Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
1,21 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn ln có vơ số nghiệm 2 Phương trình bậc hai ẩn ax by c , a, b, c ; a b 0 Công thức nghiệm tổng quát c ax c by ; y , y , a 0 x; , x , b 0 b a a 0; b 0 Đường thẳng (d ) đồ thị hàm số ax by c cb 0; ca a 0; b 0 Đường thẳng (d ) song song trùng với trục tung (cb 0) a 0; b 0 Đường thẳng (d ) song song trùng với trục hồnh (ca 0) Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm ax by c a, b, c, a, b, c ; a b 0; a2 b2 0 Hệ phương trình (HPT) bậc hai ẩn ax by c Số nghiệm HPT Số nghiệm hệ số giao điểm hai đường thẳng: ( d ) : ax by c ( d ) : ax by c (d ) cắt (d ) Hệ phương trình có nghiệm nhất: a b a b ( d ) // ( d ) Hệ phương trình vơ nghiệm: a b c a b c ( d ) ( d ) Hệ phương trình có vơ số nghiệm: a b c a b c CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn không chứa hàm số Phương pháp giải: - Phương pháp cộng đại số Bước 1: Nhân hai vế phương trình hệ với hệ số thích hợp Bước 2: Cộng trừ vế hai phương trình để phương trình cịn x y Bước 3: Giải tìm x, y Bước 4: Kết luận - Phương pháp thế: Bước 1: Từ phương trình hệ rút x theo y y theo x Bước 2: Thế vào phương trình cịn lại Bước 3: Giải hệ phương trình Bước 4: Kết luận - Phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện phương trình Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ Đưa hệ ban đầu hệ Bước 3: Giải hệ tìm ẩn phụ Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x y Bước 5: Kết luận * Nếu hệ phương trình có biểu thức chứa phân thức chứa x y phải có điều kiện xác định hệ Bài tập mẫu 3 x y 5 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: x y 8 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Phước năm 2017 – 2018) Giải chi tiết 3 x y 5 x y 8 (1) (2) Cách 1: Giải phương pháp cộng đại số Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, tốn có hai hướng làm: Để hệ số x ta nhân hai vế (1) với 2, nhân hai vế (2) với Để hệ số y đối ta nhân hai vế (2) với Ở này, làm theo hướng 2: 3 x y 5 3 x y 5 x y 8 x y 16 Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: x 21 x 3 Thay vào phương trình (2) ta được: y 8 y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 3; Cách 2: Giải phương pháp Nhận xét: Ta nên rút y theo x phương trình hai hệ, hệ số y Ta có: (2) y 8 x Thay y 8 x vào (1) ta được: 3x x 5 x 16 5 x 21 x 3 Với x 3 y 8 2.3 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 3; 3 x y 1 0 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 3 x y 2 x Giải chi tiết Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc hai ẩn nên bước rút gọn phương trình hệ đưa phương trình bậc hai ẩn 3 x y 3 x y 1 0 3 x y x 14 3 x y 2 x 3 x y 5 x y 14 3 x y 10 x y 28 Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: 13 x 26 x 2 Thay x 2 vào phương trình thứ hai: 5.2 y 14 y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình x; y 2; * Ta dùng phương pháp để giải hệ phương trình x y (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (2) x y 1 Giải chi tiết Nhân hai vế (1) với 2 x y x y 1 ta được: 1 x x y 1 1 y x x Cộng vế tương ứng hai phương trình ta có: x 3 x Thay x 3 vào (1): 3 3 y y x y x y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 3 x y x y 1 Giải chi tiết x y x y x x y y x y (1) (2) 3x x y y 1 4 x y 1 3 x y x y 1 (2) y 1 x Thay y 1 x vào (1) ta được: x x 10 x 5 x 1 y 1 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y ; 1 2 y 2 3 21 3 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2 Với x 1 y 1 1 x y y xy Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: x 1 y 1 6 xy Giải chi tiết x y y xy x 1 y 1 6 xy xy x y xy 6 xy x y 6 xy 5 x y 9 (1) x y 1 (2) Trừ vế tương ứng hai phương trình ta có: x 8 x 1 Thay x 1 vào phương trình thứ nhất: 5.1 y 9 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; * Hệ phương trình chưa có dạng bậc hai ẩn nên bước rút gọn phương trình hệ đưa phương trình bậc hai ẩn Rút gọn xy hai vế hai phương trình x y 3 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: (I) x y 3 (Đề thi vào lớp 10 Thành phố Hà Nội năm 2018 – 2019) Giải chi tiết Đặt t y (điều kiện: t 0 ) x t 3 Ta có hệ: x 2t 3 8 x 2t 6 x 2t 3 9 x 9 x 2t 3 y 1 Với t 1 y 1 y x 1 (thỏa mãn) t 1 y y Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1 , 1; 3 * Vì hai phương trình có y nên ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình có trị tuyệt đối nên ta chia hai trường hợp dể phá dấu trị tuyệt đối để hệ phương trình bậc hai ẩn (nhưng cách dài cách đặt ẩn phụ) x y 2 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: x y 15 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 1; y Đặt a x 1; b y a 0; b 0 a 3b 2 2a 6b 4 11b 11 b 1 Ta có hệ: (thỏa mãn) 2a 5b 15 2a 5b 15 a 3b 2 a 5 a 5 b 1 x 5 y 1 x 25 y 1 x 26 y Vậy hệ phương trình có nghiệm 26; 1 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: 11 x 3 y 11 x 3 y Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 3; y 2 Đặt a ; b a 0; b x 3 y2 11 b Ta có hệ: 11 5a b a x 2 11 a b 22 10a 2b x 2 x b y 3 y 5 11 11 a 11 a 2b a 11 2b a (thỏa mãn) b x x y 5 y Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;5 , 1; , 5;5 , 5; 21 2x y x y 2 Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: 7 x y 1 x y x y (Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS&THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 – 2019) Giải chi tiết Nhận xét: Cả hai phương trình có Ta biến đổi: nên đặt ẩn phụ 2x y 7 x y x y b, Vậy đặt x y x y x y x y Điều kiện xác định: 2x y x y a 2x y 21 2x y x y 2 x y 1 x y x y 21 2x y x y 2 1 x y x y 21 2x y x y 2 2 x y x y ; b , a 0 x y 2x y Đặt a 4a 3b 2 Ta có hệ: 3a b 2 a b 21 2x y x y 2 x y 1 2x y x y 4a 3b 2 9a 3b 6 13 13a 3a b 2 a b 2 a (thỏa mãn) b 2x y 2 2 x y 4 3 x 18 x 6 (thỏa mãn) x y 14 y 14 x y 8 1 x y Vậy hệ phương trình có nghiệm 6;8 Dạng 2: Hệ phương trình chứa tham số Phương pháp giải ax by c ax by c Cách 1: Tìm x; y theo m, tìm điều kiện m Cách 2: + Hệ có nghiệm + Hệ vô nghiệm a b a b a b c a b c + Hệ có vơ số nghiệm a b c a b c Bài tập mẫu x my 2 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm mx y 1 Giải chi tiết x 2 Với m 0 hệ , hệ có nghiệm y Với m 0 Hệ có nghiệm m m 2 m2 (luôn đúng) m Vậy phương trình ln có nghiệm với m * Khi lập tỉ số a b a b có tham số m ta phải xét thêm trường hợp a 0 b 0 a b mx y 2m Ví dụ 2: Cho hệ phương trình Tìm điều kiện m để phương trình có x y m nghiệm tìm nghiệm Giải chi tiết mx y 2m (1) Hệ x y m (2) Hệ có nghiệm m 2 m 4 2 Từ phương trình (2) ta có: y 2 x m Thay vào phương trình (1) ta được: mx x m 1 2m m x 4m x 4m , m 4 m m 5m 4m y 2 m m m 4m m 5m x ; y ; m Vậy với hệ phương trình có nghiệm m m 3 x y 2m Ví dụ 3: Cho hệ phương trình (m tham số) x y 3m a) Giải hệ phương trình với m 2 2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x y 5 Giải chi tiết a) Với m 2 , ta có hệ: 3 x y 7 x y 7 6 x y 14 x y 7 7 x 21 3 x y 7 x 3 y 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm 3; b) Vì 1 nên hệ phương trình ln có nghiệm x; y 3 x y 2m x y 3m 6 x y 4m x y 3m 7 x 7 m 3x y 2m Hệ phương trình có nghiệm x; y m 1; m 2 Theo đề bài, ta có: x y 5 x m y 3 m 1 2m m m 1 m 1 m2 5 2m 2m 0 m 1 m 0 m Vậy m 1 m phương trình có nghiệm thỏa mãn đề x ay 3a Ví dụ 4: Cho hệ phương trình (I) (a tham số) ax y 2 a a) Giải hệ phương trình với a 1 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn 2y số nguyên x 3 (Đề thi vào lớp 10 mơn Tốn tỉnh Lào Cao năm 2018 – 2019) Giải chi tiết x y 3 a) Với a 1 , ta có hệ: x y 1 y 4 x 3 y y 2 x 1 Vậy với a 1 hệ phương trình có nghiệm 1; x 0 b) Với a 0 hệ , hệ có nghiệm y 2 Với a 0 Hệ có nghiệm a a 1 a (ln đúng) a Hệ phương trình ln có nghiệm với a x 3a ay x 3a ay x ay 3a 2 2 a 3a ay y 2 a ax y 2 a a 1 y 2a y 2 x a (Vì a nên rút gọn ta có y 2 ) Hệ phương trình ln có nghiệm x; y a; Xét: A 2y x 3 a 3 2 Ta có: a 3, a 4 , a A a 3 3 a 1 2 Mà theo đề để A A 1 a 4 a 1 a Vậy a 1 a thỏa mãn đề Lưu ý: Đối với tốn tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên ta tìm khoảng giá trị biểu thức A, tìm giá trị nguyên A khoảng thay vào tìm a Phân biệt với tốn tìm a số ngun để A nhận giá trị ngun có a Ư (4) mx y 3 m Ví dụ 5: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm m để hệ phương trình có x my 2m nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Giải chi tiết y Với m 0 , ta có hệ: Hệ có nghiệm x 0 Với m 0 , hệ phương trình có nghiệm m 1 m 1 m 1 m Vậy với m 1 hệ phương trình có nghiệm y mx m mx y 3 m y mx m 2 x my 2m m x m m x m mx m 3 2m m x m y 2m m 1 m x m 1 y m m m 1 x m y m 1 Cộng hai vế hai phương trình ta khử tham số m Hệ thức cần tìm x y BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải hệ phương trình sau: x y 8 1) x y 13 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm 2018 – 2019) 9 x y 11 2) 5 x y 9 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Dương năm 2018 – 2019) x y x y 4 3) x y x y 5 3 x 1 x y 4 4) (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thái Nguyên năm 2018 – 2019) x 1 x y 9 3 x y 3 y 6 xy 1 5) x y 4 xy x 3 y y x 1 6) x 1 y 1 2 xy x y 1 7) x y Câu 2: Giải hệ phương trình sau: x y 5 1) x y 2 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018) 3 x y 11 2) 5 x y 13 (Đề thi vào lớp 10 TP Hà Nội năm 2017 – 2018) 1 x 3) 2 x (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hịa Bình năm 2018 – 2019) 4 y 1 3 y 1 x y y 4) x y 7 x y y xy xy 3 5) x y 15 0 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2018 – 2019) x y y 4 6) x y y x 2 Câu 3: Cho hệ phương trình (m tham số) Tìm m để x y nhỏ mx y m (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lào Cai năm 2017 – 2018) mx y n Câu 4: Cho hệ phương trình (m, n tham số) nx my 1 a) Không dùng máy tính cầm tay giải hệ phương trình m 1 ; n b) Xác định m, n biết hệ có nghiệm 1; 3 x y 2m Câu 5: Cho hệ phương trình (m tham số) x y 3m 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y 13 x y 3 m Câu 6: Cho hệ phương trình (I) (m tham số) x y 3 m a) Giải hệ phương trình m 2 b) Tìm tất giá trị m để (I) có nghiệm 2 c) Tìm giá trị nhỏ A x y , x; y nghiệm (I) (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017 – 2018) mx y 3 m Câu 7: Cho hệ phương trình (m tham số) x my 2m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Tìm m ngun để A y x có giá trị nguyên Gợi ý giải Câu 1: 1) Nghiệm hệ phương trình 4;1 2) Nghiệm hệ phương trình 1; x y x y 4 3) x y x y 5 5 x y 4 3 x y 5 x y 13 13 Nghiệm hệ phương trình là: ; 2 3 x 1 x y 4 4) 4 x 1 x y 9 5 x y 1 3 x y 5 x 1 y Nghiệm hệ phương trình là: 1; 1 3 x y 3 y 6 xy 1 x y 6 x 5) 20 x y 25 y x y 4 xy Nghiệm hệ phương trình là: 2; 3 x 3 y y x 1 x y 6 6) 2 x y 1 x 1 y 1 2 xy x 4 y 7 Nghiệm hệ phương trình là: 4;7 1 ; 7) Nghiệm hệ phương trình Câu 2: 1) Điều kiện: x 0; y 1 Đặt a x ; b y a 0; b 0 a 2b 5 a 1 x 1 Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện) 4a b 2 b 2 y 5 2) Điều kiện: y Đặt b y b 0 3 x b 11 Ta có hệ: 5 x b 13 x 3 b 2 x 3 (thỏa mãn điều kiện) y Nghiệm hệ phương trình là: 3; 3) Điều kiện: x 0; y 1 Đặt a ; b x y 1 a 2b 4 Ta có hệ: 2a b 3 a 2 x b 1 y 0 Nghiệm hệ phương trình là: 1;5 4) Điều kiện: x y; y 0 y 4 Đặt a 1 ; b x y y 3a 5b 3a 5b Ta có hệ: 5a 7b 7 5a 7b 6 a b x 14 x y 2 y 2 y 16 Nghiệm hệ phương trình là: 14;16 5) Điều kiện: xy xy xy 3 (1) x y 15 0 (2) Từ (1) ta có: xy xy 0 xy xy 0 xy 4 xy 16 Từ (2) ta có: x xy 15 0 x 16 15 0 x 1 y 16 6) Điều kiện: y Đặt a x y; b y b 0 2a b 4 Ta có hệ: a 3b a 1 b 2 x y 1 y 2 x y 3 Nghiệm hệ phương trình là: 2;3 Câu 3: x 2 mx y m x 2 2m y m x 2 y m 2m Hệ phương trình có nghiệm với m 2 Ta có: A x y m 2m m 1 A 4, m Giá trị nhỏ x y đạt m 1 Câu 4: a) Khi m 1 10 22 , n nghiệm hệ là: x; y ; 21 m n b) Hệ có nghiệm 1; n 3m 1 m n 3m n 1 m n 2 Câu 5: 3 x y 2m x y 3m 6 x y 4m x y 3m x m y m m 2 2 2 Theo đề x y 13 2m 2m 13 m m 0 m Câu 6: a) Với m 2 nghiệm hệ x; y 5; b) Ta thấy: 2 nên hệ (I) ln có nghiệm x y 3 m 2 x y 6 2m 5 y 5m y m 2 x y 3 m 2 x y 3m x y 3 m x m 3 c) Ta có: A x y m m 3 2m 6m 2 m 2 3 9 m , m A , m 2 2 Vậy giá trị nhỏ A Câu 7: đạt m 2 y 3 Với m 0 ta có hệ: x 0 x 0 Hệ có nghiệm y Với m 0 , hệ có nghiệm m 2 m 4 m 2 m Khi đó: 2m 2m y m y 6 2m 2m 2mx y 6 2m mx y 3 m m2 2 x my 2m 2mx m y 2m x m m 2 x my 2m m2 A y 2x m 4 Với m nguyên, đề A nhận giá trị nguyên m Ư (6) Ta có trường hợp sau: m 6 m m 10 m m 3 m m 7 m 1 m m 2 m m 6 m 2 (loại) m 1 m m 5 m 3 (loại) (loại) Vậy m 1 giá trị cần tìm CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ BẬC NHẤT Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại I Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại I theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trò ẩn x y hệ phương trình khơng thay đổi f x, y 0 Hệ phương trình đối xứng loại I có dạng , g x, y 0 f x, y f y, x g x, y g y , x Bước 1: Đặt S x y; P xy Điều kiện: S 4 P Bước 2: Biến đổi hệ phương trình có hai ẩn S, P giải S P (sử dụng phương pháp cộng đại số) Bước 3: Tìm S P, x y nghiệm phương trình bậc hai: X SX P 0 Giải phương trình bậc hai theo ẩn X Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Chú ý: Nếu x0 ; y0 nghiệm hệ phương trình y0 ; x0 nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu x y xy 3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình x y 2 Giải chi tiết Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) tổng tích x y x y xy 3 x y 2 x y xy xy 3 x y 2 x y xy 3 x y 2 Đặt S x y; P xy Điều kiện: S 4 P S P 3 S 2 S 2 Ta có hệ: (thỏa mãn) 4 P 3 P 1 S 2 2 x y nghiệm phương trình bậc hai: X X 0 X 1 0 X 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;1 x y 10 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình x 1 y 1 8 Giải chi tiết 2 x y 10 x 1 y 1 8 x y xy 10 xy x y 8 Đặt S x y; P xy Điều kiện: S 4 P S P 10 Ta có hệ: P S S P 10 P S S S 10 P 7 S S 4 S P 3 P 13 Mà S 4 P S 4, P 3 thỏa mãn Khi đó, x y nghiệm phương trình bậc hai S S 24 0 P 7 S X 1 X X 0 X 1 X 0 X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;3 , 3;1 x y xy 16 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x y 10 Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 0; y 0 Đặt S x y ; P xy Điều kiện: S 4 P S 0; P 0 S P 16 Ta có hệ: S P 10 S P 16 2 S P 20 S P 16 2 S S 36 0 S S 4 (thỏa mãn ) (loại) P 3 P 41 Khi x y nghiệm phương trình bậc hai X 1 X X 0 X 1 X 0 X 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1;9 , 9;1 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại II Phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x y hệ phương trình mà ta đổi vai trị ẩn x y hai phương trình hệ hoán đổi cho f x, y 0 Hệ phương trình đối xứng loại II có dạng f y, x 0 Bước 1: Cộng trừ hai vế hai hệ phương trình thu phương trình Biến đổi phương trình phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ x y đơn giản Bước 2: Thế x theo y (hoặc y theo x) vào hai phương trình hệ ban đầu Bước 3: Giải tìm nghiệm x (hoặc y) Từ suy nghiệm lại Bước 4: Kết luận nghiệm hệ phương trình Bài tập mẫu x 3x y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình y y x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x y x y y x x y x y x y 0 x y x y 0 x y x 5 y y 0 x 0 Với x y thay vào (1) ta được: y y 0 y y 1 0 y 1 x 1 Với x 5 y thay vào (1) ta được: y y y y y 10 y y y 10 0 Vậy nghiệm hệ phương trình cho x; y 0;0 , 1;1 x x y (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình y y x (2) Giải chi tiết Trừ vế hai phương trình ta được: x y 3x y 0 x y x y xy 0 y 3y2 x y x 3 0 y x 2 Với y x thay vào (1) ta được: x x 0 x 0 Vậy nghiệm hệ phương trình 0;0 x2 x y2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 3 y y x2 Giải chi tiết x Vì vế phải phương trình dương nên ta có y x2 x y2 Ta có: 3 y y x2 2 3xy x (1) 2 3 yx y (2) Trừ vế hai phương trình (1) (2) ta được: 3xy yx x y 3xy y x x y x y x y 3xy x y 0 Vì x 0, y 3xy x y (vô nghiệm) x y 2 Với x y thay vào (1) ta được: 3x x 0 x 1 3x x 0 x 1 y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình 1;1 Dạng 3: Một số hệ phương trình khác Bài tập mẫu x y m Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (m tham số) 2 x y m Hãy tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x; y cho biểu thức A xy x y đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ (Trích đề thi vào 10 tỉnh Cao Bằng năm 2017 – 2018) Giải chi tiết x y m Nhận xét: hệ phương trình đối xứng loại 2 x y m Đặt S x y; P xy Điều kiện: S 4 P x y x y xy S P S m Ta có hệ: 2 S P m S m P m Hệ phương trình có nghiệm x; y S 4 P m 4m2 12 3m 12 m2 4 m 2 2 Ta có: A xy x y m 2m m 2m m 1 Vì m 2 m 3 m 1 9 A 5 Giá trị nhỏ A đạt m 0 m 3a b b3 1 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức M a b biết a, b thỏa mãn: 3b 1 a a (Trích đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2017 – 2018) Giải chi tiết Điều kiện xác định: a 0; b 0 3a b b3 1 Ta có: b 1 a a b3 3a 2b 1 3a 2b b3 b a b 2 3ab a a 3ab 2 a 3ab 4 Cộng vế hai phương trình ta được: b 6a 2b 9a 4b a 6a 4b 9a 2b 5 b 3a 2b 3a 4b a 5 a b2 5 a2 b2 Vậy M x y xy Ví dụ 3: Giải hệ phương trình x y 1 (Trích đề thi vào 10 tỉnh Nam Định năm 2017 – 2018) Giải chi tiết Điều kiện xác định: x 0 y 2 x y xy 1 x y 1 xy 2 x y (1) 2 x y xy (2) xy y y x x y 1 Trừ vế hai phương trình ta có: x y 0 x 3 y Thay x 3 y vào phương trình (2) ta được: y y y 1 y y 0 y 1 0 y 1 x 2 Vậy nghiệm hệ phương trình 2;1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN x y x Câu 1: Giải hệ phương trình y x y x 2 y x Câu 2: Giải hệ phương trình y 2 x y xy x y 3 Câu 3: Giải hệ phương trình x y xy 2 3 x y 12 xy 23 Câu 4: Giải hệ phương trình x y 2