(Luận văn) khối tâm và ứng dụng

lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC hi ep w nl oa NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN d lu an va ul nf oi lm nh at KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG z z om l.c gm @ an Lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC n va ac th si Thái Nguyên - 2015 lu an va n t to ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ng TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC hi ep w nl oa NGUYỄN THỊ DIỆU HUYỀN d lu an va ul nf KHỐI TÂM VÀ ỨNG DỤNG oi lm nh at z Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp z 60 46 01 13 an Lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC om l.c gm @ Mã số: n va ac th NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC si PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 lu an va i n t to ng hi ep w nl oa Mục lục d lu an va ii ul nf Lời cảm ơn lm oi Mở đầu nh z Không gian Euclid at z Không gian véctơ 1.2 Không gian affine 1.3 Không gian Euclid 13 om l.c gm @ 1.1 Khối tâm vận dụng 21 2.1.1 Khối tâm tọa độ khối tâm 21 2.1.2 Tọa độ khối tâm điểm đặc biệt 23 2.1.3 Diện tích theo tọa độ khối tâm 27 Phương trình đường thẳng đường trịn 35 2.2.1 Khoảng cách theo tọa độ khối tâm 35 2.2.2 Phương trình đường thẳng qua tọa độ khối tâm 37 2.2.3 Phương trình đường trịn 40 Vận dụng 43 n ac th Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 si 2.3 Khối tâm va 2.2 an 2.1 21 Lu lu an va ii n t to ng hi ep w Lời cảm ơn nl oa d lu an va Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học ul nf Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Đàm Văn lm oi Nhỉ, người thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả nh at suốt thời gian nghiên cứu vừa qua z Xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo Khoa Tốn - Tin, Phịng z gm @ Đào tạo, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học l.c - Đại học Thái Nguyên, bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, om động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Lu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân an ln khuyến khích, động viên tác giả suốt q trình học tập làm luận n va văn ac th Nguyễn Thị Diệu Huyền Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên si Thái Nguyên, 2015 lu an va n t to ng hi ep w nl oa Mở đầu d lu an va Cho hệ s điểm {M1 , M2 , , Ms } không gian Rn hệ s P gồm s số thực {α1 , α2 , , αs } với αk 6= Khi đó, tồn ul nf lm k=1 −→ αk M Mk = ~0 với điểm P có oi nh điểm M để s P k=1 at  s X −→ −→ αk P M = αk P Mk z X s z s P gm αk = điểm M gọi điểm khối tâm hệ s điểm k=1 s P αk = −→ αk M Mk = k=1 Lu k=1 s P om {M1 , M2 , , Ms }; hệ {α1 , α2 , , αs } với l.c Nếu k=1 @ k=1 an ~0 gọi tọa độ khối tâm M hệ s điểm {M1 , M2 , , Ms } n va Trong luận văn tìm hiểu tọa độ khối tâm số ứng ac th dụng như: Tính diện tích tam giác, tính khoảng cách theo tọa độ khối tâm và tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương với nội dung sau Chương chương chuẩn bị, chương trình bày số kiến thức không gian vector, khơng gian Euclid khơng gian affin Chương trình bày khái niệm khối tâm, toạ độ khối tâm số ứng dụng để tính diện tích tính khoảng cách theo tọa độ khối tâm Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Diệu Huyền Email: huyendinh.7977@gmail.com si giải số tốn hình học đề thi Olympic Ngoài phần mở đầu lu an va n t to ng hi ep w Chương nl oa d lu Không gian Euclid an va ul nf nh gian afin không gian Euclid oi lm Chương trình bày số kiến thức không gian véctơ, không at z gm @ Không gian véctơ z 1.1 l.c − − − Định nghĩa 1.1.1 Cho tập V mà phần tử kí hiệu: → u ,→ v ,→ w , an → − → − − → − − − 2) Có ∈ V cho + → u =→ u + =→ u; → −0 → −0 → → − → − − 3) Có u ∈ V cho u + − u =→ u + u0 = ; − − − − 4) → u +→ v =→ v +→ u; − − − 5) (a + b).→ u = a.→ u + b.→ u; − − − − 6) a.(→ u +→ v ) = a.→ u + a.→ v; − − 7) a.(b.→ u ) = (a.b).→ u; si − − − thỏa mãn tính chất sau với → u ,→ v ,→ w ∈ V với a, b ∈ K: − − − − − − 1) (→ u +→ v)+→ w =→ u + (→ v +→ w ); ac th - Phép tốn ngồi, kí hiệu: : K × V → V − − (a, → v ) 7→ a.→ v n va - Phép toán trong, kí hiệu: + : V × V → V − − − − (→ u ,→ v ) 7→ → u +→ v Lu toán: om trường K mà phần tử kí hiệu: a, b, c, Giả sử V có hai phép lu an va n t to ng − − 8) 1.→ u =→ u phần tử đơn vị trường K hi Khi V với hai phép toán xác định gọi K− ep w nl gian véctơ không gian véctơ hay không gian véctơ trường K hay gọi tắt khơng oa d Nếu K = R V gọi không gian véctơ thực Nếu K = C V lu an gọi khơng gian véctơ phức va ul nf Ví dụ 1) Tập véctơ không gian với phép cộng nhân véctơ oi lm với số thực không gian véctơ thực nh 2) Tập K[x] đa thức biến x với hệ số thuộc trường K với phép cộng at đa thức nhân đa thức với phần tử thuộc trường K K− không gian z z véctơ @ an i=1 Lu − − − → → ui = a1 → u1 + a2 → u2 + · · · + an − u n om n X l.c với họ hệ số (ai ), i = 1, 2, , n gm − Định nghĩa 1.1.2 1) Một tổ hợp tuyến tính hệ véctơ (→ ui ), i = 1, 2, , n va n n P − − − − Nếu → u = → ui → u gọi biểu thị tuyến tính theo hệ (→ ui ), i = ac th i=1 1, 2, , n i khơng độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Giả sử V không gian véctơ K 1) Một hệ véctơ V gọi hệ sinh V véctơ V biểu thị tuyến tính qua hệ 2) Nếu V có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử V gọi khơng gian véctơ hữu hạn sinh si − 2) Hệ véctơ (→ ui ), i = 1, 2, , n gọi độc lập tuyến tính n P → → − − ui = kéo theo = 0, i = 1, 2, , n i=1 − Hệ véctơ (→ u ), i = 1, 2, , n gọi phụ thuộc tuyến tính lu an va n t to ng 3) Một hệ véctơ V gọi sở V véctơ V hi biểu thị tuyến tính qua hệ ep Định nghĩa 1.1.4 Nếu V khơng gian véctơ hữu hạn sinh V có sở w nl hữu hạn số phần tử sở V Số gọi oa d số chiều khơng gian véctơ V Khi V không gian véctơ có số chiều lu an va n ta viết dim V = n ul nf oi lm − − →) K− không gian véctơ n Định nghĩa 1.1.5 Cho sở (→ u1 , → u2 , , − u n − chiều V véctơ → u ∈ V viết cách dạng z i=1 ∈ K z − → ui , at n X nh → − u = @ gm − − − →) Khi (a1 , a2 , , an ) gọi tọa độ → u sở (→ u1 , → u2 , , − u n om l.c Định nghĩa 1.1.6 Tập W K− không gian véctơ V gọi an ac th Nhận xét: - Điều kiện 1) tương đương với điều kiện sau: − − − − ∀→ u ,→ v ∈ W, ∀a, b ∈ W, a→ u + b→ v ∈ W → − - Từ điều kiện 2) suy W phải chứa véctơ , tức W 6= ∅ 1.2 Không gian affine Định nghĩa 1.2.1 Cho V không gian vector trường K A tập khác rỗng mà phần tử gọi điểm Giả sử có ánh si 2) W với hai phép toán V K− không gian véctơ n − − + ∀→ u , ∀a ∈ K, a.→ u ∈ W va 1) W đóng hai phép tốn V , nghĩa − − − − + ∀→ u ,→ v ∈ W, → u +→ v ∈ W Lu khơng gian véctơ V thỏa mãn điều kiện sau: lu an va n t to ng xạ hi ep ϕ: A×A → V w (M, N ) 7→ ϕ(M, N ) nl oa d thỏa mãn hai điều kiện sau: lu − a) Với điểm M ∈ A vector → v ∈ V có N ∈ A cho − ϕ(M, N ) = → v an va ul nf oi lm b) Với ba điểm M, N, P ∈ A ta ln có nh ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ) at z Khi đó, ta nói A khơng gian affine hay đầy đủ A không gian z @ gm affine trường K liên kết với không gian vector V ánh xạ liên kết ϕ om l.c V gọi không gian vector liên kết với A thường kí hiệu → − lại A Còn ϕ gọi ánh xạ liên kết để thuận tiện trực −−→ quan ta thay kí hiệu ϕ(M, N ) M N Khi điều kiện định an Lu ac th Khi K = R, ta nói A khơng gian affine thực Khi K = C, ta nói A khơng gian affine phức Đơi ta nói A K− khơng gian affine để nhấn mạnh vế trường K → − Kí hiệu (A, A , ϕ) khơng gian affine Để đơn giản ta viết tắt A(K) hay A → − Khi A không gian vector n chiều ta nói A khơng gian affine n chiều dùng kí hiệu An để nhấn mạnh số chiều A Kí hiệu số chiều → − A dim A Như dim A = dim A si (hệ thức Chasles) n −−→ −−→ −−→ b0 ) M, N, P ∈ A; M N + N P = M P va nghĩa viết lại sau: → − −−→ − − a0 ) ∀M ∈ A, ∀→ v ∈ A ; ∃! N ∈ A, M N = → v; lu an va n t to ng Ví dụ 1.2.1 Khơng gian hình học trung học phổ thơng với véctơ hi không gian không gian affine ep w Sau số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa khơng gian nl oa affine d lu Định lí 1.2.1 Với M, N, P, Q ∈ A, ta có −−→ → − a) M N = M = N , −−→ −−→ b) M N = −N M , −−→ −→ −−→ −−→ c) M N = P Q M P = N Q, −−→ −−→ −−→ d) M N = P N − P M an va ul nf oi lm nh at z z −−→ −−→ Chứng minh a) Giả sử M = N Theo hệ thức Chasles ta có M N + M M = −−→ −−→ → − M M Do M M = −−→ → −−→ → − − Ngược lại M N = theo chứng minh ta có M M = Do om l.c gm @ đó, theo điều kiện thứ định nghĩa 1, ta có M = N an ac th d) Suy từ hệ thức Chasles tính chất b Tiếp theo khái niệm phẳng, độc lập affine phụ thuộc affine Phẳng khái niệm mở rộng theo số chiều khái niệm quen thuộc điểm (0 - chiều), đường thẳng (1 - chiều) mặt phẳng (2 - chiều) Trong E , đường thẳng d hoàn toàn xác định biết điểm P ∈ d − vector phương → v Một mặt phẳng α hồn tồn xác định biết điểm P ∈ α cặp vector phương si −−→ −−→ Do M N = −N M −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ c) Ta có M N = P Q ⇔ M N + N P = N P + P Q ⇔ M P = N Q n va −−→ −−→ −−→ → − MN + NM = MM = Lu b) Theo hệ thức Chasles ta có SM1 M2 M3 = u2 v2 t2 S