A first course in linear algebra

A First Course in Linear Algebra A First Course in Linear Algebra by Robert A. Beezer Department of Mathematics and Computer Science University of Puget Sound Waldron Edition Version 2.00 Content July 16, 2008 Robert A. Beezer is a Professor of Mathematics at the University of Puget Sound, where he has been on the faculty since 1984. He received a B.S. in Mathematics (with an Emphasis in Computer Science) from the University of Santa Clara in 1978, a M.S. in Statistics from the University of Illinois at Urbana-Champaign in 1982 and a Ph.D. in Mathematics from the University of Illinois at Urbana-Champaign in 1984. He teaches calculus, linear algebra and abstract algebra regularly, while his research interests include the applications of linear algebra to graph theory. His professional website is at http://buzzard.ups.edu. Edition Waldron Edition, July 16, 2008. Based on Version 2.00. Front Cover “The Summer Chair” c  2008 by David R.D. Beezer. GNU Free Documentation License. Gentium Font, SIL Open Font License. Back Cover Author photo by Ross Mulhausen. Computer Modern Font, Public Domain. Publisher Robert A. Beezer Department of Mathematics and Computer Science University of Puget Sound 1500 North Warner Tacoma, Washington 98416-1043 USA c  2004 by Robert A. Beezer. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Docu- mentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the appendix entitled “GNU Free Documentation License”. The most recent version of this work can always be found at http://linear.ups.edu. To my wife, Pat. Contents Table of Contents vii Contributors xv Definitions xvii Theorems xxi Notation xxvii Diagrams xxix Examples xxxi Preface xxxix Acknowledgements xliii Part C Core Chapter SLE Systems of Linear Equations 3 WILA What is Linear Algebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 LA “Linear” + “Algebra” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 AA An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 SSLE Solving Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 SLE Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 PSS Possibilities for Solution Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ESEO Equivalent Systems and Equation Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 RREF Reduced Row-Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 MVNSE Matrix and Vector Notation for Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 RO Row Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 RREF Reduced Row-Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TSS Types of Solution Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 CS Consistent Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 FV Free Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 vii viii CONTENTS HSE Homogeneous Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 SHS Solutions of Homogeneous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 NSM Null Space of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 NM Nonsingular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 NM Nonsingular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 NSNM Null Space of a Nonsingular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 SLE Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Chapter V Vectors 79 VO Vector Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 VEASM Vector Equality, Addition, Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 VSP Vector Space Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 LC Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 LC Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 VFSS Vector Form of Solution Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 PSHS Particular Solutions, Homogeneous Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 SS Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 SSV Span of a Set of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 SSNS Spanning Sets of Null Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 LI Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 LISV Linearly Independent Sets of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 LINM Linear Independence and Nonsingular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 NSSLI Null Spaces, Spans, Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 LDS Linear Dependence and Spans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 LDSS Linearly Dependent Sets and Spans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 COV Casting Out Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 O Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 CAV Complex Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 IP Inner products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 N Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 OV Orthogonal Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 GSP Gram-Schmidt Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 V Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Chapter M Matrices 169 CONTENTS ix MO Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 MEASM Matrix Equality, Addition, Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 VSP Vector Space Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 TSM Transposes and Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 MCC Matrices and Complex Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 AM Adjoint of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 MM Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 MVP Matrix-Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 MM Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 MMEE Matrix Multiplication, Entry-by-Entry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 PMM Properties of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 HM Hermitian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 MISLE Matrix Inverses and Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 IM Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 CIM Computing the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 PMI Properties of Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 MINM Matrix Inverses and Nonsingular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 NMI Nonsingular Matrices are Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 UM Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 CRS Column and Row Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 CSSE Column Spaces and Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 CSSOC Column Space Spanned by Original Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 CSNM Column Space of a Nonsingular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 RSM Row Space of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 FS Four Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 LNS Left Null Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 CRS Computing Column Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 EEF Extended echelon form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 FS Four Subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 M Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Chapter VS Vector Spaces 261 VS Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 VS Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 EVS Examples of Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 VSP Vector Space Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 RD Recycling Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 S Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 x CONTENTS TS Testing Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 TSS The Span of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 SC Subspace Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 LISS Linear Independence and Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 LI Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 SS Spanning Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 VR Vector Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 B Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 B Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 BSCV Bases for Spans of Column Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 BNM Bases and Nonsingular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 OBC Orthonormal Bases and Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 D Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 D Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 DVS Dimension of Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 RNM Rank and Nullity of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 RNNM Rank and Nullity of a Nonsingular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 PD Properties of Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 GT Goldilocks’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 RT Ranks and Transposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 DFS Dimension of Four Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 DS Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 VS Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Chapter D Determinants 343 DM Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 EM Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 DD Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 CD Computing Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 PDM Properties of Determinants of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 DRO Determinants and Row Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 DROEM Determinants, Row Operations, Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 DNMMM Determinants, Nonsingular Matrices, Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . 360 READ Reading Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 EXC Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 SOL Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 D Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Chapter E Eigenvalues 367 EE Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 EEM Eigenvalues and Eigenvectors of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 [...]... Section LT ALT A linear transformation NLT Not a linear transformation LTPM Linear transformation, polynomials to matrices LTPP Linear transformation, polynomials to polynomials LTM Linear transformation from a matrix MFLT Matrix from a linear transformation MOLT Matrix of a linear transformation LTDB1 Linear transformation defined on a basis ... LTTZZ Linear Transformations Take Zero to Zero MBLT Matrices Build Linear Transformations MLTCV Matrix of a Linear Transformation, Column Vectors LTLC Linear Transformations and Linear Combinations LTDB Linear Transformation Defined on a Basis SLTLT Sum of Linear Transformations is a Linear Transformation MLTLT Multiple of a Linear Transformation... 415 Chapter LT Linear Transformations LT Linear Transformations LT Linear Transformations LTC Linear Transformation Cartoons MLT Matrices and Linear Transformations LTLC Linear Transformations and Linear Combinations PI Pre-Images NLTFO New Linear Transformations From Old READ Reading Questions... ILTLT Inverse of a Linear Transformation is a Linear Transformation IILT Inverse of an Invertible Linear Transformation ILTIS Invertible Linear Transformations are Injective and Surjective CIVLT Composition of Invertible Linear Transformations ICLT Inverse of a Composition of Linear Transformations IVSED Isomorphic Vector Spaces have Equal Dimension ROSLT Rank Of a Surjective... 494 495 Section SLT RLTS Range of a Linear Transformation is a Subspace RSLT Range of a Surjective Linear Transformation SSRLT Spanning Set for Range of a Linear Transformation RPI Range and Pre-Image SLTB Surjective Linear Transformations and Bases SLTD Surjective Linear Transformations and Dimension CSLTS Composition of Surjective Linear Transformations is Section MR ... ILT Injective Linear Transformations EILT Examples of Injective Linear Transformations KLT Kernel of a Linear Transformation ILTLI Injective Linear Transformations and Linear Independence ILTD Injective Linear Transformations and Dimension CILT Composition of Injective Linear Transformations READ Reading Questions ... Column Space, Row Space, Transpose Testing Subsets for Subspaces Null Space of a Matrix is a Subspace Span of a Set is a Subspace Column Space of a Matrix is a Subspace Row Space of a Matrix is a Subspace Left Null Space of a Matrix is a Subspace Standard Unit Vectors are a Basis Columns of Nonsingular Matrix are a Basis Nonsingular Matrix Equivalences,... Transformation is a Subspace KPI Kernel and Pre-Image KILT Kernel of an Injective Linear Transformation ILTLI Injective Linear Transformations and Linear Independence ILTB Injective Linear Transformations and Bases ILTD Injective Linear Transformations and Dimension CILTI Composition of Injective Linear Transformations is Injective ... (i|j): SubMatrix det (A) , |A| : Determinant of a Matrix A (λ): Algebraic Multiplicity of an Eigenvalue A (λ): Geometric Multiplicity of an Eigenvalue T : U → V : Linear Transformation K(T ): Kernel of a Linear Transformation R(T ): Range of a Linear Transformation r (T ): Rank of a Linear Transformation xxvii ... SLT Surjective Linear Transformations ESLT Examples of Surjective Linear Transformations RLT Range of a Linear Transformation SSSLT Spanning Sets and Surjective Linear Transformations SLTD Surjective Linear Transformations and Dimension CSLT Composition of Surjective Linear Transformations READ Reading Questions . He teaches calculus, linear algebra and abstract algebra regularly, while his research interests include the applications of linear algebra to graph theory. His professional website is at http://buzzard.ups.edu. Edition Waldron. University of Santa Clara in 1978, a M.S. in Statistics from the University of Illinois at Urbana-Champaign in 1982 and a Ph.D. in Mathematics from the University of Illinois at Urbana-Champaign in 1984 A First Course in Linear Algebra A First Course in Linear Algebra by Robert A. Beezer Department of Mathematics and Computer Science University of Puget Sound Waldron Edition Version