I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC T M lu an n va p ie gh tn to V TNH CHN L CÕA SÈ NH N TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H SÈ NGUYN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUN VN THC S TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUYN, 5/2019 n va ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o M THÀ NGÅC T M lu an n va p ie gh tn to V TNH CHN L CÕA SÈ NH N TÛ BT KH QUY MODULO P CÕA A THÙC H Sẩ NGUYN oa nl w d Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp nf va an lu M số: 46 01 13 lm ul z at nh oi LUN VN THC S TON HÅC z @ gm GIO VIN HìẻNG DN m co l TS NGUYN DUY T N an Lu THI NGUYN, 5/2019 n va ac th si iii Mửc lửc lu M Ưu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b an 1.1 1.2 1.3 n va K¸t thùc cõa hai a thùc Bi»t thùc cõa a thùc Tỹ ỗng cĐu Frobenius 10 2.1 2.2 2.3 2.4 p ie gh tn to Chữỡng nh lỵ Stickelberger 12 14 17 19 nl w Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy Fp [x] nh lỵ Stickelberger a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguyản tố Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thực thỹc 12 Kỵ hiằu Legendre 21 nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai 22 nh lỵ Stickelberger modulo 26 nf va an lu 3.1 3.2 3.3 d oa Ch÷ìng ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai 21 32 33 z at nh oi lm ul Kát luên Ti li»u tham kh£o z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va ie gh tn to Cho f (x) ∈ Z[x] l mët a thùc chu©n (monic) h» số nguyản bêc n v khổng cõ nghiằm phực kp Gåi D(f ) l bi»t thùc cõa f Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v gåi Fp = Z/pZ l trữớng hỳu hÔn cõ p phƯn tỷ Gồi f(x) Fp [x] l a thực nhên ữủc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sè modulo p Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f Khi õ mởt nh lỵ cừa Stickelberger khng nh rơng r v n cõ tẵnh chđn l, tực l r ≡ n (mod 2), v ch¿ D(f ) l bẳnh phữỡng modulo p Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và chựng minh cừa nh lỵ Stickelberger ny cụng nhữ ựng dửng cừa nõ chựng minh luêt thuên nghch bêc hai p Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên v Ti liằu tham khÊo, bố cửc cừa luên vôn ữủc chia lm ba chữỡng oa nl w Chữỡng Mởt số kián thực chuân b d Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực v· k¸t thùc cõa hai a thùc, bi»t thùc cõa a thực v ỗng cĐu Frobenius lu nf va an Chữỡng nh lỵ Stickelberger lm ul Chữỡng ny trẳnh by và nh lỵ Stickelberger, mởt số vẵ dử minh hồa, v mởt tữỡng tỹ cừa nh lỵ ny cho a thùc thüc z at nh oi Ch÷ìng ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luêt thuên nghch bêc hai v mët chùng minh cõa luªt n y sû dưng nh lỵ Stickelberger z Luên vôn ny ữủc thỹc hiằn v hon thnh vo thĂng nôm 2019 tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc- Ôi hồc ThĂi Nguyản Qua Ơy, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS Nguyạn Duy TƠn, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn suốt quĂ trẳnh lm viằc hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Khoa ToĂn-Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản,  tÔo mồi iÃu kiằn º gióp t¡c gi£ håc tªp v ho n th nh luªn vôn cụng nhữ chữỡng trẳnh thÔc sắ TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi têp th lợp cao hồc K11D, khõa 05/2017 - 05/2019  ởng viản giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn m co l gm @ an Lu n va ac th si ny ỗng thới t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tỵi Ban gi¡m hiằu v cĂc ỗng nghiằp tÔi trữớng THCS Hững Ôo, ổng TriÃu, QuÊng Ninh  tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Xin chƠn thnh cÊm ỡn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 Ngữới viát luên vôn TS Nguyạn Duy TƠn m Th Ngồc T¥m lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Mởt số kián thực chuân b lu Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực và kát thực cõa hai a thùc, bi»t thùc cõa a thùc v ỗng cĐu Frobenius Ti liằu tham khÊo sỷ dửng cho ch÷ìng n y l t i li»u [2, Section 6.6] v [3, Chapter 15] an n va gh tn to 1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc p ie Gi£ sû f, g l hai a thực bián x vợi cĂc hằ sè mët tr÷íng F Gi£ sû K l mởt trữớng õng Ôi số chựa F Gồi , , αn l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa f K , tùc l nl w d oa f (x) = a(x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), vỵi a ∈ K n o â lu nf va an T÷ìng tü, gåi β1 , , βm l t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g K , tùc l lm ul g(x) = b(x − β1 )(x − β2 ) (x − βm ), vỵi b ∈ K n o â z at nh oi Ta nh nghắa kát thực cừa f v g , R(f, g) l n Y m Y R(f, g) = a b (αi − βj ) (n = deg f, m = deg g) z m n gm @ i=1 j=1 m co Tẵnh chĐt 1.1.1 R(g, f ) = (1)mnR(f, g) l Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực an Lu n va ac th si Chùng minh Ta câ m Y n n Y m Y Y m n R(g, f ) = a b (βj − αi ) = a b (αi − βj ) = (−1)mn R(f, g) m n j=1 i=1 i=1 j=1 Ta câ i·u ph£i chùng minh Tẵnh chĐt 1.1.2 R(f, g) = náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc dữỡng lu Chựng minh Náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung l h(x) ∈ F [x] Khi â gåi α ∈ K mët nghi»m cõa h K Nh÷ vêy tỗn tÔi i, j cho i = v βj = α Ta suy t½ch ành nghắa R(f, g) cõ nhƠn tỷ i j = v vªy R(f, g) = an n va n Y mn n g(αi ) = (−1) b i=1 tn to Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, g) = a m m Y f (βj ) j=1 p ie gh Q Q Chùng minh V¼ g(x) = b nj=1 (x − βi ), n¶n ta câ g(αi ) = b nj=1 (αi − βj ), vỵi måi i = 1, , n Do vªy i=1 nl w n Y oa m a n Y n Y g(αi ) = a b (αi − βj ) = R(f, g) m n d i=1 j=1 lu nf va an Tữỡng tỹ (hoc sỷ dửng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy lm ul R(f, g) = (−1) mn n b m Y f (βj ) z at nh oi j=1 z Tẵnh chĐt 1.1.4 Náu g(x) = f q + r, th¼ R(f, g) = am−deg r R(f, r) n Y [f (αi )q(αi ) + r(αi )] i=1 m co i g(αi ) = a deg g l n Y gm R(f, g) = a deg g @ Chựng minh Tứ Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ an Lu n va ac th si V¼ αi l nghi»m cõa cõa f , n¶n f (αi ) = v vªy f (αi )q(αi ) + r(αi ) = r(α) Do â ta câ R(f, g) = a deg g n Y r(αi ) i=1 M°t kh¡c, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = adeg r R(f, g) = a deg g n Y Qn i=1 r(αi ) Do vªy r(αi ) = adeg g−deg r R(f, r) i=1 lu Tẵnh chĐt 1.1.5 R(f, b) = bdeg f náu b l vổ hữợng an va n Chựng minh t g(x) = b Theo Tẵnh chĐt 1.1.3 tn to ie gh R(f, g) = a n Y g(αi ) = bn i=1 p nl w d oa CĂc Tẵnh chĐt 1.1.1,1.1.4, 1.1.5 cho php ta tẵnh toĂn kát thực cừa bĐt kẳ hai a thực no bơng thuêt toĂn chia cừa Euclid CĂc tẵnh chĐt ny cụng cho php ta chựng minh ữủc rơng kát thực R(f, g) l mởt phƯn tỷ cừa trữớng F mc dũ nõ ữủc nh nghắa dỹa theo cĂc phƯn tỷ trữớng lợn hỡn K nf va an lu z at nh oi lm ul Tẵnh chĐt 1.1.6 Ta câ R(f, g) n¬m F z Chựng minh Ta chựng minh bơng quy nÔp theo deg f Náu g = b l hơng số thuởc F Thẳ theo Tẵnh chĐt 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) = R(f, b) = bn thuởc F GiÊ sỷ khng nh  úng vợi mồi mồi a thực f v g vợi f cõ bêc nhä hìn ho°c b¬ng n − X²t f v g l hai a thực tũy ỵ vợi deg f = n ≥ Khi â theo thuªt to¡n chia a thực, tỗn tÔi hai a thực q v r F [x] cho g = f q + r, m co l gm @ an Lu vỵi r = ho°c deg r < deg f = n Theo Tẵnh chĐt 1.1.4, Tẵnh chĐt 1.1.1 v theo giÊ thiát quy nÔp ta cõ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F Ta câ i·u ph£i chùng minh n va ac th si Tẵnh chĐt 1.1.7 Ta cõ Náu f = f1 f2 th¼ R(f, g) = R(f1 , g)R(f2 , g) Náu g = g1 g2 thẳ R(f, g) = R(f, g1 )R(f, g2 ) Chùng minh Suy tø Tẵnh chĐt 1.1.3 1.2 Biằt thực cừa a thực Cho f = f (x) ∈ F [x] l a thùc vợi hằ số trữớng F v K l mởt trữớng õng Ôi số chựa F Biằt thực cừa f ữủc nh nghắa l lu an D(f ) = (−1)n(n−1)/2 R(f, f ), n va p ie gh tn to Ơy f l Ôo hm cừa f v n = deg f Theo Tẵnh chĐt 1.1.2, ta câ D(f ) 6= n¸u v ch¿ n¸u f v f khỉng câ thøa sè chung Chúng ta cõ th tẵnh toĂn D(f ) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid trản f v f Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử oa nl w V½ dư 1.2.1 X²t f (x) = x a Khi õ f 0(x) = 1, vẳ vêy d D(f ) = (−1)(1.0)/2 R(f, 1) = R(f, 1) = 1deg f = lu −R(f, f ) Ta câ nf va an V½ dư 1.2.2 X²t f (x) = x2 + ax + b Khi â f (x) = 2x + a v D(f ) = lm ul a a2 x + ax + b = (2x + a) + + (b − ) 4 z at nh oi z a2 °t r = b − Ta câ x @ co l gm D(f ) = −R(f, f ) = R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) m = 2deg f −deg r (−1)R(f , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4) = 220 R(f , r) = −4r = a2 − 4b an Lu n va ac th si V½ dư 1.2.3 Cho f (x) = x3 + qx + r Th¼ f 0(x) = 3x2 + q v thüc hi»n thuªt to¡n Euclid, ta câ 2q x3 + qx + r = (3x2 + q) + x+r , 3 2q 9x 27r 27r2 3x + q = x+r − + q+ 2q 4q 4q x Do â lu an n va p ie gh tn to w D(f ) = (−1)3·2/2 R(f, f ) = −R(f, f ) = R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) 2qx = −3deg f −1 R(f , + r) (theo Tẵnh chĐt 1.1.4) 2qx = 9R( + r, f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) 2 2q 2qx 27r2 R( = −9 + r, q + ) 3 4q 27r2 ) = −4q − 27r2 = −4q (q + 4q oa nl V½ dư 1.2.4 X²t f (x) = xn − ∈ F [x] Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x) d Gåi α1 , , αn l n nghi»m K (mët tr÷íng õng Ôi số chựa F ) cừa a thực f (x) = xn − Ta câ f (x) = nxn−1 Do vªy nf va an lu R(f, f ) = (−1) n(n−1)/2 n Y f (αk ) k=1 n Y !n−1 z at nh oi = (−1) lm ul D(f ) = (−1) n(n−1)/2 n(n−1)/2 n n αk k=1 n(n−1) z = (−1)n(n−1)/2 nn (−1) co l gm Vẳ theo nh lỵ Vite · · · αn = (−1)n @ = (−1)n(n−1)/2 nn m a thùc f (x) ∈ F [x] ữủc gồi l mởt a thực chuân (monic) náu hằ số ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nõ bơng an Lu n va M»nh · 1.2.5 Cho f l mët a thùc monic v α1, , αn l c¡c nghi»m ac th si 18 Bê · 2.3.2 Cho f (x) = x4 + ax2 + b ∈ F [x] Khi â bi»t thùc cõa f l 2 D = 16b(a − 4b) Chùng minh Gåi α, −α v β , −β l nghi»m cõa a thùc f (x) (trong mët tr÷íng âng Ôi số K no õ chựa F ) Ta cõ α2 = u, β = v l hai nghi»m cõa x2 + ax + b Theo M»nh · 1.2.5, ta câ D = [(−α − α)(β − α)(−β − α)(β + α)(−β + α)(−β − β)]2 = 16α2 β (β − α2 )2 = 16uv (u + v)2 − 4uv) = 16b(a2 − 4b) lu an n va M»nh · 2.3.3 a thùc x4 + l bĐt khÊ quy trản Z l khÊ quy tn to modulo p vợi mồi số nguyản tố p p ie gh Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + l D = 16 · 42 l mët sè chẵnh phữỡng Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x4 + l kh£ quy modulo p vỵi måi p nguy¶n tè m p 6= Ta câ x4 + = (x + 1)4 (mod 2) Nhữ vêy x4 + l kh£ quy modulo p vỵi måi p nguyản tố Ta chựng minh x4 + bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x4 + l kh£ quy tr¶n Z Khi â d oa nl w lu nf va an (x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d), lm ul vỵi a, b, c, d ∈ Z n o â Ta câ z at nh oi (x2 +ax+c)(x2 +bx+d) = x4 +(a+b)x3 +(ab+c+d)x2 +(ad+bc)x+cd z Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 0, ad + bc = v cd = Tø cd = ta suy c = d = −1 ho°c c = d = Suy ab = −(c + d) = ±2 Do vªy a2 = ±2, phữỡng trẳnh ny khổng cõ nghiằm nguyản @ co quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p l gm M»nh · 2.3.4 a thùc x4 + 3x2 + l bĐt khÊ quy trản Z l khÊ m Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 3x2 + l D = 16 · 52 l mët sè chẵnh phữỡng Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x4 + x2 + l kh£ quy modulo p an Lu n va ac th si 19 vỵi måi p nguy¶n tè m p 6= v p 6= Ta câ x4 + 3x2 + = (x + 1)4 (mod 2) v x4 + 3x2 + = (x 1)2 (x 1)2 (mod 5) Nhữ vêy x4 + l kh£ quy modulo p vỵi måi p nguy¶n tè Ta chùng minh x4 + 3x2 + bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x4 + 3x2 + l kh£ quy tr¶n Z Khi â (x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d), vỵi a, b, c, d ∈ Z n o â Ta câ lu (x2 +ax+c)(x2 +bx+d) = x4 +(a+b)x3 +(ab+c+d)x2 +(ad+bc)x+cd an n va tn to Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 3, ad + bc = v cd = Tø cd = ta suy c = d = −1 ho°c c = d = Suy ab = − (c + d) = ho°c Do vªy a2 = −1 ho°c 5, phữỡng trẳnh ny khổng cõ nghiằm nguyản ie gh Nhên xt 2.3.5 Hai mằnh à trản l vẵ dử và a thực trũng phữỡng bêc p bĐt khÊ quy trản Z khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố BÔn ồc cõ th tham khÊo [1] cho nghiản cựu Ưy ừ hỡn và chừ à ny nl w d oa Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cƯn cõ khÊ nông kim tra xem D(f ) l mởt bẳnh phữỡng mod p hay khổng Chóng ta câ mët ph÷ìng ph¡p húu hi»u º l m iÃu ny bơng cĂch sỷ dửng luêt thuên nghch bêc hai Mët i·u thó r¬ng, ta câ thº chùng minh luêt thuên nghch bêc hai bơng cĂch sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Nhỳng iÃu ny s ữủc trẳnh by ð ch÷ìng sau nf va an lu lm ul z at nh oi 2.4 Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thực thỹc nh lỵ 2.4.1 Cho f (x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d z v bi»t thùc D(f ) 6= Gåi r l số nhƠn tỷ monic bĐt khÊ quy thỹc cõa f Khi â d ≡ r (mod 2) ⇔ D(f ) > l gm @ m co Chùng minh Gi£ sû f (x) = f1 (x) · · · fm (x)fm+1 (x) · · · fn (x) l phƠn tẵch cừa f thnh tẵch cĂc a thùc monic b§t kh£ quy thüc, â f1 (x), , fm (x) an Lu n va ac th si 20 l c¡c a thùc bªc 2, v fm+1 (x), , fm+n l c¡c a thùc bªc Ta câ D(fi ) < D(fi ) = vỵi måi i = 1, m, v vỵi måi i = m + 1, m + n Theo M»nh · 1.2.8 D(f ) = D(f1 · · · fm fm+1 · · · fm+n ) = D(f1 ) · · · D(fm )a2 , vỵi a ∈ R n o â Do vªy D(f ) > ⇔ m l sè ch®n ⇔ d = 2m + n ≡ r = m + n (mod 2) lu an Ta câ i·u ph£i chùng minh n va H» qu£ 2.4.2 Cho f (x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bªc d tn to v bi»t thùc D(f ) 6= Khi â ie gh (a) N¸u D(f ) > thẳ f cõ d 4k nghiằm thỹc, vợi k ≥ n o â; p (b) N¸u D(f ) < th¼ f câ d − − 4k nghi»m thüc, vỵi k ≥ n o â d oa nl w Chùng minh Gåi m l sè c°p nghi»m phùc (khæng thüc) cõa f v gåi n l sè nghi»m thüc cõa f Khi â theo ành lỵ trản (mod 2) nf va an lu D(f ) > ⇔ m ≡ z at nh oi lm ul Gi£ sû D(f ) > Khi â m l số chđn Viát m = 2k vợi k ≥ n o â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l d − 2m = d − 4k Gi£ sû D(f ) < Khi â m l số l Viát m = 2k + vợi k ≥ n o â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l d − 2m = d − − 4k z m co l gm @ an Lu n va ac th si 21 lu Ch÷ìng nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai an n va ie gh tn to Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luêt thuên nghch bêc hai v mởt chựng minh luêt ny bơng cĂch sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Ti liằu tham khÊo sỷ dửng cho chữỡng n y l t i li»u [3, Chapter 16] v [2, Section 6.7] p 3.1 Kỵ hiằu Legendre w oa nl nh nghắa 3.1.1 Cho p l mởt số nguyản tốl,v a l mët sè nguy¶n d a nf va an lu ữủc nh nghắa nhữ khổng chia hát cho p Khi õ kỵ hiằu Legendre p sau ( a náu a l bẳnh phữỡng modulo p = p náu a khổng l bẳnh phữỡng modulo p z at nh oi lm ul Mởt số tẵnh chĐt z Cho p l sè nguy¶n tè l´, a v b l hai số nguyản khổng chia hát cho p Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau 2 a = 1 m an Lu p−1 a a (mod p) (Tiảu chuân Euler) p co a b = p p l ab p gm @ p n va ac th si 22 a b N¸u a ≡ b (mod p) thẳ = p p bơng ho°c −1 tòy theo p ≡ (mod 4) hay p ≡ (mod 4) p Khi â = v n¸u p ≡ (mod 8) ho°c p ≡ (mod 8); v p = −1 n¸u p ≡ (mod 8) ho°c p ≡ (mod 8) p 45 Tẵnh kỵ hiằu Legendre 37 45 Ta câ = = = = −1 37 37 37 37 37 V½ dư 3.1.2 lu Líi gi£i an n va tn to nh lỵ 3.1.3 (Luêt thuên nghch Gi£ sû p v q l c¡c hai Gauss) bªc p q q p = trø p ≡ q ≡ (mod 4) p ie gh số nguyản tố l phƠn biằt Khi õ p q th¼ =− q p w d oa nl V½ dư 3.1.4 T½nh lỵ hiằu Legendre Lới giÊi 1234 199 an lu 1234 199 40 = 199 = 199 199 199 199 = (−1) = (−1) 5 = −1 nf va z at nh oi lm ul z @ co l gm 3.2 nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai m Trong mưc n y chóng ta chùng minh luªt thuªt nghch bêc bơng cĂch Ăp dửng nh lỵ Stickelberger Cho p v q l hai sè nguy¶n tè l´ phƠn biằt Gồi e l cĐp cừa q mod p, tực l e l số nguyản dữỡng nhọ nhĐt cho an Lu n va ac th si 23 q e ≡ (mod p), công tùc l e l cĐp lợp ỗng ữ [q] nhõm nhƠn (Z/pZ)ì Ta s Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cho a thực xp Fq [x] Trữợc tiản ta cõ bê · sau Bêp · 3.2.1 Gåi f (x) l mởt nhƠn tỷ bĐt khÊ quy bĐt ký cừa a thùc (x − 1)/(x − 1) Fq [x] Khi õ bêc cừa f (x) bơng e, cĐp cừa q mod p Chùng minh Gåi K l mët tr÷íng âng Ôi số chựa Fp Gồi l mởt nghiằm K cõa f (x) Theo M»nh · 2.1.2, ta câ f (x) = (a − α)(x − αq )(x − αq ) (x − αq n−1 ), lu n an n va p ie gh tn to Ơy n l mởt số tỹ nhiản mơ nhä nh§t m αq = α Ta s³ ch¿ rơng n = e Vẳ p = v 6= 1, nản cĐp cừa (trong nhõm K ì ) phÊi bơng p iÃu ny suy ra, náu r = vợi r N no õ, thẳ p l ữợc cừa r n n Vẳ q = , nản q = Do vêy p | q n − 1, tùc l q n ≡ (mod p) Do vªy e ≤ n e M°t kh¡c, vẳ pe (mod p), nản p | pe − Do vªy αp −1 = Ta suy e αp = α v n ≤ e Nh÷ vªy n = e v ta câ i·u ph£i chùng minh oa nl w Bê · 3.2.2 Sè c¡c nhƠn tỷ bĐt khÊ quy phƠn biằt r cừa xp − d Fq [x] l r = + (p − 1)/e nf va an lu Chùng minh Bªc cõa (xp − 1)/(x − 1) l p − 1, v mội nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (xp − 1)/(x − 1) ·u câ bªc l e theo bờ à trữợc Do vêy cõ (p 1)/e nhƠn tỷ bĐt khÊ quy (monic) phƠn biằt cừa (xp 1)/(x − 1) Do â r = + (p − 1)/e D l bi»t thùc cõa xp − ∈ Fq [x] Khi â D = z at nh oi (−1)(p−1)/2 pp lm ul Bê · 3.2.3 Gåi z Chùng minh Theo V½ dư 1.2.4, D = (−1)p(p−1)/2 pp Vẳ p l số l nản p(p 1) p − (p − 1)2 − = l số chđn Do vêy (1)p(p1)/2 = (1)(p1)/2 2 v D = (−1)(p−1)/2 pp gm @ co l Chùng minh cõa luªt thuªn nghàch bªc hai m Chúng ta s Ăp dửng nh lỵ Stickelberger cho a thùc xp − Fq [x] Trong tr÷íng hđp ny nh lỵ nõi rơng mod p n va (mod 2) D l bẳnh phữỡng an Lu rp ac th si 24 p1 l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cõa f Fq [x], e D = (−1)(p−1)/2 pp l bi»t thùc cõa xp − ∈ Fp [x] Vẳ p l nản é Ơy r = + r =1+ p−1 ≡p e (mod 2) ⇔ | p−1 p−1 ⇔e| e V¼ e l cĐp cừa q (mod p) nản e| p1 q (p−1)/2 ≡ (mod p) lu V¼ p an va n chia p−1 n¸u e (p−1)/2 p (−1) p ! = q tn to p ie gh Chúng ta phƠn tẵch phẵa trĂi: p1 p1 n¸u e chia cho e nl w chia d oa Khi e l thù tü cõa q cõa p, lu p−1 n¸u q (p−1)/2 ≡ 1(mod p) nf va an e chia lm ul Theo tiảu chuân Euler, z at nh oi q ≡ q (p−1)/2 (mod p), p z vªy q (mod p) ⇔ = p co l gm @ q (p1)/2 m Tõm lÔi, ta câ an Lu r≡p q = (mod 2) ⇔ p n va ac th si 25 M°t khĂc D l bẳnh phữỡng mod p D p =1 (p−1)/2 (p−1)/2 p p ⇔ =1 q q ((q−1)/2)((p−1)/2) p ⇔ (1) =1 q q Nhữ vêy tứ nh lỵ Stickelberger cõ lu q ((q−1)/2)((p−1)/2) p = (−1) p q an n va Luêt thuên nghch bêc hai ữủc chựng minh tn to Vẵ dử 3.2.4 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt kh£ quy cõa (x257 − 1)/(x − 1) gh tr¶n F19 p ie Gi£i Ta câ d oa nl w 19 257 nf va an lu 257 10 = = 19 19 = 19 19 19 = (−1) = (−1) = −1 lm ul z at nh oi Do vªy 19128 (mod 257) (theo tiảu chuân Euler) Gồi e l bªc cõa 19 modulo 257 Khi â e l ữợc cừa 256 = 28 (vẳ 19256 = (mod 257), theo nh lỵ Fermat nhọ) Những e khổng l ữợc cừa 128 = 25 vẳ 19128 (mod 257) Do vªy e = 256 v a thùc z @ m l b§t kh£ quy modulo p co l gm x257 − = x256 + · · · + x + x−1 n va 1) trản F11 an Lu Vẵ dử 3.2.5 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f (x) = (x257 −1)/(x− ac th si 26 Gi£i Gåi e l bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x257 1)/(x 1) trản F11 Khi õ e chẵnh l bªc cõa 11 modulo 257 Ta câ 114 ≡ −8 (mod 257) Do vªy 1132 ≡ 88 ≡ −1 (mod 257) Suy 1164 ≡ (mod 257) Nh÷ vêy e l ữợc cừa 64 khổng l ữợc cõa 32 Do vªy e = 64 v f (x) cõ nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic bêc 64 trản F11 3.3 nh lỵ Stickelberger modulo Nhữ Vẵ dử 2.2.1 ta  thĐy, phĂt biu cừa nh lỵ 2.2.1 khổng cỏn úng nỳa cho trữớng hủp p = Tuy nhiản ta cõ nh lỵ sau Ơy và tẵnh chđn l cừa số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa a thực nguyản modulo nh lỵ 3.3.1 Cho f (x) l mët a thùc monic bªc m vợi cĂc hằ số lu nguyản GiÊ sỷ D(f ) 6≡ (mod 2) Gåi r l sè c¡c nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f (x) modulo Khi â D ≡ (mod 4) v an n va (mod 8) tn to r ≡ m (mod 2) ⇔ D(f ) ≡ gh ành ngh¾a 3.3.2 Cho f (x) ∈ F [x] bªc m v câ m nghi»m α1, , αm p ie mởt trữớng õng Ôi số K chựa F Ta ành ngh¾a nl w δ (f ) = (αi + αj ) 1≤i