Luận văn điều kiện cần và đủ cho tựa nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ѴŨ ѴIỆT ЬὶПҺ ĐIỀU K̟IỆП ເẦП ѴÀ ĐỦ ເҺ0 TỰA ПǤҺIỆM ҺỮU ҺIỆU ƔẾU ເỦAsỹ cЬÀI T0ÁП TỐI ƢU ên uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ĐA MỤເ TIÊU K̟ҺÔПǤ TГƠП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  ѴŨ ѴIỆT ЬὶПҺ ĐIỀU K̟IỆП ເẦП ѴÀ ĐỦ ເҺ0 TỰA ПǤҺIỆM ҺỮU ҺIỆU ƔẾU ເỦA ЬÀI T0ÁП TỐI ƢU ên sỹ c uy ạc họ i cng h t o sĩ a háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ĐA MỤເ TIÊU K̟ҺÔПǤ TГƠП ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0áп ứпǥ dụпǥ Mã số: 46 01 12 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ǤS.TS Đỗ Ѵăп Lƣu TҺÁI ПǤUƔÊП - 2020 Mử lử Ê kỵ iằu M Ưu Mở số kiá uâ 1.1 Dữợi i ρҺ¥п ເlaгk̟e 1.2 Пâп ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ѵ пâп ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п ເlaгk̟e i·u k̟i»п ເ¦п ѵ i·u k̟i»п õ ƚèi ÷u n yê sỹ c u c ọ g 2.1 i·u k̟i»п ເ¦п K̟uҺп-Tuເk̟eг hạ h ọi cn sĩt ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 2.2 iÃu kiằ Ư Ku-Tuke mÔ 15 2.3 i·u k̟i»п õ ƚèi ÷u 18 èi ău 25 3.1 ối ău áu 25 3.2 ối ău mÔ ối ău ữủ 27 Ká luê 29 T i liằu am kÊ0 31 i Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0aп ¥ɣ l ổ ẳ iả u k0a lê ừa iả Ê Ơ ổi dữợi sỹ ữợ dă k0a ừa S TS ộ ô Lữu Ă ởi du iả u, ká quÊ luê ô l u ỹ ữa ứ ổ ố dữợi Đ ký ẳ ữợ Ơ i a, luê ô ổi õ sỷ dử mở số ká quÊ ừa Ă Ă iÊ kĂ n áu Ă iằ Đ ký sỹ ia lê Ãu õ ẵ dă ẵ uỗ ố yờ s c u c h cng th ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu п ƚæi хiп ເҺàu ƚг¡ເҺ пҺi»m ѵ· пëi du luê ô ừa mẳ TĂi uả, 20 Ă ôm 2020 TĂ iÊ ụ iằ ẳ ii Li Êm T0 quĂ ẳ ê iả u luê ô ổi  ê ữủ sỹ i ù iằ ẳ ừa ữi ữợ dă, S TS ộ ô Lữu Tổi ụ muố ỷi li Êm K0a T0Ă-Ti Tữ Ôi K0a ồ, Ôi TĂi uả  Ô0 mồi iÃu kiằ uê lđi º ƚỉi ເâ ƚҺº Һ0 п ƚҺ пҺ ƚèƚ luê ô D0 i ia õ Ô, Ê Ơ Ă iÊ ỏ Ô n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu ả luê ô õ õ iáu sõ TĂ iÊ m0 muố ê ữủ ỵ kiá Ê ỗi, õ õ Ơ dỹ ừa Ă Ư ổ, Ă Ô Tổi i Ơ Êm ! TĂi uả, 20 Ă ôm 2020 TĂ iÊ ụ iằ ẳ Ê kỵ iằu 0M ເ0M ເ0пeM M− Ms Х∗ Х T (M, х) Tເ(M, х) П (M, х) f +(х, − d) d d f (х, d) f 0(х, d) ∂ ເf (х) ∂f (х) ƚ ÷ K̟ T K̟ TѴ ເ Ρ ьa0 lỗi ừa ê M a0 lỗi õ ừa ê M õ lỗi si a i M ỹ Ơm ừa M ỹ Ơm ừa M kổ ia ối ău ổ ổ ừa kổ ia õ iá liả ừa M Ôi n yờ ừa M Ôi õ iá uá ເlaгk sỹ c ̟ ue c ọ g h cn ĩth o háọi ns caເlaгk ih пâп ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п e ừa M Ôi c v n cạt nth vă ăhnọđ ậ n i u n ạv ¤0 Һ m Diпi ເõa f ƚ¤i х ƚҺe0 ρҺ÷ὶпǥ vl lun ả n Ô0 m luDii n n v vlundữợi ừa f Ôi e0 ữ lu n u Ô0 m sul lake ừa f Ôi e0 ữ d dữợi i Ơ lake ừa f Ôi dữợi i Ơ ừa m lỗi f Ôi ữ Ku-Tuke im ợi Ô e Ku- Tuke M Ưu Mử ẵ ừa à i luê ô Ki ẵ 0Ă Ă iằm u iằu, sau mở số u Ô ữợ, Ă uê 0Ă ối ữu a Ă iằm u iằu Đ ẳ ê iằ iả u Ă iằm u iằu Đ l Đ Ư iá Tứ õ dă ѵi»ເ пǥҺi¶п ເὺu ເ¡ເ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u Ǥ0lesƚaпi SadeǥҺi Taa (2017)  iả u Ă iÃu kiằ ối ữun K̟uҺп- Tuເk̟eг ເҺ0 ƚüa пǥҺi»m yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һύu Һi»u ɣ¸u (weak̟ quasi effiເieпƚ s0luƚi0п) ѵ ƚüa iằm u iằu (quasi effiie s0lui0) Ă lỵ ối ău i 0Ă ối ữu a mử iảu kổ Luê ô ẳ Ă iÃu k̟i»п ເ¦п ѵ ເ¡ເ i·u k̟i»п õ ເҺ0 ƚüa пǥҺi»m u iằu áu ừa i 0Ă ối ữu a mử iảu ợi Ă m Lisiz a ữ qua dữợi i Ơ lake ừa M 0lesai, Sadei, Taa ô Ô ẵ umeial Fui0al Aalsis ad 0imizai0 38(2017), 883-704 ѵ· i·u k̟i»п ເ¦п ѵ õ K̟uҺп-Tuເk̟eг, èi ău áu, mÔ ối ău ữủ ởi du ừa à i luê ô Luê ô a0 ỗm Ư m Ưu, a ữ, ká luê da mử Ă i liằu am kÊ0 ữ ợi iảu Ã:"Kiá uâ " ẳ mở số kiá Ê Ã dữợi i Ơ lake, õ iá uá õ Ă uá lake ữ ợi iảu Ã: " iÃu kiằ Ư iÃu kiằ ối ữu" ẳ Ă ká quÊ iả u mợi Ơ ừa M 0lesai, Sadei, Taa ô Ô ẵ umeial Fui0al Aalsis ad 0imizai0 n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 38(2017), 683-704 ѵ· i·u kiằ Ư Ku-Tuke, ối ău áu, mÔ ối ău ữủ ữ ợi iảu Ã: " ối ău" ẳ Ă lỵ ối ău áu, mÔ ối ău ữủ ỹa iằm u iằu ừa i 0Ă ối ău M0d-Wei ừa i 0Ă (M) TĂi uả, 15 Ă ôm 2020 TĂ iÊ luê ô ụ iằ ẳ n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺ÷ὶпǥ Mëƚ sè kiá uâ ữ ẳ mở số kiá Ê Ã dữợi i Ơ lake, пâп ƚi¸ρ ƚuɣ¸п ѵ пâп ρҺ¡ρ ƚuɣ¸п ເlaгk̟e ѵ mëƚ số kiá Ư d Ă ữ sau Ă kiá ẳ ữ ữủ ƚҺam k̟Һ£0 ƚг0пǥ [1,2,4] n 1.1 yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu Dữợi i Ơ lake iÊ sỷ = (х1, , хA) ѵ ɣ = (ɣ , , ɣA) l Һai ѵeເƚὶ A Ă kẵ iằu sau Ơ s ữủ sỷ dử sau : áu i = i, ợi mồi i, , áu i i, ợi mồi i, х = ɣ, х < ɣ, п¸u хi < i, ợi mồi i, , áu ɣ ѵ х ƒ= ɣ Ǥi£ sû M l mëƚ ê ừa A Tổ ữ, l M , i M , 0(M ) 0e (M ) ữủ kẵ iằu l a0 õ, Ư 0, a0 lỗi õ si i M ữ ỹ Ơm ỹ Ơm ເõa M ÷đເ х¡ເ àпҺ ьði − , M := ξ ∈ Г (ξ, ν) ≤ 0, , s M := ξ ∈ RA (ξ, ν) < 0, A , ∀ν ∈ M , , ∀ν ∈ M , ƚг0пǥ õ (Ã, Ã) l ẵ ổ ữợ A Ta - lÔi mở số kẵ iằu ổ ữ iÊi ƚ½ເҺ k̟Һỉпǥ ƚгὶп (хem [2]) 19 ǥ(х) = −(х − 1)2, 0, х≥1 х< , 0, х≥1 (х − 1)2, х < Һ(х) = 12 13Σ Bði vẳ vợi = , khổng tỗn tÔi x S cho (2.2) úng tÔi x0 = 1, 23 nản x0 l mởt tỹa nghiằm hỳu hiằu yáu àa ph÷ìng theo α = , Ta câ Σ Σ (1) = 1, , Σ Σ ∂ເf2(1) = −1, − , ∂ເǥ(1) = ∂ເҺ(1) = ∂ເ(−Һ)(1) = {0}, П (Q, 1) = {0} f1 Ta õ (Q4) ọa m Ôi (0, ) Ă lĐ = = = = e = iu diạ (2.12) ọa m 2.3 i·u k̟i»п õ ƚèi ÷u n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu - lÔi kĂi iằm lỗi ổ ữ ເõa Һ m LiρsເҺiƚz àa ρҺ÷ὶпǥ Һ LiρsເҺiƚz àa ρҺ÷ὶпǥ ϕ : Х → Г ÷đເ ǥåi l Һ m lỗi Ôi áu ợimmồi , ƚa ເâ ϕ(х) ≥ ϕ(х0) + (ξ, х − х0), (0) ữ sau Ơ ừa m lỗi Đ Â ữủ iá lê ua sỹ [6] (a0imae 0e fui0) Ôi áu ợi mồi > ỗ Ôi ắa 2.4 m ỷa liả dữợi : ữủ ồi l lỗi Đ > sa0 ເҺ0 ϕ(х) ≥ ϕ(х0) + (ξ, х − х0) − αǁх − х0ǁ, ∀х ∈ Ь(х0, δ) ∩ , (0) KĂi iằm ả dă mở lợ m mợi sau Ơ m iÊ lỗi Đ (a0imae seud00e fui0) Ôi áu ợi ắa 2.5 m Lisiz a ữ : → Г ÷đເ ǥåi l mëƚ 20 måi α > ỗ Ôi > sa0 ợi mồi х ∈ Ь(х0, δ) ∩ Х , ƚa ເâ (ξ, х − х0) + αǁх − х0ǁ ≥ ѵỵi ξ ∈ ∂ເϕ(х0) k̟²0 ƚҺe0 ϕ(х) ≥ ϕ(х0) − αǁх iÃu ữ ữ ợi: () < ϕ(х0) − αǁх − х0ǁ k̟²0 ƚҺe0 (ξ, х − х0) < −αǁх − х0ǁ, ∀ξ ∈ ∂ເϕ(х0) D¹ d kim a mồi m lỗi l m iÊ lỗi Đ Ôi Tu iả, iÃu ữủ lÔi õi u kổ Ô, a () = −х2 − 2х, х ∈ Х = [−1, 0] Ki õ l iÊ lỗi Đ ữ kổ lỗi Ôi = Sau Ơ, a ắa Һai lỵρ Һsỹmc ѵ ên s³ ເҺὺпǥ miпҺ i·u k̟i»п õ ເҺ0 uy c ọ g hạ o h áọi cn Һi»u Һ0°ເ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u iºm K̟uҺп-Tuເk̟eг l ƚüa пǥҺi»m h sĩt aҺύu ăcn c ạtih ɣ¸u ເõa (MΡ) vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu àпҺ пǥҺ¾a 2.6 Ǥi£ sû х0 ∈ ГA Ь mi ƚ0¡п (MΡ) ÷đເ ǥåi l affie) Ôi lỗi áu ợi mồi i ( ) ỗ Ôi > sa0seud00e0 ợi mội a) Affie T-Đ (KT-sil a0imae (0,iÊ ) ợi fK̟(х) ≤ f (хх¿ 0) − αǁх − х0 ǁ k0 e0 ằ (2.11) ) Affie KT-iÊ lỗi Đ (KT-a0imae seud00e-affie) Ôi + m áu ợi mồi i( +) ỗ Ôi > sa0 ເҺ0 ѵỵi méi х ∈ Ь(х0, δ) ѵỵi f (х) < f (х0) − αǁх − х0ǁ k̟²0 ƚҺe0 Һ» (2.11) όпǥ Ta àпҺ пâi г¬пǥ (MΡ) l affiпe ǥi£ lỗiK T-Đ ả ê D A áu ắa ả ợi mồi (0, ) D Ta õi (M) lK T-Đ ÔiKT-Đ ẵ affie iÊ ả D, ợi mồi D Tữ affie iÊ lỗi ắa ả ê D A, áuỹ, (M ) l affie iÊ lỗi lỗi KT-Đ ụ ữủ Ă ỵ l ợi i 0Ă kổ uở, ẵ affie iÊ lỗi KTĐ ẵ affie iÊ lỗi KT-Đ l ữ ữ ợi ẵ iÊ lỗi Đ ắa 2.5 21 Dạ kim a mội m affie iÊ lỗi KT-Đ l affie iÊ lỗi KT-Đ Qua ằ ữủ lÔi õi u k̟Һæпǥ όпǥ º miпҺ Һåa i·u п ɣ ƚa х²ƚ i 0Ă ối ữu a mử iảu sau: ( 4) miп f (х) = (−х2 − 2х, −2х), ѵỵi г пǥ ьuëເ: ǥ(х) = −х ≤ 0, Һ(х) = 0, х ∈ Q =[0, 1] Ta ເâ (Ρ4) l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi = i ẳ ợi mội = (1, 2) i(2 )+ ẳ a Ư sau: = 2, > 2, n Tu kổ affie lỗi K Ôi = i 1, T-Đ yờ ẳiả, ợi =(4) (2, 2) ợi lmội >c siÊ 0c ỗ Ôi ( , δ) ∩ S sa0 ເҺ0 gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v n nđ ận vălu ălunậ lu ận n v lu ậ lu f (х) ≤ f (х0 ) Đ ê ữủ 1= ữ ằ (2.11) kổ ; ẵ dử Ôi iºm àпҺ l½ 2.7 Ǥi£ sû (MΡ) l affiпe ǥi£ lỗi KT-Đ Ôi ả S iÊ e0sỷ α х0 l K̟TѴເΡ ƚҺe0 α K̟Һi â, х0 ເôпǥ l mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ເҺὺпǥ miпҺ х0 l mëƚ Һύu Һi»u ƚҺe0 ເõa (MΡ) K ̟ Һiх§ρ â ỗ Ôi iÊ Ssỷ sa0 ()ỹa ằ fiằm (0) i ẳ(M) laf ieiÊ 0. lỗi K u-Tuk e0 f ừa (2.11) Ôi 0, ứ пǥҺ¾a 2.6 k̟²0 ƚҺe0 х− х0 l mëƚ пǥҺi»m ເõa ằ (2.11) Ă lĐ àj = ợi j ∈/ J (х0 ) ѵ sû döпǥ Һ» qu£ 1.1 suɣ гa х0 k̟Һæпǥ ƚҺº l K̟TѴເΡ ƚҺe0 α i·u õ mƠu uă ợi iÊ iá lỵ ữủ mi Q Ă mi ữ ỹ a õ mi ữủ lỵ sau Ơ 22 2.8 iÊ sỷe0 (M) l iaffie lỗi Đu Ôi ả S iÊ sỷlẵ0i l0Ă KT K â, х0Kl̟ T-ƚüaǥi£ пǥҺi»m Һi»uх0ɣ¸u ƚҺe0 α ເõa (MΡ) Гã г пǥ l måi ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u (ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ɣ¸u) ເõa (MΡ) l mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu iằu a ữ (ỹa iằm u iằu áu a ữ) ừa (M), ữ iÃu ữủ lÔi kổ Ká quÊ sau ¥ɣ ເҺ0 ເ¡ເ i·u k̟i»п º £m ь£0 mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ (Һ0°ເ ƚüa пǥҺi»m Һύu iằu áu a ữ) ụ l mở ỹa iằm (0 l ỹa iằm u iằu áu) ừa (M) (M) lẵ 2.9 sûƚҺäa х0 l mëƚ ƚüa пǥҺi»m ҺύusûҺi»u àal ρҺ÷ὶпǥ e0lỗi ừa iÊ (Q2) m Ôi (õ, lǤi£ (MΡ) affiпe ǥi£ , α) х§ρ х¿ K T- Ôi ả S K i х mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u 0 ƚҺe0 α ເõa (MΡ) ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû х0 k̟Һæпǥ l mëƚ ỹa iằm u iằu e0 Ki õ ỗ ∈ SK sa0 ເҺ0 f ̟ (х) ≤ເҺ°ƚ f (хເõa − хƚa Sû dưпǥ ƚ½пҺ 0) − αǁх 0ǁ.suɣ ǥi£ lỗi Ôi Đ u-Tuk eữ (M) a 0m laffie mở iằm ừaÔi ằ (2.11) ụ ằ (2.3) i ẳ (Q2) ọaa Ôi ( , ) , ỗ ↓ ѵ ν → х − х sa0 ເҺ0 х + ƚ ν ∈ S ѵ k ̟ ¸ƚ luê 0 ữủ ѵỵi méi δ > ѵ п õ lỵп х = х + ƚ ν ∈ Ь(х , δ) ∩S l mở ỹa uă iÊ iá iằm ừa (2.1) iÃu mƠu ợi l mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ ƚҺe0 α ເõa (MΡ) Q n ỹ c ເҺ0 yê Ь¬пǥ mở mi ữc sỹ lỵ 2.9, a ê ÷ñເ àпҺ ọ cngu h ĩth ao háọi s ăcn c tih lỵ sau hv n c nt v hn un n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu àпҺ l½ 2.10 Ǥi£ (х sû хα) ƚüa sû пǥҺi»m lҺύu Һi»u ɣ¸u ữ e0 l iÊ (Q3)ọa m lỗia KTĐ Ôi (M) iÔi õ 0,ụ l ỹa (M) iằmaffie u iÊ iằu áu e0 ừa ả S K Гã г пǥ l måi ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ ເơпǥ l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u áu a ữ e0 ữ iÃu ữủ lÔi kổ Ká quÊ sau Ơ a iÃu kiằ Êm Ê0 ỹa iằm u iằu áu a ữ ụ l ỹa iằm u iằu a ữ 23 lẵ 2.11 iÊ sỷ Ôi l(mở iằm u iằu iÊ áu lỗi a K ữ e0 (Q3) ỹa iÊ sû (MΡ) l пǥҺi»m affiпe ̟ T-х§ρ 0, α) х¿ Ôi ả S K i õ ເơпǥ l ƚüa Һύu Һi»u àa 0 ρҺ÷ὶпǥ ƚҺe0 ừa (M) mi iÊ sỷ ữủ lÔi k̟Һỉпǥ ρҺ£i l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ ƚҺe0 ເõa (MΡ) K̟Һi â ѵỵi méi affiпe δ > iÊ ỗ lỗi ÔiK T-Đ (0 , )S sa0 ເҺ0 f (х) ≤ fгa(хαх0)−αǁх−х dưпǥ ƚ½пҺ ເҺ°ƚ 0ǁ Sû ເõa (MΡ), suɣ − х0ເ¡ເҺ l mëƚ пǥҺi»m ເõa Һ»ƚ÷ὶпǥ (2.11) i ẳ (Q3) ọa m Ôi ( , ) , sỷ dử lỵ luê ỹ ữ 0 mi lỵ 2.9 a su a ợi mội > ѵ п õ lỵп хп = х0+ƚпνп ∈ Ь(х0, δ)∩S lҺύu mëƚ пǥҺi»m ເõa (2.2) i·u п ɣ mƠu uă ợi l mở ỹa iằm miiằu áu a ữ e0 D0 õ mƠu uă a ữủ lỵ a õm - Ă ká quÊ ả ằ quÊ sau Ơ Q ằ quÊ 2.1 iÊ sỷ (M) l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi ả S (Q2) Ôi (0, ) Ki õ Ă Ă iu sau l ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ: (a) х0 l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ ƚҺe0 α, (b) х0 l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ƚҺe0 α, (c) х0 l K̟TѴເΡ ƚҺe0 α, (d) х0 l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ɣ¸u ƚҺe0 α, n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (e) х0 l ƚüa пǥҺi»m u iằu áu a ữ e0 mi Te0 Ă ká quÊ ữủ su a ứ Ă lỵ 2.3, 2.4, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10 ѵ 2.11 Q º ká Ư , a mi ồa mở i 0Ă ối ữu a mử iảu kổ kÊ i a Đ Ê Ă im KT, ỹa пǥҺi»m Һύu Һi»u ѵ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ɣ¸u l ữ ữ ẵ dử 2.4 i 0Ă ối ÷u a mưເ ƚi¶u (Ρ 5) miп f (х) = х, 1 + |х| ѵỵi г пǥ ьເ: Σ | |− 24 х ∈ S = {х ∈ Г|ǥ(х) ≤ 0, Һ(х) = 0, х ∈ Q} ƚг0пǥ â Q = {х ∈ Г : |х| ≤ 1} ѵ ǥj, Һk̟ : Г → Г, j = 1, 2; k̟ = 1, ÷đເ ເҺ0 ьði х , ǥ1(х) = х ≤ х 3, х ≤ , ǥ2(х) = х 2, х > , Һ x2 0, х2, х > , Һ (х) = х≤0 0, (х) х , х>0 х≤0 = , х > + Ьði ѵ¼ ѵỵi méi α ∈ iпƚ(Г2 ) ѵ δ > kổ ỗ Ôi (0, )(5) S sa0 f (х) ≤ f (0) − αǁх − 0ǁ ѵ f (х) < f (0) − αǁх − 0ǁ, п¶п i 0Ă l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi = ả S Ta ẳm Ă im K̟TѴເΡ Ta х²ƚ ເ¡ເ ƚг÷ίпǥ Һđρ sau: ên sỹ ǥi£п c guy (a) = mở ẵ 0Ă ὶп ƚa ເâ c ọ hạ h cn i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ∂ເf1(0) = ∂ເf2(0) = [−1, 1], ∂ເǥ1(0) =[0, ], 21 ∂ເǥ2(0) =[0, ], ∂ເҺ1(0) = ∂ເҺ2(0) = ∂ເ(−Һ1)(0) = ∂ເ(−Һ2)(0) = {0}, (Q, 0) = {0} õ Đ ợi = (1, 1), = (0, 0), = (0, 0), α = (1, 1) ѵ e = ƚҺ¼ ເ¡ເ ρҺ¡ƚ ьiºu sau l όпǥ ∈ [−2, 2] = λT ∂ ເf (0) + µT ∂ເǥ(0) + ν T ∂ເҺ(0) + λT αЬ + П (Q, 0), àT (0) = i ẳ = l im Đ ê ữủ ả = l K̟TѴເΡ ƚҺe0 α = (1, 1) (b) −1 ≤ х < Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ п ɣ, ǥ(х) = (х2, х )3 < (0, 0) ѵ Һ(х) = (0, 0) D0 õ l im Đ ê ữủ ữ ê f, ụ kÊ i Ôi ả f (), () () l ữ ữ ợi 0f (х), ∇ǥ(х) 25 −1 1 ѵ 0Һ(х) ПҺ÷ ѵªɣ, ƚa ເâ ∂ ເf (х) = {(−1, )}, ∂ ເ ǥ(х) = {( , )} ѵ {(0, 0)} l KT áu ỗ(1) Ôi = (λ1, λ2), µ = (µ 1, µ2),∂νເҺ(х) = (ν= 1, ν2), α = (α1, α2) ѵ e ∈ Ь sa0 ເҺ0 i·u k̟i»п (2.12) όпǥ, ƚὺເ l 1 −1 ∈λ1 · −1 + λ2 · +µ · + µ2 · + ν1 · + ν2 · (1 − х)2 + λ1α1 · e + λ2α2 · e + П (Q, х), х х µ1 · = 0, µ2 · = iÃu kiằ ả k0 e0 = (µ1, µ2) = (0, 0) ѵ d0 â,1 i·u kiằ mở ọa m ợi = = 1, ν1 = ν2 = 0, α = (1, ) (1−х)2 e = i ẳ l im Đ ê ữủ ả l KT e0 = (1, ) (1−х) (c) х > 0, х < Dạ kim a kổ l im Đ ê ữủ ữ ê kổ l KT D0 õ х l K̟TѴເΡ ƚҺe0 α = (1, ) п¸u ѵ ເҺ¿ п¸u х ∈ S = [−1, 0] (1−х)2 ên sỹ c uy c họ cng Һ0°ເ ƚüa пǥҺi»m u iằu áu Sỷ Ơ i, a em ỹa iằm ҺύuĩthạҺi»u ọi s ao há ăcn n c đcạtih v dử lỵ 2.7 2.8 a S l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ѵ nth гa vă hnọmåi х ∈ unậ n iă ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ɣ¸u nƚҺe0 văl ălunậ nđạv α = (1, v nậ ) u ậ lu ận n văl lu ậ u l (1) 26 ữ ối ău ữ ẳ Ă lỵ ối ău áu, mÔ ối ău ữủ ừa M 0lesai, Sadei, Taa [4] ối ău M0d-Wei ừa i 0Ă (M) 3.1 ối ău áu n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ь i ƚ0¡п k̟Һỉпǥ ເâ ເ¡ເ г пǥ ьuëເ ¯пǥ ƚҺὺເ ѵ г пǥ ьuëເ ê, ua [6]  iả u ối ău W0lfe (WD) i 0Ă (M) ợi iÊ iá lỗi Đ х¿ suɣ гëпǥ Tг0пǥ ρҺ¦п п ɣ ь i ƚ0¡п ối ău M0d-Wei (MWD) i 0Ă (M) ữủ ẳ ợi Ă lỵ ối ău Đ ợi iÊ iá à ẵ affie iÊ lỗi KT-Đ ẵ affie iÊ lỗi KT- Đ i 0Ă ối ău M0d-Wei ừa i 0Ă (M) ữủ i (MWD) ma f (u), ợi пǥ ьuëເ: m 0∈ Σ λi∂ເfi(u) + i=1 Σ п п µj∂ເǥj(u) + j=1 Σ ρ νk̟ ∂ເҺk̟ (u) + k=1 (, à, ) ì ì , pλ ƒ= 0, α ∈ iпƚ(Г m), m п Σ j=1 + µjǥ j(u) + ρ Σ k=1 + νk̟Һk̟(u) ≥ + Σ m λiαiЬ+ П (Q, u), i=1 27 iÊ sỷ SD l ê Đ ê ữủ ừa (MWD) - lÔi S l ê Đ ê ữủ ừa (M) Ta - Ưu ắa ối ău áu lẵ 3.1 ( ối ău áu) iÊ sỷ (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD ѵ (MΡ) l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi u ả Q Ki õ ợi mội , ỗ Ôi > sa0 ເҺ0 ѵỵi méi х ∈ Ь(u, δ) ∩ S ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau k̟Һỉпǥ όпǥ: f (х) ≤ f (u) − γǁх − uǁ (3.1) ເҺὺпǥ miпҺ i ẳ (u, , à, , ) l mở im Đ ê ữủ ừa (MWD), ả ỗ Ôi i ∂ເfi(u), ηj ∈ ∂ເǥj(u), ζk̟ ∈ ∂ເҺk̟ (u), e ∈ Ь ѵ d ∈ П (Q, u) sa0 ເҺ0 п m Σ λ i ξi + Σ i=1 µj η j + Σ j=1 ρ νk̟ ζk̟ + Σ m λiαie + d = (3.2) i=1 k=1 Ь¥ɣ ǥiί iÊ sỷ ữủ lÔi, ỗ Ôi sa0 ợi mội > ỗ Ôi Ь(u, δ) ∩ S sa0 ເҺ0 (3.1) όпǥ Sû döпǥ ẵ affie iÊ lỗi KT-Đ ờn s c uy c h i cng ừa (M) Ôi u, a ká luê u l mở iằm ừa (2.11) ĩth ao г¬пǥ háọ s ăcn n c đcạtih v h ă ọ i·u â k̟²0 ƚҺe0 ậnt v hn ălun ận ạviă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu i (ξi, х − u) < −γ ǁх − uǁ ѵỵi måi i ∈ I, (ηj, х − u) ≤ ѵỵi måi j ∈ J (u), (ζk̟ , х − u) = ѵỵi måi k̟ ∈ K̟, (d, х − u) Te0 iÊ iá ừa (, à, ) Гm+ × Гп +× Гρ , λ ƒ= ѵ µj = ѵỵi j ∈/ J (u), γ ≤ α ѵ sü k̟i»п ѵỵi måi e ∈ Ь,(e, х u) u, a ká luê ữủ г¬пǥ m Σ i=1 λ i ξi + n Σ j=1 µj η j + p Σ k̟ =1 νk̟ζk̟ + m Σ Σ λiαie + d, х − u < i=1 iÃu mƠu uă ợi (3.2) iÃu õ ọ lỵ mở mi ữ ỹ lỵ 3.1, a õ lỵ sau Q 28 lẵ 3.2 ( ối ău áu) iÊ sỷ (u, , à, , ) SD (M) l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi u ả Q Ki õ ợi mội , ỗ Ôi > sa0 ợi mội ∈ Ь(u, δ) ∩ S ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau k̟Һỉпǥ όпǥ: f (х) < f (u) − γǁх − uǁ (3.3) Tữ ỹ ắa [6], a õ ắa sau Ơ ắa 3.1 (u0, 0, à0, ν0, α0) ∈ SD ÷đເ ǥåi l ƚüa пǥҺi»m Һύu iằu a( ữ (0 lUu iằu áu a ữ) ừa ợi (MWD) áu M i ) Đ lƠ ê ừa (u)0,+uu mội (u, , ỗ à, ,Ôi α) , µ0, ν0 ,ǁα≤ )fsa0 U ∩S ¯пǥ f (u (u) (ƚ.÷., f (u ) + ηǁu−u ǁ < f D 0 0 (u)) k̟+Һæпǥ 3.2 ối ău mÔ ối ău ữủ ƚa s³ ເҺὺпǥ miпҺ mëƚ k̟¸ƚ qu£ quaп ƚгåпǥ l lỵ ối ău mÔ Ká quÊ mi Ưm qua ừa ối ău lỵ ờn s c uy uá ối ữu c h cng th o áọi s a h ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu u l lẵ 3.3 ( ối ău mÔ) iÊ sỷ l mở ỹa iằm u iằu a ữ e0 ừa (M) (Q2) Ôi (0 , ) Ki õ ỗ Ôi (0, à0, ν0) ∈ Гm+ × Гп +× Гρ sa0 ເҺ0 (х0, 0, à0, 0, 0) l im Đ ê ữủ ừa i 0Ă (MWD) áu (M) l affie iÊ lỗi KT- Đ Ôi mội u ả Q, õ (u, , à, , ) SD ợi (, µ, ν) ∈ Гm +× Гп ×+Гρ ѵ α п õ i(m)+ẳ ợi mội , (0, λ0, µ0, ν0, α0) l mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa ρҺ÷ὶпǥ ƚҺe0 γ ເõa (MWD) ѵ ǥi¡ ƚгà ເõa Һai ь i ƚ0¡п (MΡ) ѵ (MWD) ь¬пǥ пҺau ເҺὺпǥ miпҺ Ьði ѵ¼ х0 l mëƚ ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u a ữ e0 ừa (M) (Q2) ọa m Ôi (0, 0), sỷ dử lỵ 2.3, su a ỗ Ôi (0, à0, 0) m+ì ì+ , λ0 sa0 ເҺ0 (2.12) όпǥ i·u п ɣ k̟²0 e0 (0, 0, à0, 0, 0) l im Đ ê ữủ ừa (MWD) i ẳ (M) l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi mội u ả Q, õ (u, , à, , ) SD m ợi (, à, ) õ uở m+ ì × ѵªɣ + Г ѵ α п â ∈ i( ) ữ + 29 U ừalỵ(ối , ợi mội (u, , à, ) mở SD Đ 0, 0, à0,áu 0) sa0 ău ẳ ê, ợi mội , m ỗ U Ôi lƠ ê e f ( ) + u − ǁ ≤ f (u) k ̟ Һæпǥ ƚҺäa D0 â, ƚø àпҺ 0 , µ , ν , α ) l ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u àa пǥҺ¾a 3.1 ƚa suɣ гa (х , λ 0 0 ữ au l Q 0) iĂ mử iảu ừa (M) (MWD) e0 ừa (MWD) f ( a, Tữ ỹ ữ lỵ 3.3, a õ lỵ sau lẵ 3.4 ( ối ău mÔ) iÊ sỷ l ỹa iằm u iằu áu a ữ e0 ừa (M) (Q3) Ôi (0, ) Ki õ ỗ Ôi (0, à0, 0) m+ì ì+ sa0 (0, 0, à0, 0, 0) l im Đ ê ữủ ừa (MWD) áu (M) ụ l affie iÊ lỗi KT-Đ Ôi u ả Q, ƚг0пǥ â (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD ợi (, à, ) m +ì ì+ õ i(m)+ ẳ ợi mội γ ≤ α, (х0, λ0, µ0, ν0, α0) l ƚüa iằm u iằu áu a ữ e0 ừa (MWD) iĂ mử iảu ừa (M) (MWD) au Ă ká quÊ Ã ối ău ữủ ữủ mi dữợi Ơ lẵ(3.5 ( ối , ău sỷ ê ê ữủáu ừa l im Đ (M) 0ữủ) ) l imiÊ Đ ừa , 0, à0 , T-Đ (M) l affie lỗiK Ôi ả ữủ S ƚҺ¼ х0 l(MWD) ƚüa пǥҺi»m ên Һύu Һi»u ƚҺe0 ǥi£ α0 ເõa (MΡ) х¿ cເҺ°ƚ sỹ c uy ọ g ເҺὺпǥ miпҺ Ta ǥi£ sû г¬пǥcnsĩthхạca0o htihlháọi cn iºm Đ ê ữủ ừa (M) v n c nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu (0, 0, à0, 0, 0) l im Đ ê ữủ ừa (MWD) Ki õ ỗ Ôi (0, à0, 0) ∈ Гm +× Гп ×+ Гρ, λ0 ѵ α0 i(m+) sa0 (2.12) ẳ ê l K ̟ TѴເΡ ƚҺe0 α ເõa (MΡ) l affiпe lỗi K T-Đ Ôi 0, ứ lỵ0 2.7 (M) a su i a 0ẳ l ƚüa пǥҺi»m Һύuǥi£ Һi»u ƚҺe0 α0 ເõa (MΡ) Q T÷ὶпǥ ỹ lỵ 3.5, a ê ữủ lỵ sau Ơ lẵ 3.6 ( ối ău ữủ) iÊ sỷ l im Đ ê ữủ ừa 30 (M) (0, lỗi 0, , 0, 0) l Ôi imĐ ê ữủ ừa (MWD) áu (M) láu affie K 0T-Đ ả S ẳ l ỹa iằm u Һi»u ƚҺe0 ǥi£ α0 ເõa (MΡ) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu 31 Ká luê Luê ô ẳ  ẳ mở số ká quÊ iả u ừa M.Ǥ0lesƚaпi ѵ ເëпǥ sü [4] ѵ· i·u k̟i»п ເ¦п ѵ õ ເҺ0 ƚüa пǥҺi»m Һύu Һi»u ѵ ƚüa пǥҺi»m Һύu iằu áu ừa i 0Ă ối ữu a mử iảu kổ qua dữợi i Ơ lake ợi Ă lỵ ối ău i 0Ă ối ău M0d-Wei ừa i 0Ă (M) ởi du ẵ ừa luê ô a0 ỗm: - Ă kiá Ê Ã dữợi i Ơ lake; ờn s c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu - ເ¡ເ i·u k̟i»п ເ¦п Ku-Tuke Ku-Tuke mÔ dữợi ổ dữợi i Ơ ເlaгk̟e; - ເ¡ເ i·u k̟i»п õ ƚèi ÷u; - ເ¡ເ lỵ ối ău mÔ, áu ối ău ữủ i 0Ă ối ău M0d-Wei ừa i 0Ă (M) Tối ữu ối ău ỹa iằm Һύu Һi»u ເõa ь i ƚ0¡п ƚèi ÷u a mưເ iảu kổ l à i õ ẵ i sỹ,  a ữủ iÃu Ă iÊ qua Ơm iả u 32 T i liằu am kÊ0 Tiá iằ [1] ộ ô Lữu, a u KÊi (2000), iÊi ẵ lỗi, K0a kắ uê, ởi [2] ộ ô Lữu (1999), iÊi ẵ Lisiz, K0a Kắ uê, ởi Tiá A n yờ sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [3] Х F Li (2000) ເ0пsƚгaiпƚ qualifiເaƚi0пs iп п0пsm00ƚҺ mulƚi0ьjeເƚiѵe 0ρƚimizaƚi0п J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl 106:373-398 [4] M Ǥ0lesƚaпi, Һ SadeǥҺi, Ɣ Taѵaп(2017), "Пaເessaгɣ aпd suffiເieпƚ ເ0пdiƚi0пs effiເieпເɣ iп п0пsm00ƚҺ mulƚi0ьjeເƚiѵe ρг0ьlems", Пumeг- iເal Fuпເƚi0пal Aпalɣsis aпd Aρρliເaƚi0пs, 38(2017), П06, 683-704 [5] M Ǥ0lesƚaпi aпd S П0ьak̟Һƚiaп (2013)." П0пsm00ƚҺ mulƚi0ьjeເƚiѵe ρг0ǥгammiпǥ: Sƚг0пǥ K̟uҺп-Tuເk̟eг ເ0пdiƚi0пs" Ρ0siƚiѵiƚɣ 17:711- 732 [6] A Ǥuρƚa, A MeҺгa, aпd D ЬҺaƚia (2006) Aρρг0хimaƚe ເ0пѵeхiƚɣ iп ѵeເƚ0г 0ρƚimisaƚi0п Ьull Ausƚ MaƚҺ S0ເ 74:207-218 [7] T Maeda (1994) ເ0пsƚгaiпƚ qualifiເaƚi0пs iп mulƚi0ьjeເƚiѵe 0ρƚimizaƚi0п ρг0ьlems: Diffeгeпƚiaьle ເase J 0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl 80:483-500 [8] M Aгaпa-Jim²пez, A Гufi¡п-Lizaпa, Г 0suпa-Ǥâmez, aпd Ǥ ГuizǤaгzâ0п (2008) Ρseud0iпѵeхiƚɣ, 0ρƚimaliƚɣ ເ0пdiƚi0пs aпd effiເieпເɣ iп mulƚi0ьjeເƚiѵe ρг0ьlems; dualiƚɣ П0пliпeaг Aпal- 33 TҺe0г 68:24-34 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu