6 kha~1

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tập xác định Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên * Xét chiều biến thiên hàm số : + Tính đạo hàm y’; + Tìm điểm đạo hàm y’ không xác định ; + Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị * Tìm giới hạn vô cực ,các giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có ) * Lập bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên ) Tìm khoảng lồi ,lõm điểm uốn đồ thị hàm (bước thực với hàm bậc ba ) + Tính y’’ + Giải phương trình y’’=0 + Lập bảng xét dấu y’’ Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ CHÚ Ý Nếu hàm số tuần hồn với chu kì T cần khảo sát biến thiên vẽ đồ thị chu kì ,sau tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox Nên tính thêm toạ độ số điểm ,đặc biệt giao điểm đồ thị với trục toạ độ Nên lưu ý đến tính đối xứng đồ thị để vẽ cho xác B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số bậc ba vấn đề liên quan HÀM SỐ BẬC BA : y ax3  bx  cx  d Tập xác định: D ¡ Đạo hàm: y' 3ax  2bx  c ,  b2  3ac   : Hàm số có cực trị  0 : Hàm số tăng giảm ¡ 134 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đạo hàm cấp 2: y'' 6ax  2b , y'' 0  x  b 3a b hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 3a Giới hạn: Nếu a  thì: lim y  ; lim y  x  x   x   y ; lim y   Nếu a  thì: xlim  x   Bảng biến thiên đồ thị: Trường hợp a  : *  b2  3ac  : Hàm số có cực trị *  b2  3ac 0  y 0, x  ¡ : Hàm số tăng ¡ Trường hợp a  : *  b2  3ac  : Hàm số có cực trị *  b2  3ac 0  y 0, x  ¡ : Hàm số giảm ¡ Một số tính chất hàm số bậc ba Hàm số có cực đại cực tiểu khi:  b2  3ac  a  Hàm số đồng biến ¡    b  3ac 0 a  Hàm số nghịch biến ¡    b  3ac 0 Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f (x) : f(x) f (x).g(x)  rx  q Nếu x1 , x2 hai nghiệm f (x) thì: f(x1 ) rx1  q; f(x ) rx  q Khi đường thẳng qua điểm cực trị y rx  q Đồ thị ln có điểm uốn I tâm đối xứng đồ thị Đồ thị cắt Ox điểm phân biệt  hàm số có hai cực trị trái dấu Đồ thị cắt Ox hai điểm phân biệt  đồ thị hàm số có hai cực trị cực trị nằm Ox Đồ thị cắt Ox điểm  hàm số khơng có cực trị hàm số có hai cực trị dấu Tiếp tuyến: Gọi I điểm uốn Cho M  (C) * Nếu M I ta có đúng mợt tiếp tuyến qua M tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( a  ), lớn (nếu a  ) * Nếu M khác I có đúng tiếp tuyến qua M Các ví dụ Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số: y  x  3x  y  x3  3x2 y  x  2x  4x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 135 Lời giải Tập xác định : D ¡  Chiều biến thiên : o y  3x  6x  3x  x   ; y 0   3x  x   0  x 0 x 2 Hàm số nghịch biến khoảng    ;   ;   , đồng biến khoảng  ; 2 Hàm số đạt cực đại điểm x 2 ; giá trị cực đại hàm số y   0 Hàm số đạt cực tiểu điểm x 0 ; giá trị cực tiểu hàm số y    y  ; lim y   o Giới hạn hàm số vô cực : xlim  x   Bảng biến thiên :   x y' y  0 + + 0 4 +    Đồ thị : o Cho x   y 0 ; x 3  y  Tập xác định : D ¡  Chiều biến thiên: o y  3x  6x  3x  x   ; y 0   3x  x   0  x 0 x 2 Hàm số nghịch biến khoảng    ;   ;   , đồng biến khoảng  ; 2 Hàm số đạt cực đại điểm x 2 ; giá trị cực đại hàm số y   4 Hàm số đạt cực tiểu điểm x 0 ; giá trị cực tiểu hàm số y   0 y  ; lim y   o Giới hạn hàm số vô cực: xlim  x   Bảng biến thiên:  Đồ thị : Cho x   y 4 ; x 3  y 0 136 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tập xác định: D ¡  Chiều biến thiên:  y   ; lim y  Giới hạn hàm số vơ cực: xlim  x    Ta có: y' x  4x   x   0 , x  ¡ Hàm số đồng biến khoảng    ;   , hàm số khơng có cực trị  Bảng biến thiên:  Đồ thị : Cho x 0  y 0 Ví dụ Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số; Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) A  3;1 Lời giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị:  Tập xác định: D ¡  Chiều biến thiên : Ta có : y'  3x  6x  3x  x   y' 0   3x  x   0  x 0 x 2 y   x   ;  ; y    x     ;    ;    Hàm số nghịch biến khoảng    ;   ;   , đồng biến khoảng  ;  Hàm số đạt cực đại điểm x 2 ; giá trị cực đại hàm số y   5 Hàm số đạt cực tiểu điểm x 0 ; giá trị cực tiểu hàm số y   1 y  ; lim y   o Giới hạn hàm số vô cực : xlim  x   o Bảng biến thiên: x  y'  y + + +   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 137 o Đồ thị : Cho x = 1  y = 5; x =  y = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm A  ; 1 có dạng : y  y   x    y   x     y  9x  28 Ví dụ Cho hàm số y x3  3x  mx  , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho với m 0 ; Với giá trị m hàm số nghịch biến khoảng    ;  Lời giải Khi m 0 hàm số : y x3  3x   Tập xác định: D ¡  Chiều biến thiên: y   ; lim y   o Giới hạn hàm số vô cực: xlim  x   o Bảng biến thiên: + y 3x  6x 3x  x   , y 0  3x  x   0  x 0 x     ;  2 Hàm số đồng biến khoảng  ;  , nghịch biến khoảng   ;  Hàm số đạt cực đại điểm x  ; giá trị cực đại hàm số y    0 Hàm số đạt cực tiểu điểm y    x 0 ; giá trị cực tiểu hàm số y  ; lim y   o Giới hạn hàm số vô cực : xlim  x   o Bảng biến thiên: x  2 y' +   y  4  Đồ thị : Cho x   y  ; x 1  y 0 + + Hàm số y x3  3x  mx  đồng biến khoảng    ;   y 3x2  6x  m 0 , x     ;0  Xét: g  x  3x2  6x  m , x     ;  g x  6x   g  x  0  x  Bảng biến thiên : x 138  1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word g'(x) g(x)  + + m 3 – m Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: y' g  x  3x  6x  m 0 , x     ;     m 0  m  Vậy m  u cầu tốn thỏa mãn Ví dụ Cho hàm số y 2x  9x  12x  có đồ thị  C Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số; Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x  9x  12 x m Lời giải + Bảng biến thiên: x y' y  + 1  + + +  + Đồ thị : 3 Ta có: x  9x  12 x m  x  9x  12 x  m  Gọi  C  : y 2x  9x  12x   C' : y 2 x  9x2  12 x  Ta thấy x 0 thì:  C : y 2x  9x  12x  Mặt khác hàm số đồ thị (C’) hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy trục đối xứng Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị (C’) sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta  C1  o Lấy đối xứng qua trục Oy phần  C1  , ta  C2  o  C  C1    C2  Số nghiệm phương trình: x  9x  12 x m  x  9x  12 x  m  số giao điểm đồ thị (C’) đường thẳng  d  : y m  Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu toán   m  1   m 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 139 Ví dụ Cho hàm số y x3  mx  có đồ thị  Cm  , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  m  3 Tùy theo k giải biện luận phương trình:  x  3x  k 0 Gọi A B hai điểm cực trị  C  , tìm điểm M  C  cho tam giác MAB cân M Tìm m để đồ thị hàm số  Cm  cắt trục hoành điểm Lời giải  Hàm số cho xác định ¡  Ta có: y' 3x  6x 3x  x   y' 0  x 0 x 2 y   lim y   Giới hạn: xlim  x    Bảng biến thiên: x y'       y  2 Hàm đồng biến khoảng   ;   2;   , nghịch biến  0;  Hàm số đạt cực đại điểm x 0 với giá trị cực đại hàm số y   2 hàm số đạt cực tiểu điểm x 2 với giá trị cực tiểu hàm số y     Đồ thị  Điểm uốn: : y'' 6x  y " 0  x 1 Ta thấy y " đổi dấu x qua điểm x 1 Vậy I  1;  điểm uốn đồ thị  Giao điểm đồ thị với trục tọa độ y Giao điểm đồ thị với trục Oy điểm  0;   Đồ thị cắt Ox ba điểm  1;  ,  3;  -1 x Chọn x 3  y 2, x   y  Nhận xét: Đồ thị nhận I  1;  làm tâm đối xứng  -2 140 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 3  x  3x  k 0  x  3x  k  , phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  C'  : y  x  3x  đường thẳng  d  : y k   số nghiệm  y  x  3x   phương trình cho số giao điểm hai đồ thị   y k   d  y  k     k   d không cắt đồ  C'  thị  C'  nên phương trình cho vơ nghiệm  k    k 0     d cắt  C'  k   k  hai điểm phân biệt nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  k  2  k 4  d cắt  C'  ba y k  2 -_3 -1 O điểm phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt    k     k   d cắt  C' x -_2 bốn điểm phân biệt nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Giả sử A  0;  B  2;   hai điểm cực trị  C  Tam giác MAB cân M  MA MB M,A, B MA MB  M thuộc trung trực AB : x – 2y –  y x  M Tọa độ thỏa nghiệm hệ phương trình:  x – 2y  14 14    x  1 2x  4x  0  M   ;     Loại M  1;  M,A, B thẳng hàng  không thẳng hàng 0 3x  – 0  Cách 1: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  Cm  với trục Ox :  m x 2 Xét hàm số f  x  x  Ta có: f '  x  2x  f '  x  0  x 1 x x Lập bảng biến thiên suy  m   m   giá trị cần tìm Cách 2: Để đồ thị hàm số  Cm  cắt Ox điểm ta có trường hợp x3  mx  0  x  sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 141 TH 1: Đồ thị hàm số  Cm  khơng có cực trị hàm số  Cm  đồng biến (do a 1  ) ¡  y' 3x2  m 0 x  ¡  m 0 TH 2: Đồ thị hàm số  Cm  có hai cực trị dấu y' 0  x  m m  x   với m  3 Hai giá trị cực trị là: y1 2  2m m 2m m  , y 2   3 3 4m 0  3m 0 27 Vậy m   giá trị cần tìm  y1 y 4  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x  3x  9x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng dm : y  2m  1 x  cắt đồ thị  Cm  ba điểm phân biệt A  0;  1 , B,C cho BC  82 Tìm điểm nằm  C  mà qua vẽ tiếp tuyến đến  C Bài Cho hàm số y  x  3x  mx  , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m 0 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng  0;  Tìm m để đồ thị hàm số cho cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Bài 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị  Cm  hàm số y x3  3x2   4m  1 x  2m  cắt Ox ba điểm A, B,C cho AB BC Bài Tìm m để đồ thị  Cm  : y x   m  1 x  3mx  m  cắt Ox ba điểm phân biệt có điểm có hồnh độ âm Bài Tìm m để đồ thị  Cm  : y x  2x   3m  1 x  m  cắt đường thẳng d : y   m  x  m  ba điểm phân biệt có hồnh độ x1  x   x Bài Cho hàm số  C  y x3  5x2  6x  Tìm đồ thị  C2  cặp điểm đối xứng qua O Tìm m để O tồn cặp điểm đối xứng qua Oy Bài Cho hàm số y x3   2m  1 x  mx  3m  có đồ thị  Cm  142 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tìm  C1  cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tìm m để  Cm  tồn cặp điểm đối xứng qua trục tung Tìm tất điểm cố định họ đường cong  Cm  qua 4.Tìm điểm cố định mà khơng có đồ thị họ  Cm  qua có đồ thị  C  Trên đồ thị  C  có bốn x điểm A, B,C, D cho tứ giác ABCD hình vuông tâm I  1;  1 Bài Cho hàm số  C  : y  Bài Trên mp Oxy cho đồ thị  C  : y x3  2x Chứng minh hình bình hành có tất đỉnh nằm  C  tâm hình bình hành gốc tọa độ O Bài 10 Biết đồ thị hàm số y x3  ax2  bx  c cắt Ox ba điểm phân biệt Chứng minh 27c  2a  9ab  a  3b  x  3x  9x  có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  Bài 11: Cho hàm số : y    Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 12: Cho hàm số y f(x)  x  x  , có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ  C  Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x  m (1) Bài 13: Cho hàm số y x3  3x2  có đồ thị  C  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  Tìm m để phương trình x3  3x2 m (1) có ba nghiệm phân biệt 3 Từ đồ thị  C  suy đồ thị  C'  : y g(x)  x  3x  Biện luận số nghiệm phương trình :  x  3x  m 0 (2) Bài 14: Cho hàm số y 2x  3x  có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 36x  3 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : x  x  m 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 143 Xác định giá trị tham số m để hàm số có điểm cực tiểu mà khơng có điểm cực đại Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Cho hai điểm A  0;  16  B   1;   Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Bài 7: Cho hàm số: y x4  2x  có đồ thị  C  Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4  2x2   log m 0 Cho hàm số y 8x4  9x  có đồ thị  C  Dựa vào đồ thị  C  biện luận theo m số nghiệm phương trình: cos x  cos x  m 0 với x  [0; ] 3x  Cho hàm số y  có đồ thị  C  Tìm giá trị m để phương trình sau x  2  có nghiệm đoạn  0;  : sin x  cos6 x m ( sin x  cos x)     2 Bài 8: Chứng minh phương trình: x  m  x  m  0 ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x , x với mọi giá trị m Tìm giá trị m  ¡ cho x12  x22  x23  x42  x1x x3 x 11 Bài 9: Tìm m để đường thẳng y  cắt  Cm  : y x –  3m   x  3m điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 10: Cho hàm số y x4   m  1 x  2m  có đồ thị  Cm  Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số m 1 Tìm giá trị m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt A, B,C, D cho AB BC CD Tìm m để  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Dạng 3: Hàm số hữu tỷ vấn đề liên quan Phương pháp giải HÀM SỐ NHẤT BIẾN: y  ax  b , ac 0 cx  d  d TXĐ: D ¡ \    c ad  bc Đạo hàm: y  Đặt m ad  bc , ta có: (cx  d)2 * Nếu m  hàm số tăng khoảng xác định * Nếu m  hàm số giảm khoảng xác định 152 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các đường tiệm cận : x  d a tiệm cận đứng y  tiệm cận ngang c c Bảng biến thiên và đồ thị : * m 0 x d   c y'   ||   a c y   y'  y m0 : x d c || a c    a   c Đồ thị hàm số biến gọi hypebol vng góc có tâm đối xứng  d a I   ;  , giao điểm đường tiệm cận  c c HÀM SỐ PHÂN THỨC y  a c ax2  bx  c , a. 0 x   Thực phép chia đa thức ta được: y Ax  B  C (a..C 0) x     TXĐ: D ¡ \      Đạo hàm: y A  C (x  )  A(x  )2  C (x  )  y 0  ( x  )2  C A C  hàm số khơng có cực trị, hàm số tăng giảm khoảng A xác định C  hàm số có cực trị * Nếu A  Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: x  Tiệm cận xiên: y Ax  B  Bảng biến thiên * A  0, AC  : Hàm số có cực trị x   x1 x2      y'   0 * Nếu  CĐ y    CT * A  0, C  : Hàm số không có cực trị http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 153