b/ Với a , b ≥ ta có: ( a− b ) ≥ ⇒ a + b ≥ ab Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 − ab) = (a + b).[(a + b)2 − 3ab] ≥ ab [(2 ab )2 − 3ab] ⇒ a3 + b3 ≥ ab (4ab − 3ab) = ab ab = 2ab ab Dấu “ = ” xảy a = b Vậy với a, b không âm ta có a3 + b3 ≥ 2ab ab Bài 3: Gọi x (hàng) số hàng ghế ban đầu phịng họp (x ngun, dương) Do 360 (ghế) số ghế ban đầu hàng x x + (hàng) số hàng ghế lúc dự họp phịng họp Do 400 (ghế) số ghế lúc dự họp hàng x +1 Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình : 400 360 − = ⇔ x2 − 39x + 360 = x +1 x Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy ban đầu phịng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phịng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi Bài 4: a/ Ta có BD CE hai đường cao cua ∆ABC Nên BEC = BDC = 900 A Suy BCDE nội tiếp đường trịn b/ Ta có BH // CK (cùng vng góc với AC) D Và CH // BK (cùng vng góc với AB) Nên BHCK hình bình hành E O Do hai đường chéo BC HK giao H trung điểm đường C Mà I trung điểm BC ⇒ I trung điểm F B I củaHK Nên H, I, K thẳng hàng c/ Gọi F giao điểm AH BC AB BF = ⇒ AB KC = AK BF AK KC AC CF = Và ∆ ACF ∽ ∆ AKB (g.g) ⇒ ⇒ AC KB = AK CF (2) AK KB Ta có ∆ ABF ∽ ∆ AKC (g.g) ⇒ K (1) Cộng (1) (2) theo vế ta có: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF = AK.(BF + CF) = AK.BC Mà BC = 3 3 AK ⇒ AB KC + AC KB = AK AK = AK2 = (2R)2 = 3R2 4 4 Bài 5: x2 − x − =x−2+ x +1 x +1 Với x ∈ Z x + ∈ Z Để y ∈ Z ∈ Z ⇒ x + ∈ {− ; 1} x +1 Với x ≠ − ta có y = • • x + = − ⇒ x = − (thỏa mãn điều kiện) x + = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) 41 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập Vy y cú giá trị nguyên x = − ; x = §Ị Câu I: (3 điểm) 1) Giải phương trình sau: a) 5.x − 45 = b) x(x + 2) – = 2) Cho hàm số y = f(x) = a) Tính f(-1) b) Điểm M ( x2 ) 2;1 có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ? Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức P = 1 − a −1 a +1 − ÷ với a > a ≠ ÷ a a +2 a −2÷ Câu III: (1 điểm) Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ số công nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội lúc đầu Câu IV: (3 điểm) Cho đường trịn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng khơng qua O cắt đường trịn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM ⊥ AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Câu V: (1 điểm) Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 Tính giá trị B x = 2 −1 +1 HÕt - §Ị Giải Câu I: 1) a) 5.x − 45 = ⇔ 5.x = 45 ⇔ x = 45 : ⇔ x = b) x(x + 2) – = ⇔ x2 + 2x – = ∆ ’ = + = ⇒ ∆ ' = Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = −1 ± 2) a) Ta có f(-1) = b) Điểm M ( (−1) = 2 ) x2 2;1 có nằm đồ thị hàm số y = f(x) = Vì f Câu II: 42 ( 2) = ( ) 2 =1 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tËp 1) Rút gọn: P = − ( a −1 a +1 a − − ÷= ÷ a a +2 a a −2÷ ) ( ) ( )( a −1 ) ( a + 1) ( ( a − 2) ( a + 2) a −2 − a +2 ) a −3 a + − a +3 a + −6 a −6 = a − = = a−4 a 2) ĐK: ∆’>0 ⇔ ( )( ) a 2 2 = ⇔ + ( x x ) + x1 + x = + 2m > 2 Theo đề : + x1 + x a ⇔ m> − ⇔ + ( x1x ) + ( x1 + x ) − 2x1 x = Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m ⇒ + 4m2 + + 4m = ⇔ 4m2 + 4m = ⇔ 4m(m + 1) = ⇔ m = m = -1 Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m = Câu III: Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người) Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số cơng nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người) (138 – x) Theo ta có phương trình : x – 13 = ⇔ 3x – 39 = 276 – 2x ⇔ 5x = 315 Vậy đội thứ có 63 người Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người) Câu V: Ta có x = 2 −1 = +1 ( ( ⇔ ) −1 )( +1 x = 63 (thoả mãn) ) −1 = −1 3− 2 −7 17 − 12 29 − 41 ; x3 = x.x2 = ; x = (x2)2 = ; x5 = x.x4 = 16 32 29 − 41 17 − 12 −7 −1 Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – = + - + -2 32 16 ⇒ x2 = 29 − 41 + 34 − 24 − 25 + 35 + 20 − 20 − 16 = -1 Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009 Câu IV: = 43 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập F à 1) Ta có FAB = 900 (Vì FA ⊥ AB) · BEC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn · (O)) ⇒ BEF = 900 · · ⇒ FAB + FEB = 1800 E Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800) 2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên · · » AFB = AEB = sđ AB Trong đường tròn (O) · · » C ta có AEB = BMD = sđ BD · · Do AFB = BMD Mà hai góc vị trí so le nên AF // DM Mặt khác AF ⊥ AC nên DM ⊥ AC D A O B M µ µ 3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , A = E = 900 Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng ⇒ Tương tự ⇒ AC EC = ⇒ CE.CF = AC.CB (1) CF CB · ∆ ABD ∆ AEC đồng dạng (vì có BAD µ · · chung, C = ADB = 1800 − BDE ) AB AE = ⇒ AD.AE = AC.AB (2) AD AC Từ (1) (2) ⇒ AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2 44 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập Đề Câu 1: (2 điểm) cho biểu thức x y P= x y + y x + y x3 y 2y − x y− y x x+ y x− y x+ Chng minh P nhận giá trị nguyên vơí x,y thoả mÃn điều kiện x> 0,y> 0,và xy Câu 2: (3 điểm ) 1) Gi¶i PT: x + + x + = + x + 3x + 2) Tìm x,y số nguyên thảo mÃn đẳng thức x - xy y +2 = Câu : (3 điểm ) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đờng thẳng qua hai điểm A K cắt (O)tại điểm M ( MA ) Kẻ CH vuông góc với AM H Đơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N , đờng thẳng MN cắt (O) D (DM ) 1) CM : Tứ giác BHCM hình bình hành 2) CM: OHC OHM 3) CM : điểm B,H,D thẳng hàng Câu 4: ( điểm ) Tìm tất nghiệm nhỏ h¬n -1 cđa PT x2 + x2 =8 ( x + 1) Câu :( 1điểm ) Cho a,b số không âm thoả mÃn a + b > Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc M = a 3b( a + 2b) + b 3a (b + 2a ) §Ị PHẦN THI TRẮC NGHIỆM: Hai đường thẳng: y = (2 − m ) x + m − y = mx − 3m − song song với giá trị m là: a/1 b/ c/ –2 d/ –1 2 Phương tình bậc hai x − x + m có hai nghiệm x1 , x2 thoả x1 = 3x2 giá trị m là: a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2 x +1 x + x + x + + = + có nghiệm là: 2007 2006 2005 2004 a/ x = −2007 b/ x = 2007 c/ x = −2008 Phương trình d/ x = 2008 Cho hàm số y = ax , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm sau điểm thuộc đồ thị hàm số trên? 2 a/ A(1; − ) b/ B(1; ) 2 c/ C( − ;1) d/ D( ;1) Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) giá trị a b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3 45 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập ( ) Phương trình bậc hai x − + x + = có hai nghiệm là: a/ − 2; −1 b/ Giá trị biểu thức a/ c/ − 2;1 2;1 7−4 + 7+4 b/ -4 x 2007 − y = ( ) x + y = 2007 a/ 1; 2007 − b/ ( ( bằng: c/ − Hệ phương trình 2; −1 d/ d/ + có nghiệm là: ) 2007 − 1;1 ) c/ ( ) 2007;1 ( d/ 1; 2007 ) Cho hàm số y = + 2007 x + 2008 , x x = − 2007 giá trị y là: a/ b/ -2 2006 − 2007x xác định 10 a/ x ≥ 2007 2006 b/ x ≤ c/ −2 2007 2007 2006 c/ x ≤ 2006 2007 d/ 2007 d/ x ≥ 2006 2007 11 Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là: a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm 12 Cho đường thẳng a điểm O cách a cm Vẽ đường tròn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a đường tròn (O) là: a/ b/ c/ d/ ˆ ˆ = 2C số đo B là: ˆ 13 Một hình thang ABCD (AB // CD) có B 0 a/ 80 b/ 100 c/ 120 d/ 600 ˆ 14 Cho tam giác ABC vng A có AB = AC Ta có sin B bằng: a/ 3 b/ c/ 2 d/ ˆ ˆ 15 Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp A = 800 Số đo C bằng: 0 a/ 80 b/ 60 c/ 120 d/ 1000 16 Biết O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng: a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300 17 Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ là: a/ 24π cm b/ 96π cm c/ 12π cm d/ 48π cm 18 Biết điểm A thuộc đường trịn đường kính BC Khi số góc BAC bằng: a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600 19 Biết độ dài đường tròn 12π cm Vậy diện tích hình trịn bằng: a/ 36π cm b/ 24π cm c/ 144π cm d/ 36π cm 20 Các khẳng định sau, khẳng định đúng? a/ Trong đường tròn, hai dây cách tâm b/ Trong đường trịn, dây nhỏ dây gần tâm c/ Trong đường tròn, dây gần tâm dây nhỏ d/ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây âý PHẦN THI TỰ LUẬN Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A = + x x − ÷: ÷ với x ≥ x ≠ x + ÷ x −1 x x + x − x −1 ÷ a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x = + c/ Tìm giá trị x để A > Câu 2: (1,5 điểm) Cho hai hàm số: y = x2 y = –x +2 a/ Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị Câu 3: (1 điểm) 46 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập Cho phng trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0 a/ Chứng minh phương trình cho ln ln có nghiệm với m b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình cho thoả hệ thức x12 + x2 = 10 Câu 4: (3 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C đường thẳng AB cho B trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M N a/ chứng minh tứ giác CDOE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ chứng minh tam giác CDE tam giác c/ Chứng minh CD2 = CM.CN d/ Tính đọ dài cung DOE diện tích hình trịn ngoại tiếp tư giác THE END 47 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập S GIO DC – ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2008 – 2009 Ngày thi : 26/6/ 2008 MƠN TỐN - ĐỀ CHUNG ( Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) có phương án Hãy viết vào làm phương án mà em cho ( cần viết chữ ứng với phương án trả lời ) Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho đường thẳng d 1: y = 2x +1 d2: y = x – 1.Hai đường thẳng cho cắt tai điểm có toạ độ là: A (-2;-3) B ( -3;-2) C (0;1) D (2;1) Câu 2: Trong hàm số sau đây,hàm số đồng biến x < ? A y = -2x B y = -x + 10 C y = x2 D y = ( - 2)x2 Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = 2x + hàm số y = x Các đồ thị cho cắt tại điểm có hồnh độ là: A -3 B -1 -3 C D -1 Câu 4: Trong phương trình sau đây, phương trình có tổng nghiệm 5? A x2 – 5x +25 = B 2x2 – 10x - = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 = Câu 5: Trong phương trình sau đây, phương trình có hai nghiệm âm? A x2 + 2x +3 = B x2 + x – 1=0 C x2 + 3x + 1=0 D x2 + =0 Câu 6: Cho hai đường trịn (O;R) (O’;R’) có OO’ = 4cm ; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn cho: A Cắt B.Tiếp xúc C Ở D Tiếp xúc Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng: A 5cm B 2cm C 2,5cm D cm Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ cho bằng: A 30cm2 B 30 π cm2 C 45 π cm2 D 15 π cm2 Bài 2( 1,5 điểm) Cho biểu thức P = − x x + x +1 với x ≥ ÷: x − x +1 x x +1 Rút gọn P Tìm x để P < Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m = 2 Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương Bài ( 3,0 điểm) Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O;R) tai M N.Gọi S giao điểm đường thẳng BM AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh: Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM KM tiếp tuyến đường tròn (O;R) Ba điểm H,N,B thẳng hàng Bài ( 1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2.Giải phương trình xy − = 12 − y xy = + x x + x4 = 2x4 – 2008x + 2008 Hết 48 THCS Mü trung- ®Ị cơng ôn tập 10 Bi 1: (2 im) x 2x + = x + x + x + 2x + 15 2 x y + y x = y − 2) Giải hệ phương trình: 2 y x + x y = x − 1) Giải phương trình: Bài 2: (2 điểm) 1) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: < a + b + c ≤ 2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 28n + số nguyên A số phương Bài 3: (2 điểm) 1) Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x + 2y2 – z2 2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số x1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + Bài 4: (4 điểm) Cho hai đường tròn (O1; R1) (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A B cho số đo góc O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M giao điểm AB CD 1) Chứng minh: BA BC AC = = BD BA AD 2) Gọi H, N trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC 3) Tính tỉ số MC theo R1 R2 MD 4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O 1) (E tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O1) F (O1 nằm C F) Gọi I hình chiếu vng góc A đường thẳng EF J trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O 1) K Chứng minh đường thẳng CO tiếp tuyến đường tròn ngoi tip tam giỏc AKC 5) Đề 11 Bài 1: Rót gän biĨu thøc sau : x +3 P= 2x + x − − + 2x − 2x + x + + Bài 2: Giải phơng trình hệ phơng trình sau: x y = xy + x = a) b) 1− x + + x = Bµi 3: Chøng minh r»ng : ( 31+ + ) 5( 2+ + ) 7( 3+ ) ++ 2007 4015 2007 + 2008 2009 ( 49 ) 〈 THCS Mü trung- đề cơng ôn tập Bài : BC dây cung không đờng kính đờng tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung ®iĨm cđa BC, chøng minh AH = 2OA' c) Gäi A1 trung điểm EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chøng minh r»ng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A ®Ĩ tỉng (EF + FD + DE) lín nhÊt Bµi : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < Hớng dẫn đề thi 11 Bài 1: (2,5 ®iĨm) x +3 Cã : A = 2x + x − − A= T¬ng tù cã: ( x ( x +3 ) ( +2 −3 +2 ) x +3 2 +2 x −3 )( ) 2x − B= = cho 0,25 ®iĨm = 2x − ( )( 2x + x + + x +3 2+ Từ Tập xác định x x = ( x +3 )( )( ) cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm 2x − + ) ( x + 3)(2 + ) (2 x + x + 3) + ( x − 6)( x − 3) = ( x + 3)( x − 3)(2 + ) Ta cã P = A+B = 2+2 x −3 x + x + x + + x − x − x + 18 = ( x + 9) ( + ( x − 9) ( + VËy P = cho 0,25 ®iĨm ( x − 9) ( + ) = x+9 2) x − ) cho 0,5 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm Cho 0,25 ®iĨm x+9 Víi x ≥ vµ x x9 Cho 0, 25 điểm Bài ( 4,5 ®iĨm) 2 x − y = a, Tõ hÖ xy + x = 2 ⇒ xy +x = x − y ⇔ x − xy − y = (*) x = - NÕu y = ta ®ỵc : 2 x = cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm hệ v« nghiƯm x x - NÕu y ≠ ta cã : (*) ⇔ − − = y y cho 0,25 điểm 50 THCS Mỹ trung- đề cơng ôn tập x y =1 ⇔ x y = −3 cho 0,5 điểm Vậy hệ đà cho tơng đơng víi x = − y hay 2 x − y = x = y 2 2 x − y = cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 điểm cho 0,25 điểm Giải hệ đầu ta ®ỵc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) HƯ sau v« nghiƯm VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm lµ x = y = x = y = -1 b) Điều kiện -4x1 Phơng trình tơng đơng với : (vì vế không âm) cho 0,25 điểm + − 3x − x = ⇔ − 3x − x = cho 0,25 ®iĨm ⇔ 4- 3x - x2 = ⇔ x2 +3x = ⇔ x(x + 3) = ⇔ x = x = -3 Vậy phơng trình có nghiệm x = x = -3 Bài : (3điểm) Ta có với n ( 2n + 1) ( < ( n + n +1 n +1 − n n( n + 1) = ) )=1− n ( n +1 − n cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm ) cho 0,5 ®iÓm 4n + 4n + 1 cho 0,5 ®iÓm n +1 Tõ ®ã ta cã : Sn = ( + ) ( ) ++ ( ) ( 2n + 1) n + n + 31+ + 2 =1− 〈1 − < 1cho 0,75 ®iĨm n +1 4n + n + 4n + n = 1cho 0,5 ®iĨm = n+2 n+2 n VËy Sn < cho 0,25 điểm n+2 2007 áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 < điều phải chứng minh ( 0,5 điểm) 2009 Bài : Hình vẽ cho 0,25 ®iĨm x A F B A1 H D A' E O C K a) Chøng minh ∆AEF ®ång dạng ABC Có E, F nhìn BC dới góc vuông nên E, F thuộc đờng tròn ®êng kÝnh BC Cho 0,25 ®iÓm 51 THCS Mü trung- đề cơng ôn tập góc AFE = góc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iĨm ⇒ ∆ AEF ®ång d¹ng ∆ ABC (g.g) cho 0,25 ®iĨm b) VÏ ®êng kÝnh AK Cã BE ⊥ AC (gt) KC ⊥ AC (V× gãc ACK = 90 ) cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm ⇒ BE // KC T¬ng tù CH // BK cho 0,25 điểm Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm HK ®êng chÐo nªn ®i qua trung ®iĨm A' cđa ®êng chéo BC H, A', K thẳng hàng cho 0,25 ®iĨm XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K OA = OK cho 0,25 điểm Nên OA' đờng trung bình cho 0,25 điểm AH = A'O c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 ®iĨm ∆ AEF ®ång d¹ng ∆ ABC ⇒ AA' R = AA1 R' cho 0,25 điểm Trong R bán kính đờng tròn tâm O R' bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm cho 0,25 ®iĨm AH AA' 2OA' = AA' = AA' OA' ⇒ R AA = R' AA' = d, cho 0,5 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm VËy R.AA1 = AA' OA' Tríc hÕt ta chøng minh OA ⊥ EF vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O Ta cã OA ⊥ Ax V× gãc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt) ⇒ gãc EFA = gãc xAB ⇒ EF// Ax ⇒ OA ⊥ EF Chứng minh tơng tự có OB DF OC ⊥ ED Ta cã S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE = = 1 OA EF + OB FD + OC.DE 2 cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iĨm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm cho 0,25 ®iÓm R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R) ⇒ R (EF + FD + DE) = S ABC ⇒ EF + FD + DE = cho 0,25 điểm S ABC R Nên EF + FD + DE lín nhÊt ⇔ S ABC lớn Lại có S ABC = cho 0,25 điểm BC.h (h đờng vuông góc hạ từ A ®Õn BC) ⇒ S ABC lín nhÊt ⇔ h lín ABC tam giác cân A điểm già cung AB lớn cho 0,25 điểm Bài 5: (3 điểm) Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nªn ta cã: < a; b, c 〈1 (cho 0,25 ®iĨm) ⇒ a - 〈 ; b - 〈 0; c-1 〈 cho 0,25 ®iÓm ⇒ ( a -1) (b -1) (c -1) 〈 ⇔ ( ab - a - b +1) ( c -1) 〈 cho 0,25 ®iĨm 52 THCS Mü trung- đề cơng ôn tập abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 〈 cho 0,25 ®iĨm ⇔ 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 〈 cho 0,25 ®iĨm ⇔ 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 〈 cho 0,25 ®iĨm 〈 ⇔ 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) cho 0,5 ®iĨm 2 ⇔ 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 〈 (cho 0,25 ®iĨm) ⇔ 2abc + a + b + c 〈 (®pcm) cho 0,25 điểm Đề thi 12 : Bài 1: a, Chứng minh ab ta luôn có a+b a+b + ab + − ab = a + b 2 b, Phân tích đa thức M = a 10 +a + thành nhân tử Bài 2: ( x + y ) y = a, Giải hệ phơng trình ( x + y ) x − xy + y = ( ) b, cho x, y 〉 vµ x + y = Chøng minh 8(x + y ) + ≥5 xy Bµi 3: Cho ®a thøc f(x) = ax +bx + cx + d a) Chøng minh nÕu f(x) nhËn giá trị nguyên với x số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d ®Ịu số nguyên đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm AB với DE, từ giao diểm H AB với CE hạ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA Bài 5: Chứng minh phơng trình x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + =0 Vô nghiệm tập hợp số thực HD Bài 1: (3 điểm) a, Vì vế không âm nên bình phơng vế trái ta có: ( a+b a+b + ab + − ab ) = 2 =( a+b a+b ) + ab + (a + b) ab + ( ) + ab - (a + b) 2 ab +2 ( a+b ) − ab Cho 0,25 ®iĨm = 2( a+b a+b ) + 2ab + 2( ) - 2ab 2 Cho 0,25 ®iĨm 53 ... vËy xy – 2 010 = x(2011 – x) – 2 010 = 2011x – x2 – 2 010 = 2010x – x2 + x – 2 010 = (2 010 – x)(x – 1) ≥ (v× ≤ x, y ≤ 2 010) Ta cã xy ≥ 2 010 Do ®ã P 8120605021 Mặt khác 100 5 .100 6 xy = 100 5 100 6 – x(2011... = xảy x = 100 6 y = 100 5 x = 100 5 y = 100 6 GTLN P 8120605021 Dấu = xảy x = 2 010 y = x = y = 2 010 Cách 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ta cã ≤ x, y ≤ 2 010 Ta chøng minh 2 010 ≤ xy ≤ 100 5 100 6 ThËt... thỏa mãn : 100 3x + 2y = 2008 • Cách : Từ 100 3x + 2y = 2008 ⇒ 2y = 2008 − 100 3x ⇒ y = 100 4 − 100 3x 100 3x 2008 >0 ⇒x< 100 3 2008 Suy < x < x nguyên ⇒ x ∈ {1 ; 2} 100 3 100 3 Với x = ⇒ y = 100 4 − ∉ Z