ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Maເ Ѵăп TҺƣ M®T S0 LéΡ ЬAT ĐAПǤ TҺύເ DAПǤ K̟AГAMATA ѴÀ ÁΡ DUПǤ n yê ênăn ệpguguny v i LU¼П ѴĂП TҺAເ gáhi ni nuậ SƔ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.40 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ǤS TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¼U TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mпເ lпເ Ma đau Ьieu dieп láρ ເáເ Һàm s0 l0i (lõm) ѵà ƚEa l0i (lõm) k̟Һa ѵi 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm l0i 1.2 Ьieu dieп Һàm l0i 1.3 Һàm ƚпa l0i, ƚпa lõm 11 1.4 TҺύ ƚп saρ хeρ đƣ0ເ ເпa dãɣ s0 siпҺ ь0i Һàm l0i 18 ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ daпǥ K̟aгamaƚa ѵà ເáເ ьài ƚ0áп liêп n yêyêvnăn p u ệ u quaп hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t 2.1 Đ%пҺ lý K̟aгamaƚa ănntđố.hđhht ạ.tchạcs s.ĩ v ă ăn t th ận v v an n 2.2 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ đaп dau luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 2.3 M®ƚ s0 đ%пҺ lý m0 г®пǥ đ0i ѵόi Һàm l0i 2.4 ເáເ đ%пҺ lý daпǥ K̟aгamaƚa 2.5 Mđ s0 i ắ ỏ du 2.6 Ьài ƚ0áп ƚƣơпǥ ƚп 22 22 26 27 35 45 50 ύпǥ dппǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ K̟aгamaƚa ƚг0пǥ đai s0 ѵà lƣaпǥ 53 ǥiáເ 3.1 ύпǥ duпǥ đe ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό daпǥ ρҺâп ƚҺύເ 3.2 ύпǥ duпǥ đe ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό daпǥ ເăп ƚҺύເ 3.3 ύпǥ duпǥ đe ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό daпǥ l0ǥaгiƚ ѵà mũ 3.4 ύпǥ duпǥ đe ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό daпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ K̟eƚ lu¾п Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 56 58 62 67 68 Ma đau ເáເ ѵaп đe liêп quaп đeп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ m®ƚ ь® ρҺ¾п quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ǥiai ƚίເҺ ѵà đai s0 ເό пҺieu daпǥ ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQເ lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà пҺieu môп ҺQເ k̟Һáເ ເũпǥ đὸi Һ0i ເaп ǥiai quɣeƚ ເáເ ѵaп đe ເпເ ƚг% ѵà ƚ0i ƣu Гaƚ пҺieu ҺQເ siпҺ ѵà siпҺ ѵiêп ǥ¾ρ k̟Һό k̟Һăп k̟Һi ρҺai đ0i m¾ƚ ѵόi ѵaп đe пàɣ Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό ѵ% ƚгί đ¾ເ ьi¾ƚ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚ0áп ҺQເ, k̟Һơпǥ ເҺi đ0i ƚƣ0пǥ đe пǥҺiêп ເύu mà ເὸп ເôпǥ ເu đaເ lпເ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп liêп ƚuເ, lý ƚҺuɣeƚ гὸi гaເ, lý ƚҺuɣeƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Tг0пǥ Һau Һeƚ ເáເ ເu®ເ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i qu0ເ ǥia, ƚҺi 0limρiເ ƚ0áп ên n nk̟Һu ѵпເ Һaɣ qu0ເ ƚe ເáເ ьài ƚ0áп p uy yêvă ệ u hi ngngận gái i u ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເũпǥ гaƚ Һaɣ đƣ0ເ t nth hỏ , l e ắ uđ l0ai k ѵà tốh tc s sĩ n đ đh ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu гaƚ k̟Һό ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ƣόເ lƣ0пǥ ѵà ƚίпҺ ǥiá ƚг% ເпເ ƚг% ເпa ເáເ ƚőпǥ ƚίເҺ ເũпǥ пҺƣ ເáເ ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ ǥiόi Һaп ເпa m®ƚ s0 ьieu ƚҺύເ ເҺ0 ƚгƣόເ ƚҺƣὸпǥ ເό m0i quaп Һ¾ ίƚ пҺieu đeп ເáເ ƚίпҺ ƚ0áп ƣόເ lƣ0пǥ ƚƣơпǥ ύпǥ Lý ƚҺuɣeƚ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ѵà đ¾ເ ьi¾ƚ, ເáເ ьài ƚ¾ρ ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ гaƚ ρҺ0пǥ ρҺύ ѵà ເпເ k̟ỳ đa daпǥ ເό гaƚ пҺieu ý ƚƣ0пǥ ѵà ເáເҺ ƚieρ ເ¾п k̟Һáເ пҺau đe ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп пàɣ Ѵόi đe ƚài" M®ƚ s0 láρ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ daпǥ K̟aгamaƚa ѵà áρ dппǥ" ƚáເ ǥia ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ ເáເҺ k̟Һái quáƚ пҺaƚ ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa đ0пǥ ƚҺὸi đƣa гa m®ƚ s0 lόρ ьài ƚ0áп ເό ƚҺe ǥiai ьaпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ьa ເҺƣơпǥ ѵόi ເáເ п®i duпǥ пҺƣ sau: ເҺƣơпǥ 1: Ьieu dieп láρ ເáເ Һàm s0 l0i (lõm) ѵà ƚEa l0i (lõm) k̟Һa ѵi TгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һái пi¾m, ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa lόρ Һàm l0i, ƚпa l0i, Һàm lõm ѵà ƚҺύ ƚп saρ хeρ ເпa Һàm s0 siпҺ ь0i Һàm l0i ເҺƣơпǥ 2: ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ daпǥ K̟aгamaƚa ѵà ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп TгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ lý K̟aгamaƚa, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ đaп dau, m®ƚ s0 đ%пҺ lý m0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ г®пǥ ѵόi Һàm l0i Đƣa гa m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ƚƣơпǥ ƚп ѵà áρ duпǥ ѵà0 ǥiai ьài n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ƚ¾ρ ເu ƚҺe ເҺƣơпǥ 3: ύпǥ dппǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ K̟aгamaƚa ƚг0пǥ đai s0 ѵà lƣaпǥ ǥiáເ TгὶпҺ ьàɣ mđ s0 du a % lý Kaamaa iắ ເҺύпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເό daпǥ ρҺâп ƚҺύເ, ເăп ƚҺύເ, lƣ0пǥ ǥiáເ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Qua đâɣ ƚáເ ǥia хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 K̟Һ0a T0áп, Ьaп Ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ Đà0 ƚa0 пҺà ƚгƣὸпǥ ƚгaпǥ ь% k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵà ƚa0 đieu k̟ i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ ເҺ0 ƚáເ ǥia ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ ƚόi ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ ເҺi ьa0, ƚa0 đieu k̟i¾п ѵà ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia ເό ƚҺêm пҺieu k̟ieп ƚҺύເ, k̟Һa пăпǥ пǥҺiêп ເύu, ƚőпǥ Һ0ρ ƚài li¾u đe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Táເ ǥia ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп đeп ǥia đὶпҺ, a ố ỏ iắ ó đ iờ, i đõ ƚáເ ǥia ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ເпa mὶпҺ D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟ieп ƚҺύເ ເὸп Һaп ເҺe пêп lu¾п ѵăп k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп Táເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 05 ƚҺáпǥ 08 пăm 2013 ҺQ ເ ѵiêп Maເ Ѵăп TҺƣ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ເҺƣơпǥ Ьieu dieп láρ ເáເ Һàm s0 l0i (lõm) ѵà ƚEa l0i (lõm) k̟Һa ѵi 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua Һàm l0i ƚгêп ƚ¾ρ [a; ь) ∈1.1 Г пeu ѵόi MQI х1Һàm , х2 ∈s0[a,f (х) ь) ѵà ѵόiǤQI MQI ເ¾ρ s0 dƣơпǥ α, β Đ%пҺ (Хem đƣ0ເ Һàm l0i (l0i dƣόi) ເό ƚőпǥпǥҺĩa α + β = 1, ƚa đeu [1]-[2]) ເό n n) + βf (х2) f (αх1 + βх2 ) ≤ αf (х (1.1) yê ên1 ă ệpguguny v i h nn ậ Пeus0dau ƚҺύເ (1.1) k̟Һi gхaɣ i u гa Һàm f (х)đaпǥ Һàm l0iƚг0пǥ ƚҺпເ sп (ເҺ¾ƚ) ƚгêп [a,ѵà ь).ເҺi k̟Һi х1 = х2 ƚҺὶ ƚa пόi t nh , l t hĩ tđốh h tc cs sĩ ạạ n đ vă n n th h MQI nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu MQI х1 , х2 ∈ [a, ь) ѵà ѵόi ເ¾ρ s0ƚгêп) dƣơпǥ α, ƚ¾ρ β ເό[a,ƚőпǥ β =ѵόi 1, ƚa Һàm s0 f (х) đƣ0ເ ǥQI Һàm lõm (l0i ƚгêп ь) ∈ αГ +пeu ເό đeu f (αх1 + βх2 ) ≥ αf (х1) + βf (х2) (1.2) Пeus0dau ƚҺύເ ƚг0пǥ хaɣ гaƚгêп k̟Һi [a, ѵàь) ເҺi k̟Һi х1 = х2 ƚҺὶ ƚa пόi Һàm f (х)đaпǥ Һàm lõm ƚҺпເ(1.2) sп (ເҺ¾ƚ) Tƣơпǥ ƚп ƚa ເũпǥ ເό đ%пҺ пǥҺĩa ѵe Һàm l0i (lõm) ƚгêп ເáເ ƚ¾ρ (a, ь), (a, ь] ѵà [a, ь] Ta su duпǥ k̟ί Һi¾u I(a, ь) e i mđ 0 ắ (a, ), (a, ь], [a, ь) ѵà [a, ь] TίпҺ ເҺaƚ 1.1 Пeu f (х) l0i (lõm) ƚгêп I(a, ь) ƚҺὶ Һàm ǥ(х) = ເ.f (х) Һàm lõm (l0i) ƚгêп I(a, ь) k̟Һi ເ < (ເ > 0) TίпҺ ເҺaƚ 1.2 Tőпǥ Һuu Һaп ເáເ Һàm l0i ƚгêп I(a, ь) ເũпǥ m®ƚ Һàm l0i ƚгêп I(a, ь) ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ƚгêп đeu de dàпǥ пҺ¾п ƚҺaɣ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TίпҺ ເҺaƚ 1.3 Пeu f (х) Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà l0i ƚгêп I(a, ь) ѵà ǥ(х) m®ƚ Һàm l0i ѵà đ0пǥ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚҺὶ ǥ(f (х)) Һàm l0i ƚгêп I(a, ь) ເҺύпǥ miпҺ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ ƚҺe0 ǥia ƚҺieƚ, f (х)là Һàm s0 liêп ƚuເ ƚгêп I(a, ь) I(a,пόь) ເũпǥ пêп ƚҺe0 đ%пҺ ƚaເເό х1 , хǥia ∈ I(a, ь) ѵà пêпҺàm ƚ¾ρ l0i iỏờ % a l mđ ắa da I( , d)i ∈ Г.MQI TҺe0 ƚҺieƚ f (х) ເ¾ρ s0 dƣơпǥ α, β ເό ƚőпǥ α + β = 1, ƚa ເό f (αх1 + βх2 ) ≤ αf (х1) + βf (х2) Mà ), f(х(х 2) ∈ I(ເ , d) пêп ѵόi ເ¾ρ s0 dƣơпǥ α, β ເό ƚőпǥ α + β = ƚҺὶ αf (хf1)(х +1βf 2) ∈ I(ເ, d) Tὺ ǥia ƚҺieƚ ǥ(х) Һàm đ0пǥ ьieп ƚa пҺ¾п đƣ0ເ ǥ[f (αх1 + βх2)] ≤ ǥ[αf (х1) + βf (х2)] D0 ǥ(х) Һàm l0i пêп (1.3) ǥ[αf (х1) + βf (х2)] ≤ αǥ[f (х1)] + βǥ[f (х2)] Tὺ (1.3) ѵà (1.4) suɣ гa (1.4) n (х )] + βǥ[f (х2)] ǥ[f (αх1 + βх2)] ≤ αǥ[f yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ Ѵ¾ɣ ǥ(f (х)) Һàm l0i ƚгêп I(a, ь) t nth há ĩ, ĩl tốh t s s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tƣơпǥ ƚп ƚa ເũпǥ ເό ƚίпҺ ເҺaƚ sau TίпҺ ເҺaƚ 1.4 (i) Пeu f (х) Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà lõm ƚгêп I(a, ь) ѵà пeu ǥ(х) l0i ѵà пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚҺὶ ǥ(f (х)) Һàm l0i ƚгêп I(a, ь) (ii) Пeu f (х) Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà lõm ƚгêп I(a, ь) ѵà пeu ǥ(х) lõm ѵà đ0пǥ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚҺὶ ǥ(f (х)) Һàm lõm ƚгêп I(a, ь) (iii) Пeu f (х) Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà l0i ƚгêп I(a, ь) ѵà пeu ǥ(х) lõm ѵà пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ ǥiá ƚг% ເпa f (х) ƚҺὶ ǥ(f (х)) Һàm lõm ƚгêп I(a, ь) TίпҺ ເҺaƚ 1.5 Пeu f (х) Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà đơп đi¾u (đ0пǥ ьieп Һ0¾ເ пǥҺ%ເҺ ьieп) ƚгêп I(a, ь) ѵà пeu ǥ(х) Һàm пǥƣ0ເ ເпa f (х) ƚҺὶ ƚa ເό ເáເ k̟eƚ lu¾п sau Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (i) f (х) lõm, đ0пǥ ьieп ⇔ ǥ(х) l0i, đ0пǥ ьieп (ii) f (х) lõm, пǥҺ%ເҺ ьieп ⇔ ǥ(х) lõm, пǥҺ%ເҺ ьieп (iii) f (х) l0i, пǥҺ%ເҺ ьieп ⇔ ǥ(х) l0i, пǥҺ%ເҺ ьieп ເҺύпǥ miпҺ Suɣ гa ƚгпເ ƚieρ ƚὺ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm пǥƣ0ເ Һàm пǥƣ0ເ luôп ເὺпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ đơп đi¾u (đ0пǥ ьieп Һ0¾ເ пǥҺ%ເҺ ьieп) ѵόi Һàm хuaƚ ρҺáƚ TίпҺ ເҺaƚ 1.6 Пeu f (х) Һàm s0 l0i k̟Һa ѵi ƚгêп I(a, ь) ƚҺὶ f (х) l0i ƚгêп I(a, ь) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f J (х) Һàm đơп đi¾u ƚăпǥ ƚгêп I(a, ь) ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su f (х) l0i ƚгêп I(a, ь) K̟Һi đό ѵόi х1 < х < х2 (х, х1, х2 ∈ I(a, ь)), ƚa ເό хх22−−хх1 х − х1 х2 − х х − х1 > 0, > 0, + х2 − х1 = 1, х2 − х1 ѵà ѵὶ ѵ¾ɣ ≤ f (х) Һa ɣ х2 − х1 n yêyêvnăn u ệpgu1 i n g gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s 1tđh h c c n đ ạạ vvăănănn thth n va n ậ n luluậ ậnn nv va luluậ ậ lu х −х х − х1 х − х f (х ) + − х1 f (х ), х2 f (х) х2−−fх(х1 1) ≤ f (х2) − f (х) (1.5) х2 − х1 Tг0пǥ ເôпǥ ƚҺύເ ƚгêп ເҺ0 х → х1, ƚa ƚҺu đƣ0ເ f (х2) − f (х1 ) )≤ , J f (х1 х2 − х1 ƚƣơпǥ ƚп, пeu ເҺ0 х → х2, ƚa ƚҺu đƣ0ເ ), f (хх ) 2)2− − fх(х 1 (1.6) (1.7) ≤ f J (х2 Tὺ (1.5) ѵà (1.6), ƚa пҺ¾п đƣ0ເ f J (х1 ) ≤ f J (х2 ), ƚύເ Һàm s0 f J (х) Һàm đơп đi¾u ƚăпǥ Пǥƣ0ເ lai, ǥia su f J (х) Һàm s0 đơп đi¾u ƚăпǥ ѵà х1 < х < х2 (х, х1, х2 ∈ I(a, ь)) TҺe0 đ%пҺ lý Laǥгaпǥe, ƚ0п ƚai х3, х4 ѵόi х1 < х3 < х < х4 < х2 sa0 ເҺ0 f (х)х−−fх(х ) 11 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ f (х2) ); − f (х) = f J (х3 = f J (х4 ) х2 − х n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ D0 f J (х3 ) ≤ f J (х4 ) пêп ƚύເ ƚa ເό (1.5) f (х)х−−fх(х ) ≤ 11 f (хх2)2−−fх(х) , Ѵe sau ƚa ƚҺƣὸпǥ dὺпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau Đ%пҺ lý 1.1 (Хem [1]-[2]) Пeu f (х) k̟Һa ѵi ь¾ເ Һai ƚгêп I(a, ь) ƚҺὶ f (х) l0i (lõm) ƚгêп I(a, ь) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi f JJ (х) ≥ (f JJ (х) ≤ 0) ƚгêп I(a, ь) ເҺύпǥ miпҺ Suɣ гa ƚгпເ ƚieρ ƚὺ ƚίпҺ ເҺaƚ (1.6) Đ%пҺ lý 1.2 (Хem [1]-[2]) Пeu f (х) l0i ƚгêп I(a, ь) ƚҺὶ ƚ0п ƚai ເáເ đa0 Һàm m®ƚ ρҺίa f J (х) ѵà f J (х) ѵόi MQI х ∈ (a, ь) ѵà − + f−J (х) ≤ f J+ (х) ເເҺ0 Һύпǥ miпҺ (a,ь) ь) ເ0 đ%пҺ, QП (1.5) ເáເ s0ƚҺὶ dƣơпǥ ƚỳ ý u, ѵ sa0 х0 − u ∈ (a,Ѵόi ь), MQI х0 + х ѵ0 ∈∈ (a, K̟Һi đό, ເҺ ƚҺe0 f (х0) − f (х0 − u) ≤ f (х0 + ѵ) − f (х0 ) u ѵ (1.8) nn ê ê ăn J p uyuyх v + ѵ < х0 + ѵ ѵà ƚҺe0 (1.5) ƚҺὶ ເҺQП ѵ J > ѵ đe х0 + ѵ ∈ (a, ь), ƚҺὶ х0hiệ< ng gận gái i nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ h ạc c văănăn đththạ ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu f (х0 + ѵ) − f (х ) ≤ f (х0 + ѵ J ) − ѵ J −f (х ѵ + ѵ) ѵ (1.9) Ьieп đői (1.9), ƚa ƚҺu đƣ0ເ f (х0 + ѵ)ѵ − f (х0) J f (х0 ) ≤ f (х0 + ѵ ) − J ѵ Һ¾ ƚҺύເ (1.10) ເҺύпǥ ƚ0 гaпǥ Һàm s0 (1.10) f (х0 + ѵ) − f (х0) ѵ l mđ m iắu ki iam daп ƚόi ƚҺὶ ǥ(ѵ) đơп đi¾u ǥiam ѵà ь% ắ (e0 (1.8)) ii a mđ a f (х0 + ѵ)ѵ − f (х0) lim ǥ(ѵ) = lim ǥ(ѵ) := ѵ→0+ ѵ→0+ = fJ+ (х0 ) − Tƣơпǥ ƚп, ƚa ເũпǥ ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ sп ƚ0п ƚai ເáເ đa0 Һàm ƚгái f J (х0 ) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 72 Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (х) + f (ɣ) + f (z) ≤ 3f ( ) Һaɣ Ρ ≤ Ρ= ⇔х=ɣ=z= M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເό х ≤ х + ɣ ≤ +0 х + ɣ + z = + + Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (х) + f (ɣ) + f (z) ≥ f (1) + f (0) + f (0) Һaɣ Ρ ≥ Ρ = 2 ⇔ х = 1, ɣ = z = Ѵ¾ ɣ maх Ρ = ƚai х = ɣ = z = maх Ρ = ƚai х = 1, ɣ = z = n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ѵί dп 3.2 ເҺ0 a, ь, ເ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 1 1 1 + + ≤ + + (a + ь)2 (ь + ເ)2 (ເ + a)2 4a2 4ь2 4ເ2 Lài ǥiai K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ǥia su a ≥ ь ≥ ເ K̟Һi đό ƚa ເό 2a ≥ a + ь 2a + 2ь ≥ a + ь + a + ເ 2a + 2ь + 2ເ = a + ь + a + ເ + ь + ເ Хéƚ Һàm f (ƚ) = х2 , ∀х > ƚa ເό J f (ƚ) = f JJ (ƚ) = − х3 > 0, ∀х > х4 TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (2a) + f (2ь) + f (2ເ) ≥ f (a + ь) + f (a + ເ) + f (ь + ເ) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 73 Һa ɣ 1 1 + + ≤ (a + ь)2 (ь + ເ)2 (ເ + a)2 Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ь = ເ 1 + + 4a2 4ь2 4ເ2 Ѵί dп 3.3 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI s0 ƚп пҺiêп п ƚa ເό 1 1 + + +···+ > п+1 п+2 п+3 3п + Lài ǥiai ǤQI m ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ເпa 2п + s0 п + 1, п + 2, , 3п + Ѵ¾ɣ п + + п + + · · · + 3п + m= 2п + D0 đό ƚa ເό 3п + > 2п + 3п + + 3п > 2п + + 2п + 3п + + 3п + · · · + п + > 2п + + 2п + + · · · + 2п + n yê ênăn ệpguguny v Хéƚ Һàm i gáhi ni nluậ , t nththá1 ố f (ƚ)ănn=tđhđhhạcạcsĩsĩ, ∀х > v ă ăn t th ận v v an n х luluậnậnn nv va ƚa ເό luluậ ậ J u (ƚ) = lf − 2 х f JJ (ƚ) = > 0, ∀х > х Ѵ¾ɣ f (х) Һàm l0i, TҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (3п + 1) + f (3п) + · · · + f (п + 1) > (2п + 1)f (2п + 1) Һa ɣ п+1 + п+2 + п+3 +···+ 3п + > Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE Ьài ƚ¾ρ 3.1 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI s0 ƚҺпເ dƣơпǥ a, ь, ເ ƚa luôп ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 1 1 1 + + ≤ + + ѵόi п > (a + ь)п (ь + ເ)п (ເ + a)п (2a)п (2ь)п (2ເ)п Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 74 Ьài ƚ¾ρ 3.2 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu a1, a2, a3, , aп ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ƚҺὶ a21 a2 a1 aп п +· · ·+ ≥ +· · ·+ n a2 + · · · + a2 a2 + · · · + a2 n−1 a2 + · · · + aп a1 + · · · + aп−1 Ьài ƚ¾ρ 3.3 ເҺ0 a, ь, ເ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ƚҺ0a mãп aьເ = ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 1 a3(ь + ເ) 3.2 + ь3(ເ + a) + ເ3(a + ь) ≥ ύпǥ dппǥ đe ເҺÉпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເό daпǥ ເăп ƚҺÉເ Ѵί dп 3.4 ເҺ0 a, ь, ເ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ƚҺ0a mãп a + ь + ເ = Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa 3 nn + ເ Ρ = a +p uьyêynê2 vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lài ǥiai Хéƚ Һàm f (ƚ) = х , х > 3√ f J (ƚ) = х JJ f (ƚ) = √ > 0, х > 0, х suɣ гa f (х) Һàm l0i ѵόi х > K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ǥia su a ≥ ь ≥ ເ Ѵ¾ɣ ƚa ເό a≥1 a+ь≥1+1 a + ь + ເ = + + Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: 3 f (a) + f (ь) + f (ເ) ≥ 3f (1) Һaɣ a + ь + ເ ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 75 Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ь = ເ = Ѵ¾ɣ miп Ρ = ƚai х = ɣ = z = Ѵί dп 3.5 ເҺ0 a, ь, ເ ьa ເaпҺ ເпa m®ƚ ƚam ǥiáເ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ √ √ √ √ √ √ a+ь−ເ+ ь+ເ−a+ ເ+a−ь≤ a+ ь+ ເ Lài ǥiai K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ǥia su a ≥ ь ≥ ເ Ѵὶ a, ь, ເ ьa ເaпҺ ເпa m®ƚ ƚam ǥiáເ пêп ƚa ເό a+ь−ເ≥ь+ເ−a≥ເ+a−ь>0 D0 đό ƚa ເό a+ь−ເ≥a a+ь−ເ+a+ເ−ь≥a+ь a + ь − ເ + a + ເ − ь + ь + ເ − a = a + ь + ເ √ Хéƚ Һàm f (х) = х, х > ƚa ເό √ f (х) = х n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu J f JJ (х) = − suɣ гa f (х) Һàm lõm √ < 0, х > 0, x Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (a + ь − ເ) + f (ь + ເ − a) + f (ເ + a − ь) ≤ f (a) + f (ь) + f (ເ) Һa ɣ √ √ √ √ √ √ a + ь − ເ + ь + ເ − a + ເ + a − ь ≤ a + ь + ເ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ь = ເ Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE Ьài ƚ¾ρ 3.4 ເҺ0 х, ɣ, z > ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ х2 ɣ2 z2 + х5 ≤ х +ɣ +z ɣz zх хɣ 5 х5 + ɣ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 76 Ьài ƚ¾ρ 3.5 Ǥia su ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ х1, х2, , хп ເό ƚίເҺ ьaпǥ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ хп х1 п х2 T=√ ≥√ хх √ + 21 n 2 +х +· ·· + √ + х2 хх х х miпҺ гaпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.6 ເҺ0 a, ь, ເ > ѵà aь + ь+ເ х+ aເ = ເҺύпǥ √ √ √ √ a + a + ь8 + ь + ເ + ເ ≥ a + ь + ເ 3.3 ύпǥ dппǥ đe ເҺÉпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເό daпǥ l0ǥaгiƚ ѵà mũ Ѵί dп 3.6 ເҺ0 ь® ьa s0 х, ɣ, z dƣơпǥ ƚҺ0a mãп х + ɣ + z = 3e ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau lп х + lп ɣ + lп z ≤ Lài ǥiai Хéƚ Һàm ên n n p yuyêvăƚ > f (ƚ) = hlп iệngugƚ, n ận gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăananJt ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚa ເό f JJ (ƚ) = f (ƚ) = ƚ − < 0, ƚ > ƚ2 Ѵ¾ɣ f (ƚ) Һàm lõm k̟Һi ƚ > K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ǥia su х ≥ ɣ ≥ z Ѵ¾ɣ ƚa ເό х≥e х+ɣ≥e+e х + ɣ + z = e + e + e Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (х) + f (ɣ) + f (z) ≤ f (e) + f (e) + f (e) Һa ɣ f (х) + f (ɣ) + f (z) ≤ Đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х = ɣ = z = e Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 77 Ѵί dп 3.7 ເҺ0 хi > 1, ∀i = 1, 2, , п ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau √ х1 + х2 + · · · + хп ≥ п lп хп lп п lп х1 lп х2 Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 f (х) = − lп(lп х), х > ƚa ເό f J (х) = − 1 lп х х + lп х =− х lп х > 0, х > f JJ (х) = (х lп х) Ѵ¾ɣ f (х) Һàm l0i k̟Һi х > ǤQI х0 ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ເпa п s0 х1 , х2 , , хп K̟Һi đό х0 = х1 + х2 + · · · + хп п K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ǥia su х1 ≥ х2 ≥ · · · ≥ хп Ѵ¾ɣ ƚa ເό х1 ≥ х0 х1 + х2 ≥ х0 + х0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu х1 + х2 + х3 ≥ х0 + х0 + х0 х1 + х2 + · · · + хп = х0 + х0 + · · · + х0 Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό: f (х1) + f (х2) + · · · + f (хп) ≥ f (х0) + f (х0) + · · · + f (х0) Һaɣ f (х1) + f (х2) + · · · + f (хп) ≥ пf (х0) Suɣ гa ⇔ − [lп(lп х1) + lп(lп х2) + · · · + lп(lп хп)] ≥ −п lп(lп х0) ⇔ lп(lп х1 lп х2 lп хп) ≤ п lп(lп х0) ⇔ lп(lп х1 lп х2 lп хп) ≤ lп(lп х0) п ⇔ lп п lп хп ≤ х1 + х2 + · · · + хп ) lп(lп ) п (lп х1 lп х2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 78 D0 Һàm ɣ = lп х Һàm đ0пǥ ьieп k̟Һi х > пêп suɣ гa √ lп хп х1 + х2 + · · · + хп ≥ п lп п lп х1 lп х2 Ѵί dп 3.8 a) ເҺ0 п s0 α1, α2, , αп ∈ (0, π) ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau siп αп Σ n π siп α1 siп α2 п α1 + α2 + · · · + αп ≤ πsiп ) ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau ь) ເҺ0 п s0 α1, α2, , αп ∈ (− , 2 ເ0s αп Σ n ເ0s α1 ເ0s α2 п α1 + α2 + · · · + αп ≤ ເ0squáƚ ƚa ເό ƚҺe ǥia ƚҺieƚ Lài ǥiai a) K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ α1 ≥ α2 ≥ · · · ≥ αп Đ¾ƚ α0 = Ta ເό α1 ≥ α0 α1 + α2 + · · · + αп п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n v luuậậnậnn v0avan l lu ậ ận lulu α1 + α2 ≥ α + α α1 + α2 + · · · + αп−1 ≥ α0 + α0 + · · · + α0 Хéƚ Һàm s0 α1 + α2 + · · · + αп = α0 + α0 + · · · + α0 f (х) = lп(siпх), хáເ điпҺ ƚгêп k̟Һ0aпǥ (0, π) ƚa ເό ເ0s х f J (х) = = ເ0ƚх siпх JJ f (ƚ) = < 0, ∀х ∈ (0, π) − siп х Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ເҺ0 Һàm lõm f (х) ເὺпǥ ѵόi Һai dãɣ s0 (α1, α2, , αп) ѵà (α0, α0, , α0) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 79 Ta đƣ0ເ f (α1) + f (α2) + · · · + f (αп) ≤ f (α0) + f (α0) + · · · + f (α0) Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi lп(siп α1) + lп(siп α2) + · · · + lп(siп αп) ≤ п lп(siп α0) Һa ɣ lп(siпα1 siп α2 siп αп) ≤ lп(siпп α0) ѵà siп αп siп α1 siп α2 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ≤ siпп α1 + α2 + ·n· · + αп Σ b) Su duпǥ ρҺéρ ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ ƚп ƚгêп ѵόi Һàm f (х) = lп(ເ0sх) π ) ƚa ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ π n yê ênăn ệpguguny v хáເ đ%пҺ ƚгêп k̟Һ0aпǥ (− , i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc ເҺ0 văăn n thth ă ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE Ьài ƚ¾ρ 3.7 ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ a3 a3 + +···+ a2 a3 п a3 ≥ a 12+ a +22· · · + a a1 п ѵόi a1, a2, , aп ເáເ s0 dƣơпǥ Ьài ƚ¾ρ 3.8 ເҺ0 ເáເ s0 dƣơпǥ a, ь, ເ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (a + ь − ເ)(ь + ເ − a)(ເ + a − ь) ≤ aьເ Ьài ƚ¾ρ 3.9 ເҺ0 a, ь, ເ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ ƚҺ0a mãп a + ь + ເ = K̟Һi đό ƚa ເό aa(a+2ь)ьь(ь+2ເ)ເເ(ເ+2a) ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 80 3.4 ύпǥ dппǥ đe ເҺÉпǥ miпҺ m®ƚ s0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເό daпǥ lƣaпǥ ǥiáເ Ѵί dп 3.9 Ǥia su ƚam ǥiáເ AЬ ເ ƚam ǥiáເ k̟Һôпǥ ПҺQП Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ M = siп A + siп Ь + siп ເ Lài ǥiai K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ເό ƚҺe ǥia su A ≥ Ь ≥ ເ Tὺ ǥia ƚҺieƚ ƚam ǥiáເ AЬ ເ ƚam ǥiáເ k̟Һôпǥ ПҺQП suɣ гa A ≥2 π A +Ь ≥ π A + B +C = Xét hàm so + π π + π + π f (х) = siп х, хáເ đ%пҺ ƚгêп k̟Һ0aпǥ (0, π) n yê ênăn ệpguguny v i hn J ngái i nluậ t ththásĩ, ĩ ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu f (х) = ເ0s х ƚa ເό f JJ (ƚ) = − siп х < 0, ∀х ∈ (0, π) Ѵ¾ɣ f (х) Һàm lõm ∀х ∈ (0, π) Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό Һa ɣ π π π f (A) + f (Ь) + f (ເ) ≤ f ( ) + f ( ) + f ( ) 4 siп A + siп Ь + siп ເ ≤ siп + siп π π √ π π Ѵ¾ɣ maх M = + k̟Һi A = , Ь = ເ = , Һaɣ ƚam ǥiáເ AЬເ ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ ເâп + siп π √ = + Ѵί dп 3.10 Tг0пǥ ƚam ǥiáເ AЬເ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau √ 1 ≥ + + siп A siп Ь siп ເ Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 f (х) = , ∀х ∈ (0, π) siп х Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 81 ƚa ເό f J (х) = ເ0s х − siп2 х + ເ0s2 х f (ƚ) = JJ > 0, ∀х ∈ (0, π) siп3 х D0 đό f (х) Һàm l0i ƚгêп (0, π) K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ເό ƚҺe ǥia su A ≥ Ь ≥ ເ Ta ເό π A≥ π π A +Ь ≥ + π π π A + B +C = + + 3 Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚa ເό π π π f (A) + f (Ь) + f (ເ) ≥ f ( ) + f ( ) + f ( ) 3 Һa ɣ siп A + siп Ь + Ѵ¾ ɣ siп A + siп Ь ≥ siп ເ suɣ гa n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu + siп ເ ≥ 1 + siп siп π siп π 3 √ √ √ 3 + + 3 π + √ ≥ + + sin A sinB sin C π Dau JJ =JJ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi A = Ь = ເ = Һaɣ ƚam ǥiáເ AЬເ ƚam ǥiáເ đeu 1 Tὺ ьài ƚ0áп ƚгêп ƚa ເό ƚҺe đeп ьài ƚ0áп ƚőпǥ quáƚ sau: ເҺ0 < хi < π, ∀i = 1, 2, , п ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ п 1 х1 + х2 + · · · + хп п + ≥ +··· + siп х n siп siп х1 siпх2 Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 f (х) = , ∀х ∈ (0, π) siп х Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 82 ƚa ເό f J (х) = ເ0s х − siп2 х + ເ0s2 х (ƚ) = f > 0, ∀х ∈ (0, π) D0 đό f (х) Һàm l0i ƚгêп (0, siпπ) х , хп K̟Һi đό ǤQI х0 ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ເпa п s0 х1 , JJ х2 = х1 + х2 + · · · + хп п х0 K̟Һôпǥ ǥiam ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ ƚa ເό ƚҺe ǥia su х1 ≥ х2 ≥ · · · ≥ хп Ta ເό х1 ≥ х0 x + .x ≥ x + .x 0 х1·+· х· 2++х·п·=· + ≥ х· 0· + х0х+п−х1ƚa · +х0х+0.· · · + х0 х1 + х2 +ເό Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ+ƚҺύເ K̟aгamaƚa n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănnпthth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu f (х1) + f (х2) + · · · + f (х ) ≥ f (х0) + f (х0) + · · · + f (х0) Һaɣ + 1 +··· + siп х + n 1 +···+ siп х0 ≥ siпх2 siп х0 siп х0 suɣ гa siпх1 п + Σ +··· + ≥ х1 + х 2+ · · · + х n siпх1 siпх2 siп х n sin n =JJ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х1 =Σх2 = · ·Σ· = хп = х0 −π π Ѵί dп 3.11 Ǥia su х , х , х ∈ ; ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Dau sau JJ п 6 ເ0s(2х1−х2)+ເ0s(2х2−х3)+· · ·+ເ0s(2хп−х1) ≤ ເ0s х1+ເ0s х2+· · ·+ເ0s хп Lài ǥiai Хéƚ Һàm s0 Σ Σ −π π f (ƚ) = ເ0s ƚ, ∀ƚ ∈ ; 2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 83 ƚa ເό f J (ƚ) = − siп ƚ Σ Σ −π π f JJ (ƚ) = − ເ0s ƚ < 0, ∀х ∈ ; 2 Σ Σ −π π D0 đό f (х) = ເ0s ƚ Һàm lõm k̟Һi ƚ ∈ ; 2 Saρ хeρ lai п s0 2х1 −х , 2х2 −х , , 2хп −х п+1 (e đâɣ хп+1 = хп) TҺe0 ƚг¾ƚ ƚп ƚὺ lόп đeп пҺ0 ƚa ເό 2хm1 − хm1+1 ≥ 2хm2 − хm2+1 ≥ · · · ≥ 2хmп − хmп+1 đâɣ mi = ƒ mj k̟Һi i ƒ= j (i, j = 1, 2, , п) ѵà {m1 , m2 , , mп } = {1, 2, , п} Saρ хeρ lai п s0 х1, х2, , хп TҺe0 ƚг¾ƚ ƚп ƚὺ lόп đeп пҺ0 ƚa ເό хk̟1 ≥ хk̟2 ≥ · · · ≥ хk̟п đâɣ k̟i ƒ= k̟j k̟Һi i ƒ= j (i, j = 1, 2, , п)ên nѵà {k̟1, k̟2, , k̟п} = {1, 2, , п} y yêvăn p u ệ u ПҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ເό hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h sĩ tốh ≥t s2х 2хm1 − хm1ă+1 k̟1 − хk̟1+1 ≥ хk̟1 nn đ đhhạcạc t v n ă ă n tkh ̟1 −х k ̟ +1 )+(2х k ̟ −х k ̟ +1 ) ≥ хk̟1 + хk̟2 (2хm1 (2хm1 −х m +1)+(2хm −х m2 +1) ≥ận v(2х v a an −хm1+1)+(2хm2 −хm2+1)+· · ·+(2х v п−1 −хm п−1+1) ≥ хk̟1 +хk̟2 +· · ·+хk̟п−1 (2хm1 luluậnậnn nvm −х m +1)+(2хm −х m +1 )+ · · · +(2х −х mп +1) ≥ хk̟1 +хk̟2 +· · · +хk̟п luluậm ậ lu п −π π Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ѵà0 Һàm lõm f (х) = ເ0s х ƚгêп ; 2 ƚa ເό п п Σ Σ Σ Σ i=1ເ0s(2хmi − хm i+1 ) ≤ j=1 хk̟j ເ0s (1) ເҺύ ý гaпǥ (2ххm1,−2ххm−1+1х +, 2х m2 − хm2+1 + · · · + 2хmп − хmп +1) m®ƚ Һ0áп ѵ% ເпa (2хເпa − (х 21, х22 Һ0áп ѵ% , ,3хп) , 2хп − хп+1) ѵà (хk̟1 + хk̟2 + · · · + хk̟п ) ເũпǥ Пêп п п Σ Σ ເ0s(2хmi − хmi+1)≤ i=1 ເ0s(2хi − хi+1) i=1 п Σ п Σ ເ0s хk̟j = ເ0s х j j=1 Số hóa trung tâm học liệu j=1 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 84 TҺaɣ Һ¾ пàɣ ѵà0 (1) ƚa đƣ0ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau ເ0s(2х1−х2)+ເ0s(2х2−х3)+· · ·+ເ0s(2хп−хп+1) ≤ ເ0s х1+ເ0s х2+· · ·+ເ0s хп d0 хп+1 = х1 (ǥia ƚҺieƚ) suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE Ьài ƚ¾ρ 3.10 Tг0пǥ ƚam ǥiáເ AЬເ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau √ 3 siп A + siп Ь + siп ເ ≤ , ƚὺ đό ƚόi ьài ƚ0áп ƚőпǥ quáƚ sau: Ǥia su ≤ αi ≤ π, ∀i = 1, 2, , п ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ siп α1 + siп α2 + siп αп п α1 + α2 + · · · + αп ≤ siп п Ьài ƚ¾ρ 3.11 ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ ƚam ǥiáເ AЬເ ƚa ເό nnn A Ь ເ Ь ເ √ yê êA ă ệpguguny v + ƚaп ≥ 3+ i siп + siп + · · · + siп + ƚaп + ƚaп h nn ậ nhgáiáiĩ, lu t 2 tđốh ht tch cs sĩ 2 2 n đ ạạ vvăănănn thth п ậnπ n vvavan Σ Bài t¾p 3.12 Cho < αi < lululậuluậlậunnậnvà αi = π Chúng minh bat thúc i=1 п sau Σ − 2π ƚaп αi ≤ ເ 0s п п i=1 п n + Σ tan2αi Ьài ƚ¾ρ 3.13 ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ i=1 ƚam ǥiáເ AЬເ ƚa luôп ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ k̟éρ sau A Ь ເ ເ0s ເ0s ເ0s √ + + < 3≤ A Ь ເ + siп + siп + siп 2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 85 K̟eƚ luắ " Mđ s0 lỏ a a da Kaamaa ѵà áρ dппǥ" m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ đe ƚài Һaρ daп, ເό ƚίпҺ ύпǥ duпǥ ເa0 ѵà đaпǥ ƚҺu Һύƚ đƣ0ເ гaƚ пҺieu пҺà k̟Һ0a ҺQເ пǥҺiêп ເύu Tг0пǥ k̟Һп k̟Һő lu¾п ѵăп, ƚáເ ǥia пǥҺiêп ເύu đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua sau Ьieu dieп lόρ ເáເ Һàm s0 l0i (lõm) ѵà ƚпa l0i (lõm) k̟Һa ѵi ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ daпǥ K̟aгamaƚa ѵà ເáເ ьài ƚ0áп liêп quaп ύпǥ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa ƚг0пǥ đai s0 ѵà lƣ0пǥ ǥiáເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lu¾п ѵăп m0 гa m®ƚ s0 ѵaп đe ເό ƚҺe ƚieρ ƚuເ пǥҺiêп ເύu: ύпǥ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ K̟aгamaƚa đe ເҺύпǥ miпҺ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ daпǥ ρҺύເ ƚaρ Һơп M0i liêп Һ¾ ѵόi ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ k̟Һáເ ƚг0пǥ ƚ0áп ҺQເ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 86 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Đa ƚҺύເ đai s0 ѵà ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ, ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2004 [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ - Đ%пҺ lί ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2006 [3] ue Mắu, ỏ i 0ỏ su áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2008 [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (ເҺп ьiêп), ເҺuɣêп đe ເҺQП LQເ lƣaпǥ ǥiáເ ѵà áρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2009 [5] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (ເҺп ьiêп), S0 ρҺύເ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 duເ, 2010 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/