(Luận văn) phương pháp hướng gradient liên hợp cho bài toán tối ưu lồi trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG XUYÊN lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG GRADIENT LIÊN HỢP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN nl w oa Chuyên ngành: Toán ứng dụng d Mã số: 8460112 oi lm ul nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà an Lu n va Thái Nguyên - 2020 ac th si ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người theo sát, hướng dẫn, bảo cho suốt trình từ lựa chọn đề tài thực hồn thiện luận văn Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy, Cơ giáo thuộc Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên tận lu tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể Thầy, Cô giáo trường Trung học an n va gh tn to phổ thông Lương Thế Vinh nơi công tác, động viên tạo điều kiện cho suốt thời gian học tập thực đề tài p ie Tác giả d oa nl w Nguyễn Thị Hồng Xuyên oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cảm ơn ii lu an iii n va Mục lục v gh tn to Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi p ie Danh sách bảng Mở đầu nl w d oa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Hilbert an lu ul nf va 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.3 Ánh xạ đơn điệu 15 17 Phương pháp hướng gradient liên hợp cho lớp z at nh Chương oi lm 1.4 Ánh xạ không giãn điểm bất động 3 z toán tối ưu lồi 24 2.1 Mơ hình tốn 24 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ minh họa m co 2.2.2 2.2.3 l gm @ 2.2 Phương pháp hướng gradient liên hợp 2.2.1 Mô tả phương pháp an Lu 2.3 Phương pháp hướng gradient liên hợp lai ghép Mô tả phương pháp Sự hội tụ phương pháp n va 2.3.1 2.3.2 26 26 27 34 37 37 37 ac th si iv 2.3.3 Ví dụ minh họa 43 Kết luận chung đề nghị 44 Tài liệu tham khảo 45 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si v Danh mục ký hiệu chữ viết tắt lu an n va p ie gh tn to H Không gian Hilbert thực H Rn Không gian thực n chiều ∇f Gradient hàm f ∇2 f Hessian hàm f hx, yi Tích vơ hướng hai véctơ x y kxk Chuẩn véctơ x PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C xn * x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x (CGM) nl w Phương pháp hướng gradient liên hợp (HCGM) d oa Phương pháp hướng gradient liên hợp lai ghép oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si vi Danh sách bảng lu an Kết tính tốn phương pháp (CGM) với µ = 36 2.2 Kết tính tốn phương pháp (CGM) với µ = 1/100 36 2.3 2.4 Một số kết tính tốn khác cho phương pháp (CGM) Kết tính tốn phương pháp (HCGM) với µ = 36 43 2.5 Một số kết tính tốn khác cho phương pháp (HCGM) 43 n va 2.1 p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Nhiều mơ hình tốn lí thuyết thực tiễn quy mơ hình tốn tối ưu có dạng: Tìm x∗ ∈ C cho: f (x∗ ) = f (x), (0.1) x∈C lu đó, C tập khác rỗng khơng gian Hilbert thực H f : C → R an n va hàm số xác định C Việc vận dụng lí thuyết tốn vào thực tiễn địi hỏi phải có ie gh tn to phương pháp thuật tốn giải số hữu hiệu Đó hướng nghiên cứu quan trọng dành quan tâm sâu sắc nhiều nhà p toán học giới Việc đề xuất phương pháp cải tiến hiệu nhiều phương pháp có giải tốn (0.1) chủ đề w oa nl nghiên cứu cấp thiết mang tính thời Cho đến nay, người ta thiết d lập nhiều kĩ thuật tìm nghiệm xấp xỉ toán (0.1) Chẳng hạn, phương pháp lặp điển hình giải tốn (0.1) phương pháp chiếu gradient an lu ul nf va Trường hợp đặc biệt H = Rn , phương pháp giải tốn (0.1) có lịch sử lâu đời có nhiều nghiên cứu mở rộng phương pháp Newton, phương pháp oi lm tựa Newton, phương pháp đường dốc hay phương pháp gradient liên hợp Các phương pháp có cấu trúc chung z at nh xk+1 = xk + αk dk , k = 0, 1, 2, z l gm @ đó, xk nghiệm xấp xỉ thứ k, αk kích thước bước lặp dk hướng tìm kiếm m co Mục đích luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp hướng gradient liên hợp tìm nghiệm xấp xỉ cho lớp tốn an Lu tối ưu lồi khơng gian Hilbert thực Cụ thể, lớp tốn "Bài toán tối ưu tập điểm bất động ánh xạ không giãn" Nội dung va tham khảo từ nghiên cứu Iiduka cộng công bố năm 2009 n ac th si Với mục tiêu vậy, lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, dành để hệ thống lại kiến thức giải tích lồi, tốn tử đơn điệu, ánh xạ khơng giãn điểm bất động nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung chương sau luận văn Chương dùng để trình bày hai phương pháp hướng gradient liên hợp giải tốn nêu ví dụ số minh họa lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành bốn phần: Mục 1.1 dành để nhắc lại vài khái niệm tính chất khơng gian Hilbert thực H Mục 1.2 trình bày vài vấn lu an đề cần thiết tập lồi hàm lồi Một số nội dung toán tử loại đơn điệu đề cập đến Mục 1.3 Cuối cùng, Mục 1.4 dùng để giới thiệu lớp n va gh tn to ánh xạ không giãn, phép chiếu mêtric lên tập đóng lồi khơng gian Hilbert tính chất cốt yếu Một số vấn đề không gian Hilbert p ie 1.1 oa nl w Định nghĩa 1.1 Cho H không gian véctơ thực Hàm số d h., i : H × H → R 7→ hx,yi (x,y) an lu gọi tích vơ hướng hai véctơ x y điều kiện sau va oi lm ul nf thỏa mãn: i) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H, z at nh ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H, iii) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H, α ∈ R, z iv) hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = ⇔ x = Không gian véctơ thực H với tích vơ hướng xác định gm @ gọi không gian tiền Hilbert m co l Ví dụ 1.1 Trong khơng gian hữu hạn chiều Rn , tích vơ hướng hai véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn xác định an Lu hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn n va Khơng gian Rn với tích vơ hướng xác định không gian tiền Hilbert ac th si Ví dụ 1.2 Xét L2 [a, b] khơng gian hàm số thực bình phương khả tích [a, b] ⊂ R, tức Z b |x(t)|2 dt < ∞ ∀x = x(t) ∈ L2 [a, b] a Hàm số h., i : L2 [a, b] × L2 [a, b]→R xác định Z b hx, yi = x(t)y(t)dt ∀x = x(t), y = y(t) ∈ L2 [a, b], a tích vơ hướng L2 [a, b] L2 [a, b] không gian tiền Hilbert lu Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) an Trong không gian tiền Hilbert H ta ln có va n |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi, tn to ∀x, y ∈ H gh Chứng minh Hiển nhiên y = bất đẳng thức Giả sử y 6= với p ie λ ∈ R ta có w hx + λy, x + λyi ≥ oa nl Điều dẫn đến d hx, xi + 2λhx, yi + λ2 hy, yi ≥ hx, yi thay vào bất đẳng thức ta nhận hy, yi nf va an lu Chọn λ = − oi lm ul hx, xi − |hx, yi|2 ≥ hy, yi z at nh Từ suy điều cần chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian tiền Hilbert Hàm số k.k : H → R z xác định @ p hx, xi x ∈ H, (1.1) gm kxk = m co l chuẩn H chuẩn gọi chuẩn sinh tích vơ hướng an Lu Chứng minh Hiển nhiên, từ (1.1) điều kiện iv) định nghĩa tích vơ hướng, ta có kxk ≥ kxk = ⇔ x = n va ac th Tiếp theo, với x ∈ H λ ∈ R ta thấy p p kλxk = hλx, λxi = |λ| hx, xi = |λ|kxk si lu an b − t t − a = max = kx − yk = max − a≤t≤b b − a a≤t≤b