Luận văn thể tích khối đa diện và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— ĐẶNG MINH HỊA THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 84 60 113 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HĨA, 2021 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Phản biện 1: TS Tạ Công Sơn Phản biện 2: TS Phạm Thị Cúc Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: 08 25 ngày 15 tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, mơn Giải tích & PPGD Tốn - trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình học phổ thơng Tốn học mơn học quan trọng có thời lượng nhiều Tốn mơn khoa học có nhiều ứng dụng thực tiễn, việc lồng ghép tốn từ hoạt động thực tiễn vào trình dạy học tạo điều kiện cho việc học hành gắn liền với thực tế "Học đôi với hành" Từ giúp học sinh hình thành phát triển lực tốn học, đặc biệt lực mơ hình hóa tốn học Từ giúp em có kỹ vận dụng kiến thức học vào giải vấn đề thực tiễn sống thường ngày Ở trường phổ thơng, "Dạy tốn dạy hoạt động toán học" Học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho thân, hoạt động giải tập Tốn hoạt động quan trọng mục đích mà học sinh cần hướng tới Tuy nhiên đứng trước vấn đề lạ việc vận dụng kiến thức, kỹ nào, sử dụng để giải câu hỏi lớn mà việc trả lời câu hỏi mấu chốt việc giải vấn đề Chuyên đề " Thể tích khối đa diên" nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thông (THPT), thường gặp đề thi THPT quốc gia, thi Tốt nghiệp THPT kỳ thi học sinh giỏi cấp Nhằm giúp người đọc có nhìn rõ ràng chun đề vận dụng vào giải vấn đề thực tế đời sống Tôi chọn đề tài "Thể tích khối đa diện ứng dụng" để nghiên cứu với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề "Thể tích khối đa diện" nói riêng mơn Tốn học trường THPT nói chung Mục đích đề tài Tổng hợp dạng hình chóp hình lăng trụ thường gặp từ tìm cách tính thể tích chúng Sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện Áp dung thể tích khối đa diện vào giải số toán khác giải vấn đề thực tiễn có liên quan Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp đọc nghiên cứu tài liệu chuyên khảo chuyên đề nhằm tổng hợp phương pháp tính thể tích khối đa diện, trình bày số vận dụng khái qt hóa Kết đạt Luận văn trình bày chi tiết kiến thức khối đa diện cách tính thể tích khối đa diện Tiếp theo, trình bày số ứng dụng thể tích khối đa diện giải toán thực tiễn Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn “Thể tích khối đa diện ứng dụng” gồm chương trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày hệ thống lý thuyết hình đa diện, khối đa diện, hai đa diện nhau, phân chia lắp ghép khối đa diện, khái niệm thể tích khối đa diện Ngồi luận văn trình bày số kiến thức sở có liên quan đến việc tính thể tích khối đa diện khoảng cách, góc Thể tích khối đa diện nội dung quan chương trình phổ thơng nhiên cấu trúc chương trình phổ thơng mà hầu hết cơng thức tính thể tích khối đa diện thể tích khối chóp lăng trụ đưa cách áp đặt thừa nhận cơng thức Chính nội dung luận văn trình bày đầy đủ chi tiết bước xây dựng cơng thức tính thể tích khối chóp lăng trụ Tiếp theo, Luận văn trình bày phương pháp tính thể tích khối đa diện bao gồm: • Thể tích khối chóp, nội dung luận văn chia khối chóp thành dạng có đặc điểm đặc trưng để từ dễ dàng xác định chân đường cao tính chiều cao hình chóp • Thể tích khối lăng trụ, nội dung luận văn chia khối lăng trụ thành dạng có đặc điểm đặc trưng từ giúp người giải dễ dàng tìm chiều cao tính thể tích khối lăng trụ • Áp dụng phân chia lắp ghép khối đa diện tính thể tích, nội dung luận văn chứng minh số tốn tỉ số thể tích thường gặp sau áp dụng việc phân chia lắp ghép khối đa diện việc tính thể tích, có áp dụng kết toán chứng minh Cuối cùng, luận văn trình bày số ứng dụng thể tích khối đa diện bao gồm: • Ứng dụng thể tích khối đa diện việc chứng minh hệ thức, bất đẳng thức đại lượng hình học • Ứng dụng thể tích khối đa diện tốn tính khoảng cách • Ứng dụng thể tích khối đa diện toán thực tế Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày kiến thức sở cần sử dụng luận văn bao gồm: Khái niệm khối đa diện, khối đa diện lồi, khối đa diện đều, thể tích khối chóp lăng trụ, góc khoảng cách khơng gian 1.1 Hình đa diện, khối đa diện Định nghĩa 1.1.1 ([3], Hình đa diện) Hình đa diện hình H gồm số hữu hạn đa giác (kể phần chúng) thỏa mãn ba tính chất sau đây: i) Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung ii) Mỗi cạnh đa giác phải cạnh chung hai đa giác iii) Nếu S S ′ hai đa giác tùy ý H có dãy miền đa giác S1 , S2 , , Sn cho S1 S, Sn S ′ hai đa giác Si Si+1 có chung cạnh Định lý 1.1.2 ([3], Định lý Jordan) Mỗi hình đa diện H chia điểm không thuộc H thành hai tập hợp khơng giao H H có tính chất sau đây: i) Hai điểm thuộc hai tập hợp H H nối với đường gấp khúc khơng có điểm chung với H ii) Nếu hai điểm thuộc H H đường gấp khúc nối hai điểm có điểm chung với H iii) Tập H khơng chứa đường thẳng nào, tập H có chứa đường thẳng Định nghĩa 1.1.3 ([3], Khái niệm khối đa diện) Tập H định lí Jordan nói gọi phần H Tập H gọi phần H Tập hợp H ∪ H gọi khối đa diện xác định (hoặc giới hạn bởi) hình đa diện H Định nghĩa 1.1.4 ([2],Phép biến hình khơng gian) Phép biến hình F khơng gian quy tắc để với điểm M (trong không gian), xác định điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F Ta cịn nói F biến điểm M thành điểm M ′ ký hiệu M ′ = F (M ) Qua phép biến hình F , hình H biến thành hình H ′ gồm tất ảnh điểm thuộc hình H Định nghĩa 1.1.5 ([2], Phép dời hình khơng gian) Phép biến hình F khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm (có nghĩa F biến hai điểm M, N thành hai điểm M ′ , N ′ M ′ N ′ = M N ) Định nghĩa 1.1.6 ([2], Hai hình nhau) Hai hình H H ′ gọi có phép dời hình biến hình thành hình Định nghĩa 1.1.7 ([2], Hai đa diện nhau) Đặc biệt hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện 1.2 Phân chia lắp ghép khối đa diện Định nghĩa 1.2.1 ([2], Phân chia lắp ghép khối đa diện ) Nếu khối đa diện H hợp hai khối đa diện H1 , H2 cho H1 H2 khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện H thành hai khối đa diện H1 H2 , hay lắp ghép hai khối đa diện H1 H2 với để khối đa diện H Tổng quát, khối đa diện H hợp n khối đa diện H1 , H2 Hn cho Hi Hj (với i ̸= j ) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện H thành n khối đa diện H1 , H2 Hn Hay lắp ghép n khối đa diện H1 , H2 , Hn với để khối đa diện H Trong luận văn ta thừa nhận tính chất sau: Có thể phân chia khối đa diện thành khối tứ diện 1.3 Khái niệm thể tích khối đa diện Định nghĩa 1.3.1 ([3], Hàm thể tích) Gọi Ω tập hợp khối đa diện không gian Hàm số V : Ω → R gọi hàm thể tích thỏa mãn tính chất sau i) Với khối đa diện H ta có V (H) > ii) Nếu hai khối đa diện H H ′ V (H) = V (H ′ ) iii) Nếu khối đa diện H phân chia thành khối đa diện H1 , H2 , , Hn V (H) = V (H1 ) + V (H2 ) + + V (Hn ) iv) Nếu (C) khối lập phương có cạnh V (C) = Định nghĩa 1.3.2 ([3]) Nếu hàm thể tích V tồn giá trị V (H) gọi thể tích khối đa diện H Định lý 1.3.3 ([3]) Thể tích khối hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c V = abc Định lý 1.3.4 ([3]) Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy tam giác vng V = B.h B diện tích đáy lăng trụ h chiều cao lăng trụ Bằng cách ghép khối lăng trụ đứng với khối lăng trụ để khối hộp chữ nhật ta suy điều phải chứng minh Định lý 1.3.5 ([3]) Thể tích V khối lăng trụ đứng V = Bh , B diện tích đáy h chiều cao lăng trụ Định lý 1.3.6 ([3]) Thể tích khối chóp chiều cao Bh, với B diện tích đáy h Định lý 1.3.7 ([3]) Thể tích khối lăng trụ tích diện tích đáy chiều cao Như với khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h ta có V = B.h 1.4 Góc khơng gian Định nghĩa 1.4.1 ([1], Góc hai véc − − tơ) Trong không gian, cho → u → v hai vectơ khác vectơ - không Lấy điểm A bất kỳ, gọi B C hai điểm cho −→ → −→ − AB = − u , AC = → v \ (00 ≤ BAC \ ≤ Khi đó, ta gọi góc BAC − − 1800 ) góc hai véc tơ → u → v → − → − không gian ký hiệu ( u , v ) → − − u → v → − → − Chú ý 1.4.2 Ta có cos( u , v ) = → |− u | |v| − Định nghĩa 1.4.3 ([1]) Véc tơ→ a khác ⃗0 gọi vectơ phương đường → − thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Chú ý 1.4.4 − − i) Nếu → a véc tơ phương đường thẳng d k · → a (k ̸= 0) véc tơ phương đường thẳng d ii) Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm − A thuộc d véc tơ phương → a iii) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai véc tơ phương phương Định nghĩa 1.4.5 ([1], Góc hai đường thẳng) Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a′ b′ qua điểm song song với a b, ký hiệu (a, b) Chú ý 1.4.6 − − − − i) Giả sử → u ,→ v vectơ phương a b, (→ u ,→ v ) = α góc hai đường thẳng a b α 00 ≤ α ≤ 900 1800 −α 900 < α ≤ 1800 ii) Nếu a b song song trùng góc chúng 00 Để xác định góc hai đường thẳng chéo a b không gian ta thực • Chọn điểm O khơng gian • Từ O dựng a′ //a, b′ //b Khi góc nhọn (hoặc vng) tạo a′ b′ góc tạo a b • Dùng hệ thức lượng tam giác tích vơ hướng hai véc tơ để tính góc a′ b′ Định nghĩa 1.4.7 ([1], Góc đường thẳng mặt phẳng) Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) Khi i) Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (α) 900 ii) Nếu đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc d hình chiếu d′ (α) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) \ Ta ký hiệu góc đường thẳng d mặt phẳng (α) (d, (α)) \ Chú ý 1.4.8 00 ≤ d, (α) ≤ 900 Để tính góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ta thực • Tìm giao điểm O d (α) • Lấy điểm A d, vẽ AH vng góc với (α) Khi đó, góc d (α) góc \ AOH • Dùng hệ thức lượng tam giác để tính góc Định nghĩa 1.4.9 ([1], Góc hai mặt phẳng) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Ta ký hiệu góc hai mặt phẳng (α) (β) ((α), (β)) ((β), (α)) Để xác định góc (α) (β) cắt ta thực • Tìm giao tuyến d = (α) ∩ (β) • Lấy điểm A thuộc mặt phẳng (α) dựng AB ⊥ (β) • Vẽ BH ⊥ d AH ⊥ d \ góc (α) • Khi đó, góc AHB (β) 1.5 Khoảng cách khơng gian Định nghĩa 1.5.1 ([1], Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) Trong không gian cho điểm O đường thẳng ∆ Khoảng cách O hình chiếu H O ∆ gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆, kí hiệu d(O, ∆) Định nghĩa 1.5.2 ([1], Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng) Trong không gian cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) kí hiệu d(O, (α)) Định nghĩa 1.5.3 ([1], Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α), kí hiệu d(a, (α)) Định nghĩa 1.5.4 ([1], Khoảng cách hai mặt phẳng song song) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Định nghĩa 1.5.5 ([1], Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau) i) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b ii) Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng M N gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo • Dựng mặt phẳng (α) chứa đường thẳng a song song với b • Lấy điểm M b, dựng M H vng góc với mặt phẳng (α) • Trên mặt phẳng (α) dựng b′ qua H b′ //b, b′ cắt a A • Từ A dựng đường thẳng song song M H cắt b B • AB đường vng góc chung cần dựng • Ta có AB = M H = d(M, (α)) = d(a, b) Chú ý 1.5.6 i) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại ii) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng √ √ √ Độ dài đường cao SH = SA2 − AH = 16a2 − 4a2 = 3a Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ CK ⊥ HD, K ∈ HD mà CK ⊥ SH Suy CK ⊥ (SHD) suy ra√d(C, (SHD)) = CK Theo giả thiết ta có CK = 10a Ta lại có tam giác HAD tam giác HBE suy diện tich hình thang ABCD diện tích tam √ giác CED √ Hơn HD = AH + AD2 = 4a2 + AD2 Khi ta có √ √ S∆CED = CK.ED = CK.HD = 10a AD2 + 4a2 (AB + BC)AB Diện tích hình thang ABCD SABCD = = 2a(AD + 4a) √ √ Suy 10a AD2 + 4a2 = 2a(AD + 4a) ⇒ AD = 6a Vậy diện tích đáy ABCD SABCD = 20a2 √ Thể tích khối chóp S.ABCD VABCD = SH.SABCD = 40 3a3 (đvtt) Bài tốn 2.1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Biết (SAB) ⊥ (ABCD mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy (ABCD) góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA 2a BD √ Tính thể tích khối chóp S.ABCD (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2013) Nhận xét 2.1.7 Trong tốn nói giả thiết cho mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt đáy (ABCD) Chính chân đường cao H hình chóp nằm cạnh AB Tuy nhiên muốn xác định xác vị trí H ta cần sử dụng thêm giả thiết mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc 2.1.4 Khối chóp có hai mặt phẳng chứa đỉnh vng góc với đáy Cho khối chóp S.A1 A2 An Giả sử ta xác định hai mặt phẳng (P1 ) (P2 ) qua đỉnh S khối chóp vng góc với mặt phẳng đáy (P ) Goi ∆ giao tuyến (P1 ) (P2 ) ∆ chứa đường cao khối chóp Bài tốn 2.1.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D AB = AD = 2a, CD = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề thi đại học khối A năm 2009) Lời giải Do (SIB) (SIC) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD) Suy SI đường cao hình chóp S.ABCD Kẻ IK vng góc với BC , áp dụng định lí ba đường vng góc suy SK ⊥ BC suy [ =600 SKI 1 Đáy ABCD có diện tích SABCD = (AB + CD)AD = (2a + a).2a = 3a2 2 10 Tam giác IBC có diện tích SIBC = SABCD − SICD − SIAB 3a2 = Mặt khác ta có √ 3a2 2SIBC 5a = √ = IK = BC a √ 5a √ SI = IK · tan 600 = · √ 15a = √ 15a3 (đvtt) Vậy thể tích khối chóp S.ABCD VS.ABCD = SI.SABCD = Bài tốn 2.1.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB = AD = a, CD = 2a Biết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD (Trích đề thi học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước năm 2018) 2.1.5 Khối chóp Bài tốn 2.1.10 Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Thể tích V khối chóp tích √ lớn √ D V = 144 A V = 144 B V = 576 C V = 576 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD, S.ABCD hình chóp nên SO đường cao hình chóp Gọi độ dài cạnh AB a, chiều cao SO h Khi thể tích khối chóp S.ABCD 1 VS.ABCD = SO.SABCD = a2 h 3 Gọi E trung điểm cạnh SA, mặt phẳng (SAO) vẽ đường thẳng ∆ đường thẳng trung trực đoạn SA gọi I giao điểm ∆ SO, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, có bán kính R = IS = SE SI = suy Ta có tam giác SEI đồng dạng với tam giác SOA nên SO SA SA.SE SA2 SO2 + OA2 R = SI = = = SO 2SO 2SO 11 2h2 + a2 suy a2 = 4Rh − 2h2 4h Khi thể tích khối chóp S.ABCD hay R = a2 h (4Rh − 2h2 )h = = (18h2 − h3 ) (0 < h < 18) VS.ABCD = 3 Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f (h) = (18h2 − h3 ), ∀h ∈ (0, 18) Ta có f ′ (h) = (36h − 3h2 ) ⇒ f ′ (h) = ⇔ h = 12 ∈ (0; 18) Ta có bảng biến thiên h f ′ (h) f (h) 12 576 + − 18 √ Giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCD 576 h = 12 a = 2.1.6 Khối chóp có cạnh bên tạo với mặt đáy góc Bài tập 2.1.11 Xét khối chóp S.A1 A2 An (n ≥ 3) Chứng minh ba mệnh đề sau tương đương i) Các cạnh bên hình chóp ii) Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc iii) Đáy hình chóp đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Chứng minh Gọi H chân đường cao hình chóp Ta có SH ⊥ (A1 A2 An ) i) ⇒ ii) Giả sử cạnh bên hình chóp nhau, nghĩa SA1 = SA2 = = SAn Ta chứng minh cạnh bên tạo với mặt đáy góc Thật vậy, tam giác vuông SHA1 , SHA2 , SHAn có SH chung SA1 = SA2 = SAn Suy \ \ \ ∆SHA1 = ∆SHA2 = = SHAn ⇒ SA H = SA2 H = = SAn H = α 12 Vậy cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc ii) ⇒ iii) Giả sử cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc nhau, \ \ \ Nghĩa SA H = SA2 H = = SAn H = α Ta chứng minh đáy đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Thật vậy, xét tam giác vng SHA1 , SHA2 , SHAn Ta có SH = HA1 tan α = HA2 tan α = = HAn tan α Do HA1 = HA2 = = HAn suy H tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 An Vậy đáy hình chóp đa giác nội tiếp chân đường cao hình chóp trùng vơi tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Khi ta có SH = h = r tan α h chiều cao r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy iii) ⇒ i) Giả sử đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn tâm H , bán kính r Khi xét tam giác vuông SHA1 , SHA2 , , SHAn Ta có SH = SA21 − r2 = SA22 − r2 = = SA2n − r2 Do SA1 = SA2 = = SAn cạnh bên hình chóp Như vậy, ba mệnh đề cho tương đương với Nhận xét 2.1.12 Từ toán ta đưa kết luận Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc đáy đa giác nội tiếp chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Ngồi ta cịn có hệ thức sau h2 = l2 − r2 h = r tan α, h chiều cao hình chóp, l chiều dài cạnh bên, r bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy, α góc tạo cạnh bên mặt đáy Bài tốn 2.1.13 Xét khối chóp √ S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với a Khối chóp tích lớn tính AB = a, SA = SB = SC = SD = giá trị lớn Bài tốn 2.1.14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = \ = 1200 , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc a, BAC 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài tốn 2.1.15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, √ AD = 2a Đỉnh S cách đỉnh A, B, C, D mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài tốn √ 2.1.16 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn 2.1.7 Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc Bài tập 2.1.17 Xét khối chóp SA1 A2 An (n ≥ 3) Chứng minh mệnh đề sau tương đương: i) Các mặt bên tạo vơi mặt đáy góc ii) Đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh S xuống cạnh đáy iii) Chân đường cao H hình chóp cách cạnh đáy 13 Chứng minh Gọi H chân đường cao hình chóp Ta có SH ⊥ (A1 A2 An ) i) ⇒ ii) Giả sử mặt bên tạo với mặt đáy góc Ta chứng minh đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy Trên mặt đáy dựng HK1 ⊥ A1 A2 , HK2 ⊥ A2 A3 HKn ⊥ An A1 Do HK1 ⊥ A1 A2 A1 A2 ⊥ SH ⇒ \ A1 A2 ⊥ SK1 ⇒ SK 1H = φ \ \ Tương tự ta có SK H = SK3 H = \ = SK n H = φ Xét tam giác vuông SHK1 , SHK2 , , SHKn , ta có SH = SK1 sin φ = SK2 sin φ = = SKn sin φ ⇒ SK1 = SK2 = = SKn Vậy đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh xuống cạnh đáy ii) ⇒ iii) Giả sử đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh S xuống cạnh đáy Ta phải chứng minh chân đường cao hình chóp cách cạnh đáy Thật vậy, xét tam giác vuông SHK1 , SHK2 , , SHKn Ta có SH = SK12 − HK12 = SK22 = = SKn2 Từ SK1 = SK2 = = SKn suy HK1 = HK2 = = HKn Vậy chân đường cao hình chóp cách cạnh đáy iii) ⇒ i) Giả sử chân đường cao H hình chóp cách cạnh đáy Ta phải chứng minh mặt bên tạo với mặt đáy góc Thật vậy, xét tam giác vng SHK1 , SHK2 , , SHKn Ta có \ \ \ SH = HK1 SK H = HK2 SK2 H = = HKn SKn H \ \ \ Từ HK1 = HK2 = = HKn suy SK H = SK2 H = HKn SKn H Tức là, mặt bên tạo với mặt đáy góc Như vậy, ba mệnh đề cho tương đương Nhận xét 2.1.18 Từ tốn ta rút kết luận Khối chóp có mặt bên tạo với mặt đáy góc đường cao mặt bên kẻ từ đỉnh S xuống cạnh đáy chân đường cao hình chóp cách cạnh đáy Từ đó, H nằm đa giác A1 A2 An đáy có đường trịn nội tiếp H tâm đường trịn Bài tốn 2.1.19 ([8]) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh \ = 600 Các mặt phẳng (SAB), (SBD), (SAD) nghiêng với đáy a BAD (ABCD) góc α Tính thể tích khối chóp Bài tốn 2.1.20 ([8]) Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thang cân, đáy lớn AB lần đáy nhỏ CD, chiều cao đáy a Bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài b Tính thể tích khối chóp 14 Bài tốn 2.1.21 Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC có AB =10 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, mặt bên tạo với mặt đáy góc α thỏa mãn tan α = Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài tốn 2.1.22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A, D tam giác SAD cạnh 4a, BC = 6a Biết mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) nằm đa giác đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2.2 2.2.1 Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ Chú ý 2.2.1 • Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên chiều cao hình lăng trụ đứng, mặt bên hình chữ nhật, mặt bên vng góc với đáy • Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên lăng trụ hình chữ nhật Bài toán 2.2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ , đáy ABC tam giác vuông \ = 300 , cạnh C ′ A hợp với mặt đáy góc 600 Tính đỉnh A, AB = a, ABC thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Lời giải Tam giác ABC vuông √ A nên \ = a S∆ABC = AC = AB tan ABC √ a2 AB.AC = ′ , (ABC)) = C ′ AC = 600 , \ Ta lại có (CA\ tam giác ACC ′ vng C nên ′ AC = a \ CC ′ = AC tan C ′ ′ ′ Vậy thể tích lăng trụ ABC.A√ B C a VABC.A′ B ′ C ′ = SABC CC ′ = (đvtt) Bài toán 2.2.3 Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ , đáy ABC tam giác vuông A, \ = 300 , cạnh BC ′ hợp với mặt bên (ACC ′ A′ ) góc 300 Tính cạnh AC = a, ABC thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Bài toán 2.2.4 Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác Gọi M trung điểm BB ′√ Biết A′ B vng góc với CM khoảng cách hai đường a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ theo a thẳng A′ B CM 10 15 Bài toán 2.2.5 ([6]) Cho lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có cạnh đáy a, đường thẳng BC ′ tạo với mặt phẳng (ACC ′ A′ ) góc 300 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Bài tốn 2.2.6 ([6]) Hình hộp chữ nhật ABCD.A′ B ′ C ′ D′ có AB = a Góc đường thẳng B ′ D với mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (ABB ′ A′ ) 300 450 Tính thể tích V khối hộp chữ nhật ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Bài toán 2.2.7 ([6]) Cho lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC) a, góc hai mặt phẳng (ABC ′ ) (BCC ′ B ′ ) α với cos α = √ Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Bài toán 2.2.8 ([5]) Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC ′ B ′ ) a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABC ′ ) b, góc hai mặt phẳng (ABC ′ ) (ABC) φ i) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ theo a, b φ ii) Khi a = b không đổi, xác định φ để thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ nhỏ 2.2.2 Khối lăng trụ xiên Chú ý 2.2.9 • Khối lăng trụ xiên cạnh bên khơng vng góc với đáy phải dựa vào điều kiện giả thiết để tìm chiều cao khối lăng trụ • Các mặt bên khối lăng trụ xiên hình bình hành khơng vng góc với mặt đáy Bài tốn 2.2.10 ([6]) Cho lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng √ với trọng tâm ∆ABC Biết a khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Lời giải Gọi M trung điểm BC BC ⊥ (AA′ M ) √ √ a a ⇒ AG = AM = Gọi H hình chiếu vng góc M lên AA′ mà HM ⊥ BC nên HM đoạn vng góc chung AA′ BC Ta có AA′ · HM = A′ G · AM tương đương với 16 √ s √ a a2 a AA′ = AA′ − a 4a2 ′ ′ ′ ⇔A A = 4(A A − ) ⇔ 3A A = ⇔ A′ A = 3 r √ 2 3a a a 4a 3a Suy A′ G = − = V = A′ G.S∆ABC = = 9 3 2a √ a3 12 Bài toán 2.2.11 ([6]) Cho lăng trụ ABCD.A′ B ′ C ′ D′ có đáy ABCD hình thoi \ = 1200 Góc cạnh bên AA′ mặt phẳng đáy 600 cạnh a, tâm O ABC Đỉnh A′ cách điểm A, B, D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho Bài toán 2.2.12 Cho khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ′ Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (A′ B ′ C ′ ) trung điểm M B ′ C ′ A′ M = Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài tốn 2.2.13 ([5]) Cho hình hộp ABCD.A′ B ′ C ′ có tất mặt bên \′ = BAD \ = DAA \′ = 600 Tính thể tích khối hộp hình thoi cạnh a, góc BAA ABCD.A′ B ′ C ′ theo a Bài toán 2.2.14 ([5]) Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABB ′ A′ hình thoi, mặt bên BCC ′ B ′ nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt phẳng hợp với góc α i) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC ′ B ′ ) Xác định góc α ii) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ 2.3 2.3.1 Phân chia lắp ghép khối đa diện Một số tốn tỉ số thể tích Bài tập 2.3.1 ([2]) Cho hình chóp S.ABCD Trên đoạn SA, SB, SC SA′ SB ′ SC ′ VS.A′ B ′ C ′ ′ ′ ′ = lấy ba điểm A , B , C khác với S Chứng minh VS.ABC SA SB SC Lời giải Gọi H, H ′ chân đường vng góc hạ từ A A′ lên mặt phẳng (SBC) Ta có AH//A′ H ′ ⇒ S, H, H ′ thẳng hàng SA′ A′ H ′ = SA AH Mặt khác VS.ABC = AH.SABC 1 [ = AH .SB.SC sin BSC 1 [ VS.ABC = AH.SABC = AH .SB.SC sin BSC 3 17 ⇒ A′ H ′ SB ′ SC ′ SA′ SB ′ SC ′ VS.A′ B ′ C ′ = = VS.ABC AH SB SC SA SB SC Bài tập 2.3.2 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng (P ) cắt cạnh SA, SB, SC SD điểm A′ , B ′ , C ′ , D′ không trùng SB SC SD SA = a, = b, = c, = d Chứng minh a + c = b + d với điểm S Đặt SA′ SB ′ SC ′ SD′ VS.A′ B ′ C ′ D′ a+b+c+d = VS.ABCD 4.a.b.c Bài tập 2.3.3 Cho khối hộp ABCD.A′ B ′ C ′ D′ Mặt phẳng (α) cắt cạnh AA′ , BB ′ , CC ′ , DD′ điểm M, N, P, Q thỏa mãn A′ M B ′N C ′P D′Q = a, = b, = c, = d A′ A B ′B C ′C D′D a+b+c+d VA′ B ′ C ′ D′ M N P Q = Chứng minh a + c = b + d VA′ B ′ C ′ D′ ABCD 2.3.2 Một số toán áp dụng phân chia lắp ghép khối đa diện tính thể tích Bài tốn 2.3.4 ([9]) Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, BC = a, SA = SB = SC = SD = a Giả sử E điểm thuộc cạnh SC cho SE = 2EC , F điểm thuộc cạnh SD cho SF = F D Tính thể tích khối đa diện SABEF Lời giải Ta có SABCD = AB.BC = 2a2 Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vng ABD ta có √ √ BD = AB + AD2 = a Gọi O = AC ∩ BD √ a BO = BD = 2 Tam giác SBD cân S có SO trung tuyến nên SO đồng thời đường cao tam giác SBD Suy SO ⊥ BD Chứng minh tương tự ta có SO ⊥ AC Suy SO ⊥ (ABCD) hay SO đường cao hình chóp SABCD Ta có v u √ !2 √ u √ p a a = SO = SB − BO2 = t(a 2)2 − 2 18 √ 1 2a a3 =√ VS.ABCD = SABCD SO = 2a 3 VS.ABE SA SB SE Mặt khác, ta có = = Suy VS.ABC SA SB SC a3 (2.1) VS.ABE = VS.ABC = VS.ABCD = √ 3 3 SA SE SF 1 VS.AEF = = = hay Hơn VS.ACD SA SC SD a3 (2.2) VS.AEF = VS.ACD = VS.ABCD = √ 12 12 √ 5a3 Từ (2.1) (2.2) ta có VSABEF = VS.ABE + VS.AEF = (đvtt) 36 Bài toán 2.3.5 ([9]) Cho hình lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BB ′ mặt phẳng (A′ M D) chia hình lập phương thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện Bài tốn 2.3.6 ([9]) Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = a, OB = b, OC = c; OA′ , OB ′ , OC ′ đường cao tam giác OBC, OAC, OAB Tính thể tích khối chóp OA′ B ′ C ′ Bài toán 2.3.7 ([6]) Cho khối lăng trụ ABCD.A′ B ′ C ′ D′ có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD với AD = 2BC Gọi M trung điểm DD′ Mặt phẳng (A′ M C) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa điểm V1 C ′ V2 thể tích khối đa diện chứa điểm A Tính tỉ số V2 Bài tốn 2.3.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) gọi I trung điểm cạnh BC Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với SI cắt SB, SC M, N Biết VS.AM N = VS.ABC Tính VS.ABC [ = Bài tốn 2.3.9 Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB [ = 600 , CSA [ = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, b, c 1200 , BSC Bài tốn 2.3.10 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi ln song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M, N, P, Q (không trùng với đỉnh hình chóp S.ABCD) Gọi M ′ , N ′ , P ′ , Q′ hình chiếu vng góc M, N, P, Q lên mặt SM để thể tích khối đa diện M N P Q.M ′ N ′ P ′ Q′ đạt giá phẳng (ABCD) Tính tỉ số SA trị lớn Bài tốn 2.3.11 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác \ ABD cạnh a, tam giác BCD √ cân C BCD = 120 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = 2a Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD M, N, P Tính thể tích khối chóp S.ABCD 19 Chương ỨNG DỤNG CỦA THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 3.1 Chứng minh hệ thức, bất đẳng thức hình học Bài tốn 3.1.1 ([7]) Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi hA , hB , hC , hD khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện Chứng minh 1 1 + + + = r hA hB hC hD Lời giải Khối tứ diện ABCD phân chia thành bốn khối tứ diện OBCD, OCAD, OABC, OABC Ta có r VO.CAD r VO.BCD = , = VA.BCD hA VA.BCD hB VO.ABD r VO.ABC r = , = VA.BCD hC VA.BCD hD Do VABCD = VOBCD + VOCAD + VOABD + VOABC nên suy 1 1 VABCD + + + =1⇔ = ABCD r hA hB hC hD Bài toán 3.1.2 ([7]) Chứng minh khoảng cách từ điểm nằm hình lăng trụ đến mặt khơng phụ thuộc vào vị trí điểm nằm hình lăng trụ Bài tốn 3.1.3 ([7]) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt SB, SD M, N Đặt V1 = V1 VS.AM N K V = VS.ABCD Chứng minh ≤ ≤ V 3.2 Bài tốn tính khoảng cách Bài toán 3.2.1 ([4]) Cho khối lập phương ABCD.A′ B ′ C ′ D′ có cạnh a Gọi K trung điểm DD′ Tính khoảng cách CK A′ D 20 Lời giải Gọi M trung điểm BB ′ Vì A′ M//KC nên d(CK, A′ D) = d(CK, (A′ M D)) = d(K, (A′ M D)) Đặt d(CK, A′ D) = x Khi VA′ M DK = VK.A′ M D = SA′ M D · x Mặt khác   a3 1 1 ′ a a = VA′ M DK = VM A′ DK = SA′ DK ′ d(M, (A DK)) = 3 2 12 a2 Hạ DI ⊥ A′ M ⇒ AI ⊥ A′ M ⇒ AI.A′ M = AA′ d(M, AA′ ) = a2 4a2 2a 9a2 3a ⇒ AI = √ nên DI = DA2 + AI = a2 + = ⇒ DI = √ 5 5 √ 1 3a a 2a a Nên SA′ M D = DI.A′ M = √ = Vậy d(CK, A′ D) = x = 2 Do SA′ M D x = Bài tốn 3.2.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh √ a, góc \ = 600 Gọi G trọng tâm tam giác ABD, SG ⊥ (ABCD) SG = a Gọi BAD M trung điểm CD i) Tính thể tích khối chóp S.ABM N theo a ii) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SM theo a Bài toán 3.2.3 Cho lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB = a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Biết A′ G vng góc với mặt đáy (ABC) A′ B tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp A′ BCC ′ B ′ tính khoảng cách hai đường thẳng AG A′ C theo a 3.3 Bài toán thực tế Những khối đa diện nghiên cứu, hình ảnh chúng thường xuất đời sống thực tế Việc nắm rõ tính chất khối đa diện hình dung hình ảnh khối đa diện từ góc nhìn khác giúp định lượng khối đa diện cách dễ dàng Trong đời sống thực tế thường gặp vấn đề cần giải có liên quan đến khối đa diện xây bể nước, làm hộp, dựng lều nhiều cơng việc khác có liên quan Mà thường phải tính thể tích giải vấn đề tối ưu liên quan đến thể tích khối đa diện 21 Để giải toán thực tế liên quan đến khối đa diện thường giải theo quy trình Trước hết mơ hình hóa tốn, phiên dịch sang ngơn ngữ Tốn học, sau sử dụng kiến thức Tốn học mà cụ thể sử dụng kiến thức thể tích khối đa diện kết hợp với kiến thức đại số, giải tích bất đẳng thức, cực trị hàm số để giải Bài tốn 3.3.1 Kim tự tháp Cheops có dạng hình chóp tứ giác kim tự tháp cao Ai - Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m, đáy kim tự tháp hình vng có cạnh 230 m Các lối vào bên chiếm 30 phần trăm thể tích kim tự tháp Người ta sử dụng xe để vận chuyển đá xây dựng kim tự tháp Biết lần vận chuyển 10 xe, xe chở đá khối lượng riêng đá 2, 5.103 kg/m3 Tính số lần vận chuyển đá đủ để xây dựng kim tự tháp Lời giải Giả sử kim tự tháp Cheops có dạng hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy a = AB = 230 m, chiều cao h = SO = 144 m Thể tích kim tự tháp VS.ABCD = SO.SABCD = 144.2302 = 2539200m3 Thể tích khối đá cần để xây dựng kim tự tháp V = 0, 7.VS.ABCD = 0, 7.2539200 = 1777440m3 Gọi x số lần cần vận chuyển đá đủ để xây dựng kim tự tháp Theo giả thiết lần vận chuyển 10 xe, xe chở đá khối lượng riêng đá 2, 5.103 kg/m3 ta có x.10.6000 = 1777440 ⇔ x = 74060 2.5.103 Vậy số lần vận chuyển đá đủ để xây kim tự tháp 74060 lần Bài tốn 3.3.2 Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định 1m3 gỗ có giá trị a (triệu đồng), 1m3 than chì có giá trị 8a (triệu đồng) giá trị nguyên vật liệu làm bút chì (Trích đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Bài tốn 3.3.3 Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm hình vẽ để hộp khơng nắp Hỏi x (cm) để thể tích hộp đạt giá trị lớn 22 Bài tốn 3.3.4 Một bìa hình chữ nhật có chiều dài AB = 90 (cm), chiều rộng BC = 60 (cm) Người ta cắt hình vng hình vẽ, hình vng có cạnh x (cm) gập bìa lại hình vẽ để hộp quà có nắp Hỏi x (cm) để thể tích khối hộp đạt giá trị lớn Bài toán 3.3.5 Người ta muốn thiết kế bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng có nắp hình vẽ Biết bể cá có chiều cao dm, đáy có kích thước a, b (đơn vị dm) thể tích 72dm3 Một vách ngăn (cũng kính) bể cá chia bể cá thành hai ngăn Tính a, b để bể cá tốn nguyên vật liệu (tính kính giữa, coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể cá) KẾT LUẬN Luận văn “Thể tích khối đa diện ứng dụng” Hệ thống lý thuyết hình đa diện, khối đa diện, hai đa diện nhau, phân chia lắp ghép khối đa diện, khái niệm thể tích khối đa diện Trình bày phương pháp tính thể tích khối đa diện Ứng dụng thể tích khối đa diện (chứng minh hệ thức, bất đẳng thức hình học; tốn tính khoảng cách; tốn thực tế) 23 Tài liệu tham khảo [1] Bộ giáo dục đào tạo (Chủ biên), (2007), Sách giáo khoa hình học 11, Nhà xuất giáo dục [2] Bộ giáo dục đào tạo (Chủ biên), (2008), Sách giáo khoa hình học 12, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), (2008), Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12, Nhà xuất giáo dục Việt nam [4] Trần Đức Huyên (Chủ biên) - Nguyễn Duy Hiếu - Phạm Thị Bé Hiền, (2012), Giải toán 12 - Khối đa diện khối tròn xoay, Nhà xuất giáo dục Việt nam [5] Nguyễn Phú Khánh, (2015), Trọng tâm kiến thức phương pháp giải toán Hình học khơng gian, Nhà xuất đại học Quốc gia Hà Nội [6] Trần Công Diêu (2021), Super môn Tốn tập Hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] Lê Hồnh Phị(2019), Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Hình Học 12, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Bộ giáo dục đào tạo (Chủ biên), (2010), Tạp chí toán học tuổi trẻ số 402, Nhà xuất giáo dục [9] Bộ giáo dục đào tạo (Chủ biên), (2013), Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 429, Nhà xuất giáo dục 24