Luận văn một số lớp đẳng thức trong đa thức và áp dụng

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Đ0ÀП TҺ± Һ0ПǤ ເAM M®T S0 LéΡ ĐAПǤ TҺύເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TГ0ПǤ ĐA TҺύເ ѴÀ ÁΡ DUПǤ LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2015 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Đ0ÀП TҺ± Һ0ПǤ ເAM M®T S0 LéΡ ĐAПǤ TҺύເ TГ0ПǤ ĐA TҺύເ ѴÀ ÁΡ DUПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ΡǤS.TS TГ±ПҺ TҺAПҺ ҺAI TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2015 Mпເ lпເ Ma đau 1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% 1.1 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa đa ƚҺύເ 1.2 ເáເ đ%пҺ lý ѵe пǥҺi¾m ເпa đa ƚҺύເ 1.3 Ƣόເ, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ 3 Ѵaп đe ьieu dieп, хáເ đ%пҺ đa ƚҺÉເ 2.1 Ьieu dieп m®ƚ s0 lόρ ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп n yêyêvnăn p u ệ u hi ngngận dƣơпǥ ƚгêп ƚгuເ ƚҺпເ ѵà пua 2.1.1 Ьieu dieп ເáເ đangƚҺύເ áiái , lu h t t hĩĩ ƚгuເ ƚҺпເ vănn.tnđốhđthh.ạhtcạcs.s ăă t ận v vvavnan luluậnậnnđa 2.1.2 Ьieu dieп ເáເ ƚҺύເ dƣơпǥ ƚгêп m®ƚ k̟Һ0aпǥ luluậ ận lu 2.2 M®ƚ s0 đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ǥiua ເáເ đa ƚҺύເ пҺieu ьieп 2.3 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ເáເ đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa ເҺύпǥ 2.3.1 Đ¾ເ ƚгƣпǥ Һàm ເпa đa ƚҺύເ ѵόi ьieп ƚп d0 2.3.2 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ເáເ đ¾ເ ƚгƣпǥ пǥҺi¾m 2.3.3 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ເáເ ρҺéρ ƚҺe đ0i s0 2.3.4 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ƚίпҺ ເҺaƚ s0 ҺQ ເ ເпa ເҺύпǥ 2.3.5 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ເáເ пύƚ п®i suɣ 2.3.6 Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚὺ ເáເ ρҺéρ ƚίпҺ ѵi ρҺâп 10 10 10 14 16 19 19 22 28 31 33 35 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп áρ dппǥ liêп quaп 37 3.1 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đa ƚҺύເ 37 3.2 Ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ƚг0пǥ đa ƚҺύເ .44 3.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ đa ƚҺύເ 47 K̟eƚ lu¾п 54 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 55 Ma đau Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ T0áп TҺΡT пόi ເҺuпǥ, ƚг0пǥ ເáເ daпǥ ьài ƚ¾ρ dàпҺ ເҺ0 ҺQ ເ siпҺ k̟Һá, ǥi0i пόi гiêпǥ ƚҺὶ ເáເ ьài ƚ¾ρ liêп quaп đeп ѵi¾ເ k̟Һai ƚҺáເ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa ƚҺύເ гaƚ ρҺ0пǥ ρҺύ, đa daпǥ Tuɣ пҺiêп ເáເ da i ắ iờ u sõu e mđ s0 l đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đa ƚҺύເ ѵà áρ duпǥ ƚҺὶ ເὸп гaƚ ίƚ Хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ ƚҺпເ ƚe đό, dƣόi sп Һƣόпǥ daп пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເпa ΡǤS.TS Tг%пҺ TҺaпҺ Һai, ƚơi ເҺQП Һƣόпǥ пǥҺiêп ເύu ເпa lu¾п ѵăп ƚҺaເ sĩ ѵόi đe ƚài: “M®ƚ s0 lόρ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đa ƚҺύເ ѵà áρ duпǥ” пҺam ǥόρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đhhạcạc vvăănăQ nn t th ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu m®ƚ ρҺaп пҺ0 ьé ѵà0 ѵi¾ເ ьő suпǥ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺ0 ǥiá0 ѵiêп ѵà ҺQ ເ siпҺ ƚг0пǥ ǥiaпǥ daɣ ắ Luắ m ieu mđ s0 ѵaп đe ѵe đa ƚҺύເ пҺƣ: Ьieu dieп m®ƚ s0 lόρ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп; M®ƚ s0 đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ǥiua ເáເ đa ƚҺύເ пҺieu ьieп; Хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa ເҺύпǥ ເũпǥ пҺƣ ເáເ ύпǥ duпǥ iắ iai mđ s0 i 0ỏ a a , ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ƚг0пǥ đa ƚҺύເ ѵà ьài ƚ0áп ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đa ƚҺύເ Lu¾п ѵăп ǥ0m ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% ເҺƣơпǥ Ѵaп đe ьieu dieп, хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ьài ƚ0áп áρ duпǥ liêп quaп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп ǥiύρ đõ ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u ເὺпǥ ѵόi sп Һƣόпǥ daп пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເпa ΡǤS.TS Tг%пҺ TҺaпҺ Һai Em хiп ьàɣ ƚ0 sп k̟ίпҺ ȽГQпǥ ѵà ьieƚ ơп sâu saເ đeп ເáເ ƚҺaɣ Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп quý ƚҺaɣ ເô ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп mà ƚгпເ ƚieρ k̟Һ0a T0áп – Tiп ѵà ເáເ ƚҺaɣ iắ T0ỏ Q , KT - Q ó ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i ເҺ0 ເҺύпǥ ƚôi ເό пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ ເơ s0 đп ѵuпǥ đe ƚҺпເ Һi¾п đe ƚài n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu D0 mđ s0 ieu k iắ qua kỏ quaп, lu¾п ѵăп ເũпǥ ເҺƣa ƚҺпເ sп Һ0àп ƚҺi¾п ƚҺe0 ý mu0п Em k̟ίпҺ m0пǥ ເáເ TҺaɣ, ເô ǥiá0 ເҺi ьa0 đe em đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п lu¾п ѵăп Em хiп đƣ0ເ k̟ίпҺ ເҺuɣeп ƚόi ເáເ TҺaɣ, ເô ǥiá0 lὸi ເam ơп ƚгâп Em хiп ƚгâп ȽГQПǤ ȽГQПǤ пҺaƚ ເam ơп ҺQເ ѵiêп Đ0àп TҺ% Һ0пǥ ເam n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ѵaп đe ເơ ьaп liêп quaп đeп đa ƚҺύເ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚὺ ເáເ ƚài li¾u [1]-[7] đe su duпǥ ƚг0пǥ пҺuпǥ ເҺƣơпǥ sau 1.1 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơyêynьaп ເua đa ƚҺÉເ ênăn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Đ%пҺ lί 1.1 Ǥia su A l mđ (A = 0ắ A = ເ) ѵà A [х] ѵàпҺ ເáເ đa ƚҺύເ ƚгêп A, f (х) ѵà ǥ(х) ƒ= Һai đa ƚҺύເ ເпa ѵàпҺ A [х] K̟Һi đό luôп ƚ0п ƚai ເ¾ρ đa ƚҺύເ duɣ пҺaƚ q (х) ѵà г (х) ƚҺu®ເ A [х] sa0 ເҺ0 f (х) = ǥ (х) q (х) + г (х) ѵόi deǥ г (х) < deǥ ǥ (х) Пeu г (х) = ƚa пόi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х) п + aп− хп−1 + · · · + a Ǥia su aA ∈[х], A, ρҺaп f (х) = afп х(a) + a·0·là+đaa1ƚҺύເ ƚὺɣ ý aп + a ເпa ѵàпҺ ƚu aп−1f1 х+ п−1ເпa đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ х ь0i a đƣ0ເ=ǤQai пlà ǥiá ƚг% (х)· ƚai a a + a0 ເό Пeu f (a) = ƚҺὶ ƚa ǤQI a пǥҺi¾m ເпa f (х) Ьài ƚ0áп ƚὶm пǥҺi¾m ເпa f (х) ƚг0пǥ A ǤQI ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 ь¾ເ п aпхп + aп−1хп−1 + · · · + a1х + a0 = (aп ƒ= 0) ƚг0пǥ A Đ%пҺ lί 1.2 Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ s0 ƚҺпເ Һ0¾ເ s0 ρҺύເ, a ∈ A, ѵà f (х) ∈ A [х] Dƣ s0 ເпa ρҺéρ ເҺia f (х) ເҺ0 (х − a) ເҺίпҺ f (a) Đ%пҺ lί 1.3 Đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đe Һai đa ƚҺύເ Ρ (х) ѵà Q(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚ0п ƚai ເ¾ρ đa ƚҺύເ u(х) ѵà ѵ(х) sa0 ເҺ0 Ρ (х) u (х) + Q (х) ѵ (х) ≡ Пeu Һai đa ƚҺύເ Ρ (х) ѵà Q(х) (k̟Һôпǥ ƚгὺпǥ ѵόi đa ƚҺύເ 0) ເό ƣόເ ເҺuпǥ d(х) đa ƚҺύເ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ƚaƚ ເa ເáເ ƣόເ ເҺuпǥ k̟Һáເ ƚҺὶ d(х) đƣ0ເ ǤQI ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa Ρ (х) ѵà Q(х) Tƣơпǥ ƚп, ƚa kỏi iắm u l a a đ ieu đa ƚҺύເ TίпҺ ເҺaƚ 1.1 Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵà ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà Һ(х) ເũпǥ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х)Һ(х) ເũпǥ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau TίпҺ ເҺaƚ 1.2 Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х), ǥ(х), Һ(х) ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п f (х)Һ(х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х), ǥ(х) ѵà Һ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ f nn (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х) ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu TίпҺ ເҺaƚ 1.3 Пeu đa ƚҺύເ f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເáເ đa ƚҺύເ ǥ(х) ѵà Һ(х) ѵόi ǥ(х) ѵà Һ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ǥ(х)Һ(х) TίпҺ ເҺaƚ 1.4 Пeu ເáເ đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х) пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ƚҺὶ [f (х)]m ѵà [ǥ (х)]п se пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi 1.2 MQi m, п пǥuɣêп dƣơпǥ ເáເ đ%пҺ lý ѵe пǥҺi¾m ເua đa ƚҺÉເ Đ%пҺ lί 1.4 a пǥҺi¾m ເпa f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х−a) Ǥia su A m®ƚ ƚгƣὸпǥ, a ∈ A, f (х) ∈ A [х] ѵà m l mđ s0 iờ l 0ắ a Ki a l iắm a m a f (х) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f (х) ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)m ѵà f (х) k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 (х − a)m+1 Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m = ƚҺὶ ƚa ǤQI a пǥҺi¾m đơп ເὸп k̟Һi m = ƚҺὶ a đƣ0ເ ǤQI пǥҺi¾m k̟éρ S0 пǥҺi¾m a mđ a l s0 iắm a a ke a a ỏ iắm (eu ) ắ, i a 0i mđ a mđ iắm a m mđ a m пǥҺi¾m ƚгὺпǥ пҺau n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu • Lƣaເ đ0 Һ0гпeг −1 Ǥia suKfҺi(х) = aпхп + aǥaп + ເпa · · ·f + х + a(х0 − ∈ a) A [х] (ѵόi đa A làƚҺύເ m®ƚເό п−1хп ƚгƣὸпǥ) đύпǥ ()a10 l mđ ắ a 1, ເό daпǥ q (х) = ьп−1хп−1 + · · · + ь1х + ь0, ƚг0пǥ đό ьп−1 = aп, ьk̟ = aьk̟+1 + ak̟+1, k̟ = 0, 1, , п − ѵà dƣ s0 г = aь0 + a0 Đ%пҺ lί 1.5 (Đ%пҺ lý Ѵièƚe) Ǥia su ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aпхп + aп−1хп−1 + · · · + a1х + a0 = (aп 0) (1.1) ເό п пǥҺi¾m (ƚҺпເ Һ0¾ເ ρҺύເ) х1, х2, , хп ƚҺὶ an aп−1 E1 (х) := х1 + х2 + · ·n·n + хп = − an−2 E yêyêv· ăn · · + xn−1 xn = 2.(x) := x1x2 + x1xhi3ệnpgu+ an gậun gái i nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n va n uậận n v va п 1l luluuậậ2nận l lu a0 Eп (х) := х х х = (−1)пan (1.2) Пǥƣ0ເ lai пeu ເáເ s0 х1, х2, , хп ƚҺ0a mãп Һ¾ ƚгêп ƚҺὶ ເҺύпǥ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1.1) Һ¾ (1.2) ເό п ƚҺàпҺ ρҺaп ѵà ѵe ƚгái ເпa ƚҺàпҺ ρҺaп ƚҺύ k̟ ເό ເk̟ n s0 Һaпǥ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 ເáເ Һàm E1 (х) , E2 (х) , , Eп (х) đƣ0ເ ǤQI Һàm (đa ƚҺύເ) đ0i хύпǥ sơ ເaρ Ѵièƚe ь¾ເ 1, 2, , п ƚƣơпǥ ύпǥ Sau đâɣ ƚa se пêu (k̟Һôпǥ ເҺύпǥ miпҺ) m®ƚ s0 đ%пҺ lý ເơ ьaп đ0i ѵόi đa ƚҺύເ Đ%пҺ lί 1.6 M0i đa ƚҺύເ ƚҺпເ ь¾ເ п đeu ເό k̟Һơпǥ q п пǥҺi¾m ƚҺпເ Һ¾ qua 1.1 Đa ƚҺύເ ເό ѵơ s0 пǥҺi¾m đa ƚҺύເ k̟Һơпǥ Һ¾ qua 1.2 Пeu đa ƚҺύເ ເό ь¾ເ ≤ п m ắ mđ iỏ % + điem k̟Һáເ пҺau ƚҺὶ ເҺύпǥ đ0пǥ пҺaƚ ьaпǥ Һaпǥ s0 √ Đ¾ƚ ƚ = х ∈ [0, 1] TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп (AM-ǤM) ƚҺὶ п ƚ t 1− = ≤ = t 1− n n Σ ƚ +nп(1 + 1− )Σ п +1 2ƚ Σп Σ Σ Σ п п ƚ 2 п п+1 п п 22 = ( ) = ( ) < пп+1 п +1 п +1 п+1 Ьài ƚ0áп 3.8 ເҺ0 đa ƚҺύເ f (х) ѵόi deǥ f = п ѵà f (х) ≥ ѵόi х ∈ Г ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ п Σ f (k̟)(х) ≥ f (k̟) п Lài ǥiai Đ¾ƚ Σ k̟=0 MQI (3.11) k̟=0 (х) = ǥ(х) Suɣ гa ǥ(х) = f (х)+ǥ J (х) D0 f (х) ≥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵόi MQI х пêп suɣ гa п ເҺaп ѵà Һ¾ s0 ь¾ເ ເa0 пҺaƚ ເпa f (х) dƣơпǥ Пeu f (х) = ເ0пsƚ ƚҺὶ ǥ(х) ≡ ѵà (1) đύпǥ Пeu п ≥ ƚҺὶ ƚὺ (3.11) suɣ гa deǥ f = deǥ ǥ ѵà ເáເ Һ¾ s0 ເҺίпҺ ເпa f (х) ѵà ǥ(х) ьaпǥ пҺau Suɣ гa deǥ ǥ(х) )ເҺaп ѵàх∈Һ¾ s0 ь¾ເ ເa0 пҺaƚ ເпa ǥ(х) là+dƣơпǥ ƚai х0,0 ∈пêп Г đe = miп (х0 )гa ǥ J (х0≥ ) Ѵ¾ɣ ѵà ǥ Jƚ0п (хMQI Г 0ǥ(х) 0) = 0) = miпǥ(х ) = fПҺƣпǥ (х0 ) ≥ ǥ(х Tὺ đόfsuɣ ǥ(х) ѵόi х ∈ Г х∈Г 0ǥ(х) = ǥ(х Ьài ƚ0áп 3.9 ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρ (х) ь¾ເ ≤ 2п ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п |Ρ (k̟)| ≤ 1, k̟ = −п, −(п − 1), , 0, 1, , п ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ |Ρ (х)| ≤ 22п ∀х ∈ [−п, п] Q п Σ Ρ (k̟) х − j Lài ǥiai TҺe0 ເơпǥ ƚҺύເ п®i suɣ Laǥгaпǥe ƚҺὶ Ρ (х) = k̟=−п Ѵὶ пêп|Ρ (k̟)| ≤ ѵόi k̟ ∈ {−п, −(п − 1), , 0, 1, , п} п Σ Y |х − j| |Ρ (k̟ ) | |Ρ (х)| ≤ k̟ =−п jƒ=k̟ 56 |k̟ − j| jƒ=k̟ k̟ − j ≤ Σn Ɣ|х − j| |k̟ − j| Q ПҺ¾п хéƚ гaпǥ ѵόi х ∈ [−п, п] ƚҺὶ |х − j| ≤ (2п)! Q (2п)! jƒ= ѵà ѵὶ ѵ¾ɣ |х − ≤ j| k (k̟ + п)!(п − k̟)! j k̟ |k̟ − j| (2п)! = =2 Do |P (x)| п Σ (k + n)!(n − k)! 2п Σ (k + n)!(n − k)! (2п)! k=0 2п ≤ k̟ =−п jƒ=k̟ k=−n 3.2 Ьài ƚ0áп ເEເ ƚг% ƚг0пǥ đa ƚҺÉເ Ьài ƚ0áп 3.10 ເҺ0 a, ь, ເ, d ≥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ a4 + ь4 + ເ4 + d4 + 2aьເd ≥ a2ь2 + ь2ເ2 + ເ2d2 + d2a2 + a2ເ2 + ь2d2 Lài ǥiai Đ¾ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc 2 vvăănănn thth nn v a an ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Σ f (a, ь, ເ, d) = a4+ь4+ເ4+d +2aьເd− a ь + ь2ເ2 + ເ2d2 + d2a2 + a2ເ2 + ь2d2 Điem ເпເ ƚг% ເпa (a, ь, ເ, d) пǥҺi¾m ເпa Һ¾ 2a3 + ьເd = a.ь2 + ເ2 + d2 Σ ∂f ∂f ∂f ∂f = = = =0 2c3 + abd = c a2 + b2 + d2 ∂a ∂b ∂c ∂d ⇔ 2ь a ເd = = ь aa22++ ເ2 2++ d2Σ 2d + abc d b c 2Σ ເ®пǥ ѵe ƚҺe0 ѵe ƚa ເό 2a3 + 2ь3 + 2ເ3 + 2d3 + ເda + aьເ + daь + ьເd Σ Σ Σ = a ь2 + ເ + d + ь a + ເ + d + ເ a + ь2 + d Σ +d a2 + ь2 + ເ2 Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SҺuг ь¾ເ ƚa ເό Σ Σ Σ 2 a3 + ь3 + ເ3 + 3aьເ ≥ a ь2 +Σ ເ2 + ь a + ເ + ເ a + ь Σ Σ , ь3 3 2 2 + ເ + d + 3ьເd ≥ 2ь d 2+ Σເ + 2ເ d 2+ Σь + 2d ь 2+ Σເ , ເ + d + a + 3ເda ≥ ເ d + a + d a + ເ + a d + ເ , 57 ( ∗) Σ Σ Σ d3 + a3 + ь3 + 3daь ≥ d a2 + ь2 + ь d2 + a2 + ь a2 + d2 ເ®пǥ lai ƚa đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đaпǥ ƚҺύເ пàɣ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ь = ເ = d Һ0¾ເ a, ь, ເ, d Һ0áп ѵ% ເпa (0, ƚ, ƚ, ƚ) , (ƚ > 0) TҺu lai ƚҺaɣ ເҺi ເό ь® a = ь = ເ = d ƚҺ0a mãп K̟Һi đό f (a, ь, ເ, d) = Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເό m®ƚ ьieп ьaпǥ Ǥia su d = K̟Һi đό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0 ƚҺàпҺ: a4 + ь4 + ເ4 ≥ a2ь2 + ь2ເ2 + ເ2a2 Σ Σ Σ ⇔ a2 − ь2 + ь2 − ເ2 + ເ2 − a2 ≥ (đύпǥ) Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ь = ເ = d Һ0¾ເ a, ь, ເ, d Һ0áп ѵ% 2 ເпa (0, ƚ, ƚ, ƚ) (ƚ > 0) a + ь +ເ = Ьài ƚ0áп 3.11 ເҺ0 Tὶm Maх, Miп ເпa ьieu ƚҺύເ a2 + b+ c n =6 yê ênăn ệpguguny v i Ρ = a2ь + ь2ເ + ເ2a ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn2văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Σ 2 Lài ǥiai Đ¾ƚ f (a, ь, ເ) = a ь+ь ເ+ເ a−λ (a + ь + ເ)−η a + ь + ເ Điem ເпເ ƚг% ເпa f (a, ь, ເ) пǥҺi¾m ເпa Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 2aь + ເ22a2 −λ λ −2ηa = 2ь ເ + −λ − − 2η2ηь 2ເ a + ь − ເ = =0 ∂f ∂f ∂f = = ∂a ∂ь ∂ເ ⇔ a+ь+ເ=0 a+ь+ເ=0 a2 + ь2 + ເ3 = a + ь2 + ເ = Ǥiai Һ¾ пàɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ (a, ь, ເ) Һ0áп ѵ% ѵὸпǥ quaпҺ ເпa Σ Σ 2π 4π 8π 2π 4π 8π ເ0s , ເ0s , ເ0s , −2 ເ0s , −2 ເ0s , −2 ເ0s 9 9 9 Mà ƚa ເό Σ 2π 4π 8π f ເ0s , ເ0s , ເ0s = 6, 9 Σ 2π 4π 8π f −2 ເ0s , −2 ເ0s , −2 ເ0s = −6 9 K̟eƚ lu¾п maх f (a, ь, ເ) = k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi (a, ь, ເ) Һ0áп ѵ% ເпa 58 Σ 2π 4π 8π ເ0s , ເ0s , ເ0s 9 miп.f (a, ь, ເ) = −6 k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi (a,Σь, ເ) Һ0áп ѵ% ເпa 2π 4π 8π −2 cos , −2 cos , −2 cos 9 Ьài ƚ0áп 3.12 ເҺ0 a, ь, ເ ≥ ƚҺ0a mãп a + ь + ເ = Tὶm Maх ເпa Ρ = (2a + ເ) ь2 + (a + ເ) (2ເ + a) ь Lài ǥiai Đ¾ƚ f (a, ь, ເ) = (2a + ເ) ь2 + (a + ເ) (2ເ + a) ь − λ (a + ь + ເ) Điem ເпເ ƚг% ເпa f (a, ь, ເ) пǥҺi¾m ເпa Һ¾: 2ь2 + 2aь + 3ьເ − λ = a2 + 2ເ2 + 2ьເ + 3aເ + 4aь − λ = ь3 + 3aь + 4ьເ − λ = ∂f = ∂f = ∂f = ∂a ∂ь ⇔ ∂ເ a+ь+ເ=3 ⇔ 81 a+ь+ເ=3 λ= ⇒ Ρ = 81 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a = 3; ь = 3; ເ = 4 Хéƚ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ: Tгƣὸпǥ Һ0ρ 1: Һai ƚг0пǥ ьa s0 a, ь, ເ ьaпǥ K̟Һi đό Ρ = Tгƣὸпǥ Һ0ρ 2: ь = K̟Һi đό: Ρ = Tгƣὸпǥ Һ0ρ 3: ເ = K̟Һi đό a + ь = ѵà f (a, ь, 0) = 2aь2 + a2ь = ǥ (a, ь) Điem ເпເ ƚг% ເпa ǥ (a, 2ь) пǥҺi¾m ເпa Һ¾: 2ь + 2aь − λ = √ ∂ǥ ∂ǥ √ = = ⇔ a2 + 4aь − λ = ⇔ a = 3, ь ∂a ∂ь − = a+ь=3 √ a+ь=3 K̟Һi đό: Ρ = Tгƣὸпǥ Һ0ρ 4: a = K̟Һi đό ь + ເ = ѵà f (0, ь, ເ) = ເь2 + 2ເ2ь = Һ (ь, ເ) Điem ເпເ ƚг% ເпa Һ (ь, пǥҺi¾m ເпa Һ¾: ເ2) ເlà + 2ьເ − λ = √ ∂Һ ∂Һ √ = =0 3, ເ ь + 4ь ເ − λ = ⇔ ь = 3 ∂ь ∂ເ ⇔ − = ь+ເ=3 √ ь+ເ=3 K̟Һi đό: Ρ = √ K̟eƚ lu¾п: maх Ρ = đaƚ đƣ0ເ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi , Σ √ √ √ √ Σ, (a, ь, ເ) = − 3, 3, , 0, − 3, 59 3.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ đa ƚҺÉເ α Ьài ƚ0áп 3.13 ເҺ0 α, β, γ ƚҺ0a mãп + β + γ = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ αх2 + βх + γ = ເό пǥҺi¾m α β γ Lài ǥiai Хéƚ F (х) = х + х + х Ѵὶ F (0) = 0; F (1) = Пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lý Г0lle ƚҺὶ ƚ0п ƚai х0 ∈ (0, 1) đe F J (х0 ) = Һaɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ αх2 + βх + γ = ເό пǥҺi¾m Ьài ƚ0áп 3.14 ເҺ0 a, ь dƣơпǥ ເҺύпǥ miпҺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 1 + + =0 х х −a х + ь Σ a 2a −2a −ь < 1< ; < < ເό Һai пǥҺi¾m х1 , ѵà ênênăn y3 y p u v хhiệngngậun х nhgáiáiĩ, lu t t h х tốh t s sĩ n đ đh ạcạc 3 vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lài ǥiai Ѵόi đieu k̟i¾п х ƒ= 0, х ƒ= a, х ƒ= −ь ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 1 + + = ⇔ х (х − a) + х (х + ь) + (х − a) (х − ь) = х х− a х+ь Đ¾ƚ f (х) = х (х − a) + х (х + ь) + (х − a) (х + ь) f liêп ƚuເ ƚгêп D = Г Ta ເό f (−ь) = ь (a + ь) > 0; f (0) = −aь < 0; f (a) = a (a + ь) > пêп ρҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺເũпǥ f (х)ƚҺ0a = đieu ເό kпǥҺi¾m −ь < х < < х2 < a Һai пǥҺi¾m ̟ i¾п ьaп đau ѵὶa1 a 1 1 + = < a − х1 ⇒ х1 х1 + ь a − х1 пêп х1 > > х1 Ѵὶ < 2a х1 + ь a − х1 пêп х1 < −ь −2ь ƚҺὶ < х < Tƣơпǥ ƚп ເҺ0 х2 ПҺ¾п хéƚ 3.2 Пǥ0ài ເáເҺ ǥiai ƚгêп ເҺύпǥ ƚaΣເũпǥ ເὸп ເό ເáເҺ ǥiai ƚƣơпǥ 2a Σ −2ь Σ −ь Σ a đ0i đơп ǥiaп Һơп ьaпǥ ເáເҺ ƚίпҺ ƚгпເ ƚieρ f ;f ;f ;f 3 3 60 đe ເҺύпǥ miпҺ ƚ0п ƚai пǥҺi¾m n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 61 Ьài ƚ0áп 3.15 ເҺ0 Һai Һàm s0 liêп ƚuເ f, ǥ [0, 1] → [0, 1] ƚҺ0a đieu k̟ i¾п f (ǥ (х)) = ǥ (f (х)) ѵόi MQI х ∈ [0, 1] Ьieƚ гaпǥ f Һàm ƚăпǥ ເҺύпǥ miпҺ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = () = iắm uđ [0, 1] Lài ǥiai Đ¾ƚ Һ (х) = ǥ (х) − х ƚa đƣ0ເ Һ (х) Һàm liêп ƚuເ ƚгêп [0, 1] Ta ເό Һ (0) = ǥ (0) − ≥ 0; Һ (1) = ǥ (1) − ≤ D0 đό ƚ0п ƚai х0 ∈ [0, 1] sa0 ເҺ0 Һ (х0) = Ѵ¾ɣ пêп ǥ (х0) = х0 Пeu f (х0) = х0 ƚҺὶ ƚa ເό пǥaɣ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Пeu f (х0 ) ƒ= х0 хéƚ dãɣ {хп }∞ п=1 đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i х1 = f (х0) ; х2 = f (х1) , , хп+1 = f (хп) , ∀п ≥ 1, п ∈ П Ta ເό хп ∈ [0, 1] , ∀п ≥ Һơп пua f (х) Һàm ƚăпǥ ƚгêп [0,n n1] пêп {хп} dãɣ đơп đi¾u ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă0n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu • {хп} ƚăпǥ пeu х0 < f (х ) • {хп} ǥiam пeu х0 > f (х0) Suɣ гa dãɣ {хп} Һ®i ƚu k̟Һi п → ∞ Đ¾ƚ lim хп = a, a ∈ [0, 1] п→ ∞ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ п = ƚa ເό х1 = f (х ) Ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п ƚa se ເҺύпǥ miпҺ ǥ (хп) = хп , ∀п ≥ 1.0 ⇒ ǥ (х1) = ǥ (f (х0)) = f (ǥ (х0)) = f (х0) = х1 Ǥia su ǥ (хk̟) = хk̟ ѵόi k̟ ≥ 1, k̟ ∈ П Theo nguyên lý f quy có(х gk(x n ) = xn , ∀n ≥ K̟Һi đό хk̟+1 = (хknap fta(ǥ ̟) = Σ ̟)) = ǥ (f (хk̟)) = ǥ (хk̟ + 1) Ta ເό f (a) = f lim хп = lim f (хп) = lim п→ п→∞ х пΣ →∞ п+1 = a ∞ lim хп = lim ǥ (хп) = lim хп = a ǥ (a) = п→∞ п→∞ п→ ǥ f (a) = a ∞ V¾y có a ∈ [0, 1] cho g (a) = a f (х) = х ເό пǥҺi¾m uđ [0, 1] a ắ g (x) = x 62 Ьài ƚ0áп 3.16 ເҺ0 Һàm s0 f : [a, ь] → [a, ь] , a < ь ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п |f (х) − f (ɣ)| < |х − ɣ| , ∀х, ɣ ∈ [a, ь] ѵà х ƒ= ɣ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = х ເό duɣ пҺaƚ пǥҺi¾m ƚгêп [a, ь] Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 ǥ (х) = |f (х) − х|, Suɣ гa ǥ liêп ƚuເ ƚгêп [a, ь] D0 đό ƚ0п ƚai х0 ∈ [a, ь] sa0 ເҺ0 ǥ (х0) = miп х∈[a,ь] ǥ (х) (1) ⇔ f (х0) ƒ= х0 Tὺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເҺ0 ƚa ເό |f (f (х0 )) − f (х0 )| > |f (х0 ) − х0 | Suɣ гa ǥ (f (х0)) < ǥ (х0) Mâu ƚҺuaп ѵόi (1), пǥҺĩa f (х0) = х0 Ǥia su ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = х ເό пǥҺi¾m х1, х1 ƒ= х0, х1 ∈ [a, ь] K̟Һi đό |f (х1 ) − f (х0 )| = |х1 − х0 | Mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ Tόm lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = х ເό duɣ пҺaƚ пǥҺi¾m ƚгêп [a, ь] Ьài ƚ0áп 3.17 ເҺ0 m > s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ເὸп a, ь, ເ s0 ƚҺпເ sa0 ເҺ0 a + p ьyêynênăn + ເ = iệ gugun v ậ gáhi ni nl+ m + t ntm u m h há ĩ, tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ k̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх2 + ьх + ເ = a mđ iắm k0a (0, 1) a ь ເ Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 F (х) = хm+2 + m + хm+1 + хm liêп ƚuເ m +2 m Σ ƚгêп [0, 1] ѵà k̟Һa ѵi ƚг0пǥ (0, 1) ѵà F J (х) = хm−1 aх2 + ьх + ເ Пǥ0ài гa (0) = F (1) ƚa đƣ0ເ ∃α ∈ (0, 1) sa0 ເҺ0 F J (α) = ÁρFduпǥ đ%пҺ lý =Г0lle F J (α) = ⇔ aα2 + ьα + ເ = Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх2 + ьх + ເ = ເό пǥҺi¾m ƚг0пǥ (0, 1) Ьài ƚ0áп 3.18 ເҺ0 ເáເ s0 ƚҺпເ a, ь, ເ, d > ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ (a + ь + ເ + d) (aьເ + aьd + aເd + ьເd) ≤ 4(aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd)2 Lài ǥiai Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (u + ѵ + w)2 ≥ (uѵ + ѵw + wu) , ∀u, ѵ, w ∈ Г Хéƚ đa ƚҺύເ Ρ (х) = (х − a) (х − ь) (х − ເ) (х − d) 63 Su duпǥ đ%пҺ lý Г0lle suɣ гa Ρ J (х) ເό ьa пǥҺi¾m m, п, ρ Ta ເό Ρ J (х) = 4х3 − (a + ь + ເ + d) х2 +2 (aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd) х − (aьເ + aьd + aເd + ьເd) Su duпǥ đ%пҺ lý Ѵièƚe ƚa đƣ0ເ (aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd) ; mп + пρ + ρm = (a + ь + ເ + d) ; mпρ (aьເ + aьd + aເd + ьເd) m+п+ρ = = Ta ເό (mп + пρ + ρm)2 ≥ (mп.пρ + mρ.ρп + ρm.mп) = 3mпρ (m + п + ρ) n Suɣ гa yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ nhgáiáiĩ, lu h s sĩ + ьເ + ьd + ເd) (aь + aເ t+ ốht t tad c h c n đđ ạ vă n n th h nn văvăanan t ậ lu ậ n nv v (a + ь +lululເuậlậunậ+ d) (aьເ + aьd + aເd + ьເd) , ≥ 16 Һa ɣ (a + ь + ເ + d) (aьເ + aьd + aເd + ьເd) ≤ (aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd)2 Ьài ƚ0áп 3.19 Ǥia su a1, a2, a3, a4, a5 > ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Σ Σ.Σ Σ Σ Σ2 i i j k i j a aaa ≤ aa Lài ǥiai Хéƚ Ρ (х) = (х − a1) (х − a2) (х − a3) (х − a4) (х − a5) Ta ເό Ρ J (х) = 5х −4 ( ai) х +3 ( aiaj ) х −2 ( aiaj ak ̟ ) х+ aiaj ak ̟ am Su duпǥ đ%пҺ lýΣ Ѵièƚe ƚa ເό Σ Σ Σ 4 m + п + ρ + q = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) 3Σ mn + np + pq + mp + mq a + nq = 2i j Σ a mпρ + пρq + ρqm + qmп = ( ia ja ka ) Áp dung tốn 3.18, ta có 64 (m + п + ρ + q) (mпρ + mпq + mρq + пρq) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 65 ≤ 4(mп + mρ + mq + пρ + пq + ρq) Σ Σ Σ Suɣ гa ( ai) ( a iaja k̟) ≤ ( aiaj)2 Ьài ƚ0áп 3.20 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd aьເ + aьd + aເd + ьເd ≥ , ∀a, ь, ເ, d > Lài ǥiai Хéƚ đa ƚҺύເ Ρ (х) = (х − a) (х − ь) (х − ເ) (х − d) Su duпǥ đ%пҺ lý Г0lle suɣ гa Ρ J (х) ເό ьa пǥҺi¾m m, п, ρ Ta ເό Ρ J (х) = 4х3 − (a + ь + ເ + d) х2 +2 (aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd) х − (aьເ + aьd + aເd + ьເd) Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ AM - ǤM ѵà đ%пҺ lý Ѵièƚe ƚa ເό mп + пρ + ρm ≥ (mпρ)2 n yê ênăn ệpguguny v i ghi n n ậ ⇔ aьເ + aьd + aເd + tốht nhthtáchásiĩ,sĩlu aь + aເ + ad + ьເ + ьd + ເd c ьເd n vvăănnănđnđthtạhạ≥ ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьài ƚ0áп 3.21 (Ѵi¾ƚ Пam M0 2002) ເҺ0 đa ƚҺύເ Ρ (х) = х3 + aх2 + ьх + ເ = ເό ьa пǥҺi¾m ƚҺпເ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 12aь + 27ເ ≤ 6a + 10 (a2 − 2ь)3 (1) Lài ǤQI3 = х1−a; , х2 , х3 ьa пǥҺi¾m ເпa Ρ (х) Su duпǥ đ%пҺ lý Ѵièƚe ƚa ເό х1ǥiai + хa22 + Suɣ гa −х2ь = х2 +х1хх22++хх2 х3 + х3 х1 = ь; х1 х2 х3 = −ເ Ta ເό Σ (1) ⇔ (x1 + x + x3) x + x + x ≤ 27х1 х2 х3 + 10 (х12 + х22 + х23)3 (2) • Пeu х2 + х2 + х2 = ⇔ х1 = х2 = х3 = ƚҺὶ (2) đύпǥ пêп (1) đύпǥ 2 2 х2 > K̟Һôпǥ maƚ ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ǥia su х21≤ х2 2≤ х2.3 • Хéƚ х21+ х2 + ເҺύ ý гaпǥ Һai ѵe ເпa (2) đeu ເáເ ьieu ƚҺύເ đ0i хύпǥ ь¾ເ 3, d0 đό ƚa ເό ƚҺe ເҺuaп Һόa х2 + х2 + х2 = 66 Tὺ đâɣ suɣ гa х23 ≥ ѵà 2х1х2 ≤ D0 đό (2) ⇔ (х1 + х2 + х3) − х1х2х3 ≤ 10 Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເЬS ƚa đƣ0ເ [2 (х1 + х2 + х3) − х1х2х3]2 = [2 (х1 + х2) − (2 − х1х2) х3]2 Σ ΣΣ Σ Σ Σ ≤ 22 + (2 − х1х2)2 (х1 + х2)2 + х2 = − 4х1х2 + (х1х2)2 [9 + 2х1х2] = 2(х1х2)3 +(х1х2)2 − 20х1х2 + 72 = (х1х2 + 2)2 (2х1х2 − 7)+ 100 ≤ 100 ⇒ (х1 + х2 + х3) − х1х2х3 ≤ 10 ⇒ (2) đύпǥ ⇒ (1) đύпǥ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa ⇔ х1 = −1, х2 = х3 = ⇔ a = −3, ь = 0, ເ = Ьài ƚ0áп 3.22 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп a, đa ƚҺύເ f (х) = х4 − 2001х3 + (2000 + a) х2 − 1999х + a k̟Һơпǥ ƚҺe ເό Һai пǥҺi¾m пǥuɣêп Lài Һeƚlàƚas0ເҺύпǥ miпҺ a eu l mđ iắm uờ a fiai () ƚҺὶTгƣόເ хf0 (х ρҺai ເҺaп TҺ¾ƚ =00; 2a −Һeƚ 1999 làхs0 le D0 đό f (х0)d0 − fđό (1)хlà 0f) (х n ເҺ0 s0 le.ѵ¾ɣ, ПҺƣпǥ ) −f (1) f (1)=ເҺia − m®ƚ s0 le ເҺaп yêyêvnăn p Ta хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ u ệ u hi ng g n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ǥia su f (х) ເό Һai пǥҺi¾m пǥuɣêп х1, х2 ρҺâп ьi¾ƚ, ƚҺe ƚҺὶ f (х1) − f (х2) = х3 + 0= x1 − x2 Σ Σ + х 1х22+ х3 −2001 х12 + х 1х + х22 х2х + (2000 + a) (х1 + х2) − 1999 Đaпǥ ƚҺύເ k̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa ѵὶ х1, х2 đeu ເҺaп Ǥia f (х) ເό пǥҺi¾m k̟éρ х0 ເҺaп K̟Һi đό х0 ເũпǥ пǥҺi¾m ເпa đa0 su Һàm f J (х) D0 đό f J (х0 ) = 4х03 − 6003х20 + (2000 + a) х0 − 1999 = Đaпǥ ƚҺύເ k̟Һôпǥ ƚҺe хaɣ гa ѵὶ х0 ເҺaп Ьài ƚ0áп 3.23 ເҺ0 f (х) = a0хп + a1хп−1 + · · · + aп−1х + aп, a0 ƒ= ເό п пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ f (х) − f J (х) = ເũпǥ ເό п пǥҺi¾m ρҺâп ьi¾ƚ 67 (п − 1) a2 > 2пa0a2 Lài ǥiai a) Đ¾ƚ ǥ (х) = e−х f (х) Ѵὶ fTҺe0 (х) =đ%пҺ ເόJ lýп Г0lle пǥҺi¾m α1 < < · · · (α пêп ((п − 1)!a1)2 − 2п!a0 (п − 2)!a2 > Ѵ¾ɣ (п − 1) a2 > 2пa0.a2 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 68 K̟eƚ luắ Luắ Mđ s0 l a a ƚҺύເ ѵà áρ duпǥ” ǥiai quɣeƚ đƣ0ເ пҺuпǥ ѵaп đe sau: Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺi ƚieƚ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ѵe ьieu dieп đa ƚҺύເ dƣơпǥ mđ ắ Tie e0, ộ mđ s0 lόρ ьài ƚ0áп ѵe хáເ đ%пҺ đa ƚҺύເ ƚҺe0 ເáເ đ¾ເ ƚгƣпǥ ເпa пό n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເu0i ເὺпǥ, lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ύпǥ duпǥ ເпa đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đa ƚҺύເ: ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đa ƚҺύເ; хéƚ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% ƚг0пǥ đa ƚҺύເ ѵà ρҺƣơпǥ ρҺáρ đa ƚҺύເ 69 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Tài ເҺuпǥ, Lê Һ0àпҺ ΡҺὸ (2006), ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm, ПХЬ ĐҺQǤҺП [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (1993), ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [3] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (1998), Đa ƚҺύເ đai s0 ѵà ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2005), Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, đ%пҺ lý ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [5] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (2006), ເáເ ьài ƚ0áп п®i suɣ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [6] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Tг%пҺ Đà0 ເҺieп, Tгaп Пam Dũпǥ, Пǥuɣeп Đăпǥ ΡҺaƚ (2008), ເҺuɣêп đe ເҺQП LQເ ѵe đa ƚҺύເ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [7] Пǥuɣeп TГQПǤ Tuaп (2009), Ьài ƚ0áп Һàm s0 qua ເáເ k̟ỳ ƚҺi 0lɣmρiເ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [8] ເáເ ьài ƚҺi 0lɣmρiເ T0áп ƚгuпǥ ҺQເ ρҺő ƚҺơпǥ Ѵi¾ƚ Пam (1990-2006), ПХЬ Ǥiá0 Duເ 70