Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 36 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
36
Dung lượng
2,66 MB
Nội dung
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, cách: – Dùng định nghĩa tính chất GTTĐ – Bình phương hai vế – Đặt ẩn phụ Phương trình dạng f (x) = g(x) ta giải cách biến đổi tương đương sau éf (x) = g(x) 2 f (x) = g(x) Û ê êf (x) = - g(x) f (x) = g(x) Û f (x) = g (x) ê ë Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) 2x + = x - 3x - b) 3x - = - 2x c) x2 - 4x - = 4x - 17 Lời giải d) 2x - + 2x2 - 7x + = é êx = ± 45 é 2x + = x2 - 3x - éx2 - 5x - = ê ê Û Û ê a) Phương trình Û ê 2 ê2x + = - ( x - 3x - 4) êx - x - = ê ± 13 ê ê ë ë êx = ê ë ± 45 ± 13 2 b) Cách 1: Với - 2x < Û x > ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm Với - 2x ³ Û x £ hai vế phương trình khơng âm suy Vậy phương trình có nghiệm x = 2 Phương trình Û 3x - = ( - 2x ) Û 9x2 - 12x + = 4x2 - 12x + Û 5x2 = Û x = ±1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 Cách 2: Với 3x - ³ Û x ³ : Phương trình tương đương với 3x - = - 2x Û 5x = Û x = (thỏa mãn) Với 3x - < Û x < : Phương trình tương đương với - ( 3x - 2) = - 2x Û x = - (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 17 c) Với 4x - 17 < Û x < ta có VT ³ 0, VP < suy phương trình vơ nghiệm 17 Với 4x - 17 ³ Û x ³ hai vế phương trình khơng âm suy 2 Phương trình Û x2 - 4x - = ( 4x - 17) Û 115 ( x2 - 4x - 5) = ( 4x - 17) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word éx2 - 8x + 12 = 2 Û ( x - 8x + 12) ( x - 22) = Û ê ê x2 - 22 = Û ê ë 17 thấy có x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = 22 d) Ta có 2x - ³ 0, 2x - 7x + ³ suy Đối chiếu với điều kiện x ³ é ê ê ê êx ê ë éx = ê êx = ê ë = ± 22 22 thỏa mãn 2x - + 2x2 - 7x + ³ ìï ïï x = ïï 2x - = ïìï ï x =1Û x = Û íé Dấu xảy í ê ïï 2x - 7x + = ïï ỵ ïï ê êx = ïïỵ ë ê Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Đối với phương trình dạng f (x) = g(x) (*) ta biến đổi tương đương sau ïìï g(x) ³ ïìï g(x) ³ ï f (x) = g(x) f (x) = g(x) Û í Û ïí é ïï f (x) = g (x) ïï ê ê ỵ ïïỵ ë êf (x) = - g(x) éìï f (x) = g(x) êïí êï f (x) ³ ïỵ Hoặc f (x) = g(x) Û ê êìï - f (x) = g(x) êï êíï f (x) < ê ëỵï Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) ( x + 1) - x + + = b) 4x ( x - 1) = 2x - + c) x + ( x - 1) + = 2x + x2 - 2x - x- Lời giải a) Đặt t = x + ,t ³ ét = Phương trình trở thành t2 - 3t + = Û ê êt = ê ë éx = Với t = ta có x + = Û x + = ±1 Û ê êx = - ê ë éx = Với t = ta có x + = Û x + = ±2 Û ê êx = - ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = - 3, x = - 2, x = x = b) Phương trình tương đương với 4x2 - 4x - 2x - - = 2 2 Đặt t = 2x - , t ³ Þ t = 4x - 4x + Þ 4x - 4x = t - 116 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ét = - Phương trình trở thành t2 - - t - = Û t - t - = Û ê êt = ê ë é êx = é 2x - = ê Vì t ³ Þ t = nên 2x - = Û ê ê2x - = - Û ê êx = - ê ë ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = x = - 2 c) ĐKXĐ: x ¹ = x - 1Phương trình tương đương ( x - 1) + x- ( x - 1) Đặt t = x - - x- 2 Suy t = ( x - 1) + ( x - 1) - 6Þ ( x - 1) + ( x - 1) = t2 + ét = Phương trình trở thành t2 + = 7t Û t2 - 7t + = Û ê êt = ê ë x - 2x - x2 - 2x - x = Û = Û = ±1 Với t = ta có x- x- x- é é ê2 êx = ± 13 êx - 3x - = ê Û ê Û ê (thỏa mãn) êx - x - = ê ± 13 ê êx = ê ê ë ë x2 - 2x - x2 - 2x - =6Û =6Û = ±6 Với t = ta có x - x- x- x- éx2 - 8x + = éx = ± ê Û ê2 Û ê (thỏa mãn) ê x + x = x = - 2± ê ê ë ë ± 13 ± 13 ,x= , x = ± x = - ± 2 Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau a) mx + 2m = mx + x + (*) b) mx + 2x - = x - (**) Lời giải é mx + 2m = mx + x + a) Ta có mx + 2m = mx + x + Û ê êmx + 2m = - ( mx + x + 1) ê ë é x = 2m - Û ê ê( 2m + 1) x = - 2m - (1) ê ë Giải (1) Với 2m + = Û m = phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x Vậy phương trình có nghiệm x = 117 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Với 2m + ¹ Û m ¹ - phương trình tương đương với x = - Kết luận phương trình (*) nghiệm với x m=2 phương trình (*) có hai nghiệm x = - x = 2m - m¹ é mx + 2x - = x - ê mx + x = x Û b) Ta có êmx + 2x - = - ( x - 1) ê ë é(m + 1)x = (2) Û ê ê(m + 3)x = (3) ê ë Với phương trình (2) ta có m = - phương trình (2) nghiệm với x m ¹ - phương trình (2) có nghiệm x = Với phương trình (3) ta có m = - phương trình (3) vơ nghiệm m ¹ - phương trình (3) có nghiệm x = m+3 Kết luận m = - phương trình (*) nghiệm với x m = - phương trình (*) có nghiệm x = m+3 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x2 + x = mx2 - (m + 1)x - 2m - có ba nghiệm phân biệt Lời giải Phương trình tương đương với ù x ( x + 1) = ( x + 1) ( mx - 2m - 1) Û x + é ëx - mx - 2m - û= m ¹ - m ¹ - phương trình (*) có nghiệm x = x = é x =- Û ê êx = mx - 2m - (*) ê ë émx - 2m - = x é(m - 1)x = + 2m (1) ê ê (*) Û Û Ta có êmx - 2m - = - x ê(m + 1)x = + 2m (2) ê ê ë ë Nếu m = phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m = - phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt é + 2m êx = ê m- Nếu m ¹ ±1 (*) Û ê êx = + 2m ê m+1 ë Suy để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt 118 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ìï + 2m ïï ¹ - ïï m- ïï + 2m ¹ - í ïï m + ïï + 2m + 2m ùù ùợ m - m+1 ìï Vậy với m Ï ïí - 1;ùợù ùỡù m ùù ù ớù m - ùù ùù ùùợ m - ü ï ;- ;0;1ïý phương trỡnh cú ba nghim phõn bit ùỵ ù Bài tập luyện tập Bài 3.24: Giải phương trình sau a) | 3x |x 2x b) x x 3x Bài 3.25: Giải phương trình sau x4 x2 x2 2 a) ( 2x - 1) - 2x - - = b) x2 x Bài 3.26: Cho phương trình x x x m 0 a) Giải phương trình m b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 3.27: Giải biện luận phương trình sau a) mx + 2m = x + b) mx + 2x = mx - DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác khơng) - Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau 10 50 2x + x + = = a) b) + x - x + (2 - x)(x + 3) 3x + x - x+3 4x - x + x - 2x + = + = c) d) 2 (x + 1) (2x - 1) x +2 x- x +1 Lời giải a) ĐKXĐ: x ¹ x ¹ Phương trình tương đương với ( 2x + 1) ( x - 2) = ( x + 1) ( 3x + 2) Û 2x2 - 4x + x - = 3x2 + 2x + 3x + Û x2 + 8x + = Û x = - ± (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = - ± b) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với ( - x ) ( x + 3) - 2( x + 3) = 10( - x ) - 50 119 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word éx = 10 Û x2 - 7x - 30 = Û ê êx = - ê ë Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 c) ĐKXĐ: x ¹ - x ¹ Phương trình tương đương với x +3 = Û ( x + 3) ( 2x - 1) = 2( x + 1) 2x - (x + 1) Û x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = d) ĐKXĐ: x ¹ ±2 x ¹ - Phương trình tương đương với ( x + 1) ( x - 2) + ( x - 1) ( x + 1) ( x + 2) = ( 2x + 1) ( x - 2) ( x + 2) Û ( x2 + 2x + 1) ( x - 2) + ( x2 - 1) ( x + 2) = ( 2x + 1) ( x2 - 4) Û x3 - 2x2 + 2x2 - 4x + x - + x3 + 2x2 - x - = 2x3 - 8x + x2 - éx = Û x2 + 4x = Û ê êx = - (thỏa mãn điều kiện) ê ë Vậy phương trình có nghiệm x = - x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau + = + a) 2x + 2x + 2x + 2x + 1 + + = b) x + 5x + x + 11x + 28 x + 17x + 70 4x - = c) + x ( 2- x) Lời giải ìï 1ü ï a) ĐKXĐ: x Ï ïí - 2;- ;- 1;- ùý ùợù 2ùỵ ù Phng trỡnh tương đương với 4x + 10 - 4x - 10 = Û = 2 2x + 2x + 2x + 2x + 4x + 8x + 4x + 12x + 1 x 10 0 x x x 12 x x 10 x x x 12 x 0 x 10 0 x 10 x 20 x 11 0 x 20 x 11 0 x (thỏa mãn điều kiện) 5 x 120 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 5 x = 1ïü ïì b) Điều kiện: x Ï ïí - 10;- 7;- 4;- 1; ïý ïỵï 2ùỵ ù Phng trỡnh tng ng vi 1 + + = (x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 7) (x + 7)(x + 10) 4x - 1ỉ 1ỉ 1 ÷ 1ổ 1 ữ ữ ỗ ữ+ ỗ ữ+ ỗ ữ= ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 3ốx + x + 4ứ 3èx + x + ø 3èx + x + 10ø 4x - éx = - 1ổ 1 ữ ỗ = Û x + x + 12 = ữ ỗ ờx = - ỗx + x + 10÷ 3è ø 4x - ê ë Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm x = - c) ĐKXĐ: x ¹ x ¹ 4x2 x + =5 Phương trình tương đương với ( 2- x) Vậy phương trình có nghiệm x Û x2 - 4x2 4x2 4x2 + + - 5= 2- x ( 2- x) 2- x æ 2x 4x2 ữ ỗ ỗx + ữ ữ 2- x - = ỗ ố 2- x ứ ổ x2 ữ 4x2 ỗ + - 5= ữ ỗ ỗ2 - x ữ ố ứ 2- x x2 , phương trình trở thành 2- x ét = t2 + 4t - = Û ê êt = - ê ë x = Û x2 + x - = Û Với t = ta có 2- x Đặt t = éx = ê êx = - (thỏa mãn) ê ë x2 = - Û x2 - 5x + 10 = (vô nghiệm) 2- x Vậy phương trình có nghiệm x = - x = Với t = - ta có Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình sau với m tham số x- m x2 + mx + = (1) a) b) = (2) x +1 x2 - 3x + mx + x2 + mx + = m (4) c) d) = 2m + (3) x +1 3- x Lời giải a) ĐKXĐ: x ¹ - Phương trình tương đương với x - m = 2( x + 1) Û x = - m- Đối chiếu với điều kiện ta xét - m - ¹ - Û m ¹ - Kết luận m ¹ - phương trình (1) có nghiệm x = - m - 121 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word m = - phương trình (1) vơ nghiệm b) ĐKXĐ: x2 - ¹ Û x ¹ ±1 Phương trình (2) Û x2 + mx + = x2 - Û mx = - (2') Với m = : Phương trình (2') trở thành 0x = - suy phương trình (2') vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm - Với m ¹ phương trình (2') tương đương với x = m - - Đối chiếu điều kiện xét ¹ ±1 Û m ¹ ±3 suy m ¹ ±3 phương trình (2') có nghiệm x = m m nghiệm phương trình (2) Cịn m = phương trình (2') có nghiệm x = - 1, m = - phương trình (2') có nghiệm x = 1do phương trình (2) vơ nghiệm Kết luận m Ỵ { - 3;0;3} phương trình (2) vơ nghiệm mÏ {- 3;0;3} phương trình (2) có nghiệm x = - m c) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình (3) Û x2 + mx + = ( - x ) ( 2m + 6) Û x2 + ( 3m + 4) x - 6m - 16 = Û ( x - 2) ( x + 3m + 8) é x=2 = 0Û ê êx = - 3m - ê ë Đối chiếu điều kiện ta xét - 3m - ¹ Û m ¹ - Kết luận phương trình (3) có nghiệm x = - m=3 phương trình có nghiệm x = x = - 3m - m¹ d) ĐKXĐ: x ¹ - TH1: Nếu m < ta có VP (4) ³ 0, VT (4) < suy phương trình vơ nghiệm TH2: Nếu m ³ phương trình tương đương với é 3x + mx + = m( x + 1) 3x + mx + = m x + Û ê ê3x + mx + = - m( x + 1) ê ë é m- é m- êx = ê x= Û ê Û ê ê m - ê 2m + x = - m - êx = ) ê( ê ë 2m + ë m- m- Với x = ta xét ¹ - Û m ¹ - 1(ln đúng) với m ³ phương trình (4) ln 2 m- nhận x = nghiệm 122 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word - m- - m- ¹ - Û m ¹ - (ln đúng) với m ³ phương trình (4) ta xét 2m + 2m + - m- nhận x = nghiệm 2m + Kết luận m < phương trình (4) vơ nghiệm - m- m- m ³ phương trình (4) có hai nghiệm x = x = 2m + Ví dụ 4: Tìm điều kiện tham số a b để phương trình a b a2 - b2 = (*) x - a x - b x - ( a + b) x + ab Với x = a) Có nghiệm b) Có nghiệm Lời giải ĐKXĐ: x ¹ a x ¹ b Phương trình tương đương với a ( x - b) - b( x - a ) ( x - a ) ( x - b) = a2 - b2 x2 - ( a + b) x + ab Û ( a - b) x = a2 - b2 (**) a) Phương trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a b ìï a - b ¹ ïï ïìï a ¹ b ïìï a ¹ b ïï a2 - b2 ï ï Û ïí a - b ¹ a Û ïí a + b ¹ a Û ïí a ¹ ïï ïï ïï ïï a - b2 ïỵï a + b b ùợù b ùùợ a - b ¹ b ìï a ¹ b ïï Vậy phương trình (*) có nghiệm ïí a ùù ùùợ b b) Phng trình (*) có nghiệm phương trình (**) có nghiệm khác a b Với a = b phương trình (**) trở thành 0x = suy phương trình (**) có nghiệm với x phương trình (*) có nghiệm a2 - b2 Với a ¹ b phương trình (**) tương đương với x = = a +b a- b ìï a + b ¹ a ìï a ¹ Û ïí Suy phương trình (*) có nghiệm ïí ïï a + b ¹ b ïï b ợ ợ ỡù a ùù Vậy phương trình (*) có nghiệm ïí b ¹ hoc a b ùù ùùợ a b Bài tập luyện tập Bài 3.28: Giải phương trình sau: 13 + = a) 2x + x - 21 2x + x - 123 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word b) 1 2 x x x 12 x x x x x +1 x - x - x + + + + =4 x - x +2 x +3 x - Bài 3.29: Giải phương trình 2x 13x x4 + 3x2 + + =6 =3 a) b) 3x - 5x + 3x + x + x + x2 - x 1 = 15 c) + x (x + 1)2 Bài 3.30: Giải phương trình 2 2( x 1) 13( x 1) x 1 x 1 x 2 6 a) b) 12 3x x 3x x x 2 x x 3 c) Bài 3.31: Giải biện luận phương trình sau Bài 3.32: Tìm điều kiện a, b để phương trình a ( x2 + 1) ax - + = x - x +1 x2 - a b 2 có hai nghiệm phân biệt x b x a DẠNG TỐN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách: – Nâng luỹ thừa hai vế – Phân tích thành tích – Đặt ẩn phụ Các ví dụ minh họa Loại 1: Bình phương hai vế phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau a) x2 + 2x + = - x b) x - 2x - = Lời giải ìï x2 + 2x + ³ Û x£ a) ĐKXĐ: ïí ïï 2- x ³ ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với éx = - x2 + 2x + = - x Û x2 + 3x + = Û ê êx = - ê ë Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - x = - b) ĐKXĐ: 2x - ³ Û x ³ x - 2x - = Û 2x - = x - (*) TH1: Với x - < Û x < ta có VT (*) ³ 0, VP (*) < suy phương trình vô nghiệm TH2: Với x - ³ Û x ³ ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tường đương với éx = 2x - = ( x - 4) Û x2 - 10x + 21 = Û ê êx = ê ë Đối chiếu với điều kiện x ³ điều kiện xác định suy có x = nghiệm 124 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word