(Luận văn) sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA lu an n va p ie gh tn to SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG d oa nl w u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THẾ NGHĨA lu SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG an n va p ie gh tn to Chuyên ngành Mã số : Phương pháp Toán sơ cấp : 60 46 01 13 d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ll u nf va an lu m oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh TS NGUYỄN DANH NAM z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i Mục lục Trang LỜI MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Tỉ số đơn, tỉ số kép hàng điểm điều hòa 1.2 Chùm đường thẳng tứ giác toàn phần .5 1.3 Đường tròn trực giao 1.4 Cực đường đối cực lu 1.5 Cách xác định cực đường đối cực 16 an va Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG GIẢI TỐN HÌNH n HỌC PHẲNG 19 gh tn to 2.1 Chứng minh hàng điểm điều hòa .19 ie 2.2 Chứng minh vng góc 25 p 2.3 Chứng minh song song .31 nl w 2.4 Chứng minh thẳng hàng .33 oa 2.5 Chứng minh đồng quy 40 d 2.6 Chứng minh điểm cố định 46 lu va an 2.7 Chứng minh đẳng thức .55 u nf 2.8 Một số toán khác 64 ll KẾT LUẬN 71 m oi TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI MỞ ĐẦU Hình học phẳng chủ đề hấp dẫn kì thi học sinh giỏi Một tốn hình học phẳng ln giải nhiều cách khác nhau, áp dụng khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực đường đối cực” vận dụng để giải toán cho lời giải cách ngắn gọn đẹp mắt Đây cơng cụ mạnh thú vị hình học Kiến thức chùm đường thẳng, phép chiếu xuyên tâm, đặc biệt chùm đường thẳng điều hịa, tứ giác tồn phần sử dụng để tìm kiếm hàng điểm điều hòa Khi xuất hàng điểm điều hòa, lu dễ dàng sử dụng kết liên quan hệ thức Đề-các, hệ thức Niu- an tơn hệ thức Mácloranh giải toán hình học phẳng va n Với hướng khai thác hàng điểm điều hòa đơn giản hàng điểm điều gh tn to hòa xuất từ quan hệ cực đường đối cực điểm cặp đường thẳng cắt đường trịn để giải dạng tốn ie p hình học như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song nl w song, chứng minh vng góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, oa tốn quỹ tích tốn dựng hình Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến d tốn có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất thi học lu va an sinh giỏi toán quốc gia toán quốc tế Các toán hàng điểm điều hòa u nf luận văn lựa chọn với lời giải có tính độc đáo thú vị so với ll phương pháp thường gặp Do vậy, nói kết luận văn cung cấp m oi công cụ cho học sinh việc tiếp cận giải toán hình học phẳng, z at nh đặc biệt tốn xuất kì thi học sinh giỏi mơn Tốn z Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái gm @ Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Danh Nam Tác giả xin l bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tình giúp đỡ suốt m co trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS thầy cô giảng viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giảng an Lu dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tỉ số đơn, tỉ số kép hàng điểm điều hòa 1.1.1 Độ dài đại số Trên đường thẳng d chọn véctơ đơn vị e ta có trục d hướng e hướng trục d Định nghĩa 1.1 [1] Trên trục d, cho hai điểm A, B Độ dài đại số AB lu số có giá trị tuyệt đối AB số dương AB hướng với e an n va số âm AB ngược hướng với e Kí hiệu: AB tn to Các tính chất 2) AB  BC  AC (A, B, C thẳng hàng) p ie gh 1) AB   BA 1.1.2 Tỉ số đơn d oa nl w 3) A1 A2  A2 A3   An1 An  A1 An (với Ai , i  1, n thẳng hàng) CA Kí hiệu: (ABC) CB ll u nf theo thứ tự tỉ số va an lu Định nghĩa 1.2 [1] Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn chúng lấy oi m Định lý 1.1 [1] Cho hai điểm A, B số thực k  tồn z at nh điểm C cho (ABC) = k Chứng minh z  k AB (k  1) k 1 Suy ra, tồn điểm C cho (ABC) = k m co  CA  k AB  AC  CA  k AC  k AB  AC  an Lu  l gm   CA  k  CA  kCB  CA  k CA  AB CB @ Ta có (ABC) = k  n va ac th si 1.1.3 Tỉ số kép Định nghĩa 1.3 [1] Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép CA DA Kí hiệu: (ABCD) : CB DB chúng lấy theo thứ tự tỉ số Vậy  ABCD   CA DA  ABC  :  CB DB  ABD  Các tính chất 1) Tỉ số kép bốn điểm không thay đổi trường hợp sau: + Nếu hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB) lu + Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu hai điểm cuối: an va (ABCD) = (BADC) n + Nếu viết chúng theo thứ tự ngược lại: (ABCD) = (DCBA) to ie gh tn 2) Tỉ số kép bốn điểm thay đổi trường hợp: + Nếu hoán vị hai điểm đầu hai điểm cuối tỉ số kép bốn điểm trở p thành số đảo ngược nó: w  ABCD  d oa nl (BACD) = (ABDC)  an lu + Nếu hoán vị hai điểm hai điểm đầu cuối tỉ số kép u nf va bốn điểm trở thành phần bù 1:  ABCD     ACBD     DBCA 1.1.4 Hàng điểm điều hoà ll oi m Định nghĩa 1.4 [1] Nếu (ABCD) = -1 ta nói bốn điểm A, B, C, D lập hoà C, D z at nh thành hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều z Các tính chất Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có: @ 1   AB AC AD m co l gm 1) Hệ thức Đề-các:  ABCD   1  2) Hệ thức Niu-tơn:  ABCD   1  IA2  IC.ID (trong I trung điểm an Lu đoạn thẳng AB) n va ac th si 3) Hệ thức Mácloranh: AC AD  AB.AJ (trong J trung điểm đoạn thẳng CD) Chứng minh Trên đường thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, ta có: CA  OA  OC = a – c ; CB  OB  OC = b - c DA  OD  OA = d – a ; DB  OD  OB = d - b Ta có  ABCD   1  CA DA a-c a-d :   b-c b-d CB DB  (a - c)(b - d)  - (a - d)(b - c) lu an  2(ab + cd)  (a + b)(c + d) (1) n va + Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d to 1 1      b d c AB AC AD + Chọn O  I ta có OA  OB hay a = - b p ie gh tn Từ (1) ta có 2cd = bc + bd  nl w Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) =  a2 = cd  IA2  IC.ID oa Chứng minh tương tự hệ thức Mácloranh d Định lý 1.2 [1] Nếu AD, AE phân giác trong, phân giác lu va an tam giác ABC (D, E thuộc đường thẳng BC) (BCDE) = - ll u nf A oi m z at nh D C E z B gm @ Hình 1.1 m co l Định lý 1.3 [1] Cho tam giác ABC điểm O không thuộc đường thẳng chứa ba cạnh tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, an Lu AB M, N, P BC cắt NP Q Khi ta có (BCMQ) = - n va ac th si A P N O B M Q C Hình 1.2 Định lý 1.4 [1] Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB tới (O) (A, B tiếp điểm ) Một đường thẳng qua S cắt (O) lu M, N, AB cắt MN I Khi (SIMN) = - an n va p ie gh tn to w oa nl Hình 1.3 d 1.2 Chùm đường thẳng tứ giác toàn phần lu an 1.2.1 Chùm đường thẳng u nf va Định nghĩa 1.5 [1] Trong mặt phẳng, cho tập hợp đường thẳng đồng quy điểm S chúng lập nên chùm đường thẳng S gọi tâm ll oi m chùm z at nh Tập hợp đường thẳng nằm mặt phẳng song song với lập nên chùm đường thẳng có tâm vơ tận z Định lý 1.5 [1] Một chùm bốn đường thẳng cắt đường thẳng theo hàng l gm Chứng minh @ điểm có tỉ số kép khơng thay đổi m co * Trường hợp chùm đồng quy điểm S: Gọi l đường thẳng cắt đường an Lu thẳng a, b, c, d A, B, C, D l’ đường thẳng cắt đường thẳng a, b, n va ac th si c, d A’, B’, C’, D’ Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’) (Hình 1.4) S N’ M’ B’ l’ N M D’ C’ A’ A B C D c b a l d lu an Hình 1.4 va n Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a cắt đường Ta có: p ie gh tn to thẳng c N, cắt đường thẳng d M nl w CA SA DA SA   DB NB CB MB d oa Từ suy ra: CA DA SA SA NB :  :  CB AB MB NB MB lu (1) va an  ABCD   u nf Tương tự, từ điểm B’ kẻ đường thẳng song song với đường thẳng a cắt ll đường thẳng c, d M’, N’ (3) z gm @ Mặt khác, ta có: NB  N ' B ' MB M ' B ' (2) z at nh N 'B' M 'B' oi m Ta có  A ' B ' C ' D '  Từ (1), (2) (3) ta có (ABCD) = (A’B’C’D’) l (ABCD) = (A’B’C’D’) m co * Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d ta ln có đẳng thức an Lu n va ac th si Định nghĩa 1.6 [1] Trong mặt phẳng cho chùm bốn đường thẳng a, b, c, d Một đường thẳng l cắt chùm A, B, C, D (ABCD) gọi tỉ số kép chùm bốn đường thẳng a, b, c, d Kí hiệu: (abcd) = (ABCD) Nếu chùm đồng quy S ta kí hiệu: S S(abcd) = (ABCD) l N Nếu (abcd) = - ta có chùm điều hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b B chia điều hoà c, d Định lý 1.6 [1] Trong mặt phẳng cho M lu chùm bốn đường thẳng đồng quy Điều kiện cần a an va đủ để chùm lập thành chùm điều hồ d b c Hình 1.5 n là: Một đường thẳng song song với gh tn to bốn đường thẳng bị ba đường thẳng lại chia thành hai đoạn thẳng p ie oa nl B, N w Chứng minh Kẻ đường thẳng l song song với a cắt b, c, d M, Theo định lý trên, ta có: d lu NB (abcd) = -1 MB NB  1  NB  MB MB ll  u nf va an (abcd) =   ABCD oi m z at nh  B trung điểm đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5) Hệ Trong chùm điều hồ có hai đường liên hợp vng góc z với hai đường đường phân giác góc tạo hai đường cịn gm @ lại (Hình 1.6a) m co l Hệ Hai đường phân giác hai góc kề bù chia điều hồ hai cạnh góc (Hình 1.6b) Chùm đường thẳng gồm hai cạnh góc hai đường an Lu phân giác góc gọi chùm phân giác n va ac th si 58 Giải Gọi DK giao (O2) R khác K Ta dễ thấy DA, DB tiếp xúc với (O2) tứ giác ARBK điều hòa Vậy tiếp tuyến K R (O2) cắt Q thuộc AB (ABPQ) = -1 (Hình 2.44) lu an n va p ie gh tn to w Hình 2.44 oa nl Tương tự, gọi CL giao với (O1) S khác L tiếp tuyến S L (O1) d cắt Q’ thuộc AB (ABPQ’) = -1 Q  Q’ Từ QL, QK tiếp lu va an xúc (O1), (O2) mà AB trục đẳng phương (O1), (O2) QL = QK Từ đó, ta u nf dễ thấy hai tam giác vuông QML = QMK suy MK = ML ll Ví dụ 2.43 [2] Cho hình bình hành ABCD d đường thẳng thay đổi qua oi m z at nh A cắt BD, BC, CD E, F, G Chứng minh 1   AE AF AG Giải Đẳng thức cần chứng minh có dạng giống hệ thức Đề-các, ta z 1   , nghĩa AK  AE , cần chứng AK AF AG m co l gm minh (AKFG) = -1 @ cần dựng điểm K cho an Lu n va ac th si 59 A D O E F B C K L G lu Hình 2.45 an n va * Cách 1: Gọi K điểm thuộc d cho AK  AE hay E trung điểm chùm CA, CK,CF, CG Ta có BD // CK chắn CA, CF, CG O, B, D; mà gh tn to AK Khi EO // KC (tính chất đường trung bình tam giác), suy BD//KC Xét p ie OB = OD (do ABCD hình bình hành) nên theo định lý cát tuyến song song w C(AKFG) = -1 suy (AKFG) = -1 oa nl Theo hệ thức Đề-các: 1 1      (do AK  AE ) AK AF AG AE AF AG d * Cách 2: Gọi L trung điểm CG K giao điểm BL AG an lu KL CL LG CL KL LG    (định lý Ta-lét) mà , suy KB CD BA CD KB BA u nf va Do AB // LG nên ll Theo định lý Ta-lét đảo, ta có CK // BD m oi Xét tam giác ACK, ta có O trung điểm AC OE // CK, suy E trung z at nh điểm AK Xét chùm BA, BK, BF, BG, ta có GD cát tuyến song song với BA, chắn ba tia lại hai đoạn CL = LG z Theo định lý cát tuyến song song, BA, BK, BF, BG chùm điều hòa nên suy @ 1 1      AK AF AG AE AF AG l gm (AKFG) = -1 Theo hệ thức Đề-các: m co Ví dụ 2.44 [2] Cho tam giác ABC có trọng tâm G Một đường thẳng d thay an Lu đổi qua G cắt BC, CA, AB M, N, P Chứng minh rằng: n va ac th si 60 1   0 GM GN GP Giải Q A x N G B C I M d lu P an va n Hình 2.46 to Xét chùm Ax, AG, AB, AC có BC cát tuyến song song với Ax, chắn ba p ie gh tn Dựng Ax // BC Gọi I là trung điểm BC w tia lại hai đoạn IB = IC Theo định lý cát tuyến song song, Ax, AG, oa nl AB, AC chùm điều hòa suy (Ax, AG, AB,AC) = -1 Gọi Q giao điểm Ax d d (QGPN) = -1 (Hình 2.46) an lu GAQ( g  g )  ll (1) GI GM   GA GQ oi m Mà GIM 1 2GM GM GM      GQ GP GN GQ GP GN u nf va Theo hệ thức Đề-các: z at nh Vậy từ (1) ta suy 1  GM GM 1      GP GN GM GP GN z gm @ * Nhận xét: Từ tốn ta mở rộng thêm: Qua A kẻ đường 1    GM GX GY Giải m co l thẳng song song với GB, GC cắt d X, Y Chứng minh an Lu n va ac th si 61 X A Y G x R M B I C S d lu an Hình 2.47 n va Giả sử đường thẳng qua A, song song GB, GC cắt BC R, S gh tn to Ta chứng minh G trọng tâm ARS (vì IB = IC p ie IR = IS, mặt khác lại có IB IC IG    nên IR IS IA IG  ) áp dụng toán cho ba điểm M, X, Y lần IA w lượt nằm RS, AR, SA ta có điều phải chứng minh oa nl Ví dụ 2.45 [2] Cho đường trịn đường kính CD tâm O Trên CD lấy điểm d A1 , A2 cho ( A1 A2CD ) = -1 Qua A1 , A2 kẻ đường thẳng d1, d2 vuông lu ll OM1  const OM u nf minh va an góc với CD Một tiếp tuyến thay đổi (O) cắt d1, d2 M1, M2 Chứng m OM1  const làm ta nghĩ đến tính chất tỷ lệ OM oi Giải Việc chứng minh tỉ số z at nh đường phân giác tam giác Vậy ta cần tạo chùm phân giác có hai tia OM1, z OM2 Theo gải thiết, lại xuất tiếp tuyến làm ta liên tưởng đến việc tạo @ gm vng góc (chùm phân giác) Như ta cần tạo tiếp tuyến để sử dụng m co l tính chất hai tiếp tuyến cắt Ở đây, tiếp tuyến dựng từ C D điều tối ưu ta dùng Bằng cách cộng góc, ta có C ' OD '  90o từ chùm an Lu tia cần tìm O(M1M2C’D’) n va ac th si 62 x y M2 C’ M1 M D’ A2 D A1 O C lu an d2 d1 n va to Hình 2.48 gh tn Dựng hai tiếp tuyến Cx, Dy đường tròn (O) Hai tiếp tuyến p ie cắt tiếp tuyến M (O) C’, D’ (M điểm thay đổi (O)) Theo định lý Ta-lét, ta có: d oa nl w  C ' M CA1   C ' M D' M CA1 DA1  C ' M CA2  :  :  1 (do (A1A2CD) = -1)  C ' M D' M CA2 DA2  D' M  DA1  D' M DA2  va an lu  (M1M2C’D’) = -1  (OM1,OM2,OC’,OD’) = -1 u nf (1) ll Ta có OC’, OD’ phân giác  MOC,  MOD (tính chất hai oi m tiếp tuyến cắt nhau) z at nh Mà MOC + MOD = 180o  OC’ OD’ (2) Từ (1) (2) suy OM1, OM2, OC’, OD’ chùm phân giác Từ suy z OC’ phân giác M1OM2 Theo tính chất chân đường phân giác góc, m co l gm OM1 C ' M1 CA1    const OM C ' M CA2 @ ta có Ví dụ 2.46 [2] Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định điểm A an Lu thay đổi Gọi EF đường kính vng góc với đường thẳng BC Các đường thẳng AB, AC cắt EF G, H Chứng minh OH OG  const n va ac th si 63 Giải Ta cần tính OH OG mà O trung điểm EF nên ta nghĩ đến hệ thức Niu-tơn OH OG  OE ta chứng minh (EFGH) = -1 Ta lại nhận thấy CE  CF nên ta nghĩ tới chùm phân giác H E A G lu O an n va C tn to B p ie gh F Hình 2.49 (1) d EF) oa nl w Ta có góc hai đường thẳng (CE, CG) = (BG, BE) (do B, C đối xứng qua lu Mà tứ giác BEAC nội tiếp nên (BA, BE) = (CA, CE) an (2) u nf va Từ (1) (2) suy (CA, CE) = (CE, CG) hay CE phân giác ACG ll Mặt khác, điểm C thuộc đường tròn đường kính EF nên CE  CF Như vậy, CE, CF, m oi CG, CH chùm phân giác nên chùm điều hịa, từ suy (EFGH) = -1 z at nh Vì OE = OF nên theo hệ thức Niu-tơn : OH OG  OE  R2  const (trong R l gm @ * Mở rộng tốn: z bán kính đường tròn (O)) m co - Mở rộng 1: Từ tốn ta có OH OG  R2 nên qua G kẻ đường thẳng song song với BC (hoặc vuông góc với EF) cắt đường trịn (O) L K ta có an Lu OH OG  R2  OL2  OK , suy HK HL tiếp tuyến (O) n va ac th si 64 Ta giải thích: (HGEF) = -1 nên K(HGEF) = -1 mà KE  KF nên KH, KG, KE, KF chùm phân giác  HKE  EKG  HEKHKG (g.g)  HE HK   HK  HE.HF , suy HK đường tiếp tuyến đường HK HF tròn (O) Tương tự, ta suy HL đường tiếp tuyến đường trịn (O)) Như đề mở rộng thành: Chứng minh HK, HL tiếp tuyến đường tròn (O) với giả thiết cũ (có bổ sung điểm H K) - Mở rộng 2: Ta có K(HGEF) = -1 mà KE  KF, suy chùm phân giác, nên lu an KO cắt đường tròn (O) điểm thứ hai J JE  EK JE cắt GK, HK va n M, N tam giác KMN cân K (vì KE vừa đường cao, vừa đường gh tn to phân giác) nên đề mở rộng thành: Chứng minh tam giác KMN cân (với p ie giả thiết cũ, có bổ sung điểm K, M, N) w 2.8 Một số tốn khác oa nl Ví dụ 2.47 [4] Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các tiếp điểm d đường tròn (I) cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường phân giác lu va an góc I tam giác BIC cắt cạnh BC điểm M Đường thẳng AM cắt ll góc EDF u nf đường thẳng FE điểm N Chứng minh đường thẳng DN phân giác m oi Giải Xét cực đường đối cực đường tròn (I) Gọi P giao điểm z at nh (I) đoạn thẳng IA Trên BC lấy điểm Q cho IQ vng góc với PD Ta z chứng minh IQ phân giác ngồi góc I tam giác IBC (Hình 2.50) @ gm Từ ta có: (QMBC) = -1 nên A(QMBC) = -1 Ta suy EF cắt AQ m co l điểm S (SNFE) = -1 Từ đó, ta có SA đường đối cực N, nên điểm Q thuộc đường đối cực điểm N Vậy điểm N thuộc đường đối cực điểm S Dễ thấy an Lu DP đường đối cực điểm S nên điểm D, N, P thẳng hàng n va ac th si 65 lu an Hình 2.50 n va Ví dụ 2.48 [2] Cho tam giác ABC H chân đường cao kẻ từ A Trên tn to đoạn thẳng AH ta lấy điểm I kẻ BI cắt AC E CI cắt AB F Giải p ie gh Chứng minh AH phân giác EHF * Cách 1: Nếu tam giác ABC cân (hiển nhiên) Giả sử ABC không cân oa nl w Khơng tính chất tổng qt, ta giả sử AC > AB Dựng tam giác ABP cân A AP cắt HE Q (Hình 2.51) Gọi F’ điểm đối xứng Q qua AH Khi d lu ll A QA F ' A  QB F ' B u nf va an đó, đường thẳng AH tia phân giác góc EHF’ oi m z at nh E B m co l gm @ I z F H an Lu Hình 2.51 C n va ac th si 66 Áp dụng định lý Mênêlauýt cho tam giác ACP với ba điểm thẳng hàng H, Q, E ta có: HP EC QA HB EC F ' A 1   1 HC EA QB HC EA F ' B Theo định lý Xêva ta có AH, BE, CF’ đồng quy A E F’ Q lu an va n B H C P tn to Hình 2.52 gh *Cách 2: Kẻ EF cắt BC K ta có (KHBC) = -1 p ie (1) Gọi L giao điểm EF với AH Từ (1) suy (AK, AH, AB, AC) = -1 oa nl w Điều có nghĩa (KLFE) = -1 Vì LHK = 900 nên ta suy điều phải chứng minh d lu u nf va an A F E L ll oi m z at nh B C H z K I l gm @ Hình 2.53 Ví dụ 2.49 [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi E, F lần m co lượt giao điểm AC với đường tròn (O) Hạ đường thẳng OH vng góc với cạnh an Lu DB Chứng minh AHE = CHF n va ac th si 67 Giải lu an n va p ie gh tn to w Hình 2.54 oa nl Gọi M, N, P, Q tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA với d đường tròn (O) Đặt L = MN  QP, K = QM  PN, I = DK  AL Vì hai tứ giác lu va an KEOH KFOH nội tiếp suy điểm K, E, O, H, F thuộc đường trịn u nf suy EHK = FHK (Hình 2.54) ll Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh HI  AL (ACIL) = -1 Vậy, HI m oi đường phân giác góc AHC Từ đó, ta suy điều phải chứng minh z at nh Ví dụ 2.50 [4] Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cố định (O1), (O2) tiếp xúc điểm M bán kính đường trịn (O2) lớn bán kính đường tròn (O1) z gm @ Xét điểm A nằm đường tròn (O2) cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB AC đến đường tròn O1 (B, C tiếp điểm) Các đường l m co thẳng MB MC cắt lại đường tròn (O2) tương ứng E F Gọi D giao điểm đường thẳng EF tiếp tuyến A đường tròn (O2) Chứng minh điểm an Lu n va ac th si 68 D di động đường thẳng cố định A di động đường tròn (O2) cho ba điểm O1, O2, A không thẳng hàng Giải Có hai trường hợp tiếp xúc với Ta xét trường hợp chúng tiếp xúc ngồi, tiếp xúc hồn tồn tương tự Đường thẳng AM cắt lại (O1) điểm G Các tiếp tuyến (O1) G, M cắt H Xét cực đường đối cực đường trịn (O1) (Hình 2.55) lu an n va p ie gh tn to oa nl w d Hình 2.55 an lu Ta thấy, đường đối cực điểm H MG qua điểm A nên đường đối cực u nf va điểm A qua điểm H Nói cách khác điểm B, C, H thẳng hàng Trong phép vị tự tâm M biến đường tròn (O1) thành đường trịn (O2) ta có ll oi m B  E, C  F, G  A, H  D Vậy D, M, H thẳng hàng Chú ý HM tiếp tuyến chung chúng z at nh tiếp tuyến chung hai đường trịn nên điểm D ln thuộc đường cố định z Ví dụ 2.51 [4] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AC @ gm cắt đường thẳng BD điểm I Gọi M, N giao điểm thứ hai cặp m co N nằm đường tròn l đường tròn (AOB) (COD), (BOC) (AOD) Chứng minh điểm O, I, M, an Lu Giải Xét cực đường đối cực đường tròn (O) (Hình 2.56) n va ac th si 69 * Cách 1: Ta thấy AB, OM, CD trục đẳng phương cặp đường tròn (AOB) (O); (AOB) (COD); (COD) (O) nên đường thẳng AB, CD, OM đồng quy điểm S Đường thẳng SO cắt (O) E, F lu an n va p ie gh tn to d oa nl w an lu Hình 2.56 va Ta thấy: SE.SF  SA.SB  SM SO Chú ý O trung điểm EF nên ta có (1) Mà điểm I thuộc đường đối cực điểm S (2) Từ (1) (2) suy IM đường đối cực điểm S, IMO = 900 (3) ll u nf (SMEF) = -1, điểm M thuộc đường đối cực điểm S oi m z at nh Tương tự có INO = 900 (4) Từ (3) (4) suy điều cần chứng minh z *Cách 2: Xét phép nghịch đảo cực O phương tích R2 Phép nghịch đảo biến A @ (5) (6) an Lu Gọi I' ảnh I qua phép nghịch đảo m co Tương tự N  J (J giao điểm AD BC) (4) l Từ suy M  S gm  A, B  B, C  C, D  D Do đó: (AOB)  AB, (COD)  CD n va ac th si 70 Vì SJ đường đối cực điểm I nên ta có điểm I' thuộc SJ, từ suy S, I', J thẳng hàng (7) Từ (4), (5), (6) (7) ta có điều cần chứng minh Ví dụ 2.52 [2] Cho tam giác OAB, điểm M cạnh AB đỉnh Một đường thẳng biến thiên qua M cắt OA, OB A’, B’ Gọi N giao điểm AB’ BA’ Tìm quỹ tích điểm N Giải A lu an n va M to B’ gh tn O B ie N p A’ oa nl w M’ d Hình 2.57 lu an Gọi M’ giao điểm ON AM Xét tứ giác tồn phần ABB’A’, ta có u nf va (ABMM’) = -1 Nhưng ba điểm A, B, M cố định nên điểm M’ cố định Do đó, đường thẳng OM’ cố định Vậy quỹ tích điểm N đường thẳng OM’ (Hình 2.57) ll m oi Như vậy, chương luận văn trình bày ứng dụng hàng điểm z at nh điều hòa, cực đường đối cực giải tốn hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh song song, chứng minh vng góc, chứng minh điểm z @ cố định, chứng minh đẳng thức tốn quỹ tích, dựng hình Có thể nói, với l gm hệ thức liên quan đến hàng điểm điều hịa tính chất đường đối cực áp dụng để giải nhiều lớp toán với lời giải độc đáo “bất ngờ” m co an Lu n va ac th si 71 KẾT LUẬN Luận văn thu số kết sau đây: Hệ thống hóa số vấn đề sở lý thuyết liên quan đến hàng điểm điều hòa tỉ số kép, chùm đường thẳng, chùm đường thẳng điều hòa, đường trịn trực giao, tứ giác tồn phần, cực đường đối cực Đặc biệt, lý thuyết cực đường đối cực trình bày chương để làm rõ khái niệm phép đối cực, từ làm sở cho việc chuyển đổi toán chứng minh đồng quy sang toán chứng minh thẳng hàng ngược lại Làm rõ tính chất liên quan đến hàng điểm điều hòa (hệ thức Đề-các, hệ lu an thức Niutơn hệ thức Mácloranh), tính chất tứ giác toàn phần, chùm đường n va thẳng điều hòa đường đối cực đường tròn chứng minh toán Phân loại dạng tốn hình học có sử dụng đến hàng điểm điều hịa, tứ gh tn to hình học p ie giác tồn phần, chùm đường thẳng điều hịa đường đối cực giải toán toán chứng minh thẳng hàng, chứng minh song song, chứng minh đồng quy, nl w chứng minh vng góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh điểm cố định số d oa toán khác an lu Đối với dạng toán trên, luận văn đưa hệ thống ví dụ minh va họa điển hình, phân tích lợi việc sử dụng khái niệm liên quan đến ll u nf hàng điểm điều hòa giải toán oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2013), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2015), Giáo trình tập hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Danh Nam (2016), Hình học nhóm phép biến hình, NXB Đại học Thái Nguyên lu [5] Durell C V (1982), Modern geomtry: The straight line and circle, Macmillan an Publishers va n [6] Hardy G H (1967), A course of pure mathematics, Cambridge University Press Publishers p ie gh tn to [7] Lachlan R (1893), An elementary treatise on modern pure geometry, Macmillan d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si