Skkn giải pháp để nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng hsg cấp tỉnh chủ đề quan hệ chia hết trong chuyên đề số học tại huyện bá thước

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Cùng với phát triển đất nước, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trường ngày trọng đến chất lượng giáo dục tồn diện bên cạnh đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trị mơn học cơng cụ, mơn tốn góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy để học sinh nắm kiến thức cách hệ thống mà phải nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh đặc biệt học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Điều địi hỏi giảng dạy phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt tư toán học Với đối tượng học sinh giỏi ôn luyện cấp huyện cấp tỉnh, em có tư nhạy bén, có nhu cầu hiểu biết ngày cao, làm để em học sinh phát huy hết khả mình, trách nhiệm giáo viên Với niềm đam mê toán học với tìm tịi thân Tơi gặp nhiều dạng tốn mà giải gặp nhiều khó khăn Nhiều học sinh gặp toán nằm chun đề “Số học” vơ lúng túng, khơng biết nằm dạng nào, cách gải Trong khn khổ sách giáo khoa đưa lượng kiến thức tương đối đơn giản Nên việc em tiếp cận với toán số học cấp huyện, cấp tỉnh điều tương đối khó khăn Bên cạch thầy giảng dạy phần số học khơng có tài liệu phân loại chi tiết có hệ thống, nên giảng dạy gặp khơng khó khăn Vì qua nhiều lần ơn học sinh giỏi đội tuyển cấp huyện cấp tỉnh, thấy cần thiết nên chia thành nhiều dạng, cung cấp cho em nhiều kiến thức lý thuyết quan trọng để dạy Đặc biệt chủ đề “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” cần phân loại tốn có liên quan với để dạy cách hệ thống cho học sinh nắm bắt logic cụ thể Thực tế, qua năm phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn cấp huyện, cấp tỉnh, nhận thấy em học sinh thực gặp nhiều khó khăn học chuyên đề “Số học” khơng học có hệ thống Chủ đề “Quan hệ chia hết” đề tài lý thú, phong phú đa dạng số học THCS thiếu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn THCS cấp Từ lý trên, mạnh dạn triển khai sáng kiến: Giải pháp để nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng HSG cấp Tỉnh chủ đề “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” huyện Bá Thước 1.2 Mục đính nghiên cứu Nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh chuyên đề số học Phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo, lực tự học học sinh, tạo điều kiện cho em hứng thú học tập môn Nêu nên số kinh nghiệm thân về: Giải pháp để skkn nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng HSG cấp Tỉnh chủ đề “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” huyện Bá Thước 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán chủ đề “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” để ôn thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu mơn tốn có liên quan đến chủ để “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” - Phương pháp điều tra thực trạng - Phương pháp vấn trao đổi với giáo viên - Phương pháp khảo sát chất lượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Cùng với phát triển xã hội Nền giáo dục nước ta có biến đổi nội dung SGK phương pháp giáo dục, dạy cho học sinh kiến thức SGK chưa đủ, mà dạy em cách tự học sáng tạo Dạy cho em kĩ vận dụng, với thủ thuật vận dụng Với tốc độ yêu cầu ngày cao tốn học, cần sáng tạo, tìm tịi sáng kiến giải pháp để phục vụ cho việc học tập có hiệu quả, bên cạch em phải có kiến thức định SGK, đầu óc biết tư suy luận dụng Cho nên giáo dục nước ta tổ chức thi học sinh giỏi cấp nhằm tìm nhân tài cho đất nước Theo nghị TW4 khóa “phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh có lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề’’ [15] Nghị TW2 khóa 8: “phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều….’’ [16] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong năm vừa qua, huyện Bá Thước tổ chức tham gia kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh đạt hiệu định đặc biệt môn Tốn có chuyển biến phần chưa thực rõ nét Nhiều năm liền đội tuyển Tốn tham gia kì thi cấp tỉnh Thanh Hóa đạt giải, song việc đạt giải thức, đặc biệt giải Nhất, Nhì số lượng đạt nhiều giải lại khó khăn Bản thân tơi năm gần thực đề án trường trọng điểm chất lượng cao huyện Bá Thước tham gia vào việc ôn thi HSG đội tuyển tỉnh mơn Tốn nhiều năm liền Trong năm vừa qua đạt kết khích lệ Qua giảng dạy thân thấy kinh nghiệm nhiều hơn, dạng toán số học cần phân chia cụ thể, rõ ràng dạng để học sinh dễ nắm bắt Đặc biệt toán số học cần phân chia toán cụ thể cách giải cần rõ ràng cụ thể, Qua em hiểu sâu vấn đề làm tốt tập có liên quan Bằng kinh nghiệm giảng dạy, thân thấy việc nâng cao chất lượng học sinh giỏi chuyên đề số học có thực trạng sau: skkn + Thuận lợi: Bản thân giáo viên Toán nên nắm bắt hiểu rõ mơn Tốn nói chung chun đề số học nói riêng Được giúp đỡ nhiệt tình Ban giám hiệu, đồng chí mơn, giúp tơi tổng hợp số tài liệu để giảng dạy Các em tham gia vào đội tuyển cấp huyện cấp tỉnh đam mê, hứng thú có tố chất Học sinh đa số em đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Bá Thước Phụ huynh quan tâm đến phong trào thi học sinh giỏi, hợp tác với giáo viên, tạo điều kiện cho giáo viên xếp thời gian bồi dưỡng Qua trình dạy học lớp, sau học xong dạng toán cho tốn tương tự liên quan tơi thấy em hứng thú để suy luận để giải Các buổi học ôn sôi hơn, học sinh mạnh dạn làm nhận xét bạn nhiều Phát triển lực chủ động sáng tạo học sinh, tạo cho học sinh hình thành lực chủ động giải vấn đề học Các em ngày cải thiện khả học, em hứng thú việc học, hiểu dạng toán quan hệ chia hết chuyên đề số học Sau triển khai giảng dạy chuyên đề em làm tốt với toán quan hệ chia hết đề học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh năm trước Đề tài giúp đa số em học tốt hơn, tự tin giải toán chủ đề quan hệ chia hết chuyên đề số học Rèn khả tư logic cho học sinh giải toán giải Giúp giáo viên học sinh hình thành kiến thức, tư cơng mà khơng máy móc dập khn Tạo hội cho giáo viên dạy, tạo hội cho học sinh mạnh dạn làm tập lên bảng trình bày cách làm với tốn phức tạp + Khó khăn: Đây chun đề khó chun đề ơn thi HSG cấp huyện, cấp tỉnh Tuy nhiên lượng kiến thức lớp SGK tương đối khơng nhiều tập nâng cao Tài liệu đa dạng phù hợp có chất lượng khơng có nhiều Đa số giáo viên phải tự tìm tịi Do mơn khó, cần địi hỏi học sinh có tư cao cần thực chăm học đam mê khám phá Một số phụ huynh chưa thực quan tâm đến việc học em Khi tiếp cận với môn, học sinh lại hoang mang tốn thuộc lĩnh vực mơn xem khó Học sinh chưa xác định dạng toán giải phương pháp giải phù hợp tối ưu Số lượng tập toán cần nhiều hơn, phong phú đa dạng, mẻ để em tiếp cận nhiều toán, dạng toán Nhiều học sinh nhận dạng dạng áp dụng vào để đưa kết mà khơng biết kiến thức áp dụng xác chưa hay có nhầm lẫn khơng, nằm đâu Một số học sinh phải tư logic thường tỏ mệt mỏi mà thích sử dụng tập gần với kiến thức skkn Học sinh lười đầu tư việc học nhà tìm hiều chủ đề số học chun đề khó, nên kiến thức có phần hạn chế Nhiều gia đình em chưa thực quan tâm sâu sát để giúp đỡ em việc học nhà Nhiều em thấy việc học mơn tốn khó khăn nên học khơng chu đáo kiến thức cịn yếu Bản thân mơn tốn khơ khan, em muốn học mơn tốn vấn đề địi hỏi em phải có tư logic, đặc biệt chuyên đề số học phải học cách có hệ thống, khơng phải hai mà biết Các em học sinh lớp - học sinh bước vào lứa tuổi “lớn khơng lớn nhỏ khơng nhỏ”, nói nặng lời với em em có thành kiến với giáo viên dẫn đến việc dạy môn em khơng muốn học em nắm kiến thức Việc hướng dẫn học sinh hình thành kiến thức bản, công thức, tư duy, suy luận giải thầy cô quan tâm, phần đa giáo viên phân tích đề lựa chọn lời giải phù hợp để làm Đề tài đưa số ví dụ địi hỏi học sinh phải biết tư duy, suy luận, phân tích để đưa nắm bắt thật chặt kiến thức bản, tài liệu giáo viên có hướng dẫn lời giải chưa thật chi tiết Trong công đổi giáo dục, việc nắm kiến thức hệ thống tập cần thiết, có nhìn thiện cảm đối chuyên đề khó Các em kiến thức phần hướng dẫn em áp dụng để giải tập phần đó, để tập giải nhanh hơn, khơng giúp em hiểu sâu rộng chun đề tốn có liên quan điều cần thiết tất học sinh Bảng đánh giá thực trạng chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy đội tuyển: Bảng Năm học Số lượng 2015 – 2016 2016 – 2017 2017 – 2018 Cấp dự thi Dự thi Làm tốt Dự thi Làm tốt Dự thi Làm tốt Huyện 14 11 12 Tỉnh Với kinh nghiệm ôn luyện đội tuyển tỉnh năm qua, mạnh dạn nêu lên: Giải pháp để nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng HSG cấp Tỉnh chủ đề “Quan hệ chia hết” chuyên đề “Số học” huyện Bá Thước làm sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp tổ chức thực để giải vấn đề 2.3.1 Mục tiêu giải pháp Học sinh cần cố hệ thống kiến thức số học như: uớc chung, bội chung; uớc chung lớn nhất; bội chung nhỏ nhất; phép chia hết, phép chia có dư; tính chất chia hết chia có dư; số nguyên tố, hợp số; số skkn phương; Những dạng tốn thường vận dụng quan hệ chia hết, số nguyên tố, hợp số; số phương, Kiến thức hay dùng ước chung, bội chung; ước chung lớn nhất; bội chung nhỏ nhất; phép chia hết, phép chia có dư; tính chất chia hết chia có dư; số ngun tố, hợp số; số phương; định lý Pecmar, định lý Ơle, định lý Wlison, ngun lý Đirichlet…Rèn luyện kĩ tính tốn xác, cẩn thận tư lơgíc 2.3.2 Nội dung cách thực giải pháp A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa phép chia Cho hai số nguyên a b b  ta ln tìm hai số nguyên q r cho a  bq  r , với Trong a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b số dư  Nếu r  a  bq , ta nói a chia hết cho b Ký hiệu: a  b hay b a Vậy a chia hết cho b tồn số nguyên q cho a  bq  Nếu r  , ta nói a chia b có số dư r Một số tính chất cần nhớ  Tính chất Mọi số ngun khác ln chia hết cho  Tính chất Nếu  Tính chất Nếu  Tính chất Nếu a.b m  b, m   a  m  Tính chất Nếu  Tính chất Nếu  Tính chất Nếu  Tính chất Trong n số nguyên liên tiếp tồn số nguyên chia hết cho n  Tính chất Nếu a  b  với a, b số tự nhiên thì:  Tính chất 10 Nếu a  b  với a, b, n số tự nhiên n số lẻ thì: Một số dấu hiệu chia hết Đặt A  a na n 1 a 2a1a , với a n ; a n1 ; ; a ; a1 ; a chữ số Khi ta có dấu hiệu chia hết sau: skkn B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng tính chất n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n (với n thuộc N*) * Hướng suy nghĩ: Sử dụng tính chất tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho chia hết cho * Ví dụ minh họa: Bài toán Chứng minh với số nguyên n ta có: n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 Lời giải Ta có: 120 = 3.5 n5 – 5n3 + 4n = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) Trong số nguyên liên tiếp tồn số chia hết cho 3, số chia hết cho có số chẵn liên tiếp nên tích hai số chẵn chia hết cho Do đó: n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 Bài toán Chứng minh với số nguyên lẻ n thì: chia hết cho 128 Lời giải Ta có:         n6  n4  n2   n4 n2   n2   n2  n4   n2   n 2 1  Vì n số lẻ nên đặt n = 2k +  k  N  Ta có: n   2    k  1  1  k  k      k  k  1  Ta có k(k + 1) chia hết  k  k  1   64 Mặt khác: n2    k  1   k  k    k  k  1  2 Do đó:  n  n  n2   n   n 2   128 (đpcm) Chú ý: Tổng qt ta có tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! Bình phương số lẻ số lẻ Dạng 2: Phân tích thành nhân tử * Hướng suy nghĩ: Để chứng minh Q(x) chia hết cho ta phân tích , cịn khơng thể đưa phân tích ta viết + Nếu ta chứng minh Q(x) chia hết cho k skkn + Nếu  k , q   ta viết Q(x) = B(x).C(x) chứng minh B(x) chia hết cho C(x) chia hết cho * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh với số nguyên n A   n n   36n  7       Lời giải Biến đổi biểu thức A ta được:  n  n n     n n     n n  7n  n  7n     3  n n  n  6n  n  n  6n   n  n    n  1  n n    n                          n  n  1 n  n   n   n  n   n  n    n    n    n    n    n   Do A tích số nguyên liên tiếp nên A chia hết cho với n thuộc Z Bài toán Chứng minh với ba số tự nhiên a, b, c có số lẻ hai số chẵn ta ln có:  a  b  c    a  b  c    b  c  a    a  b  c  chia hết cho 96 [1] Lời giải Đặt Ta có:  x  y  z   x  y  z  3(x  y)(y  z)(x  z)  3.2 c a b  24abc Do số a, b, c có số chẵn nên abc chia hết cho Do 24abc chia hết cho 24.4 = 96 Vậy toán chứng minh Bài toán Cho số nguyên dương x, y, z Chứng minh rằng: 5  x  y    y  z    z  x  chia hết cho  x  y   y  z   z  x  Lời giải Đặt a  x  y , b  y  z  z  x    a  b  Do ta cần chứng minh: a  b5   a  b  chia hết cho 5ab  a  b  Ta có: a  b   a  b     5a b  10a3b  10a 2b  5ab    5ab a  b  2a b  2ab     5ab  a  b  a  ab  b  2ab  a  b     2  5ab  a  b  a  ab  b   Dạng 3: Sử dụng phương pháp tách tổng * Hướng suy nghĩ: Để chứng minh M(x) chia hết cho ta biết đổi M(x) thành tổng số hạng chứng minh số hạng chia hết cho * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh m, n số nguyên ta có: Lời giải a) Ta có: n  n  11  n  11n  n  n  12n   n  1 n  n  1  12n 3 Dễ chứng minh:  n  1 n  n  1  6, 12n  n  Z  Do đó: n  n  11  skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2 2 2 b) Ta có: mn  m  n   mn  m  1   n  1   mn  m  1  mn  n  1 2 Do: mn  m  1  n  m  1 m  m  1  6, mn  n  1  m  n  1 n  n  1  2 Do đó: mn  m  n   c) Ta có: n  n  1  2n  1  n  n  1  n   n  1  n  n  1  n     n  1 n  n  1 Do: n  n  1  n    6,  n  1 n  n  1  Do đó: n  n  1  2n  1  Bài toán Cho biểu thức A = với a, b, c số nguyên Chứng minh A chia hết cho 30 [2] Lời giải Ta có: Ta thấy năm số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 2, có số chia hết cho có số chia hết cho Lại có 2, nguyên tố nên ta suy được: chia hết cho 30 Do đó: A = chia hết cho 30 Bài toán Chứng minh với n  N n  6n  11n  30n  24 chia hết cho 24 Lời giải Ta có : n  6n  11n  30n  24 3 =  n  6n  11n  6n    24n  24   n  n  6n  11n    24  n  1 2 = n  n  n    5n  5n    6n     24  n  1  n  n  1  n  5n    24  n   = n  n  1  n    n    24  n  1 Vì n; n + 1; n + 2; n + bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho Mặt khác số tự nhiên liên tiếp tồn số chẵn liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho Vậy n  n  1  n    n  3 chia hết 2.3.4 = 24 24(n – 1) 24 Nên n  6n3  11n  30n  24 chia hết cho 24 Chú ý: Tách tổng phương pháp chứng minh chia hết mà lời giải dễ hiểu, ngắn gọn đẹp mắt nên thường trình bày tốn giải nhiều phương pháp, nhiên để áp dụng em cần linh hoạt việc tách Dạng 4: Sử dụng đẳng thức * Hướng suy nghĩ: Nếu a, b số nguyên thì: a n  bn chia hết cho a – b với n số tự nhiên a  b a n  bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên chẵn a  b a n  bn chia hết cho a + b với n số tự nhiên lẻ a  b n  a  b   ka  bn với k số nguyên, n số tự nhiên  a  1 n  ac   a  1 n n  ac   1 , n số tự nhiên * Ví dụ minh họa: Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Bài tốn Chứng minh với chia hết cho 65 [3] Lời giải Ta có: 65 = 13.5 (5; 13) = Lại có: Áp dụng tính chất an  bn chia hết cho a – b với n số tự nhiên a  b , ta có: tức tức Suy chia hết cho 13 (1) tức tức Suy chia hết cho (2) Do (5, 13) = nên từ (1) (2) suy ra: chia hết cho 65 n n n n n Bài toán Chứng minh C    1      91  n  N  [4] Lời giải n n n n Sử dụng tính chất:  a  b   ka  bn ,  a  1  ac  1,  a  1  ac   1 với k số nguyên, n số tự nhiên Ta có: C  25n  n  18 n  12 n   21    5n   14       n n n  21c  n  5n  14d  n  e  5n   3c  2d  e   Mặt khác: C   26  1  5n   13     13  1 n n n  26 f   1  5n  13 g  5n  13h   1  n n  13  f  g  h  13 Vì (13, 7) = nên C 7.13  91 Bài toán Chứng minh với số nguyên n ta có: A  15   35   n chia hết cho B      n [5] Lời giải Ta có cơng thức quen thuộc: B      n    n  n  1 Lại có:   5 2A  n    n  1     n        n     Nhận thấy số hạng chia hết cho (n +1) nên A  n  1  1 5 Lại có 2A  2n   n  1     n      chia hết cho n Do 2n  n nên 2A  n   Từ (1) (2) suy 2A chia hết cho n(n + 1) Do 2A 2B  A  B (đpcm) 5 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 10 Chú ý: Ta có cơng thức tổng qt: với n số nguyên dương k số tự nhiên lẻ thì: Dạng 5: Sử dụng phương pháp xét số dư * Hướng suy nghĩ: Để chứng minh A(n) chia hết cho p ta xét số n có dạng n = kp + r với r   0;1; 2; ; p  1 * Ví dụ minh họa: Bài toán Cho a, b, c số nguyên Chứng minh nếu:  a  b3  c3   ba số a, b, c chia hết cho Lời giải Với a, b, c số nguyên ta có a  3q1  r1 ; b  3q  r2 ; c  3q  r3 với q ; q ; q số nguyên số dư r1 ; r2 ; r3   1; 0;1 Dễ thấy r13  r1 ; r23  r1 ; r33  r1 Từ ta được: a   3q  r1   9k1  r1 ; b   3q  r2   9k  r1 ; c   3q  r3   9k  r3 3 3 3 Khi ta a  b  c   k1  k  k    r1  r2  r3  3 Mà theo giả thiết ta có  a  b  c   Do ta suy  r1  r2  r3   Dễ thấy r1  r2  r3  , suy r1  r2  r3  Do r1 ; r2 ; r3   1; 0;1 nên từ r1  r2  r3  suy r1 ; r2 ; r3 có số Điều có nghĩa ba số a, b, c có số chia hết cho Bài toán Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn: Chứng minh  x  y  z  chia hết cho 27 Lời giải Từ giả thiết ta có:  x  y   y  z   z  x   x  y  z  *  Ta xét trường hợp sau: + Nếu số x, y, z chia cho có số dư khác (x – y), (y – z), (z – x) khơng chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) không chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) chia hết cho điều trái với điều kiện (*) tốn, trường hợp xảy + Nếu số x, y, z có số chia cho có số dư (x – y), (y – z), (z – x) có hiệu chia hết cho (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho Nhưng tổng số (x + y + z) không chia hết cho điều trái với điều kiện (*) tốn, trường hợp khơng thể xảy Vậy số x, y, z chia cho phải số dư, (x – y), (y – z), (z – x) chia hết tích (x – y)(y – z)(z – x) chia hết cho 27 Mặt khác theo giả thiết (*) ta có (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z nên (x + y + z) chia hết cho 27 Vậy toán chứng minh Bài toán Chứng minh với n số tự nhiên có 2n + 3n + số phương n chia hết cho 40 [6] Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn skkn