Câu 1: 2 Cho số a, b thỏa mãn điều kiện: 2a ab 3b 0, b 2a, b 2a Tính giá trị biểu thức Lời giải: M Câu 2: M 8a 3b 2a 5b 2a b 2a b 8a 3b 2a 5b (8a 3b)(2a b) (2a 5b)(2a b) 12a 14ab 8b 2a b 2a b (2a b)(2a b ) 4a b 2 2a ab 3b 4a b 4a b 4a b 4a b 2 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab bc ca 2022 Chứng minh: a 2022 b 2022 c 2022 2 ab bc ca Lời giải: Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ ( BCS ) : ( a b)( a c) ( ab ac ) 2 Ta có a 2022 a ab bc ac (a b)(a c ) ( ab ac ) a 2022 ab ac Chứng minh tương tự Do b 2022 bc ab a 2022 b2 2022 c 2022 2( ab bc ca ) 2 ab bc ca ab bc ca Dấu " " xảy Vậy Câu 3: c 2022 bc ca a b c 6066 a 2022 b 2022 c 2022 2 ab bc ca Giải phương trình: Lời giải: 4x x x 1 1 x ĐKXĐ: x 1; x 0 4x x( x 1) x2 x x( x 1) x x 1 1 x ( x 1)( x 1) x x x x x x 5 x x x 4( x 1) 9 ( x x 1) 32 x x 3 x x x x x x Giải phương trình: x x ĐKXĐ: x 3 x 5 ( N ) 4( x 1) ( x 3) x 10 x 0 x2 5 ( L) Giải phương trình: x x ĐKXĐ: x x 1; x 0 4( x 1) ( x 3)2 x x 0 (pt vô nghiệm) Vậy S {5 5} Câu 4: Cho đường trịn (O) , đường kính AB cố định Gọi C điểm di động (O )(C khác A B) , vẽ đường kính CD đường trịn (O) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC , AD E F Gọi H trung điểm đoạn thẳng BF ; K giao điểm hai đường thẳng OE AH a) Chứng minh năm điểm E , C , D, F , K thuộc đường tròn b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định C di động đường tròn (O) Lời giải: a) Chứng minh điểm E , C , D, F , K thuộc đường trịn Ta có EAF ACB ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AD AF AC AE AB (Hệ thức lượng) AD AC AE AF Xét ACD AFE có: AD AC EAF chung, AE AF (cmt) ACD ∽AFE (c-g-c) ACD AFE (góc t/ư) tứ giác CDFE nội tiếp (góc ngồi = góc đối trong) (1) ABF ∽EBA ABF ABE 90 , AFB BAE BF AB BF BH AB BH ABH ∽EBO ABH EBO 90 , AB EB AB BO BE BO HAB KEB (góc t/ư) AKBE nội tiếp ( đỉnh liên tiếp nhìn.) AKO ~ EBO (g-g) KO AO OK OD OK OE OA OB OC OD BO OE OC OE KOD ∽COE (c-g-c) DKO ECO (góc t/ư) DKCE nội tiếp (2 đỉnh liên tiếp nhìn.) (2) Từ (1), (2) suy điểm E , C , D, F , K thuộc đường tròn b) Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định Kẻ IM EF , OI cắt EF N Gọi L trung điểm BE O, L trung điểm AB, BE LO AE (đường trung bình ABE ) Mà AE AF LO AF (3) H trung điểm BF HF HD BF (t/c trung tuyến thuộc cạnh huyền) IF ID (bán kính đường trịn ( I )) IH đường trung trực FD IH FD (4) Từ (3), (4) LO IH (cùng vng góc với AF ) Chứng minh tương tự HO IL (cùng vng góc với AE ) IHOL hình bình hành (các cạnh đối song song) N trung điểm IO OBN IMN (c/h-g/n) IM OB AB (không đổi) I nằm đường thẳng song song với tiếp tuyến B đường tròn (O) cách tiếp AB tuyến B khoảng không đổi Câu 5: Qua điểm M thuộc cạnh BC ABC ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, AC ; chúng tạo thành với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí M để hình bình hành có diện tích lớn Lời giải: Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC F Gọi S , S1 , S2 diện tích ABC , EBM , FMC ME AC EBM ∽ABC S1 BM S BC MF AB FMC ∽ABC S CM S BC S1 S2 BM CM ( BM CM ) S BC 2 BC 2 (Bđt Cauchy) S S S S1 S2 SAEMF S S1 S2 S 2 (const) Dấu "=" xảy BM CM M trung điểm BC S Max S AEMF BM MC Vậy Câu 6: Tìm tất cặp số tự nhiên m; n với m n cho A (m n) ước B 2n 3m n Lời giải: Ta có ( m n)3 2n m n 8 m3 m n 3mn n m n 2n m3 m n 3mn n (m n)3 m n m n 2n m n 8 : (m n)3 (m n) 0 m n m n 2 m n Để mà m, n m n Trường hợp m n 2n m n 8 ( m n)3 8m3 8m3 88m3 m 1, n 1 ( m; n) (1;1) m n 2n m n 8 (m n)3 8n3 12n 6n (2n 1)3 Trường hợp 2n 1 n 0 m 1 2n 1 (2n 1)3 7(2n 1)3 2 n 1 2n 7 n 3 m 4 Thử lại m; n 1; thỏa mãn Trường hợp m n 2n 3m n 8 (m n)3 8n3 24n2 24n : (2n 2)3 (2n 2)3 : (2n 2) với n (m; n) (n 2; n) Vậy cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn (1;1), (1; 0), ( n 2; n) với n