PHỊNG GD QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Khố ngày 10 tháng năm 2008 (Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (2,5 điểm) Tìm số nguyên x biết : a) b) x 186 303030 616161 929292 1 1 313131 626262 939393 m 3 m x x 1 x : x 0 ( với m N ; x ) Bài (2,0 điểm) a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 x x x x x 2008 b) Cho : x x x x x Chứng tỏ : 2009 x1 x x3 x 2008 x x3 x x 2009 2008 x1 x 2009 Bài (2,0 điểm) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số số tỉ lệ thuận với số ; ? Bài (3,5 điểm) Cho ABC có A < 900, đường cao AH Lấy điểm M cho AB đường trung trực HM lấy điểm N cho AC đường trung trực HN Nối MN cắt AB AC I K Chứng minh : a) CI // HM BK // HN b) Trong trường hợp A 900, chứng tỏ ta có CI // HM BK // HN - Hết - PHÒNG GD QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm 30 61 92 1 1 1 31 62 93 1 1 = 31 62 93 = 186 + Rút gọn vế phải có 0,25đ .0,5đ + Vậy ta có x 186 = 186 x = .0,25đ + Tính x = 0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách xm + = x3.xm đặt nhân tử chung ngoặc vuông .0,25đ + Rút gọn đưa tới ( 2x - )m - xm = 0,25đ m m + Chuyển vế có ( 2x - ) = x xét : * Nếu m số tự nhiên lẻ 2x - = x x = 0,25đ * Nếu m số tự nhiên chẵn 2x - = x 2x - = - x x = x = ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 1 0,25đ Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 32005 làm nhân tử chung .0,25đ + Tính tổng ngoặc 121 .0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng luỹ thừa cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm x x x x x x x x x 2008 2008 + Theo t/c dãy tỉ số x x x x x = x x x x 2009 2009 0,5đ + Lập tích tỉ số để có x1 x x3 x 2008 x x3 x x 2009 2008 x1 x 2009 0,5đ Bài ( 2,0 điểm ) + Gọi chữ số số x ; y ; z với x ; y ; z 0,25đ + Vì số chia hết cho 18 nên chia hết cho ( x + y + z ) chia hết cho (1) .0,25đ + Theo điều kiện x + y + z 27 (2) 0,25đ Từ (1) & (2) x + y + z nhận giá trị ; 18 ; 27 (3) 0,25đ Theo x y z x yz N (4) ; từ (4) & (3) x + y + z = 18 0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) có x = ; y = z = .0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm 396 936 0,25đ Bài ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I đường trung trực MH nên IB phân giác MIH (1) + Vì K đường trung trực NH nên KC phân giác HKN (2) + Do IB KC cắt A nên AH phân giác đỉnh H IHK 1,0 điểm + Do AH BC nên BC phải phân giác góc ngồi đỉnh H IHK (3) Từ (2) & (3) IC phân giác đỉnh I IHK, kết hợp với (1) IC AB + Có HM AB & IC AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta có BK AC & HN AC nên BK // HN .0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 900, chứng minh câu a ta có I K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta có kết tương tự 0,75đ Vậy trường hợp A 900 ta có CI // HM BK // HN 0,25đ Chú ý : HS giải theo cách khác (khơng vượt q chương trình tốn 7) cho điểm tối đa Hết