HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỤC LỤC Mục lục:…………………………………….………………………………………trang 0 Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………….……..….…trang 1 Chương 2: Các ký hiệu và không gian hàm……………………………..….…..…trang 4 Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………….……………………………..….trang 6 Bổ đề 3.1…………...……………………….…………………………..….trang 6 Bổ đề 3.2………...……………………………….……………………..….trang 6 Định lý 3.1……….……………………………………….……………..…..trang 9 Chú thích 3.1…………………………………..………………………......trang 10 Chú thích 3.2………………………………………………………………trang 10 Chương 4: Thuật giải hội tụ cấp hai……………………………………...….……trang 11 4.1. Thuật giải lặp cấp hai………………….…………….……………..…….trang 11 Định lý 4.1………………………………...……………………..…..…….trang 12 Định lý 4.2…………………...…………………………………………….trang 13 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai…………………………..…….……trang 16 Định lý 4.3………………………………..……………………………..….trang16 Chú thích 4.1……………………….…………………………………..….trang 19 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé………………………...trang 20 Bổ đề 5.1………………………………………………..…………………trang 21 Bổ đề 5.2………………………………………………………..…………trang 22 Bổ đề 5.3……………………………………..……………………………trang 23 Định lý 5.1………………………………………………..………………..trang 25 Chú thích 5.1…….…………………………………………………..…….trang 26 Định lý 5.2………………………...……………………………………….trang 26 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể………………..…………………trang 28 6.1. Khảo sát thuật giải lặp cấp hai…………………………………………...trang 28 6.2. Khai triển tiệm cận của nghiệm………………………………......……...trang 33 Phần kết luận. …………………………………...………………………….....….trang 39 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….……..trang 40

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH o0o ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 01 01 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán- tin học, Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê-Toán- tin học, Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trường Cao đẳng Giao thông khu vực Luận văn bảo vệ Hội Đồng chấm luận án cấp Trường Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2003 Có thể tìm hiểu luận văn Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Mục lục:…………………………………….………………………………………trang Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………….…… ….…trang Chương 2: Các ký hiệu không gian hàm…………………………… ….… …trang Chương 3: Sự tồn tại, nghiệm………….…………………………… ….trang Bổ đề 3.1………… ……………………….………………………… ….trang Bổ đề 3.2……… ……………………………….…………………… ….trang Định lý 3.1……….……………………………………….…………… … trang Chú thích 3.1………………………………… ……………………… trang 10 Chú thích 3.2………………………………………………………………trang 10 Chương 4: Thuật giải hội tụ cấp hai…………………………………… ….……trang 11 4.1 Thuật giải lặpï cấp hai………………….…………….…………… …….trang 11 Định lý 4.1……………………………… …………………… … …….trang 12 Định lý 4.2………………… …………………………………………….trang 13 4.2 Sự hội tụ thuật giải lặpï cấp hai………………………… …….……trang 16 Định lý 4.3……………………………… …………………………… ….trang16 Chú thích 4.1……………………….………………………………… ….trang 19 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé……………………… trang 20 Bổ đề 5.1……………………………………………… …………………trang 21 Bổ đề 5.2……………………………………………………… …………trang 22 Bổ đề 5.3…………………………………… ……………………………trang 23 Định lý 5.1……………………………………………… ……………… trang 25 Chú thích 5.1…….………………………………………………… …….trang 26 Định lý 5.2……………………… ……………………………………….trang 26 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể……………… …………………trang 28 6.1 Khảo sát thuật giải lặp cấp hai………………………………………… trang 28 6.2 Khai triển tiệm cận nghiệm……………………………… …… trang 33 Phần kết luận ………………………………… ………………………… ….trang 39 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….…… trang 40 CHƯƠNG TỔNG QUAN Trong luận văn nầy, nghiên cứu hệ phương trình hàm sau ñaây m n ( ) m n f i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x), (1.1) k =1 j =1 k =1 j =1 ∀x ∈ Ω; i = 1, , n, Ω = [a, b] Ω khoảng không bị chận IR, aijk , bijk số thực cho trước; g i : Ω → IR, Rijk , S ijk : Ω → Ω, vaø Φ : IR → IR hàm số liên tục cho trước thoả số điều kiện mà ta rõ sau Các hàm f i : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trong trường hợp riêng Φ( y ) = y , Rijk = S ijk , hệ (1.1) nghiên cứu tác giả N.T Long, N.H Nghóa, T.N Diễm[6]; L.T Vân [11] Trong [12], tác giả C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu nghiên cứu hệ (1.1) sau ứng với Ω = [−b, b], m = n = 2, aijk = vaø S ijk laø nhị thức bậc ⎧ f1 ( x) = a11 f1 (b11 x + c11 ) + a12 f (b12 x + c12 ) ⎪ + a13 f1 (b13 x + c13 ) + g1 ( x), ⎪ ⎨ ⎪ f ( x) = a 21 f1 (b21 x + c 21 ) + a 22 f (b22 x + c 22 ) ⎪⎩ + a 23 f (b23 x + c 23 ) + g ( x), (1.2) với x ∈ Ω = [−b, b], đó, số aij , bij , cij , b cho trước thỏa điều kieän: bij < 1, b ≥ max [ i, j cij − bij ], max ( i ∑ aij ) < 1, (1.3) j =1 hàm số g1 , g liên tục cho trước f1 , f ẩn hàm Nghiệm hệ (1.2) lúc xấp xỉ dãy qui nạp hội tụ ổn định g i Trong [9], tác giả Nghóa, Khôi xét hệ phương trình hàm cụ thể sau để làm kiểm tra thuật toán số x x x x 1 1 ⎧ ⎪⎪ f ( x) = 100 f1 ( ) + 200 f ( + ) + 100 f ( + ) + 100 f ( + ) + g1 ( x), (1.4) ⎨ ⎪ f ( x) = f ( x ) + f ( x + ) + f ( x ) + f ( x + ) + g ( x), 1 2 ⎪⎩ 100 200 100 200 4 với x ∈ [−1,1] , g1 , g chọn cho hệ (1.4) có nghiệm xác biết trước Trong [3], tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi nghiên cứu trường hợp riêng (1.1) với aijk = Ω = [−b, b] hay Ω khoảng không bị chận IR Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, [3] thu kết tồn tại, tính ổn định nghiệm hệ (1.1) hàm g i Trong trường hợp aijk = S ijk nhị thức bậc nhất, g ∈ C r (Ω; IR n ) Ω = [−b, b], [3] thu khai triển Maclaurin nghiệm hệ (1.1) cấp r Hơn nữa, g i đa thức bậc r , nghiệm hệ (1.1) đa thức bậc r Kế đó, g i hàm liên tục, nghiệm f (1.1) xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Sau đó, kết nới rộng tác giả Long, Nghóa[4] cho miền Ω ⊂ IR p nhiều chiều S ijk hàm affine Hơn nữa, [4] cho điều kiện đủ hội tụ cấp hai Một số kết liên quan đến khai triển tiệm cận nghiệm cho hệ (1.1) theo tham số bé ε xem xét báo Long, Nghóa, Diễm [6] Long [8] Gần đây, N.T Long, P.H Danh, N.K Khôi [5] nghiên cứu hệ phương trình tích phân-hàm β ij x +γ ij ⎛ ⎞ ⎜ f i ( x) = ∑ ⎜ aij f j (bij x + cij ) + α ij ∫ f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x), i = 1,2, x ∈ [−b, b] ⎟ j =1 ⎜ ⎝ ⎠ (1.7) Sau P.H Danh, H.T.H Dung, N.T Long[1] xét hệ β ijk x +γ ijk ⎛ ⎞ ⎜ f i ( x) = ∑∑ ⎜ aijk f j (bijk x + cijk ) + α ikj f j (t )dt ⎟⎟ + g i ( x), ∫ ⎟ k =1 j =1 ⎜ ⎝ ⎠ m n (1.8) i = 1,2, , n, x ∈ Ω = [−b, b], g i : Ω → IR hàm liên tục cho trước, aijk , bijk , cijk ,α ijk , β ijk , γ ijk ∈ R số thực cho trước thỏa thêm số điều kiện phụ Các tác giả [1, 5] thiết lập nghiệm f = ( f1 , , f n ) dãy đa thức hội tụ Luận văn nầy trình bày chương, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Trong chương 1, phần tổng quan hệ phương trình hàm, số kết có trước số nội dung cần trình bày chương luận văn Trong chương 2, phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho chương sau Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chứng minh tồn tại, nghiệm hệ (1.1) Trong chương 4, nghiên cứu điều kiện đủ để thu thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) Điều nầy cho phép gia tăng tốc độ hội tụ thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp ánh xạ co Trong chương 5, nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu tham số bé ε Chúng thu chương nầy khai triển tiệm cận nghiệm hệ (1.1) đến cấp N + theo ε , với ε đủ nhỏ theo nghóa N f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 ) r =0 tức n N sup ∑ f i ( x) − ∑ ε r f i[ r ] ( x) ≤ C ε x∈Ω i =1 N +1 , r =0 C số độc lập với ε Trong chương 6, nghiên cứu số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể p với thuộc dạng (1.1) ứng với m = 1, n = 2, Ω = [−1,1], Φ ( y ) = y , p ≥ 2, thuật giải hội tụ cấp hai thành phần khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ khảo sát Phần kết luận nêu lên số kết thu luận văn số ý kèm theo Cuối phần tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chương 2, phần giới thiệu ký hiệu, không gian hàm số công cụ sử dụng luận văn 2.1 Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a, b] hay Ω khoảng không bị chặn IR Với Ω = [a, b] , ta ký hiệu X = C (Ω; IR n ) không gian Banach hàm số f = ( f1 , , f n ) : Ω → IR n liên tục Ω chuẩn n f X = sup ∑ f i ( x) x∈Ω i =1 (2.1) Khi Ω khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = C b (Ω; IR n ) không gian Banach hàm số f : Ω → IR n liên tục, bị chận Ω chuẩn (2.1) Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt C m (Ω; IR n ) = { f = ( f , , f n ) ∈ C (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C (Ω; IR), ≤ k ≤ m, ≤ i ≤ n} Với Ω khoảng không bị chặn, ta ký hiệu C bm (Ω; IR n ) = { f = ( f1 , , f n ) ∈ C b (Ω; IR n ) : f i ( k ) ∈ C b (Ω; IR), ≤ k ≤ m, ≤ i ≤ n} Mặt khác, C m (Ω; IR n ) C bm (Ω; IR n ) không gian Banach chuẩn n f m = max sup ∑ f i( k ) ( x) 1≤ k ≤ m x∈Ω i =1 (2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau sử dụng nhiều lần chương sau Định lý 2.1.( Định lý điểm bất động Banach) Cho X không gian Banach với chuẩn ⋅ , K ⊂ X tập đóng Cho T : K → K ánh xạ thỏa mãn: Tồn số thực σ , ≤ σ < cho (2.3) Tf − Tg ≤ σ f − g , ∀f , g ∈ K Khi ta có (i) Tồn f ∈ K cho f = Tf (ii) Với f (0) ∈ K , xét dãy { f (ν ) } cho f (ν ) = Tf (j) lim ν →∞ (jj) (jjj) f (ν ) ( ν −1) , ν = 1, 2, ta coù f (ν ) − f = 0, −f ≤ f f (ν ) − f ≤ (0) σ 1−σ − Tf ( 0) σν , ν = 1,2, 1−σ f (ν ) − f (ν −1) , ν = 1,2, Chứng minh định lý 2.1 tìm thấy sách nhập môn giải tích.„ 26 v X ≤ L−1 [ ε A(v + h) − Ah + Eε X ≤ L−1 [ ε A(v + h) − Ah X ] + C N(1) ε X N +1 ] (5.23) Mặt khác v+h X = fε X N ~ ≡ M, ≤ ∑ f [r ] X ~ ≤ ( M + M ) [aijk ] v X ≤ M, h X r =0 (5.24) ta suy từ (5.24) A(v + h) − Ah X (5.25) Từ (5.23), (5.25) ta thấy v X ~ ≤ L−1 [ ε ( M + M ) [aijk ] v X + C N(1) ε N +1 ] (5.26) Choïn < ε < ε cho ~ ε ( M + M ) [aijk ] L−1 ≤ (5.27) Do đó, ta có từ (5.26), (5.27) raèng v X ≤ L−1 C N(1) ε N +1 , hay N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 ≤ L−1 C N(1) ε N +1 X Định lý 5.1 chứng minh hoàn tất „ Chú thích 5.1 Với aijk ∈ R vaø g = ( g1 , , g n ) ∈ X cho trước, giả thiết [bijk ] < dẫn đến tồn hai số dương ε , M thỏa giả thiết ( H ) ( H ), Khi đó, ta có kết sau: Định lý 5.2 Giả sử ( H ) − ( H ) Cho trước aijk ∈ IR Khi đó, tồn hai số M > 0, ε > 0, cho, với ε , với ε ≤ ε , hệ (3.2) có nghiệm 27 f ε ∈ K M có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 (5.21), hàm f [ r ] , r = 0,1, , N nghiệm hệ (5.1)-(5.6), lần lượt.„ 28 CHƯƠNG MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần nầy xem xét qua số ví dụ dựa số hệ phương trình hàm cụ thể Qua xét hội tụ dãy lặp cấp hai liên kết với hệ phương trình hàm nầy Vẫn phần nầy tính toán số khai triển tiệm cận đến cấp cho trước nghiệm theo tham số bé ε 6.1 KHẢO SÁT THUẬT GIẢI CẤP HAI p Chúng xét hệ (1.1) ứng với m = 1, n = 2, Ω = [−1,1], Φ ( y ) = y , p ≥ 2, 2 f i ( x) = ε ∑ aij f j (rij x) + ∑ bij f j ( sij x) + g i ( x), x ∈ Ω = [−1,1], i = 1,2, p j =1 (6.1) j =1 ñoù g i ( x) = x i − ε ∑ aij (rij x) j p j =1 − ∑ bij ( sij x) j (6.2) j =1 aij , bij , rij , sij số thực cho trước thỏa [bij ] = ∑ max bij < 1, rij ≤ 1, sij ≤ 1, i =1 1≤ j ≤ (6.3) Các hàm Rij ( x) = rij x, S ij ( x) = sij x, g i (x) thỏa giả thiết ( H ), ( H ) Nghiệm xác hệ (6.1) f i ( x) = x i , i = 1,2 (6.4) Như chương 4, dựa vào xấp xỉ sau đây: f j(ν ) p ≅ f j(ν −1) p = p f j(ν −1) + p f j(ν −1) p−2 p −2 f j(ν −1) ( f j(ν ) − f j(ν −1) ) f j(ν −1) f j(ν ) − ( p − 1) f j(ν −1) p (6.5) ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) sau: f i (ν ) ( x) = ε ∑ aij ⎡ p f j(ν −1) (rij x) ⎢⎣ j =1 p −2 + ∑ bij f j(ν ) ( sij x) + g i ( x) j =1 p f j(ν −1) (rij x) f j(ν ) (rij x) − ( p − 1) f j(ν −1) (rij x) ⎤ ⎥⎦ 29 p−2 = ε p ∑ aij f j(ν −1) (rij x) j =1 f j(ν −1) (rij x) f j(ν ) (rij x) + ∑ bij f j(ν ) ( sij x) j =1 − ε ( p − 1)∑ aij f j(ν −1) (rij x) + g i ( x), p j =1 hay f i (ν ) ( x) = ε p ∑ aij f j(ν −1) (rij x) p−2 j =1 f j(ν −1) (rij x) f j(ν ) (rij x) + ∑ bij f j(ν ) ( s ij x) (6.6) j =1 + g i(ν ) ( x), x ∈ Ω, i = 1,2,ν = 1,2, với g i(ν ) ( x) = − ε ( p − 1)∑ a ij f j(ν −1) (rij x) + g i ( x) p (6.7) j =1 = − ε ( p − 1)( Af (ν −1) ) i ( x) + g i ( x) Giaû sử bước lặp ban đầu f (0) = ( f1(0) , f 2(0) ) chọn cho f ( ) X ≤M giả sử bước ν − ta tính f (ν −1) = ( f1(ν −1) , f 2(ν −1) ) từ thuật giaûi (6.6) cho f (ν −1) X ≤ M Khi đó, với x ∈ Ω, i = 1,2 ta coù f i (ν ) ( x) ≤ ε p max aij 1≤ j ≤ + max bij 1≤ j ≤ ≤ ε pM ∑ j =1 max aij 1≤ j ≤ + max bij 1≤ j ≤ ≤ ε pM ∑ p −1 f j(ν −1) (rij x) p −1 f j(ν ) (rij x) f j(ν ) ( sij x) + g i(ν ) ( x) j =1 p −1 2 ∑ j =1 ∑ j =1 (6.8) f j(ν ) (rij x) f j(ν ) ( sij x) + g i(ν ) ( x) max aij 1≤ j ≤ f (ν ) X + max bij f (ν ) 1≤ j ≤ X + g i(ν ) ( x) Vậy f (ν ) Mặt khác X ≤ ε pM p −1 [a ij ] f (ν ) X + [bij ] f (ν ) X + g (ν ) X 30 g (ν ) X ≤ ε ( p − 1) Af (ν −1) ≤ ε ( p − 1) pM p −1 X + g X [aij ] f (ν −1) ≤ ε ( p − 1) pM p [aij ] + g vaäy f (ν ) hay X ( ≤ ε pM (1 − ε pM p −1 p −1 [aij ] + [bij ] [aij ] − [bij ] )f X X + g X )f (ν ) X (ν ) X + ε p ( p − 1) M p [aij ] + g ≤ ε p ( p − 1) M p [aij ] + g X X (6.9) (6.10) Chọn M > sau chọn ε ∈ IR (đủ nhỏ) cho − ε pM p −1 [aij ] − [bij ] > 0, ε p ( p − 1) M p [aij ] + g − ε pM p −1 X [aij ] − [bij ] (6.11) ≤ M Khi f (ν ) X ε p ( p − 1) M p [aij ] + g ≤ − ε pM p −1 X [aij ] − [bij ] ≤ M Mà điều kiện chọn thứ hai tương đương với ε p( p − 1) M p [aij ] + g ( ≤ − ε pM X p −1 ) [aij ] − [bij ] M hay ε p M p [aij ] + g X ≤ (1 − [bij ] ) M Vậy, ta thành lập giả thiết sau ( H ) [bij ] < 1; ( H ) Choïn M > cho g X < (1 − [bij ] ) M ; ( H ) Chọn ε ∈ IR (đủ nhoû) cho ε p M p [aij ] + g X ≤ (1 − [bij ] ) M 31 Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f (0) = ( f1(0) , f 2(0) ) cho f ( ) dãy lặp { f (ν ) } xác định thuật giải (6.6) thỏa f (ν ) X X ≤ M , ≤ M ∀ν = 1,2, Tiếp theo ta đánh giá e (ν ) = f − f (ν ) ei(ν ) ( x) = f i ( x) − f i (ν ) ( x) = ε ∑ a ij ⎡ f j (rij x) − p f j(ν −1) (rij x) ⎢⎣ j =1 p p−2 f j(ν −1) (rij x) f j(ν ) (rij x)⎤ ⎥⎦ + ε ( p − 1)∑ aij f j(ν −1) (rij x) + ∑ bij e (jν ) ( sij x) p j =1 j =1 = ε ∑ aij ⎡ f j (rij x) − f j(ν −1) (rij x) − p f j(ν −1) (rij x) ⎢⎣ j =1 p p p−2 f j(ν −1) (rij x)[ f j(ν ) (rij x) − f j(ν −1) (rij x)]⎤ ⎥⎦ + ∑ bij e (jν ) ( s ij x) j =1 = ε ∑ aij ⎡ f j (.) − f j(ν −1) (.) − p f j(ν −1) (.) ⎢⎣ j =1 p p p−2 f j(ν −1) (.)[ f j(ν ) (.) − f j(ν −1) (.)]⎤ ⎥⎦ + ∑ bij e (jν ) ( sij x), j =1 ta bỏ qua rij x cách viết ký hiệu f j (.) f j thay cho f j (rij x) Chú ý fj p − f j(ν −1) p = p f j(ν −1) = p f j(ν −1) p−2 p−2 p −2 p ( p − 1) t ij(ν −1) f j − f j(ν −1) p − (ν −1) f j(ν −1) ( f j − f j(ν −1) ) + p( p − 1) t ij(ν −1) ej f j(ν −1) ( f j − f j(ν −1) ) + với t ij(ν −1) = f j(ν −1) + θ ij(ν ) ( f j − f j(ν −1) ), < θ ij(ν ) < Do p−2 p − (ν −1) 2⎤ ⎡ ei(ν ) ( x) = ε ∑ aij ⎢ p f j(ν −1) (.) f j(ν −1) (.)e (jν ) (.) + p ( p − 1) t ij(ν −1) (.) e j (.) ⎥ ⎣ ⎦ j =1 + ∑ bij e (jν ) ( s ij x) j =1 Vaäy 32 ei(ν ) ( x) ≤ ε max aij pM p −1 1≤ j ≤ + max bij e (ν ) X 1≤ j ≤ e (ν ) X + ε max aij p( p − 1) M 1≤ j ≤ ≤ ε p( p − 1) M p−2 e (ν −1) X Suy (1 − [b ] − ε pM p −1 ij e (ν ) ) [aij ] e (ν ) ≤ β M e (ν −1) X X X p−2 [aij ] e (ν −1) X , với βM ε p( p − 1) M p −2 [aij ] = , β M f ( 0) − f p −1 − [bij ] − ε pM [aij ] X < 1, (6.12) vaø ñoù, ta coù f (ν ) − f X ≤ βM (β M f (0) − f ) 2ν X , ∀ν = 1,2, (6.13) Choïn f (0) : Ta xây dựng dãy lặp {z (η ) } ⊂ K M xác định 2 z i(η ) ( x) = ε ∑ aij z (jη −1) (rij x) + ∑ bij z (jη ) ( s ij x) + g i ( x), p j =1 (6.14) j =1 x ∈ Ω, i = 1, , η = 1,2, , z ( ) = ( z1( ) , z 2( 0) ) ≡ (0,0) Khi dãy {z (η ) } hội tụ X nghiệm f (6.1) có đánh giá sai số f −z (η ) X ≤ z ( 0) − Tz (0) với σ= ε pM p −1 [aij ] − [bij ] X M ση × ≤ σ η , ∀η = 1,2, 1−σ 1−σ < Từ (6.15), (6.16), ta chọn η ∈ N lớn cho: (6.15) (6.16) 33 β M f − z (η 0) X ≤ Vậy ta chọn f (0) = z (η0 ) „ Mβ M σ η < 1−σ (6.17) 6.2 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Ta xét heä (6.1) 2 f i ( x) = ε ∑ aij f j ( sij x) + ∑ bij f j ( sij x) + g i ( x), x ∈ Ω = [−1,1], i = 1,2, p j =1 (6.1) j =1 aij , bij , rij , sij số thực cho trước thỏa (6.3) Do đó, hàm Rij ( x) = rij x, S ij ( x) = sij x, g i (x) (độc lập với ε ) thỏa giả thiết ( H ), ( H ) A Khaûo sát nghiệm hệ (6.1) trường hợp ε = Trường hợp ε = , hệ (6.1) hệ tuyến tính sau: f i ( x) = ∑ bij f j ( sij x) + g i ( x), x ∈ Ω = [−1,1], i = 1,2 (6.18) j =1 A.1 Giả sử g i (x) đa thức có bậc nhỏ hay r : r g i ( x ) = ∑ d iγ x γ , i = 1,2 (6.19) γ =0 Theo kết [3], nghiệm hệ (6.18) đa thức Ta tìm nghiệm (6.18) theo daïng: r f i ( x) = ∑ ciγ x γ , i = 1,2 (6.20) γ =0 Thay f i (x) vào (6.18) ta thu ciγ nghiệm hệ phương trình tuyến tính ciγ − ∑ bij sijγ c jγ = d iγ , i = 1,2, ≤ γ ≤ r (6.21) j =1 Giải hệ (6.21), ta được: γ ⎧ (1 − b22 s 22 )d1γ + b12 s12γ d 2γ , ⎪c1γ = γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎪ ⎨ γ b21 s 21 d1γ + (1 − b11 s11γ )d 2γ ⎪ c = ⎪ 2γ (1 − b s γ )(1 − b s γ ) − b b s γ s γ , ≤ γ ≤ r 11 11 22 22 12 21 12 21 ⎩ (6.22) 34 ~ ~ ~ A.2 Giả sử g = ( g1 , g ) ∈ C q (Ω, R ) Goïi f = ( f1 , f ) nghiệm đa thức hệ (6.18) tương ứng với g~ = ( g~1 , g~2 ) , đó: q −1 g~i ( x) = ∑ g i(γ ) (0) x γ , i = 1,2 γ =0 γ ! (6.23) ~ Theo kết [3], khẳng định sai lệch hai nghiệm f , f hệ (6.18) lần lượt, tương ứng với g , g~ , cho đánh giá: ~ f −f 1 × g (q) − [bij ] q! , (6.24) q −1 ~ f i ( x) = ∑ ciγ x γ , i = 1,2, (6.25) X ≤ X ñoù γ =0 1 (γ ) ⎧ γ (1 − b22 s 22 ) g1(γ ) (0) + b12 s12γ g (0) ⎪ γ! γ! ⎪ c1γ = , γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ γ ⎪ b21 s 21 g1(γ ) (0) + (1 − b11 s11γ ) g 2(γ ) (0) γ! γ! ⎪ c = , ≤ γ ≤ q − γ γ γ ⎪ 2γ (1 − b11 s11 )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎩ (6.26) A.3 Ta xét ví dụ với hàm g = ( g1 , g ) cụ thể sau: g i ( x) = x 1− 10 + i = 10 + i , x ∈ Ω = [−1,1], i = 1,2 10 + i − x (6.27) Ta viết lại g i (x) sau: g i ( x) = x 1− 10 + i j j j q −1 ∞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ = ∑⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎟ + ∑⎜ ⎟ j = ⎝ 10 + i ⎠ j = q ⎝ 10 + i ⎠ j = ⎝ 10 + i ⎠ ∞ (6.28) Đặt j q −1 q −1 q −1 1 (γ ) ⎛ x ⎞ γ = x = g i (0) x γ , i = 1,2 Pi[ q ] ( x) = ∑ ⎜ ⎟ ∑ ∑ γ j = ⎝ 10 + i ⎠ γ = (10 + i ) γ =0 γ ! Ta coù (6.29) 35 g i ( x) − Pi[ q ] ( x) ∞ ⎛ x ⎞ = ∑⎜ ⎟ j = q ⎝ 10 + i ⎠ = j x ∞ ≤∑ j =q j ∞ (10 + i ) j j = q (10 + i ) ≤∑ j , ∀x ∈ [−1,1] (9 + i )(10 + i ) q −1 (6.30) Do g − P[q] X = sup ∑ g i ( x) − Pi[ q ] ( x) x∈Ω i =1 ≤ Ta goïi 1 + ≤ q −1 → q → +∞ q −1 q −1 10.11 11.12 11 (6.31) ~ [q] ~ ~ f = ( f1[ q ] , f 2[ q ] ) laø nghiệm đa thức hệ (6.18) tương ứng với g = P [ q ] = ( P1[ q ] , P2[ q ] ) Vaäy: q −1 ~ f i ( x) = ∑ ciγ x γ , i = 1,2, ~ [q] ~ [q] ~ [q] f = ( f1 , f ), (6.32) γ =0 đó, hệ số (c1γ , c 2γ ) tính theo công thức (6.26) với g i(γ ) (0) = γ! (10 + i ) γ (6.33) , ≤ γ ≤ q − 1, i = 1,2, tức γ ⎧ (1 − b22 s 22 ) b12 s12γ + ⎪ γ 11 12 γ , ⎪c1γ = γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎪ ⎨ γ (1 − b11 s11γ ) b21 s 21 ⎪ + ⎪ 11γ 12 γ , ≤ γ ≤ q − ⎪c 2γ = γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎩ (6.34) ~ ~ Maët khác, từ hệ f = Bf + g , f [ q ] = B f [ q ] + P [ q ] , ta suy raèng: ~ ~ f − f [q] = B( f − f [q] ) + g − P[q] ~ f − f [q] X ~ ≤ B( f − f [ q ] ) ≤ [bij ] Suy ra: X + g − P[q ] ~ f − f [q] X X + g−P ≤ B [q] X ~ f − f [q] X + g − P[q ] X (6.35) 36 ~ f − f [q] X ≤ g − P[q] − [bij ] X ≤ 111− q → 0, − [bij ] (6.36) q → +∞, (6.31).„ B Khai triển tiệm cận nghiệm hệ (6.1) theo ε Trong phần nầy sử dụng công thức (5.1)-(5.5) chương để xác thành phần khai triển tiệm cận Ta giả sử p = 2, aij , bij , rij , sij số thực cho trước thỏa (6.3) Các hàm tương ứng Rij ( x) = rij x, S ij ( x) = sij x, g i (x) ( độc lập với ε ) thỏa giả thiết ( H ), ( H ) Giả sử g i (x) đa thức bậc r cho trước độc lập với ε nhö sau: r g i ( x) = ∑ d iγ x γ , i = 1,2 (6.37) γ =0 Áp dụng công thức (6.19), (6.20), (6.22), nghiệm hệ (6.1) ứng với ε = (tức hệ [ 0] [ 0] (6.18)) đa thức: f [ ] = ( f1 , f ) = L−1 g , với r f i ( x) = ∑ ciγ x γ , i = 1,2, [ 0] (6.38) γ =0 (c1γ , c 2γ ) cho γ ⎧ (1 − b22 s 22 )d1γ + b12 s12γ d 2γ , ⎪c1γ = γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎪ ⎨ γ γ b21 s 21 d1γ + (1 − b11 s11 )d 2γ ⎪ ⎪c 2γ = (1 − b s γ )(1 − b s γ ) − b b s γ s γ , ≤ γ ≤ r 11 11 22 22 12 21 12 21 ⎩ (6.39) Gọi f [1] nghiệm hệ (6.18) ứng với g = Af [0] , tức mà với f [1] = ( f1[1] , f 2[1] ) = L−1 Af [ 0] , Af [ 0] = ( ( Af [0] )1 , ( Af [0] ) ) , ( Af [ 0] ) i ( x) = ∑ aij f j (rij x) j =1 [0] (6.40) (6.41) (6.42) 37 Ta có công thức ⎛ r ⎜ ∑ aγ x γ ⎜ ⎝ γ =0 f ( Af [0] j 2r ⎞ γ −1 ⎟ = a 02 + 2∑ ∑ (γ − ν )aν aγ −ν x γ ⎟ γ =1 γ ν = ⎠ ⎛ r γ (rij x) = ⎜⎜ ∑ c jγ rij x γ ⎝ γ =0 2 [ 0] ) i ( x) = ∑ a ij f j =1 [ 0] j 2r ⎞ ⎛ γ −1 ⎟ = c 2j + 2∑ ⎜⎜ ∑ (γ − ν )c jν c jγ −ν rijγ ⎟ γ =1 ⎝ γ ν = ⎠ ⎛ r γ (rij x) = ∑ a ij ⎜⎜ ∑ c jγ rij x γ j =1 ⎝ γ =0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ γ ⎟⎟ x ⎠ (6.43) 2 2r ⎛ γ −1 = ∑ aij c 2j + 2∑ aij ∑ ⎜⎜ ∑ (γ − ν )c jν c jγ −ν rijγ j =1 j =1 γ =1 ⎝ γ ν = 2r ⎛ γ −1 = ∑ aij c 2j + 2∑ ∑ aij ⎜⎜ ∑ (γ − ν )c jν c jγ −ν rijγ j =1 γ =1 j =1 ⎝ γ ν =0 ⎞ γ ⎟⎟ x ⎠ ⎞ γ r (1) γ ⎟⎟ x ≡ ∑ d iγ x , γ =0 ⎠ đó, ta ñaët ⎛ γ −1 d i(γ1) = 2∑ a ij ⎜⎜ ∑ (γ − ν )c jν c jγ −ν rijγ j =1 ⎝ γ ν =0 d i(01) = ∑ aij c 2j , j =1 ⎞ ⎟⎟, ≤ γ ≤ 2r ⎠ (6.44) Từ (6.20) ta có biểu thức f [1] = ( f1[1] , f 2[1] ) cho công thức 2r f i ( x) = ∑ ci(γ1) x γ , [1] (6.45) γ =0 (c1(γ1) , c 2(1γ) ) cho công thức (6.22), với (c1γ , c 2γ ) (d1γ , d 2γ ) thay (c1(γ1) , c 2(1γ) ) (d1(γ1) , d 2(1γ) ), với ≤ γ ≤ 2r , nhö sau: γ ⎧ (1) (1 − b22 s 22 )d1(γ1) + b12 s12γ d 2(1γ) , ⎪c1γ = γ γ (1 − b11 s11γ )(1 − b22 s 22 ) − b12 b21 s12γ s 21 ⎪ ⎨ γ b21 s 21 d1(γ1) + (1 − b11 s11γ )d 2(1γ) ⎪ (1) c = ⎪ 2γ (1 − b s γ )(1 − b s γ ) − b b s γ s γ , ≤ γ ≤ 2r 11 11 22 22 12 21 12 21 ⎩ (6.46) Theo kết định lý 5.2, chương 5, ta có đánh giá khai triển tiệm cận cấp theo ε đủ nhỏ sau: 38 f i ( x) − f i[0] ( x) − ε f i[1] ( x) r 2r γ =0 γ =0 = f i ( x) − ∑ ciγ x γ − ε ∑ ci(γ1) x γ ≤ C L−1 ε , với x ∈ Ω , i = 1,2 với ε đủ nhỏ, C > số độc lập với x ε „ (6.47) 39 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới việc khảo sát tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé cho hệ phương trình hàm phi tuyến Ω = [a, b] hay Ω khoảng không bị chặn IR Nội dung luận văn nằm chương 3, 4, Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chứng minh tồn tại, nghiệm hệ phương trình hàm cầu đóng C (Ω; IR n ) Kết thu chứa đựng kết Wu, Xuan, Zhu khảo sát trường hợp Ω = [ −b, b], m = n = 2, aijk = S ijk nhị thức bậc nhất, trường hợp riêng Trong chương 4, thiết lập thuật giải cấp hai hệ phương trình hàm điều kiện đủ để thuật giải hội tụ Chương phần nghiên cứu hệ phương trình hàm bị nhiễu tham số bé ε Khi cho khai triển tiệm cận nghiệm hệ nầy đến cấp N + theo ε , với ε đủ nhỏ Trong chương 6, nghiên cứu số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể p với Φ ( y ) = y , p ≥ 2, khảo sát thuật giải hội tụ cấp hai thành phần khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ Các kết trình bày chương 3, 4, 5, chứa đựng kết tác giả trước khảo sát trường hợp Φ ( y ) = y 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ đa thức nghiệm hệ tuyến tính phương trình tích phân-hàm, Hội Nghị Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp.HCM, 21/12/2002 [2] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghóa, Giải số hệ phương trình hàm, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol 3, No 7&8, (2000), 25-31 [3] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghóa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstration Math 31 (1998), 313-324 [4] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghóa, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, Z Anal Anw 19 (2000), 1017- 1034 [5] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kim Khôi, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình tích phân dãy đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa học Đại học Sư Phạm Tp HCM, tập 30, No.2 (2002), 36-43 [6] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, Tran Ngoc Diem, Asymptotic expansion of the solution for system of functional equations, Aequationes Mathematicae, (2003) (Submitted) [7] Nguyen Thanh Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math 37 (2004), No.1, 123 -132 [8] Nguyen Thanh Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of functional equations, Demonstratio Math 37 (2004), No.2, 349 362 [9] Nguyễn Hội Nghóa, Nguyễn Kim Khôi, Về hệ phương trình hàm tuyến tính, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol 3, No 7&8, (2000), 18-24 [10] Nguyễn Hội Nghóa, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình hàm miền hai chiều, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol 5, No 1&2, (2002), 56-65 [11] Lê Thu Vân, Xấp xỉ khai triển tiệm cận nghiệm hệ phương trình hàm, Luận văn Thạc sỹ Toán học, (2001), Trường Đại học KHTNTp.HCM., 41 trang [12] C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA Bull Math 15 (1991), 109 -115