ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN TOÁN A3 SPKT

Câu 1: (4,0 điểm) a. Đổi thứ tự lấy tích phân 2 3 2 0 2 2 ( , ) x x x I dx f x y dy       , sau đó tính diện tích miền lấy tích phân I. b. Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểmM 1; 3;2 3. Tìm tọa độ điểm M trong hệ tọa độ trụ và tọa độ cầu. Viết tích phân ( 2 2 2 ) V K   f x  y  z dxdydz trong hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ và tọa độ cầu với V là miền giới hạn bởi các mặt: z  0, z   16  x2  y2 . c. Tính tích phân đường   2 sin cos 2 C M x y yx dy y y xy dx            trong đó C là nửa bên phải của đường tròn x2  y2  4 lấy theo chiều kim đồng hồ từ điểm B(0;2) đến điểm A(0;2) .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Cao Cấp A3 Mã mơn học: MATH 130301 Đề số Đề thi có 02 trang Thời gian: 90 phút Được phép sử dụng tài liệu Khoa Đào tạo Chất lượng cao Nhóm mơn học Khoa học Câu 1: (4,0 điểm) x 2 a Đổi thứ tự lấy tích phân I   dx f ( x, y )dy , sau tính diện tích miền lấy tích phân I  x2 2 x 2 b Trong hệ tọa độ Descartes, cho điểm M 1;  3;2  Tìm tọa độ điểm M hệ tọa độ trụ tọa độ cầu Viết tích phân K   f ( x  y  z ) dxdydz hệ tọa độ Descartes, tọa độ trụ V tọa độ cầu với V miền giới hạn mặt: z  0, z   16  x  y c Tính tích phân đường  y2  M    x sin y  yx  dy    cos y  xy  dx   C bên phải đường tròn x2  y2  lấy theo chiều kim đồng hồ từ điểm C nửa B(0;2) đến điểm A(0; 2) Câu 2: (3,0 điểm)   x3  y3  F ( x, y , z )  i  j  ( z  3)k 3 2 thể giới hạn mặt: z   x  y z  Cho trường vectơ  (S) mặt biên vật  a Tính diện tích mặt (S) Tính rot F ( x, y, z ), div F ( x, y , z )  b Tính thơng lượng trường vectơ F ( x, y, z ) qua mặt (S) Câu 3: (3,0 điểm) a Giả sử dân số P(t) (đơn vị tính: triệu người) cộng đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ lệ tự nhiên r E(t) số dân di cư khỏi cộng đồng thời điểm t (đơn vị tính: năm), ta có dP  rP  E dt Giải phương trình xác định dân số thời điểm t biết r  0,1, E (t )  10e  t , P(0)  90 b Giải phương trình: y  y  y  sin x Câu Đáp án Thangđi ểm 0,5đ Đổi thứ tự: 1 y 1 1a (1đ) I   dy 1 y 1 f ( x, y )dx   dy  1 y 1  f ( x , y )dx y2 Tính diện tích: S   dx 0,5đ x2 3  x 2 x 2 dy   (  x  3x )dx  Tọa độ điểm M: 0,5đ  ;2 3) Trụ: M (2;   ; ) Cầu: M (4; Descartes: 1b 0,5đ 16  x K   dx 4 (2đ)   16 x f  x, y , z dz  dy 2  16  x  y Trụ: 0,5 đ 2 I r f  r  z dz  d   dr  0  16 r 2  Cầu: I 0,5đ  d  d   f      /2 sin  d   y2  x sin y  yx dy   cos y  xy     dx AB    AB : x   dx  Ta có   M1   2  y  0,5đ Ta có 0,5đ Đặt M  1c (1đ) M  M1    xdxdy   x  y 4, x 0 M   /2  cos d  r dr    /2 16 16 16  M1   3 Diệntích: 2a (2đ) 0,5đ Dt ( S )  Dt ( S1 )  Dt ( S2 ); ( S1 ) : z   x  y ,( S2 ) : z  Dt ( S1 )   x  y 1  z '2x  z '2y dxdy   x  y 1 2dxdy  2. 12  2 Dt ( S2 )   z '2x  z '2y dxdy   x  y 1  0,5đ dxdy   12   x  y 1 Dt ( S )  (  1)      rot F   Ry'  Qz'  i   Pz'  Rx'  j   Qx'  Py'  k   divF  Px'  Q y'  Rz'  x  y  Thông lượng: W  2b (1đ) W=   (x 0,5đ 0,5đ 0,5đ x3 y3 dy d z  dxdz   z  3 dxdy S 3 +y +1)dxdydz ; ( ) :  x  y  z  ( ) Ta có: 0,5đ 2 W=   d  dr  (r 0 2  1).rdz  2 r  d  ( r  1).r.( r  1)dr  13 30 pt  P '( t )  0,1P( t )  10e   t  0,1dt P (t )   10 e e dt  C    0,1 dt    e 0,5đ 100  t P (t )  e 0,1t   10e 1,1t dt  C   e  Ce0,1t   11 890 100  t 890 0,1t P(0)  90  C   P( t )  e  e (triệu người) 11 11 11 Pt đặc trưng: k  3k    k  1; k  0,5đ t 3a (1,5đ) 3b (1,5đ) Nghiệm tổng quát pt y '' y ' y  Y  C1e Mộtnghiệmriêng có dạng: yr  A cos x  B sin x  yr  x 0,5đ  C2 e2 x 0,5đ 0,5đ cos x  sin x 10 10 Nghiệm tổng quát pt ban đầu y  Y  yr  C1e x  C2 e2 x  0,5đ cos x  sin x 10 10