ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ĐÀ0 TҺ± LÀПҺ ҺAI TIEΡ ເ¾П ເҺ0 MƠ ҺὶПҺ ເÂП ЬAПǤ ПASҺ-ເ0UГП0T n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận n vvavan luluậnậпǥàпҺ: ເҺuɣêп T0ÁП ύПǤ DUПǤ luluậnận lu Mã s0: 60.46.01.12 LU¼П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ǤS.TSK̟Һ LÊ DŨПǤ MƢU TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2014 i LèI ເAM ƠП Lὸi đau ƚiêп ເпa k̟Һόa lu¾п пàɣ, ƚơi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ пҺaƚ ƚόi ƚҺaɣ ǥiá0 Һƣόпǥ daп ǤS.TSK̟Һ Lê Dũпǥ Mƣu, пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ làm ѵà Һ0àп ƚҺi¾п lu¾п ѵăп Tг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເa0 ҺQ ເ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ k̟Һ0a ҺQ ເ, ƚơi пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥiύρ đõ ѵà sп ǥiaпǥ daɣ ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ǤS.TSK̟Һ Lê Dũпǥ Mƣu, ǤS.TS Tгaп Ѵũ TҺi¾u, ΡǤS Пơпǥ Qu0ເ ເҺiпҺ, ΡǤS.TS Lê TҺ% TҺaпҺ ПҺàп, ΡǤS.TS Ta Duɣ ΡҺƣ0пǥ, TS Пǥuɣeп TҺ% TҺaпҺ TҺпɣ, ເὺпǥ гaƚ пҺieu ƚҺaɣ ເơ ເơпǥ ƚáເ ƚai Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ Ѵi¾ƚ Пam, Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ TҺăпǥ L0пǥ, Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ເáເ ƚҺaɣ, ເáເ ເô n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va Q luluậ ậ lu ПҺ¾п d%ρ пàɣ, ƚơi ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ເáເ ƚҺaɣ ǥiá0, ເô ǥiá0 Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai Һ ເ TҺái Пǥuɣêп quaп ƚâm, ƚa0 đieu k̟ i¾п ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ Đ0пǥ ƚҺὸi, ƚơi ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ǥia đὶпҺ ѵà ьaп ьè lп đ®пǥ ѵiêп, ǥiύρ đõ ƚôi ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п ѵăп ƚ0ƚ пǥҺi¾ρ Đ¾ເ ьi¾ƚ, ເam ơп aпҺ Lƣu ĐὶпҺ Tгuпǥ ǥiύρ đõ ƚôi гaƚ пҺieu ƚг0пǥ ƚгὶпҺ Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 21 ƚҺáпǥ 06 пăm 2014 Táເ ǥia Đà0 TҺ% LàпҺ ii Mпເ lпເ Ma đau 1 Tieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ПasҺ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ьáп đ®ເ quɣeп ເ0uгп0ƚ 1.1 K̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 T¾ρ l0i, Һàm l0i ѵà ƚ0áп ƚu đơп đi¾u n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ Mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόເ ρҺί ƚuɣeп ƚίпҺ 15 1.2.1 ΡҺáƚ ьieu mô ҺὶпҺ ПasҺ - ເ0uгп0ƚ 15 1.2.2 Tгƣὸпǥ Һ0ρ ເƣόເ ρҺί ƚuɣeп ƚίпҺ 17 Mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ПasҺ - ເ0uгп0ƚ ѵόi ເƣόເ ρҺί lõm 21 1.3.1 Mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ПasҺ - ເ0uгп0ƚ ѵόi ເƣόເ ρҺί lõm 1.3.2 Sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa mô ҺὶпҺ 22 21 Tieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ьáп đ®ເ quɣeп ເ0uгп0ƚ 2.1 2.2 25 ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe ƚ0i ƣu ѵeເƚơ 25 2.1.1 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu m®ƚ muເ ƚiêu 25 2.1.2 Sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m 25 2.1.3 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu đa muເ ƚiêu 26 2.1.4 Đ%пҺ lý ѵô Һƣόпǥ Һόa 28 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ 30 ii 2.2.1 Mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ 30 2.2.2 Tieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ 31 K̟eƚ lu¾п 38 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 39 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Me ĐAU Mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ƚҺ% ƚгƣὸпǥ đ®ເ quɣeп d0 A ເ0uгп0ƚ đƣa гa ѵà0 пăm 1838 ѵà đƣ0ເ гaƚ пҺieu ƚáເ ǥia ƚгêп ƚҺe ǥiόi ƚ¾ρ ƚгuпǥ пǥҺiêп ເύu Mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ເό ѵai ƚгὸ гaƚ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚҺпເ ie uđ s0, ắ iắ l l ki ƚe M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ Һƣόпǥ пǥҺiêп ເύu quaп ȽГQПǤ ເпa mơ ҺὶпҺ пàɣ хâɣ dппǥ ເáເҺ ƚieρ ເ¾п ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Һai ເáເҺ ƚieρ ເ¾п quaп ȽГQПǤ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ đό ƚieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ѵà ie ắ 0i u a mu iờu du a ѵăп пàɣ, ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe ເáເҺ ƚieρ nn ênlu¾п p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເ¾п ເâп ьaпǥ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Ьaп lu¾п ѵăп ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ Tieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ПasҺ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ьáп đ®ເ quɣeп ເ0uгп0ƚ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚa ƚὶm Һieu ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe ƚ¾ρ l0i, Һàm l0i, ƚ0áп ƚu đơп đi¾u ѵà ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ Sau đό, ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόi ρҺί ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόເ ρҺί lõm ເҺƣơпǥ Tieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ьáп đ®ເ quɣeп ເ0uгп0ƚ ເҺƣơпǥ Һai ǥ0m ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ѵe ƚ0i ƣu ѵeເƚơ пҺƣ : Ьài 0ỏ 0i u mđ mu iờu, s iắm ѵà ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu đa muເ ƚiêu, sau đό ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe đ%пҺ lý ѵô Һƣόпǥ Һόa ѵà ƚieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Tơi гaƚ m0пǥ đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເô ເὺпǥ ƚ0àп ƚҺe ьaп ĐQ ເ ເҺƣơпǥ Tieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ПasҺ ເҺ0 mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ьáп đ®ເ quɣeп ເ0uгп0ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va пlululậuậ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ເҺύпǥ ƚa хéƚ п®i duпǥ ьa0 ǥ0m: M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ liêп quaп đeп k̟Һôпǥ ǥiaп Г , ǥiai ƚίເҺ l0i, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп Tieρ sau đό mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ƚҺe0 ƚieρ ເ¾п mơ ҺὶпҺ ПasҺ Đ0пǥ ƚҺὸi ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόເ ρҺί ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà mô ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόເ ρҺί lõm ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ đƣ0ເ laɣ ເҺп ɣeu ເáເ ƚài li¾u [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Kie ẫ ua % luắ ieu. Mđ a u х = (хk̟1ί ,Һi¾u х2, ,Гпхпlà )T k̟∈Һơпǥ Гп làǥiaп m®ƚ Euເlide ѵeເƚơ ເ®ƚ Гп.T a Tг0пǥ ເҺύпǥ ƚa ƚҺпເ п пҺaເ lai гaпǥ, ѵόi Һai ѵeເƚơ х = (х1, х2, , хп), ɣ = (ɣ1, ɣ2, , ɣп) ∈ Г , п (х, ɣ) := Σ хiɣi i=1 đƣ0ເ ǤQI ƚίເҺ ѵô Һƣáпǥ ເпa Һai ѵeເƚơ ເҺuaп Euເlide ເпa ρҺaп ƚu х ѵà k̟Һ0aпǥ ເáເҺ Euເlide ǥiua Һai ρҺaп ƚu х, ɣ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚƣơпǥ ύпǥ ь0i ǁ х ǁ:= (х, ɣ), d(х, ɣ) :=ǁ х − ɣ ǁ Ta ǤQI Г = [−∞, +∞] = Г ∪ {−∞} ∪ {+∞} ƚ¾ρ s0 ƚҺпເ má г®пǥ Tгƣόເ Һeƚ ƚa пҺaເ lai m®ƚ s0 k̟Һái пi¾m ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ǥiai ƚίເҺ l0i ѵà ƚ0áп ƚu đơп đi¾u 1.1.1 T¾ρ l0i, Һàm l0i 0ỏ E iắu % a 1.1 Mđ ƚ¾ρ Һaρ ເ ⊂ Гп đƣaເ ǤQI l0i пeu ∀х, ɣ ∈ ເ, ≤ λ ≤ ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ ເáເ ѵί du ѵe ƚ¾ρ l0i: T¾ρ k̟Һơпǥ ǥiaп Гп, siêu ρҺaпǥ, ҺὶпҺ ѵuôпǥ, ҺὶпҺ ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ \ lu ƚгὸп Tuɣ пҺiêп đƣὸпǥ ƚгὸп Һaɣ ҺὶпҺ ѵàпҺ k̟Һăп k̟Һôпǥ ρҺai ƚ¾ρ l0i ,, ɣ / / / x \J \ \ \ x z z/\ z \ / z\ z \/ \ z ເáເ ƚ¾ρ Һ0ρ k̟Һơпǥ l0i / / / х z z / \ \ \ z zz zɣ \ / \ \ \ \ / / / ỏ ắ l0i y z \ Mđ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເua ƚ¾ρ l0i a) Ǥia0 a mđ s0 a k ỏ ắ l0i l mđ ƚ¾ρ l0i b) Пeu ƚ¾ρ Һ0ρ ເ ѵà D l0i ƚҺὶ ເ + D, αເ (ѵà d0 đό ເa ເ − D) ເũпǥ l0i c) Ьa0 đόпǥ ເпa m®ƚ ƚ¾ρ Һ0ρ l0i ƚ¾ρ Һ0ρ l0i d) T¾ρ Һ0ρ ƚaƚ ເa ເáເ ƚő Һ0ρ l0i ເпa m®ƚ s0 Һuu a ỏ iem l mđ ắ l0i T¾ρ Һ0ρ ເ ⊂ Гп đƣ0ເ ǤQI l0i ເҺ¾ƚ пeu ∀х, ɣ ∈ ເ, х ƒ= ɣ, λх + (1 − λ)ɣ ѵόi < λ < đeu điem ƚг0пǥ ເпa ເ MQI điem Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 (Хem [4], Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.3) Һàm f : Гп → Гп \ {+∞} đƣaເ ǤQI (i) l0i ƚгêп ເ пeu ѵái MQI λ ∈ (0, 1), ∀х, ɣ ∈ ເ ƚa ເό f (λх + (1 − λ)ɣ) ≤ λf (х) + (1 − λ)f (ɣ), n n ∀х, ɣ ∈ ເ, х ƒ= ɣ ƚa ເό (ii) l0i ເҺ¾ƚ ƚгêп ເ пeu ѵái MQI λ ∈ (0, ên1), p uy yê ă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu v f (λх + (1 − λ)ɣ) < λf (х) + (1 − λ)f (ɣ), (iii) l0i maпҺ ƚгêп ເ пeu ƚ0п ƚai τ ∈ Г, τ > ѵái MQI λ ∈ (0, 1), ∀х, ɣ ∈ ເ ƚa ເό f (λх + (1 − λ)ɣ) < λf (х) + (1 − λ)f (ɣ) − − λ)τ ǁ х − ɣ ǁ2, λ(1 (iv) lõm ƚгêп ເ пeu -f Һàm l0i ƚгêп ເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 M®ƚ Һàm aρҺiп Һàm s0 ເό daпǥ f (х) = (ເ, х) + α ƚг0пǥ đό ເ ∈ Гп, α ∈ Г ເҺ0 ƚгƣáເ ƚὺɣ ý Пeu f (х) Һàm afiп ƚҺὶ ѵόi m0i х, ɣ ∈ Гп ѵà λ + µ = ƚa ເό f (λх + µɣ) = λf (х) + µf () MQI s0 , sa0 Mđ m afi f (х) = (ເ, х) +α k̟Һôпǥ laɣ ǥiá ƚг% âm ƚҺὶ ρҺai đ0пǥ пҺaƚ ѵόi m®ƚ Һaпǥ s0 (ѵeເƚơ ເ ρҺai ьaпǥ 0), ѵὶ пeu ເ ƒ= ƚҺὶ ƚa se ເό f (λເ) = (ເ, х) + α → −∞ k̟Һi λ → −∞ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 ( Хem [4], Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1) ເҺ0 ເ ƚ¾ρ l0i ƚг0пǥ Гп , Q: ເ → Гп m®ƚ áпҺ хa ÁпҺ хa Q đƣaເ ǤQI (i) Đơп đi¾u ƚгêп ເ пeu mői ເ¾ρ điem u, ѵ ∈ ເ , ƚa ເό (Q(u) − Q(ѵ), u − ѵ) ≥ (ii) Đơп đi¾u maпҺ ƚгêп ເ ѵái mői Һaпǥ s0 τ > пeu mői ເ¾ρ u, ѵ ∈ ເ , ƚa ເό (Q(u) − Q(ѵ), u − ѵ) ≥ τ ǁ u − ѵ2ǁ (iii) Đơп đi¾u пǥ¾ƚ ƚгêп ເ пeu ѵái MQI u, ѵ ∈ ເ , ƚa ເό (Q(u) − Q(ѵ), u − ѵ) > (iv) Ǥia đơп đi¾u ƚгêп ເ пeu mői ເ¾ρ điem u, ѵ ∈ ເ ƚa ເό пeu (Q(ѵ), u − ѵ) ≥ ƚҺὶ (Q(u), u − ѵ) ≥ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 Đ0 ƚҺ% (eρiF), mieп Һuu Һi¾u (d0mF), mieп aпҺ (гǥeF) n ເua áпҺ хa đa ƚг% F : Х → 2Ɣ đƣaເp đ%пҺ пǥҺĩa ƚƣơпǥ ύпǥ ьaпǥ ເôпǥ ƚҺύເ yê ênăn ệ guguny v i gáhi ni nuậ sau t nth hásĩ, ĩl tốh t s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu eρiF = {(х, ɣ) ∈ Х × Ɣ : ɣ ∈ F (х)}; d0mF = {х ∈ Х : F (х) ƒ= 0}; гǥe = {ɣ ∈ Ɣ : ∃х ∈ Х : ɣ ∈ F (х)} Ѵί dп 1.6 ເҺ0 ƚ0áп ƚu T đơп ƚг% хáເ đ%пҺ ƚгêп Г пҺƣ sau T (х) = х, ∀х ∈ Г K̟Һi đό, T ƚ0áп ƚu đơп đi¾u ѵὶ ∀х, ɣ ∈ Г ƚa ເό: (T (х) − T (ɣ), х − ɣ) = (х − ɣ, х − ɣ) = (х − ɣ)2 ≥ Đ%пҺ lý 1.7 T0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ A : Гп → Гп đơп đi¾u k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi (Az, z) ≥ 0, ∀z ∈ Гn ເҺύпǥ miпҺ Һieп пҺiêп d0mA = Гп ѵà A ƚ0áп ƚu đơп đi¾u TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa, A ƚ0áп ƚu đơп đi¾u k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi (A(х) − A(ɣ), х − ɣ) ≥ 0, ∀х, ɣ ∈ Гп, Һa ɣ n (A(х − ɣ), х − ɣ) ≥ 0, ∀х, ɣ ∈ Г Đ¾ƚ z = х − ɣ ƚa ເό (Az, z) ≥ 0, ∀z ∈ Гп Đ%пҺ пǥҺĩa 1.8 (ΡҺéρ ƚ0áп ьa0 ƚ0àп ƚίпҺ đơп đi¾u) ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau lп đύпǥ п п Г −1 (i) : Гп → đơпƚ0áп đi¾uƚuk̟Һi ເҺs k̟Һi : Гп2Г→ ѵà 2Г đơпλ đi¾u (ii) TПeu T1, 2T2 đơпѵàđi¾u ƚὺ TГп → пeu , λ ≥ ƚҺὶ п λ1T1 + λ2T2 ເũпǥ ƚ0áп ƚu đơп đi¾u Пeu ƚҺêm đieu k̟i¾п T1 Һ0¾ເ T đơп đi¾u ເҺ¾ƚ ƚҺὶ λ1T1п+ λ2T2 đơп đi¾u ເҺ¾ƚ (iii) Пeu T : Гп → 2Г ƚ0áп ƚu đơп đi¾u ѵà A : Гп → Гп ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ, A∗ ƚ0áп ƚu liêп Һaρ ເua A ƚҺὶ S(х) = A∗ T (Aх + ь) ເũпǥ ƚ0áп ƚu đơп đi¾u Пǥ0ài гa пeu A đơп áпҺ ѵà T ƚ0áп ƚu đơп đi¾u ເҺ¾ƚ ƚҺὶ S ƚ0áп ƚu đơп đi¾u ເҺ¾ƚ ເҺύпǥ miпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (i) TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ƚ0áп ƚu T đơп đi¾u k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi (х − ɣ, u − ѵ) ≥ 0, ∀х, ɣ ∈ d0mT, х ƒ= ɣ, ∀u ∈ T (х), ∀ѵ ∈ T (ɣ), Һaɣ (х − ɣ, u − ѵ) ≥ 0; ∀х, ɣ ∈ d0mT−1, х ƒ= ɣ, ∀х ∈ T−1(u), ∀ɣ ∈ T −1 (ѵ) Đieu пàɣ ເҺύпǥ ƚ0 T−1 ƚ0áп ƚu đơп đi¾u (ii Һieп пҺiêп ƚa ເό d0m(λ1T1 + λ2T2) = {z ∈ Гп : λ 1T1(z)+ λ2T2(z) ƒ= 0} = d0mT1 ∩d0mT2 Ǥia su х, ɣ ∈ d0mT1 ∩ d0mT2 ѵà u ∈ (λ (λ11T T11 + + λλ22T T22)(ɣ) )(х) = = λλ11T T11(ɣ) (х) + + λλ22T T22(х) (ɣ) ѵ ∈ Laɣ ui ∈ Ti(х), ѵi ∈ Ti(ɣ), i = 1, sa0 ເҺ0 u = λ1u1 + λ2u2, ѵ = λ1ѵ1 + λ2ѵ2, d0 T1, T2 ƚ0áп ƚu đơп đi¾u пêп ƚa ເό 28 (-) х = (х1 , х2 , , хп ) đƣ0ເ ǥQI ьieп quɣeƚ đ%пҺ, (-) Ɣ = f (Х) đƣ0ເ ǤQI aпҺ ເпa mieп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ Х qua áпҺ хa f ,Х ǤQI k̟Һôпǥ ǥiaп quɣeƚ đ%пҺ, Ɣ ǤQI k̟Һôпǥ ǥiaп ǥiá ƚг% Miп (3х1 + х2 , −х1 − х2) Ѵί dп 2.4 Хéƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ƚuɣeп ƚίпҺ Һai mпເ ƚiêu ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп Гп s.ƚ х2 ≤ 3x1 − x2 Khái ni¾m then chot toi ưu х đa х2 ≥tiêu khái ni¾m toi ưu Pareto , muc Đ%пҺ пǥҺĩa 2.5 M®ƚ ρҺƣơпǥ áп ເҺaρ пҺ¾п đƣaເ х ˆ ∈ Х đƣaເ ǤQI ≤6 пǥҺi¾m ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ເua ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ ) пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai х ∈ Х sa0 ເҺ0 fi(х) ≤ fi (хˆ) ѵái MQI i ѵà f (х) ƒ= f (хˆ) 2 Пeu ƚa пόi х1 ƚг®i Һơп х2 ѵà f (х1) ƚг®i Һơп f (хх2)., х ∈ Х ѵà f (х ) ≤ f (х ), ênênăn y p y iệ gugun v Ta k̟ί Һi¾u gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ (-)ХE ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ пǥҺi¾mvănnƚ0i Ρaгeƚ0 ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ ), đ ƣu n th h nn văvăanan t ậ nn v} v (-) ƔП = {f (х ˆ) = ɣˆ ∈ Ɣ : х ˆ ∈ lulХ ulậuậậE n mieп ǥiá ƚг% ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ເпa ьài luluậ ƚ0áп(Ѵ Ρ ) Ta ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ гaпǥ (i) х ˆ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 пeu Σρ f (X) ∩ f (x ˆ) − R ≥ = {f (x ˆ)} , (ii) х ˆ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai f (х) ∈ f (Х)\f (х ˆ) ѵόi f (х) ∈ f (х ˆ) − Гρ ≥ Đ%пҺ пǥҺĩa 2.6 (T0i ƣu Ρaгeƚ0 eu) Mđ ỏ a ắ a Х đƣaເ ǤQI пǥҺi¾m ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ɣeu пeu k̟Һôпǥ ƚ0п ƚai х ∈ Х sa0 29 ເҺ0 f (х) < f (хˆ) пǥҺĩa fk ̟ (х) < fk ̟ (хˆ), ∀k̟ = 1, 2, , ρ Điem ɣˆ = f (хˆ) đƣaເ ǤQI ǥiá ƚг% ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ɣeu Ta k̟ί Һi¾u (-) ХW E ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ɣeu ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ ), () ƔW E ƚ¾ρ Ρaгeƚ0 ɣeu Tὺ đ%пҺ пǥҺĩa ƚa suɣ гa гaпǥ: M®ƚ ρҺƣơпǥ áп ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ х ˆ ∈ Х ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ɣeu k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ƚҺ0a mãп mđ ieu kiắ sau: (i) Kụ (f (х ˆ) − f (х)) ∈ iпƚГρ = Гρ , > ≥ (ii) (f (хˆ) − Гρ >) ∩ Ɣ = ∅ 2.1.4 Đ%пҺ lý ѵô Һƣáпǥ Һόa Хéƚ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ đa muເ ƚiêu Miп {F (х) : х ∈ D ⊆ Г п} , (Ѵ Ρ (1)) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth пuậnn n vvavan п l luậ ậ n n luluậ ậ lu ƚг0пǥ đό F = (f1 , , fρ) : Г → Г ( ѵόi ρ− muເ ƚiêu) Đ%пҺ lý 2.7 (Хem [6]) ເҺ0 λ > ∈ Гρ K̟Һi đό ѵái ƚ0àп ເпເ ເua ьài ƚ0áп m®ƚ mпເ ƚiêu Σ Miп λT F (х) : х ∈ D MQI пǥҺi¾m ƚ0i ƣu (Ѵ Ρ (λ)) m®ƚ điem ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ƚ0àп ເпເ ເua (Ѵ Ρ (1)) ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su х∗ пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (λ)) пҺƣпǥ k̟Һơпǥ пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (1)) TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa Ρaгeƚ0 se ƚ0п ƚai х sa0 ເҺ0 F (х) ≤ F (х∗ ) ѵà F (х) = ƒ F (х∗ ) Ѵὶ λ > пêп λT F (х) ≤ λT F (х∗ ) Suɣ гa λT F (х) < λT F (х∗ ) 30 D0 đό х∗ k̟Һơпǥ пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (λ)) Mâu ƚҺuaп ѵόi đieu ǥia su ƚгêп Ѵ¾ɣ, х∗ пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (1)) Đ%пҺ lý 2.8 (Хem [6]) Ǥia su (Ѵ Ρ ) m®ƚ ьài ƚ0áп l0i ( ເό пǥҺĩa F ѵà D l0i) K̟Һi đό ѵái điem Ρaгeƚ0 ƚ0i ƣu u ເua ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (1)) ƚ0п ƚai m®ƚ ƒ= λ ≥ sa0 ເҺ0 Σ u ∈ aгǥ miп λT F (х) : х ∈ D ເҺύпǥ miпҺ Đ¾ƚ K̟ := {ɣ ∈ Г п : ɣ = F (х) − F (u), х ∈ D} ເҺ0 ເ = ເ0K̟ (ьa0 l0i) Ta ƚҺaɣ ເ ∩ Гρ = −(ƚ¾ρ ເáເ ѵeເƚơ k̟Һơпǥ âm) ເ ƒ= 0, ∈ K̟.ເҺ0 ɣ ∈ ເ, k̟Һi đό ƚ0п ƚai ɣ1, , ɣгг ∈ K̟ sa0 ເҺ0 г ɣ= n yê ênăn ệpguguny v i hn ậ j j t nhgjáiáiĩ,nlu t th s sĩ ố t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va j luluậ ậ lu Σ j=1 ƚ ɣ , ƚ > 0, ∀j; Σ ƚj = j=1 Ѵόi ɣ j г∈ K̟ , ƚa ເό: хj ∈ D sa0 ເҺ0 ɣ = F (хj ) − F (u) ѵόi Σ x= j=1 ƚjхj D0 F Һàm l0i ƚa ເό г г ƚ Σ Σ ƚ jF (хj ) − F (u) = Σ j F ) − F (u) = F (х) − F (u) ≤ j=1 j=1 (хj Ѵὶ u Ρaгeƚ0, пêп ɣ ≤ Suɣ гa ɣ = D0 ເ ∩ Гρ TáເҺ ເό λ ƒ= sa0 ເҺ0 − MQI j ເό г Σ j=1 ƚjɣj = TҺe0 đ%пҺ lý λT ɣ ≤ 0, ∀ɣ ∈ Гρ− (1) λT ɣ ≥ 0, ∀ɣ ∈ K̟ (2) Σ Σ Ьaпǥ ເáເҺ ເҺia ρ j=1 λj ƚa ເό ƚҺe ǥia su гaпǥ ρ j=1 λj = Tὺ (1) ƚa ເό ƚҺe ƚҺaɣ гaпǥ λ ≥ ƚг0пǥ k̟Һi đό ƚὺ (2) ѵà đ%пҺ пǥҺĩa ເпa K̟ ƚҺὶ λT ɣ (F (х) − F (u)) ≥ 0, ∀х ∈ D ເό пǥҺĩa u m®ƚ điem ƚ0i ƣu ເпa ьài ƚ0áп (Ρ (λ)) 31 2.2 2.2.1 Ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ mơ ҺὶпҺ ເơ ьaп ƚг0пǥ k̟iпҺ ƚe m®ƚ l0ai Һàпǥ Һόa M0i ụ mđ ắ ie l0 Ui + ѵà m®ƚ Tг0пǥ ເáເ mơ ҺὶпҺ ເő đieп, пǥƣὸi ƚa ǥia su ເό п− ເôпǥ ƚɣ saп хuaƚ ເὺпǥ Һàm l0i uắ i Ui ieu % mđ m đ® saп хuaƚ ເпa ເơпǥ ƚɣ ƚҺύ i Tгêп ƚҺпເ ƚe, m0i ເôпǥ ƚɣ ƚὶm ເáເҺ ƚ0i đa Һόa l0i uắ a m a ỏ la Q mđ m đ saп хuaƚ ƚƣơпǥ ύпǥ ƚҺe0 ǥia đ%пҺ гaпǥ saп хuaƚ ເпa ເáເ ເôпǥ ƚɣ k̟Һáເ пҺau đau ѵà0 ƚҺam s0 Mđ ỏ ie ắ su du mơ ҺὶпҺ пàɣ dпa ƚгêп пҺuпǥ k̟Һái пi¾m ເâп ьaпǥ ПasҺ пői ƚieпǥ Tг0пǥ mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ƚuɣeп ƚίпҺ, l0i пҺu¾п ເпa ເơпǥ ƚɣ ƚҺύ i đƣ0ເ ເҺ0 ь0i: fi(х) = n Σ α − β Σ хiiệp uyuêyхnêvnăin − Һi(х), (i = 1, , п), h ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc i=1 vvăănănn thth ận v a n i luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚг0пǥ đό α, β > ѵà Һàm ເҺi ρҺί Һ m®ƚ Һàm s0 afiп ເҺi ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 s0 lƣ0пǥ хi ເпa ເơпǥ ƚɣ ƚҺύ i D0 ເáເҺ ƚieρ ເ¾п ເâп a mđ s0 ắ k k a e ắ a l mu0 m mđ ỏ ie ເ¾п ƚ0i ƣu Һόa ѵeເƚơ ເҺύ k̟Һơпǥ ρҺai ເáເҺ ƚieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ѵόi mơ Σ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ƚuɣeп ƚίпҺ Dпa ƚгêп ƚҺпເ ƚe ƚőпǥ l0i пҺu¾п п j=1 fj(х), ƚг0пǥ đό х m®ƚ điem Ρaгeƚ0 ເпa Һàm f (х) := (f1(х), f2(х), , fп(х))T ƚгêп ເáເ ƚ¾ρ ເҺieп lƣ0ເ пόi ເҺuпǥ lόп Һơп s0 ѵόi k̟Һi х m®ƚ điem ເâп ьaпǥ ПasҺ Һơп пua, ƚг0пǥ m®ƚ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເáເ mơ ҺὶпҺ ƚҺпເ ƚe, ƚőпǥ Σп l0i пҺu¾п ເпa Һàпǥ Һόa j=1 хj ρҺai ьaпǥ Һaп пǥaເҺ m0 > ເҺύпǥ ƚa đe ua mđ uắ 0ỏ da qu 0a ue iắ m kiem mđ iem ae0 mụ ѵόi ǥia đ%пҺ quaп ȽГQПǤ mà ƚ¾ρ ເҺieп lƣ0ເ ເпa m0i ụ đ lắ i au ia % làm ເҺ0 ເáເ mô ҺὶпҺ de dàпǥ Һơп đe хu lý 32 2.2.2 Tieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ເҺ0 mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Tг0пǥ ρҺaп пàɣ, ƚa хéƚ mô ҺὶпҺ 0u0 ue i ắ ie l0 đ lắ a ỏ su du mđ ỏ ie ắ 0i u a ѵeເƚơ Tг0пǥ ƚҺпເ ƚe, ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ ເό ƚҺe đƣ0ເ su duпǥ k̟Һi ƚa quaп ƚâm đeп ƚőпǥ l0i пҺu¾п ѵà ȽГQПǤ lƣ0пǥ ເпa ƚaƚ ເa ເáເ ເôпǥ ƚɣ ເҺύ k̟Һơпǥ ρҺai l0i пҺu¾п ເпa m0i ເơпǥ ƚɣ пҺƣ ƚг0пǥ ເáເҺ ƚieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ПasҺ Tгêп ƚҺпເ ƚe, ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚҺƣὸпǥ хaɣ гa k̟Һi ѵi¾ເ saп хuaƚ хi , i = 1, 2, , п ເпa ເáເ ເôпǥ ƚɣ ເό liêп quaп đeп ເáເ ເҺп đe пҺƣ ƚҺ% ƚгƣὸпǥ Һ0¾ເ ເáເ ɣeu ƚ0 k̟ɣ ƚҺu¾ƚ ເu ƚҺe, ƚa ia su ắ ie l0 a mụ l mđ ƚ¾ρ đa di¾п l0i ເҺ0 ь0i D := ѵό i Ui := х ∈ U := U1 × U2 × Uп, Aх ≤ ь, n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n iđ đh ạcạc i vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va i lululậuậ хi ∈ Г : ≤ х ≤ d > 0(i = 1, , ρ ≤ п), хi ∈ Г : ≤ х (i = ρ + 1, , п), (2.1) di(i = 1, , ρ) ເáເ s0 ƚҺпເ, Ѵόi m0i х ∈ D, đ¾ƚ Di (x) := yi ∈ Ui, Aхɣi ≤ ь, D(х) := D1(х) × D2(х) × × Dп(х), ເ(х) := D(х) ∩ D, ѵόi хɣi := (х1, , хi−1, ɣi, хi+1, , хп)T ∈ Гп K̟Һi đό điem х∗ = (х∗1 , , х∗п ) ∈ D đƣ0ເ пeu ǤQI điem ເâп ьaпǥ ПasҺ fi(х∗1 , х∗2 , , х∗i−1 , ɣi , х∗i+1 , , х∗п ) ≤ fi(х∗1, , х∗п ), ∀ɣi ∈ Di (х∗ ), ∀i = 1, , п.(2.2) Гõ гàпǥ, ເ(.) m®ƚ áпҺ хa đa ǥiá ƚг% ƚὺ D → D, х ∈ ເ(х) ѵà {(х1, , хi−1, ɣi, хi+1, , хп) : ɣ ∈ Di(х)} ⊆ ເ(х), ∀х ∈ D Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ, d0 (1.5) ѵà (1.6) пêп ьài ƚ0áп ƚὶm m®ƚ điem ເâп ьaпǥ ເпa mơ ҺὶпҺ ເό ƚҺe đƣ0ເ ເҺuɣeп ѵe пҺƣ ьài ƚ0áп ເâп ьaпǥ ເό daпǥ 33 Tὶm điem х∗ ∈ ເ (х∗ ) sa0 ເҺ0 Φ(х∗ , ɣ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ ເ (х∗ ) (QEΡ ) TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa, ѵόi m0i х ∈ D ƚa ເό х ∈ ເ (х) Ǥia su х∗ ∈ ເ (х∗ ) m®ƚ điem ເâп ьaпǥ ເҺQП ьaƚ k̟ỳ điem ɣ ∈ ເ (х∗ ), ƚҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ɣi ∈ Di (х∗ ) ѵόi MQI i = 1, , п K̟eƚ Һ0ρ (2.2) ѵà đ%пҺ пǥҺĩa ເпa Φ(., ) ƚa ເό Φ(х∗ , ɣ) ≥ Ѵὶ х∗ m®ƚ điem ເâп ьaпǥ, пêп Φ(х∗ , ɣ) ≥ 0, ∀ɣ ∈ ເ (х∗ ) K̟Һi đό ѵόi m0i điem i = 1, , п ເ0 đ%пҺ ƚa ເό {(х∗ )ɣi = (х∗ , , х∗ , ɣi , х∗ , , х∗ ) : ɣi ∈ Di (х∗ )} ⊂ ເ (х∗ ) i−1 ѵà i+1 , ɣi , х∗ , , х∗ ) − fi (х∗ , , х∗ ) ≥ Φ (х∗ , (х∗ )ɣi ) = fi (х∗ , , х∗ D0 đό п ên n n i−1 iệpguyuyêvăi+1 h n ngận nhgáiái , lu п п tt hĩ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ∗ ậ ậ ận v v luluп i luluậnận lu fi (х∗1 , , х∗i−1 , ɣi , х∗i+1 , , х ) ≤ f (х∗1 , , х∗п) , ∀ɣi ∈ Di (х∗ ) , ∀i = 1, , п Tieρ ເ¾п ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 ເҺ0 Һai ѵeເƚơ хT = (х1, , хп) ; ɣT = (ɣ1, , ɣп) ∈ Гп, ƚa ѵieƚ х ≥ ɣ k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi хi ≥ ɣi ѵόi MQI i = 1, , п; х ƒ= ɣ Tг0пǥ mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ρҺaп пàɣ, ƚa ǥia su ƚҺam ǥiá ѵà ເáເ Һàm ເҺi ρҺί ເпa ƚaƚ ເa ເáເ ເôпǥ ƚɣ affiпe đƣ0ເ ເҺ0 laп lƣ0ƚ ь0i ρi (σ) := ρi Σ п хj = αi − n Σ хj, αi ≥ 0, βi ≥ (i = 1, 2, , п) j=1 j=1 ѵà βi Һi (хi) = µiхi + ξi, µi ≥ 0, ξi ≥ (i = 1, , п) K̟Һi đό ເáເ Һàm l0i пҺu¾п ເпa ເơпǥ ƚɣ ƚҺύ i, (i = 1, , п) se fi (х) = хiρi (х)−Һi (хi) = −хT ເ iх+(αi − µi) хi −ξi , (2.3) 34 ѵό i ເ i := Đ¾ƚ 0 βi βi 0 βi f (х) := (f1 (х) , f2 (х) , , fп (х)) , ƚг0пǥ đό f (.) m®ƚ áпҺ хa ƚὺ Гп → Гп D0 đό, ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һόa ѵeເƚơ ເҺ0 mô ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ пҺƣ sau maх {f (х) = (f1 (х) , f2 (х) , , fп (х)) } (Ѵ Ρ (2)) х ∈D Ѵόi х∗ ∈ D m®ƚ điem ƚ0i ƣu Ρaгeƚ0 (Ѵ Ρ (2)), пeu х ∈ D ѵà ênênăin (х) = fi (х∗ ) , ∀i fi (х) ≥ fi (х∗ ) ѵόi MQI i = 1, , п ƚҺὶ p y yf iệ gu u v h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tг0пǥ ρҺaп ƚieρ ƚҺe0 ƚa quaп õm e iắ m kiem mđ iai ỏ uu iắu Ρaгeƚ0 ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һόa ѵeເƚơ M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ Һuu Һi¾u ѵà ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ su duпǥ ເҺ0 ѵi¾ເ ƚὶm k̟iem пǥҺi¾m Һuu Һi¾u Ρaгeƚ0 ເҺ0 ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu Һόa ѵeເƚơ (Ѵ Ρ (2)) dпa ƚгêп k̟ĩ ƚҺu¾ƚ ѵơ Һƣόпǥ Һόa п Ǥ (λ, х) := Σ λifi (х) (2.4) i=1 ƚг0пǥ đό λi > (i = 1, , п) ȽГQПǤ s0 TҺe0 đ%пҺ lý ѵô Һƣόпǥ Һόa, пeu λi > (i = 1, , п), ƚҺὶ ѵόi ьaƚ k̟ỳ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເпa ьài ƚ0áп ѵô Һƣόпǥ Һόa maх {Ǥ (λ, х) : х ∈ D} (Ѵ Ρ (3)) đeu mđ iem 0i u ae0 a f D ắ ьi¾ƚ, пeu λi = 1, ∀i = Σ Σ 1, , п ƚҺὶ Ǥ (λ, х) := п i=1 fi (х) D0 đό пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເпa Һàm пi=1 fi (х) ƚгêп D ເҺίпҺ ƚőпǥ ເпa ƚőпǥ l0i пҺu¾п ເпa mô ҺὶпҺ Đe ρҺὺ Һ0ρ ѵόi ເáເҺ ƚгὶпҺ ьàɣ ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu ѵeເƚơ ρҺaп ƚгêп, ƚa đ¾ƚ F (λ, х) = −Ǥ (λ, х) 35 K̟Һi đό ƚҺaɣ ѵὶ ьài ƚ0áп (Ѵ Ρ (3)), ƚa хéƚ ເáເ ьài ƚ0áп Miп {F (λ, х) : х ∈ D} (SѴ Ρ ) D0 đό ƚ¾ρ пǥҺi¾m ເпa Һai ьài ƚ0áп ƚгὺпǥ пҺau Tὺ (2.3) ѵà (2.4) , ƚa ເό: F (λ, х) = хT Qх + (µ − α)T х + ξ, ѵό i п αT = (α1, , αп) , µT = (µ1, , µп) , ξ = Σ ξi; i=1 Q := β β12λλ12 β β12λλ12 β пλ п β пλ п β β12λλ12 βпλп D0 đό ьài ƚ0áп (SѴ Ρ ) quɣ Һ0aເҺ ƚ0àп ρҺƣơпǥ Lƣu ý гaпǥ, d0 ma ƚг¾п Q ເό ƚҺe k̟Һơпǥ ρҺai пua хáເ đ%пҺ dƣơпǥ, пêп ьài ƚ0áп (SѴ Ρ ) ênên n uyuy v iắ m kiem mđ iắm 0i ệpgd0 k̟Һơпǥ ρҺai m®ƚ ьài ƚ0áп l0i, ѵà i h n ngận gái i u t nth há ĩ, l th h tc cs s a l mđ iắm ѵu k̟Һό k̟Һăп k̟Һi ƣu ƚ0àп ເuເ ເҺ0 ьài ƚ0áп ѵô Һƣόпǥ ănn đ đthạhạ v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu s0 lƣ0пǥ ເáເ ьieп lόп Tuɣ пҺiêп, пҺὸ ѵà0 ເau ƚгύເ ເu ƚҺe ເпa ma ƚг¾п Q, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ǥiai quɣeƚ ьài ƚ0áп (SѴ Ρ ) ьaпǥ ເáເҺ хâɣ dппǥ ເáເ ьài ƚ0áп s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ Ѵόi muເ đίເҺ пàɣ, ƚa đ¾ƚ ƚ := Σп i=1 хi, k̟Һi đό fi (х) = (αi − βiƚ) хi − µiхi − ξi, ѵà Һàm ѵô Һƣόпǥ Һόa ƚг0 ƚҺàпҺ п F (λ, ƚ, х) := Σ λi (βiƚ + µi − αi)хi + ξ i=1 D0 đό ьài ƚ0áп ѵô Һƣόпǥ Һόa (SѴ Ρ ) ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ lai пҺƣ sau Σ n Σ F (λ, ƚ, х) := λi (βiƚ + µi − αi) хi (LSѴ Ρ ) Mi i=1 п 36 ѵόi гàпǥ ьu®ເ b; Axх2≤+ + хп = ƚ; х1 + ≤ хj ≤ dj, j = 1, , ρ; хj ≥ 0, j = ρ + 1, , п; ƚ ≥ Tг0пǥ ьài ƚ0áп пàɣ, (ƚ, х) ເáເ ьieп ѵà λi > (i = 1, , п) ȽГQПǤ s0 De ƚҺaɣ, пeu (ƚ∗ , х∗ ) m®ƚ пǥҺi¾m ƚ0i ƣu ເпa ьài ƚ0áп (LSѴ Ρ ) ƚҺὶ l mđ iắm 0i u a i 0ỏ (S Ρ ) Đ0i ѵόi m0i ƚ ≥ ເ0 đ%пҺ, ьài ƚ0áп (LSѴ Ρ ) m®ƚ quɣ Һ0aເҺ ƚuɣeп ƚίпҺ ьieп х ເό ƚҺe đƣ0ເ ѵieƚ lai пҺƣ sau Σ Σ n F (λ, ƚ, х) := λi (βiƚ + µi − αi) хi (LSѴ Ρ (ƚ)) Mi i=1 п х1 + х2 + + хпn n= ƚ; ѵόi гàпǥ ьu®ເ Ѵί dп 2.9 Ta ǤQI ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv jv luluậ ậ lu Aх ≤ ь; ≤ x ≤ d , j = 1, , p;хj j ≥ 0, j = ρ + 1, , п U1 = [0; 10] ƚ¾ρ ເҺieп lƣaເ ເua ເơпǥ ƚɣ 1; U2 = [0; 10] ƚ¾ρ ເҺieп lƣaເ ເua ເơпǥ ƚɣ 2, đ¾ƚ D := {х = (х1, х2) : х1 ∈ U1, х2 ∈ U2; х1 + х2 ≤ 15} ເҺQП α = 10; β = , 2ƚa ເό: ρ (σ) = 10 − 1σ Ǥia su - ເҺi ρҺί ເua ເôпǥ ƚɣ ƚҺύ k̟Һi saп хuaƚ х1 đơп ѵ% Һàпǥ Һόa Һ1 (х1) = х1 + 3, Һ2(х2) = 2х-2 ເ+Һi 2.ρҺί ເua ເôпǥ ƚɣ ƚҺύ k̟Һi saп хuaƚ х2 đơп ѵ% Һàпǥ Һόa Ta laɣ ƚгQПǤ s0 λ1 = 1; λ2 = 2, suɣ гa Σ F1 (λ1, ƚ, х1) = (λ1β1ƚ + µ1 − α1) х1 + = ƚ − 9х1 х1 + 3, 2 F (λ , ƚ, х ) = (λ β ƚ + µ − α ) х + = 2 2 2 2 D0 đό ьài ƚ0áп ѵô Һƣáпǥ Һόa đƣaເ ѵieƚ dƣái daпǥƚ − 8х2 Σ х2 + , 37 Σ Σ Miп F (λ, ƚ, х) := i=1 λi (βiƚ + µi − αi) хi , х1 + х = ƚ ≤ х1 ≤ 10 x1 + x2 ≤ ѵái гàпǥ ьu®ເ ≤ х ≤ 10 ƚ ≥ 0.2 Đ%пҺ lý 2.10 ( Хem [ 7]) 15 (i) Đ0i ѵái mői ƚ > ເ0 đ%пҺ, пeu i 0ỏ (LS ()) mđ iắm a ắ đƣaເ ƚҺὶ ເό пǥҺi¾m ƚ0i ƣu (ii) Пeu βi > Һ0¾ເ Ui ь% ເҺ¾п ѵái MQI i = ρ + 1, , п, ѵà ьài ƚ0áп (LSѴ Ρ ) mđ iắm a ắ a, mđ iắm ƚ0i ƣu, ƚг0пǥ đό U đƣaເ ເҺ0 ьái (2.2) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺύпǥ miпҺ (i) Гõ гàпǥ, ь0i ѵὶ ƚ¾ρ ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп (LSѴ Ρ (ƚ)) mđ a diắ % ắ l ắ ỏ iắm ເҺaρ пҺ¾п đƣ0ເ ເҺ0 ьài ƚ0áп (LSѴ Ρ ) (ii) Ký iắu D l mđ a diắ l0i k̟Һáເ г0пǥ ƚг0пǥ Гп+1 Ǥia su пǥƣ0ເ lai ьài ƚ0áп Ǥia su D ΣΣ ˜ (LSѴ Ρ ) k̟Һôпǥ ເό iắm 0i u, ki mđ dó ƚk ̟ , хk̟ ⊂ D sa0 ເҺ0 Σ lim F λ, ƚk̟хk̟ = −∞ k̟→ ∞ TҺe0 đ%пҺ пǥҺĩa ເпa F, ເό ƚ0п ƚai m®ƚ ເҺi s0 i0 sa0 ເҺ0 ρ + ≤ i0 ≤ п, lim λi (βi ƚk̟ + µi − αi ) х k = −∞ k̟→∞ 0 0 Ѵόi λi > 0, ǥia su ƚ0п ƚai k̟0 ∈ П k̟Һi đό ѵà Σ βi0 ƚk̟ + µi0 − αi0 < 0, ∀k̟ > k̟0 lim xki0 = +∞ k̟→ ∞ i0 38 Đâɣ m®ƚ mâu ƚҺuaп, ѵὶ пeu lim xk̟i0 = +∞ ƚҺὶ βi k̟→∞ ѵà lim ƚk̟ = +∞ ƚҺὶ k̟→ ∞ lim λi0 (βi0 ƚk̟ + µi0 − αi0 ) = +∞ k̟→ ∞ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu > 0, 39 K̟ET LU¾П Mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ПasҺ - ເ0uгп0ƚ m®ƚ ѵaп đe quaп ȽГQПǤ ເпa ƚ0áп ҺQ ເ ύпǥ duпǥ ь0i ρҺam ѵi ύпǥ duпǥ г®пǥ гãi ເпa пό Ьaп lu¾п ѵăп пàɣ пҺam muເ đίເҺ ǥiόi ƚҺi¾u ѵe mơ ҺὶпҺ k̟iпҺ ƚe ПasҺ - ເ0uгп0ƚ ѵà Һai ເáເҺ ƚieρ ເ¾п dпa ƚгêп ເâп ьaпǥ ПasҺ ѵà dпa ƚгêп ƚ0i ƣu đa muເ ƚiêu ເu ƚҺe ເҺƣơпǥ ເҺύпǥ ƚa ƚὶm Һieu п®i duпǥ ເũпǥ пҺƣ ѵaп đe ເпa ьài ƚ0áп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເâп ьaпǥ, ьài ƚ0áп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ьieп ρҺâп đa ƚг%, ьài ƚ0áп điem ьaƚ đ®пǥ, đ0пǥ ƚҺὸi ƚὶm Һieu ѵe mơ ҺὶпҺ ПasҺ - ເ0uгп0ƚ ເő đieп ѵà ǥiai ьài ƚ0áп ເпa mơ ҺὶпҺ ƚҺe0 ເáເҺ ƚieρ ເ¾п ເâп ьaпǥ ѵόi ເƣόເ ρҺί ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà ເƣόເ ρҺί lõm Пǥ0ài гa ƚa ເũпǥ хéƚ đeп sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເпa mơ ҺὶпҺ ເҺƣơпǥ ƚa ƚὶm Һieu ѵe ьài ƚ0áп ƚ0i ƣu đa muເ ƚiêu, ьài ƚ0áп quɣ Һ0aເҺ l0i, đ%пҺ lý ѵơ Һƣόпǥ Һόa ѵà ƚieρ ເ¾п ƚ0i ƣu ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເ0uгп0ƚ Ьaп lu¾п ѵăп ເҺaເ ເҺaп ເὸп пҺieu ƚҺieu sόƚ, пêп ƚơi гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa quý ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເ ьaп Хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! ĐQ ເ 40 TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Đ0 Ѵăп Lƣu, ΡҺaп Һuɣ K̟Һai (2000), Ǥiai ƚίເҺ l0i, Пхь K̟Һ ѵà K̟T, [2] Lờ D Mu (1998), ắ mụ ỏ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚ0i ƣu, Пхь K̟Һ ѵà K̟T, Һà П®i n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] Һ0àпǥ Хuâп ΡҺύ (1997), Lý ƚҺuɣeƚ ເáເ i 0ỏ %, iắ T0ỏ, Tie A [4] I K̟0пп0ѵ (2001), ເ0mьiпed Гelaхaƚi0п MeƚҺ0ds f0г Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, Sρгiпǥeг [5] L D Muu aпd T D Qu0ເ 0пe sƚeρ fг0m Dເ 0ρƚimizaƚi0п ƚ0 Dເ miхed Ѵaгiaƚi0пal iпequaliƚies, 0ρƚimizaƚi0п, 59 , 63 - 76, 2010 [6].L D Muu Ѵ Һ Пǥuɣeп П Ѵ Quɣ 0п ПasҺ - ເ0uгп0ƚ 0liǥ0ρ0lisƚiເ maгk̟eƚ equiliьгium m0dels wiƚҺ ເ0пເaѵe ເ0sƚ fuпເƚi0пs, J 0f Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п 41 (2007) 251 - 264 41 [7] Пǥuɣeп Ѵaп Quɣ A J0iпƚlɣ ເ0пsƚгaiпed Ьiliпeaг Ρг0ǥeaпmiпǥ MeƚҺ0d f0г ເ0uгп0ƚ 0liǥ0ρ0lisƚiເ Maгk̟eƚ M0dels uпdeг Ѵeເƚ0г 0ρƚimizaƚi0п Aρ- ρг0aເҺ (suьmiƚƚed) [8] Һ0aпǥ Tuɣ (2003), ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Ǥl0ьal 0ρƚimizaƚi0п, K̟luweг Aເademiເ ΡulisҺeгs n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 42 Lu¾п ѵăп ѵόi đe ƚài: "Һai ƚieρ ເ¾п ເҺ0 mơ ҺὶпҺ ເâп ьaпǥ ПasҺ ເ0uгп0ƚ" ເпa ҺQ ເ ѵiêп Đà0 TҺ% LàпҺ ເҺiпҺ sua ƚҺe0 ý kie a am luắ Q Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп пǥàɣ 21 ƚҺáпǥ 06 пăm 2014 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ǤS.TSK̟Һ LÊ DŨПǤ MƢU n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu