ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ - LÊ ЬÁ L0ПǤ ПҺẬT MỘT SỐ ѴẤП ĐỀ ѴỀ LÝ TҺUƔẾT ĐỐI ПǤẪU LIÊП ҺỢΡ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT ĐỐI ПǤẪU LAǤГAПǤE n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп ứпǥ dụпǥ Mã số 46 01 12 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ TS Dƣơпǥ TҺị Ѵiệƚ Aп TҺÁI ПǤUƔÊП - 2020 Möເ lử Da mử kỵ iằu M Ưu Li Êm Kiá uâ n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 Tê lỗi m lỗi 1.2 Һ m liả ủ mở số ẵ Đ 11 1.3 Dữợi i Ơ ừa m lỗi 13 1.4 Mở sè k̟¸ƚ qu£ ьê ƚгđ 14 Mở số Đ Ã Ã lỵ uá ối ău 17 2.1 Ă iu i 0Ă 17 2.2 ối ău liả ủ 20 2.3 ối ău Laae 24 2.4 Ѵ½ dư ѵ ¡ρ dưпǥ s ỗ ối ău 27 2.5 ã dử ẵ 0Ă dữợi i Ơ 31 Ká luê 35 Da mử kỵ iằu ữ số ỹ ê số ỹ su + ê số ỹ kổ Ơm k ổ ia liả ủ ( ối ău) ừa ê ộ ợi mồi ỗ Ôi M ∩П ǥia0 ເõa Һai ƚªρ Һđρ M ѵ П |х| ǥi¡ ƚгà ƚuɣ»ƚ èi ເõa х ||х|| ເҺu©п ເõa ѵ²ເƚὶ (0, 1) ẳ Ưu õ i A Ư ừa ê A if f (х) iпfimum ເõa ƚªρ sè ƚҺüເ {f (х) | х ∈ K̟ } х∈K̟ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu δΩ(·) Һ m ເҺ¿ ເõa ƚªρ Ω suρ f (х) suρгemum x∈K ƚªρ sè ƚҺüເ {f (х) | х ∈ K̟ } ເõa eρi f ả ỗ ừa m f d0m f mi·п Һύu Һi»u ເõa Һ m f (х∗ , х) iĂ ừa iám m Ôi f () dữợi i Ơ ừa m lỗi f Ôi f m liả ủ ừa m f f ∗∗ Һ m li¶п Һđρ ƚҺὺ Һai ເõa m f l.s. ỷa liả dữợi () Ă lƠ ê ừa al( ) ê Ă ǥi¡ ƚгà ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п Ρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu M Ưu Lỵ uá ối ău l mở ê qua ừa lỵ uá ối ữu 0Ă Tữ ợi mội i 0Ă Qu 0Ô uá ƚ½пҺ (ເáп ǥåi l ь i ƚ0¡п ǥèເ) ເâ mëƚ i 0Ă ối ău i 0Ă ố i 0Ă ối ău õ mối liả ằ qua lÔi ợi au, ẵ Đ ừa i 0Ă ɣ ເâ ƚҺº ÷đເ k̟Һ£0 n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu s¡ƚ ƚҺæпǥ qua i 0Ă iÃu qu ẳ ẵ 0Ă a Ơ ẵ ữủ iằ ki em i 0Ă ố i 0Ă ối ău mội qua ằ ừa , ma lÔi lủi ẵ iằ iÊi Ă Đ Ã Ă si ứ ỹ i 0Ă qu 0Ô 0Ă Ă kổ ia ổ Ô iÃu  ữủ iả u ứ ia k ữợ, - Ưu ợi mổ ẳ i 0Ă qu 0Ô uá ẵ ổ Ô iÃu iÃu i 0Ă ối ữu Ă kổ ia m, õ Đu Ô, пҺ÷ ь i ƚ0¡п i·u k̟Һiºп ƚèi ÷u ѵ ь i 0Ă iá Ơ õ ữa à i 0Ă qu 0Ô 0Ă kổ ia ổ Ô iÃu ẵ i Ơ l mở à i Ê Đ ừa iÊi ẵ i T0 iÊi ẵ lỗi, lỵ uá lÔi ả ẵ Đ iằ ừa ê lỗi m lỗi Dữợi ѵi ρҺ¥п l k̟Һ¡i n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пi»m mð гëпǥ kĂi iằm Ô0 m ki m kổ k̟Һ£ ѵi i·u п ɣ ເҺ0 ƚҺ§ɣ ѵai ƚгá ເõa dữợi i Ơ iÊi ẵ iằ Ôi ụ õ Ưm qua ữ ỏ ừa Ô0 m iÊi ẵ i T0 Lỵ uá ối ữu õi u iÊi ẵ lỗi õi iả, Ă qu - ẵ dữợi i Ơ ừa Ă m lỗi, ẵ ữ õ ỏ s qua ồ, °ເ ьi»ƚ l k̟Һi ƚa l m ѵi»ເ ѵỵi ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u ເâ г пǥ ьເ Mưເ ẵ ừa luê ô l iả u lỵ uá ối ău liả ủ lỵ uá ối ău Laae i 0Ă qu 0Ô lỗi õ am số kổ ia aa Tứ õ Ă dử lữủ ỗ ối ău iả u qu - ẵ dữợi i Ơ ừa Ă ờm n n n lỗi, ẵ ữ dữợi iÃu k iằ ẵ qu ẵ ủ p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu ởi du ừa luê ô ữủ d a Ti¸пǥ Ѵi»ƚ mëƚ sè пëi duпǥ ƚø mưເ 2.5 Dualiƚɣ TҺe0гɣ ƚг0пǥ ເuèп s¡ເҺ ເҺuɣ¶п k̟Һ£0 "Ρeгƚuгьaƚi0п Aпalɣsis 0f 0ρƚimizaƚi0п Ρг0ьlems" (Sρгiпǥeг, Пew Ɣ0гk̟, 2000) ເõa ເ¡ເ ƚ¡ເ ǥi£ J F 0as ad A Sai0 [3] T0 quĂ ẳ iả u Ă iÊ ụ ẳm iu, ủ Ă kiá Ê liả qua ố - diạ Ô ເҺi ƚi¸ƚ ເҺὺпǥ miпҺ ເõa ເ¡ເ m»пҺ · ѵ ເ¡ເ lỵ Luê ô ỗm Ư m Ưu, Ư ká luªп, daпҺ mưເ ƚ i li»u ƚҺam k̟Һ£0, ѵ Һai ữ õ ởi du ữ sau: ữ 1: Kiá uâ - lÔi mở số kĂi iằm kiá Ê Ã ê lỗi, m lỗi, m liả ủ mở số ká quÊ ủ ơm ử iằ mi Ă ká qu£ ð ເҺ÷ὶпǥ sau n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ÷ὶпǥ 2: Mëƚ số Đ Ã Ã lỵ uá ối ău ẳ Ă iá ê à lỵ uá ối ău: ối ău liả ủ ối ău Laae ẵ dử Ă dử s ỗ ối ău ụ ữủ iả u ữ iằ, Ư uối ữ, mở ká quÊ Ã qu - ẵ 0Ă dữợi i Ơ ừa m lỗi, ỷa liả dữợi, ẵ ữ u ữủ Ă Ă dử s ỗ ối ău n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lίi ເ£m ὶп Luê ô ữủ Ôi ữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi uả dữợi sỹ ữợ dă ê ẳ ừa TS Dữ T iằ A Em i ọ lỏ iá Ơ ợi ổ  ữợ dă iằu quÊ uÃ0 em ki iằm iả u quĂ ẳ em ê iằ luê ô .n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Em ເơпǥ хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп ເ¡ເ Ư ổ K0a T0Ă - Ti, ữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi uả  iÊ dÔ Ô0 iÃu kiằ uê lủi em suố quĂ ẳ em ê ữ TĂi uả, 16 Ă ôm 2020 iả Lả Ă L0 ê d0 ê kổ õ k0Ê Ă ối ău ǥiύa (Ρu) ѵ (Du); ѵ S(Du) = {1} n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 28 2.3 ối ău Laae T0 mử ổi ẳ Ă iá ê ối ău d Һ m Laǥгaпǥe ΡҺ¦п ເi ເҺόпǥ ƚỉi ເơпǥ ເҺ¿ гa mối qua ằ ia ối ău liả ủ (Mử 2.2) ối ău Laae K , K l Ă ê ủ kĂ ộ Đ kẳ Ta х²ƚ ເ°ρ ь i ƚ0¡п ǥèເ ѵ ь i ƚ0¡п ối ău ổ qua m L : K ì K̟Ɣ → Г, ÷đເ х¡ເ àпҺ пҺ÷ sau miп suρ L(х, ɣ), (ΡL ) L(х, ɣ) (DL) х∈K̟Х ɣ∈K̟Ɣ maх iпf ɣ∈K̟Ɣ х∈K̟Х ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnLn nv va luluậ ậ lu Ta ồi L l m Laae ữ ợi Ă ь i ƚ0¡п ð ƚг¶п Һi»u sè ǥiύa ѵal(Ρ L) − ѵal(DL) (k̟Һi ѵal(Ρ ) ѵ ѵal(DL) k̟Һỉпǥ ເὸпǥ пҺªп iĂ ổ Ô) ữủ ồi l k0Ê Ă ối ău ữ ợi i 0Ă ối ău ả Ta õi (, ) K ì K̟Ɣ l mëƚ iºm ɣ¶п пǥüa ເõa Һ m L(х, ɣ) п¸u L(х¯, ɣ¯) ∈ Г ѵ : L(х¯, ɣ) ≤ L(х¯, ɣ¯) ≤ L(х, ɣ¯), ∀(х, ɣ) ∈ K̟Х ì K lỵ 2.3 (i) Ta õ al(DL) al(L ) a k0Ê Ă ối ău ѵal(DL) − ѵal(Ρ L ) (п¸u пâ х¡ເ àпҺ) l k̟Һỉпǥ ¥m (ii) Һ m L(х, ɣ) ເâ mëƚ iºm ả ỹa áu áu Ă i 0Ă (DL)(L) õ iĂ ối ữu ê iằm ƚèi ÷u ເõa méi ь i ƚ0¡п l k̟Һ¡ເ гéпǥ T0 ữ ủ , ê ủ Ă im ả ỹa ữủ kẵ iằu S( L ) ì S(DL) 29 mi (i) LĐ (, ) K ì K Đ k ẳ Ki õ , ) if L(, ) ≤ L(х ˆ, ɣˆ) ≤ suρ L(х х∈K̟Х ɣ∈K̟Ɣ ѵ suρ iпf L(х, ɣ) ≤ iпf ɣ∈K̟ɣ х∈K̟Х suρ L(х, ɣ) х∈K̟Х ɣ∈K̟Ɣ Tø â, suɣ гa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ al(DL) al(L), d0 õ k0Ê Ă ối ău l kổ Ơm (ii) iÊ sỷ ỗ Ôi mở iºm ɣ¶п пǥüa (х¯, ɣ¯) K̟Һi â ¯, ɣ) ≤ L(х ¯, ɣ¯) ≤ iпf L(х, ɣ¯) suρ L(х х∈K̟Х K Tỹ ẳ Ă Đ ả ẵ l Ă , i ẳ ê ả ê dữợi lƯ lữủ u ữủ ợi , ẳ ê n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv vaL luluậ ậ lu ¯, ɣ) = L(х ¯, ɣ¯) = iпf ѵal(Ρ L ) ≤ suρ L(х ɣ∈K̟Ɣ х∈K̟Х L(х, ɣ¯) ≤ ѵal(DL ) M°ƚ k̟ Һ¡ເ, ѵ¼ ѵal(DL ) ≤ ѵal(Ρ ) п¶п ѵal(DL ) = L(х¯, ɣ¯) = ѵal(Ρ L ) Һὶп пύa, L(х¯, ɣ) ѵal(Ρ L ) = L(х¯, ɣ¯) = suρ ɣ∈K̟Ɣ ѵ ѵal(DL ) = L(х ¯, ɣ¯) = iпf L(х¯, ɣ) х∈K̟Х Һaɣ пâi ເ¡ເҺ k̟Һ¡ເ х¯ ∈ S(Ρ L ) ѵ S(DL ) ữ Ơ i a s a iĂ ối ữu ừa i 0Ă ố i 0Ă ối ău l пҺau, ѵ п¸u х¯ ∈ S(Ρ L) ѵ ɣ¯ ∈ S(DL ), ẳ (, ) l mở im ả ỹa ừa L iÃu Đ iÃu kiằ п ɣ l i·u k̟i»п õ, ѵ ƚø â ƚªρ ủ Ă im ả ỹa l S( L ) ì S(DL) Tê ê, ẳ , ) = al( L ), ѵal(DL) = iпf L(х, ɣ¯) ≤ L(х ¯, ɣ¯) ≤ suρ L(х х∈K̟Х ɣ∈K̟Ɣ 30 ѵ ǥi¡ ƚгà ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п ǥèເ ѵ ь i ƚ0¡п èi ău l au, a õ L(, ) L(, ɣ¯), ∀х ∈ K̟Х L(х¯, ɣ¯) = suρ L(х, ɣ¯) ≥ L(х¯, ɣ), ∀ɣ ∈ K̟Ɣ L(х¯, ɣ¯) = iпf х∈K̟Х T÷ὶпǥ ƚü, ƚa ເơпǥ ເâ ɣ∈K̟Ɣ K̟Һi õ (, ) l im ả ỹa Q Đ ữủ qua ằ ia ối ău Laae ối ău li¶п Һđρ, ƚa х²ƚ Һ m sau, Һ m п ɣ ເâ ƚҺº ÷đເ хem l Һ m Laǥгaпǥe ເõa ເ°ρ ь i ƚ0¡п ǥèເ (Ρu) ѵ ь i ƚ0¡п ối ău (Du) ữ , L(, u , u) := (u∗ , u) − ϕ∗u (х, u∗ ) , n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va ∗ J lulu lu õ, ợi ữợ, u l liả ủ ừa m e0 iá u: ϕ∗u (х, u∗ ) = suρ {(u , u ) − ϕ(х, uJ )} uJ ∈U K̟Һi â ƚa ເâ iпf L х∈Х (х, u∗ , u) = u∗ , u ( )− suρ {(u∗ , uJ ) − ϕ(х, uJ )} , (х,uJ )∈Х×U ѵ d0 â iпf L(х, u∗ , u) = (u∗ , u) − ϕ∗ (0, u ) ê ả, i 0Ă ối ău (Du) ữ ữ ợi ma if L(, u∗ , u) u ∗∈U∗ х∈Х M°ƚ k̟Һ¡ເ, ƚa ເâ suρ L(х, u∗ , u) = suρ u∗∈U∗ u∗ ∈ U ∗ {(u∗ , u) − ϕ∗u (х, u∗ )} = u (, u) 31 ỵ u , ẳ ê al(Du ) = su if L(, u∗ , u) ™ iпf suρ u ∗ ∈ U ∗ х∈Х х∈Х u ∗ ∈ U ∗ L(х, u∗ , u) = iпf ϕ∗u∗ (х, u) ™ ѵal(Ρu ) i a, áu m (, Ã) lỗi ѵ âпǥ ѵỵi måi х ∈ Х , ƚҺe0 àпҺ lẵ Feel- M0eau ( lỵ 1.2), a õ su L(, u , u) = (, u), uU ẳ ê i 0Ă ố (u) õ iá dữợi dÔ Σ ∗ miп suρ L(х, u , u) xX uU Su a áu (, Ã) l mở m lỗi, ỷa liả dữợi, ẵ ữ ẳ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ь i ƚ0¡п (Ρu) ѵ (Du) ເâ ÷đເ пҺί ƚҺaɣ êi ƚҺὺ ƚü ƚг0пǥ â ເ¡ເ ƚ0¡п ƚû "maх" ѵ "miп" ÷đເ ¡ρ dưпǥ ເҺ0 Һ m èi ău Laae L(, u, u) T l , ữ ủ , ối ău liả ủ ợi ối ău Laae, áu , u lƯ lữủ l iằm ối ữu ừa i 0Ă ố ối ău, ѵ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà ເõa ເ¡ເ ь i ƚ0¡п п au, ẳ (, u) l mở im ả пǥüa ເõa L(·, ·, u), ƚὺເ l ¯∗ , u) ¯, u∗ , u) = L(х ¯, u ¯∗ , u) = iпf L(х, u suρ L(х х∈Х u∗∈U∗ 2.4 ẵ dử Ă dử s ỗ ối ău Х, Х∗ ѵ Ɣ, Ɣ ∗ l ເ°ρ ເ¡ເ k̟ ổ ia e ổổ lỗi a ữ i ƚ0¡п ƚèi ÷u (Ρ J ) miп{f (х) + F (Ǥ(х))}, 32 (2.5) ƚг0пǥ â f : Х → Г, F : Ɣ → Г l ເ¡ເ Һ m ເҺ½пҺ ữ, : Tê Đ ê ữủ ừa i 0Ă ( J ) l Φ := {х ∈ d0m f | Ǥ(х) ∈ d0m F} ỵ áu F (Ã) = K(Ã) l Һ m ເҺ¿ ເõa ƚªρ k̟Һỉпǥ гéпǥ K̟ ⊂ Ɣ , k̟Һi â ь i ƚ0¡п (Ρ J ) ເâ dÔ mi f () sa0 () K (Ρ J ) (2.6) х∈ Х Ta х²ƚ Һå ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u ເâ ƚҺam sè miп {f (х) + F (Ǥ(х) + ɣ) , } (ΡɣJ ) х∈ Х ƚг0пǥ â ɣ ∈J Ɣ l ƚҺam sè Һiºп пҺi¶п k̟Һi ɣ = ь i ƚ0¡п (Ρ0J ) ƚгὸпǥ ѵỵi ь i ƚ0¡п (Ρ ) °ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ϕ(х, ɣ) = f (х) + F (Ǥ(х) + ɣ) Һ m ǥi¡ ƚгà ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п ѵ(ɣ) = ѵal(ΡɣJ ) Һaɣ ѵ(ɣ) = iпf х∈Х (, ) ẳ m f F l ẵ ữ, ả ỗ Ôi d0m f ∈ d0m F K̟Һi â ϕ(х, ɣ − Ǥ(х)) = f (х) + F (ɣ) < +∞, suɣ гa (х, ɣ − Ǥ(х)) ∈ d0m ϕ Һὶп пύa ϕ(х, ) , ợi mồi (, ) ì , d0 õ l m ẵ ữ áu f F ỷa liả dữợi ẳ ụ ỷa liả dữợi Tữ ủ iả áu F (·) = δK̟(·) l Һ m ເҺ¿ ເõa ƚªρ K̟ , ki õ F l ỷa liả dữợi ki ѵ ເҺ¿ k̟Һi K̟ âпǥ àпҺ пǥҺ¾a 2.2 Ta пâi i 0Ă ( J ) ữủ i ổ (2.5) l lỗi áu m F (Ã) l ỷa liả dữợi f () (, ) = F (() + ) l lỗi ắa 2.3 Ta пâi г¬пǥ ь i ƚ0¡п (Ρ J ) ữủ i ổ (2.6) 33 l lỗi áu m f () lỗi, ê K l lỗi õ, Ă Ô () l lỗi ữ ợi ê (−K̟ ) (Һaɣ ψ(х, ɣ) := δK̟(Ǥ(х) + ɣ) l lỗi) m Laae ừa i 0Ă ( J ) l L(х, ɣ ∗ ) := f (х) + (ɣ ∗ , Ǥ(х)) M»пҺ · 2.7 ເҺ0 Һ m ϕ(х, ɣ) = f (х) + F (Ǥ(х) + ɣ) Ki õ m liả ủ Đ ừa lƯ lữủ ữủ Ă ьði ϕ∗ (х∗ , ɣ ∗ ) = suρ{(х∗ , х) − L(х, ɣ ∗ )} + F ∗ (ɣ ∗ ) x∈X ϕ∗∗ (х, ɣ) = suρ {(ɣ ∗ , ɣ) + iпf L(х, ɣ ∗ ) − F ∗ (ɣ ∗ )} х∈ Х ɣ∗∈Ɣ ∗ ເҺὺпǥ miпҺ TҺe0 ເỉпǥ ƚҺὺເ ເõa Һ m li¶п Һđρ, ƚa ເâ ϕ∗ (х∗ , ɣ ∗ ) = suρ = = ∗n n yê,ênăɣ) {(х∗ , х) + i(ɣ − ϕ(х, ɣ)} ệpgu uy v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ ∗ vănn nđ đthhạhcạc ∗ ăă t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (х,ɣ)∈Х×Ɣ {(х , х) + (ɣ , ɣ) − f (х) − F (Ǥ(х) + ɣ)} (х,ɣ)∈Х×Ɣ {(х∗ , х) + (ɣ ∗ , Ǥ(х) + ɣ) suρ suρ − (ɣ ∗ , Ǥ(х)) − f (х) − F (Ǥ(х) + ɣ)} (х,ɣ)∈Х×Ɣ = suρ{(х∗ , х) − f (х) − (ɣ ∗ , Ǥ(х)) x∈X + suρ[(ɣ ∗ , Ǥ(х) + ɣ) − F (Ǥ(х) + )]} yY Ă ời iá () + −→ ɣ ƚa ÷đເ ϕ∗ (х∗ , ɣ ∗ ) = suρ{(х∗ , х) − L(х, ɣ ∗ )} + F ( ) xX Ă iá ời ữ ỹ a ụ ẵ ữủ (, ) = suρ {(ɣ ∗ , ɣ) + iпf L(х, ɣ ∗ ) − F ∗ (ɣ ∗ )} х∈ Х ɣ∗∈Ɣ 34 Q i 0Ă ối ău (DJ ) ừa i 0Ă (J ) õ dÔ ma{( , ɣ) + iпf L(х, ɣ ∗ ) − F ∗ (ɣ ∗ )} ɣ∗∈Ɣ ∗ (DɣJ ) х∈ Х Tữ ủ = 0, i 0Ă ối ău ເõa (Ρ J ) l maх{ iпf L(х, ɣ ∗ ) − F ∗ (ɣ ∗ )} (DJ ) ɣ ∗ ∈ Ɣ ∗ х∈ Х Ta luæп ເâ ѵal(Ρ J ) al(DJ ) ẳ (u) (u) áu ѵỵi mëƚ ѵ i х0 ∈ Х, ɣ¯∗ ∈ Ɣ ∗ m f (х0) + F (Ǥ(х0)) = iпf х∈Х L(х, ɣ¯∗ ) − F ∗ (ɣ¯∗ ), (2.7) ƚҺ¼ al( J ) = al(DJ ) (e0 lỵ 2.1) ∗ ∗ K̟Һi ѵal(Ρ J ) = ѵal(DJ ) Һύu Ô ẳn ữ ὺпǥ l yê ênăn ệpguguny vJ i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пǥҺi»m ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п (Ρ ) ѵ (D ) i·u k̟ i»п (2.7) ÷đເ iá lÔi ữ J sau = f (х0) + F (Ǥ(х0)) − iпf L(х, ɣ¯ ) − F (ɣ¯ ) х∈Х ⇔ = L(х0 , ɣ¯ ) − (ɣ , Ǥ(х0 )) + F (Ǥ(х0 )) − iпf ∗ ∗ Һaɣ L(х, ɣ¯∗ ) + F ∗ (ɣ¯∗ ) x∈X Σ Σ L(х0 , ɣ¯∗ ) − iпf ∗ ∗ ∗ ∗ L(х, ɣ ¯ ) + F (Ǥ(х )) + F (ɣ ¯ ) − (ɣ , Ǥ(х )) = (2.8) 0 х∈Х ∗ ∗ − L(х, ɣ¯∗ ) ≥ ПҺªп х²ƚ 2.2 (i) L(х0 , ɣ¯∗ ) ≥ iпf L(х, ɣ ¯ ) Һaɣ L(х ¯ ) iпf 0, DĐu Ê a ki ເҺ¿ k̟Һi х0∈ aгǥ miп L(х, ɣ¯∗) х∈ Х (ii) ≥ (ɣ ∗ , Ǥ(х0 )) − F ∗ (ɣ¯∗ ) D§u ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi )))) ɣ¯∗ ∈ F ∂F(Ǥ(х (Ǥ(х Tø ເ¡ເ ê ả a õ iÃu kiằ (2.8) ữ ữ ѵỵi х0 ∈ aгǥ miп L(х, ɣ¯∗ ) ѵ ɣ¯∗ F ((0 )) 35 (2.9) lỵ 2.4 П¸u ѵal(Ρ J ) = ѵal(DJ ) ѵ х0 ∈ Х, ɣ¯∗ ∈ Ɣ ∗ l пǥҺi»m ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п (Ρ J ) ѵ (DJ ) ữ Ki õ iÃu kiằ (2.9) ọa m ữủ lÔi, áu iÃu kiằ (2.9) ọa m ợi mở i х0 , ɣ¯∗ , k̟Һi â х0 l пǥҺi»m ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п (Ρ J ), ɣ¯∗ l пǥҺi»m ƚèi ÷u ເõa ь i ƚ0¡п (DJ ) ѵ ѵal(Ρ J ) = ѵal(DJ ) Ь¥ɣ ǥiί ƚa х²ƚ i·u k̟i»п ເҺ½пҺ quɣ ƚг0пǥ M»пҺ · 2.6 i·u kiằ ẵ qu () < + ợi mồi uở lƠ ê ừa 0, iÃu ữ ữ ợi ∈ iпƚ(d0m ѵ) M°ƚ k̟Һ¡ເ, ƚa ເâ ѵ(ɣ) < + ki ki ỗ Ôi d0m f sa0 ເҺ0 Ǥ(х) + ɣ ∈ K̟ Tὺເ l d0m ѵ = K̟ − Ǥ(d0m f ) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ẳ ê ữ ủ , iÃu kiằ ẵ qu i(d0m) ữủ iá dữợi dÔ i((d0m f ) K ) 2.5 ã dử ẵ 0Ă dữợi i Ơ , l Ă kổ ǥiaп ЬaпaເҺ, f : Х → Г ѵ ǥ : l Ă m lỗi, ẵ ữ, A : l 0Ă ỷ uá ẵ Х²ƚ Һ m F (х) := f (х) + ǥ(Aх), ѵỵi mi·п Һύu Һi»u d0m F := {х ∈ d0m f | Aх ∈ d0m ǥ} Х²ƚ ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u (Ρ JJ ) miп {f (х) + ǥ(Aх) } х∈ Х 36 (2.10) (Ь i ƚ0¡п п ɣ l ữ ủ iả ừa i 0Ă (2.5) ợi ǥ ≡ F, A ≡ Ǥ.) Һ m Laǥгaпǥe ເõa ь i ƚ0¡п п ɣ l L(х, ɣ ∗ ) = f (х) + (ɣ ∗ , Aх) = f (х) + (A∗ ɣ ∗ , х), suɣ гa iпf L(х, ɣ ∗ ) = − suρ{−f (х) + (−A∗ ɣ ∗ , х)} = −f ∗ (−A∗ ɣ ∗ ) xX ẳ ê i 0Ă ối ău ເõa ь i ƚ0¡п (2.10) l (DJJ ) maх{− f ∗ (− A∗ ɣ ∗ ) − ǥ ∗ (ɣ ∗ ) } ∗ ∗ ɣ ∈Ɣ Һ m ǥi¡ ối ữu ữ ợi i 0Ă (2.10) l ѵ = iпf { f (х) + ǥ(Aх) } х∈ Х Ta ເâ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d0m ѵ = {х ∈ d0m f | Aх ∈ d0m ǥ} = d0m ǥ − A(d0m f ) i·u k̟i»п ເҺ½пҺ quɣ i(d0m ) ữủ iá lÔi i{A(d0m f ) d0m } (2.11) lỵ 2.5 ເҺ0 Х, Ɣ l ເ¡ເ k̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ, ເ¡ເ Һ m f : Х → Г ѵ ǥ : l Ă m lỗi, ẵ ữ, l.s.ເ., A : Х → Ɣ l ƚ0¡п ƚû ƚuɣ¸п ẵ liả F () = f () + (A) iÊ sỷ iÃu kiằ ẵ qu (2.11) ọa m Ki õ, ợi Đ kẳ d0m F , ƚa ເâ ∂F (х0 ) = ∂f (х0 ) + A∗ [∂ǥ(Aх0 )] Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ Х = Ɣ , Ă Ô uá ẵ A l Ă Ô ỗ Đ, 37 a õ ká quÊ sau n yờ ờnn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 38 lỵ 2.6 l kổ ia aa, m f, ǥ : Х → Г l ເ¡ເ Һ m lỗi, l.s.., ẵ ữ áu iÃu kiằ ẵ qu ∈ iпƚ{d0m f − d0m ǥ} (2.12) ÷đເ ƚҺäa m ẳ ợi Đ k ẳ (d0m f ) ∩ d0m ǥ, ƚa ເâ ∂(f + ǥ)(х0) = f (0) + (0) (2.13) lỵ 2.6 ẵ l qu - ẵ 0Ă dữợi i Ơ ừa m lỗi, ỷa liả dữợi, ẵ ữ Sau Ơ a mở số ẵ dử mi ồa Đ ỏ ừa Ă iÊ iá lỵ 2.6 Ưu iả l mở ẵ dử a sỹ Ư iá ừa iÃu kiằ ẵ qu (2.12) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ẵ dử 2.2 LĐ = = , f ữủ Ă i f () = áu х = √ ѵ f (х) = +∞ п¸u х =ƒ ເҺ0 ǥ ÷đເ ເҺ0 ьði ǥ(ɣ) = − ɣ п¸u ɣ ≥ ѵ ǥ(ɣ) = +∞ п¸u ɣ < K̟Һi â ǥ(Aх) = ǥ(х) = √ − х if х ≥ 0, if х < +∞ Ta ເâ A(d0m f ) = d0m f = {0}, d0m ǥ = [0, +∞) Suɣ гa ∈/ iпƚ(A(d0m f ) − d0m ǥ) Һὶп пύa F (х) = f (х) + ǥ(Aх) = if х = 0, +∞ if х ƒ= ເҺåп х¯ := ∈ d0m F , ƚa ເâ ∂F (х¯) = Г ƚг0пǥ k̟Һi â ∂f (х ¯) + A∗ (∂ǥ(Aх )) = 39 Tiá e0, ẵ dử sau Ơ ọ iÊ iá à ẵ l.s. ừa f kổ ọ qua lỵ 2.6 Ѵ½ dư 2.3 ເҺ0 Х l k̟ Һỉпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ổ Ô iÃu Ki õ luổ ỗ Ôi iám m uá ẵ k ổ liả f : → Г °ƚ ǥ := −f , ƚa ເâ d0m f = d0m = , ẳ ê iÃu kiằ ẵ qu (2.12) ọa m ẳ f l Ă iám m uá ẵ k ổ liả ƚưເ, п¶п ເҺόпǥ k̟ Һỉпǥ l.s.ເ Mëƚ m°ƚ ƚa ເâ, f () = () = ợi Đ k ẳ х ∈ Х M°ƚ k̟Һ¡ເ, ѵ¼ f (х) + ǥ(х) ≡ 0, ƚa ເâ ∂(f + ǥ)(х) = {0} ẳ ê, (2.13) kổ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu 40 Ká luê T0 luê ô , ổi iả u qu - ẵ 0Ă dữợi i Ơ ừa m lỗi, ẵ ữ, ỷa liả dữợi Ă Ă dử lữủ ỗ ối ău , ổi sỷ dử Ă ổ ừa lỵ uá ối ău iả u ổ ẵ dữợi i Ơ ừa m lỗi, ẵ ữ, ỷa liả dữợi sỷ dử iÃu kiằ ẵ qu ẵ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu ủ Ă ká quÊ Ơ ữủ ả Ă kổ ia aa ởi du ẵ ừa luê ô ữủ d, ủ ẳ i iá e0 Ă ởi du ữ ừa mử 2.5 Dualiƚɣ TҺe0гɣ ƚг0пǥ ເuèп s¡ເҺ ເҺuɣ¶п k̟Һ£0 [3] 41 T i liằu am kÊ0 Tiá iằ [1] ộ ô Lữu, a u KÊi, iÊi ẵ lỗi, uĐ Ê K0a K uê, ởi (2000) [2] uý Tá , s iÊi ẵ lỗi, uĐ Ê iĂ0 dử iằ am, đ (2012) Tiá A n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] J F Ь0ппaпs aпd A SҺaρiг0, Ρeгƚuгьaƚi0п Aпalɣsis 0f 0ρƚimizaƚi0п Ρг0ьlems, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟ (2000) 42