(Luận văn) hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ TUYẾT lu HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ HÀM GREEN THỰC TRÊN CÁC MIỀN KHẢ LỒI PHỨC KIỂU HỮU HẠN an n va p ie gh tn to w d oa nl LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC nf va an lu Ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 46 01 02 z at nh oi lm ul Giáo viên hướng dẫn: TS DƯƠNG QUANG HẢI z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - Năm 2018 n va ac th si Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc lu an va Thái Nguyên, tháng năm 2018 n Người viết luận văn p ie gh tn to d oa nl w Nguyễn Thị Tuyết nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Dương Quang Hải, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn lu an Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể n va thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ cho tn to kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn gh p ie Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo nl w bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh d oa Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ an lu thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! nf va lm ul Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả z at nh oi z m co l gm @ Nguyễn Thị Tuyết an Lu n va ac th ii si Mục lục lu i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu an Lời cam đoan n va gh tn to Chương 1.1 ie p 1.2 Một số kiến thức Một số khái niệm Hàm Green thực nl Miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 10 d oa 1.4 Hàm Green đa phức w 1.3 lu Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển an Chương miền giả lồi chặt Cn nf va 13 Một số đánh giá cận hàm Green thực cổ điển 13 2.2 Một số đánh giá cận hàm Green đa phức 14 2.3 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green z at nh oi lm ul 2.1 thực cổ điển miền giả lồi chặt Cn 19 z @ Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển gm Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green m co 3.1 23 l số miền giả lồi yếu thực cổ điển số miền khả lồi địa phương 23 an Lu n va ac th iii si 3.2 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 33 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th iv si Lời nói đầu Các hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển đối tượng nghiên cứu đóng vai trị quan trọng lý thuyết đa vị phức Đó lớp hàm điều hịa đa điều hịa có nhiều ứng dụng nên nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu như: lu Siciak,P Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson, an đạt nhiều kết sâu sắc Một số kết hàm Green đa phức va n với cực logarit đa tạp siêu lồi hàm Green đa phức với cực hữu gh tn to hạn đặc biệt nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học P Lelong, Klimek, Zaharjuta, E Amar, Dan Coman, Demailly, ie p P.J.Thomas, nl w Tuy nhiên, tính chất hàm Green đa phức với nhiều cực d oa biết chưa nghiên cứu đầy đủ Đặc biệt, an lu năm gần mối quan hệ hàm Green đa phức với hàm Green thực cổ điển (là nghiệm toán Dirichlet toán tử Laplace) nf va miền bị chặn Cn nhận quan tâm nghiên cứu lm ul nhiều nhà toán học Magnus Carlehed, Bo-Yong Chen, N Nikolov, P z at nh oi J Thomas Cụ thể, nghiên cứu thương h(x, y) = gD (x, y)/GD (x, y) hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền bị chặn D Cn Vì hàm h(x, y) hội tụ đến x, y hội tụ đến điểm z gm @ D nên hàm h mở rộng thành hàm liên tục khơng âm D × D Một câu hỏi đặt hàm h bị chặn l co D × D? Năm 1997, M Carlehed chứng minh hàm h bị chặn m số 22n−3 /(n − 1) hình cầu đơn vị Cn Hằng số đánh an Lu giá tốt hàm h hình cầu đơn vị Tiếp đó, M Carlehed n va chứng minh tính bị chặn thương hai hàm Green miền giả ac th si lồi chặt Năm 2002, Bo-Yong Chen tổng quát hóa kết M Carlehed miền lồi kiểu hữu hạn Nằm tính thời này, chúng tơi lựa chọn đề tài “Hàm Green đa phức hàm Green thực miền khả lồi phức kiểu hữu hạn” nhằm mục đích nghiên cứu ước lượng cận hàm Green Đồng thời, nghiên cứu tính bị chặn hàm thương gD /GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu D Cn Luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần năm 2018 N Nikolov, P J Thomas so sánh hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển trình bày tài liệu tham khảo [9] lu an Bố cục luận văn gồm ba chương nội dung chính, có phần va lời nói đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo n tn to Chương 1: Trình bày số kiến thức lý thuyết đa vị gh phức hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực p ie hàm Green đa phức, Trình bày số hàm giả khoảng cách w số định nghĩa tính chất hình học miền Cn miền C- oa nl khả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Đây kiến thức d tảng phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau lu miền giả lồi chặt Cn nf va an Chương 2: Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển lm ul Trong chương này, chúng tơi trình bày kết đánh giá cận hàm Green đa phức miền lồi chặt giả lồi chặt, bị chặn z at nh oi Cn nghiên cứu tính bị chặn thương hai hàm Green đa phức gD /GD miền z Chương 3: Là nội dung luận văn, trình bày số kết @ gm N Nikolov, P J Thomas so sánh hàm Green đa phức hàm co l Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu Cn m Cụ thể, chương nghiên cứu đánh giá cận an Lu hàm Green đa phức số miền C-khả lồi địa phương với biên kiểu hữu hạn tổng quát hơn, nghiên cứu miền C-khả n va ac th si lồi địa phương kiểu hữu hạn Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu tính bị chặn thương hai hàm Green đa phức gD /GD số miền giả lồi yếu Cn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức Trong chương này, luận văn giới thiệu số khái niệm phục vụ cho nghiên cứu chương sau lu an Một số khái niệm n va 1.1 gh tn to Trước hết, có số khái niệm giải tích p ie Định nghĩa 1.1.1 (Miền Lipschitz) Một miền bị chặn D, compact tương đối Rn gọi miền Lipschitz (hay miền với biên Lipschitz) nl w mặt địa phương, biên ∂D đồ thị hàm Lipschitz d oa Một hàm ψ : Rn−1 → R gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz nf va an lu tồn số M cho |ψ(y ) − ψ(x0 )| ≤ M |y − x0 | với y , x0 ∈ Rn−1 lm ul Như vậy, miền bị chặn D gọi Lipschitz gần điểm z at nh oi biên p ∈ ∂Ω, tồn lân cận U p cho  D ∩ U = (x0 , xn ) ∈ U |xn > ψ(x0 ) , z @ l gm với hàm Lipschitz ψ n va i=1 ∂x2i an Lu ∆u = n X ∂ 2u m lớp C (U ) Ký hiệu ∆ toán tử Laplace, tức co Định nghĩa 1.1.2 Cho U tập mở Cn u : U → R khả vi ac th si Một hàm h : U → R khả vi lớp C (U ) gọi hàm điều hòa U ∆h = U Chẳng hạn, hàm h := Ref , với f hàm chỉnh hình miền D ⊂ C hàm điều hòa D Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω, u 6≡ −∞ lu thành phần liên thông Ω thỏa mãn bất đẳng thức an trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn % > cho với va n ≤ r < % ta có gh tn to u(ω) ≤ 2π Z 2π u(ω + reit )dt p ie Định nghĩa 1.1.5 Cho Ω tập mở Cn u : Ω → w [−∞, +∞) hàm nửa liên tục không trùng với −∞ oa nl thành phần liên thơng Ω Hàm u gọi đa điều hòa d với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ 7→ u(a + λb) điều hòa lu an trùng −∞ thành phần tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω} nf va Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω) (Ở kí hiệu P SH(Ω) lm ul lớp hàm đa điều hòa Ω) z at nh oi Ký hiệu P SH_ (Ω) tập hàm đa điều hòa âm Ω Định nghĩa 1.1.6 Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi miền siêu lồi z tồn hàm đa điều hòa âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) @ gm cho với c < co l Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} b Ω m Chẳng hạn, miền lồi chặt (hay giả lồi chặt, với biên lớp C ) an Lu miền siêu lồi n va ac th si Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển miền giả lồi chặt Cn lu an g(x, y) G(x, y) hai hàm Green đa phức hàm Green cổ điển Đặt N = 2n n va Trong chương này, nghiên cứu thương h(x, y) = tn to gh giả sử n ≥ Khi đó, h(x, y) → 0, x, y → ζ ∈ Ω nên p ie hàm h mở rộng thành hàm liên tục khơng âm miền Ω × Ω w Câu hỏi đặt là: Khi hàm h bị chặn Ω × Ω? Năm 1997, M oa nl Carlehed chứng minh hình cầu đơn vị, hàm h bị chặn d số 22n−3 /(n − 1) số tốt Trước hết, chúng Một số đánh giá cận hàm Green thực cổ điển z at nh oi lm ul 2.1 nf va an lu ta nghiên cứu hàm h miền giả lồi chặt Cn Cho Ω miền bị chặn RN , N ≥ 3, với biên khả vi lớp C z Đặt δ(ξ) = δΩ (ξ) khoảng cách từ ξ đến biên miền Ω Để chứng @ minh tính bị chặn h, cần ước lượng sau Z Zhao gm co l năm 1986 hàm Green thực cổ điển G(x, y) bên điểm m Mệnh đề 2.1.1 [13] Cho Ω miền bị chặn RN , N ≥ Khi an Lu đó, ta có bất đẳng thức sau với x, y, ∈ Ω   C δ(x) δ(y) |x − y| ≤ max −G(x, y) ≥ , |x − y|N −2 2 ac th 13 n va (2.1) si Cδ(x)δ(y) −G(x, y) ≥ |x − y|N  δ(x) δ(y) |x − y| > max , 2  (2.2) C số dương 2.2 Một số đánh giá cận hàm Green đa phức Trong phần này, nghiên cứu ước lượng cận hàm Green đa phức miền lồi chặt miền giả lồi chặt với biên lớp C Cn Trước hết, cần kết sau Mệnh đề 2.2.1 Cho Ω miền bị chặn RN , N ≥ 2, với biên lớp lu an C Khi đó, tồn số η , < η < diam(Ω)/2, cho: n va (2) Với điểm ξ thuộc U := {ξ ∈ Ω; δ(ξ) < η}, tồn điểm gh tn to ˜ zy , η) ⊂ Ωc (1)Với y ∈ ∂Ω, tồn hình cầu B(zy , η) ⊂ Ω B(˜ ¯˜ z , η) ∩ Ω ¯ = {y} ¯ y , η) ∩ Ωc = y B(˜ thỏa mãn B(z y p ie gần πξ ∂Ω ξ − πξ véc tơ đơn vị hướng vào nl w biên điểm πξ d oa Chứng minh Áp dụng định lý hàm số ngược ánh xạ nf va an lu ∂Ω × (−1, 1) → RN , (ζ, t) 7→ ζ + tνζ , νζ véc tơ đơn vị hướng điểm ζ lm ul ¯ nên ta có Vì ánh xạ x 7→ πx khả vi lớp C U z at nh oi Mệnh đề 2.2.2 Đối với hình cầu Ω := B(0, r) Cn , tồn số C > (chỉ phụ thuộc vào số chiều) cho z @ R δ(y) |x − y|2 (2.3) l gm −gB(0,R) (x, y) ≤ C m co Chứng minh Trước hết, ta có hàm Green đa phức hình cầu B(0, R) g(x, y) = log |Ty/R (x/R)|, an Lu cho n va ac th 14 si ú Ta l phộp bin i Măoobius bin điểm a lên điểm gốc Cụ thể, phép biến i Măoobius Ta cho bi p a Pa (x) − − |a|2 Qa (x) Ta (x) = , 1− < x, a > < x, y >:= n X xi yi i=1 tích hermite Pa (x) := < x, a > a, Qa (x) := x − Pa (x) < a, a > Vì hai vế bất đẳng thức bất biến phép co x 7→ x/R lu nên lấy R = Hơn nữa, chúng bất biến an n va phép quay nên ta giả sử y = (t, 0, , 0), t ∈ R+ Khi p ie gh tn to đó, ta có d oa nl w |1 − tx1 |2 −g(x, y) = log |t − x1 |2 + q(1 − t2 )   (1 − |x1 |2 − q)(1 − t2 ) = log + |t − x1 |2 + q(1 − t2 ) (1 − |x1 |2 − q)(1 − t2 ) ≤ , |t − x1 |2 + q(1 − t2 ) lu nf va an q = |x2 |2 + · · · + |xn |2 Vì vậy, ta có bất đẳng thức lm ul −g(x, y)|x − y|2 (1 − |x1 |2 )(|t − x1 |2 + q) ≤ δ(y) |t − x1 |2 + q(1 − t2 ) z at nh oi Tiếp theo, cố định t x1 , dễ dàng thấy vế phải bất đẳng thức hàm tăng theo biến q Khi đó, q < − |x1 |2 nên ta nhận đánh giá sau z m co l gm @ −g(x, y)|x − y|2 (1 − |x1 |2 )(|t − x1 |2 + − |x1 |2 ) ≤ δ(y) |t − x1 |2 + (1 − |x1 |2 )(1 − t2 )  2  t (1 − |x | ) = (1 − |x1 |2 ) + |1 − tx1 |2  2 − |x1 | ≤1+4 |1 − tx1 | an Lu va n Từ đó, |1−tx1 | ≥ 1−t|x1 | ≥ 1−|x1 | nên mệnh đề chứng minh ac th 15 si Mệnh đề 2.2.3 Cho Ω miền lồi chặt, bị chặn Cn Khi đó, tồn số C > cho −gΩ (x, y) ≤ C δ(y) |x − y|2 Chứng minh Tồn số dương R thỏa mãn tính chất sau: Với điểm ξ ∈ ∂Ω tìm thấy hình cầu Bξ bán kính R tiếp xúc với Ω điểm ξ Ω ⊂ Bξ Áp dụng Mệnh đề 2.2.1, xây dựng lân cận U Khi đó, với y ∈ U ∩ Ω, áp dụng hình cầu Bπy Từ định nghĩa hàm Green đa phức, Ω1 ⊂ Ω2 gΩ1 (x, y) ≥ gΩ2 (x, y) Tiếp theo, từ Mệnh đề 2.2.2 ta có lu −gΩ (x, y) ≤ −gBR (x, y) ≤ C an δBR (y) |x − y|2 n va Nhưng δBR (y) = δΩ (y) nên mệnh đề chứng minh với y ∈ U ∩ Ω tn to Còn trường hợp y ∈ Ω \ U , áp dụng Mệnh đề 2.2.2 Suy điều phải chứng ie gh minh p Tiếp theo, có đánh giá cận hàm Green đa nl w phức miền lồi chặt d oa Mệnh đề 2.2.4 Cho Ω ⊂ Cn miền lồi chặt, bị chặn Khi đó, tồn nf va ta có an lu số C = C(Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho với x, y ∈ Ω, lm ul −g(x, y) ≤ C δ(x) δ(y) |x − y|4 (2.4) z at nh oi Chứng minh Cho α > cho T nửa hình cầu B(0, α)∩{Im(zn ) < 0} Đặt Hα (z) := Imzn /α2 Khi đó, ta có Hα hàm đa điều hòa, âm z e ∈ ∂Ω, phép quay tịnh tiến Tα cho điểm biến Tα Nếu x gm @ e phần phẳng biên tiếp xúc với Ω điểm ye phần thành điểm x co l lại biên thuộc bên Ω Gọi nửa hình cầu nhận Tα∗  e| = α hàm nhận tương ứng Hα∗ Đặt τ := z ∈ Tα∗ cho |z − x m ∩ Ω an Lu Tiếp theo, lấy R bán kính lớn độ cong ∂Ω Khi đó, ta n va có Hα∗ (z) ≤ −1/(2R) z ∈ τ , phần ∂Ω bên Tα∗ phần ac th 16 si hình cầu có bán kính R Khi đó, cách tính tốn ta nhận e đánh giá (2.6) Chú ý ước lượng độc lập với x Cho η số xác định Mệnh đề 2.2.1 , đặt D := diam(Ω) Khi đó, ta có < η < D/2 Nếu δ(x) ≥ η|x − y|/(2D) thì, theo Mệnh đề 2.2.3, ta có bất đẳng thức sau −g(x, y)|x − y|4 |x − y|2 ≤C ≤ C δ(x) δ(y) η|x − y|/(2D) mệnh đề chứng minh Còn δ(x) < η|x − y|/(2D) theo Mệnh đề 2.2.1, tồn điểm gần điểm πx với ∂Ω Đặt α := η|x − y|/D < |x − y|/2, xây dựng nửa hình cầu Tα∗ hàm e = πx Khi đó, ý rằng: Hα∗ tương ứng điểm x lu an (1) x ∈ Tα∗ ∩ Ω, δ(x) < α/2; n va (2) y ∈ / Tα∗ ∩ Ω, to p ie gh tn |πx − y| ≥ |y − x| − |x − πx| = |y − x| − δ(x)
> |y − x| − η/(2D) > |y − x| > α nl w Giả sử t ∈ τ Khi đó, ta có d oa |y − t| ≥ |x − y| − |x − t| ≥ |x − y| − (|x − πx| + |πx − t|)
= |x − y| − δ(x) + α > |x − y| − 3α/2
= |x − y| − 3η/(2D) > |x − y| nf va an lu lm ul Do đó, áp dụng Mệnh đề 2.2.3, ta nhận Vì −2RHα∗ (t) ≥ nên ta có z at nh oi −g(t, y) ≤ C |t − y|−2 δ(y) ≤ C|x − y|−2 δ(y) z g(t, y) ≥ 2CR|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t) ≥ C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t) gm @ (2.5) co l với t ∈ τ Trong trường hợp t ∈ ∂Ω ∩ Tα∗ , g(t, y) = nên có bất đẳng thức tương tự Vì vậy, bất đẳng thức với m an Lu t ∈ ∂(Ω ∩ Tα∗ ) Mặt khác, Vì g(t, y) hàm đa điều hòa cực đại biến t Ω ∩ Tα∗ C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (t) hàm đa điều va n hòa hàm t (thực ra, hàm đa điều hòa) nên ac th 17 si bất đẳng thức (2.5) Ω ∩ Tα∗ Đặc biệt, bất đẳng thức (2.5) t = x Suy g(x, y) ≥ C|x − y|−2 δ(y)Hα∗ (x) −δ(x) ≥ C|x − y|−2 δ(y) ≥ −C|x − y|−4 δ(x)δ(y) α Vậy mệnh đề chứng minh Kết Mệnh đề 2.2.4 ước lượng tốt cận hàm Green đa phức miền lồi chặt, bị chặn theo nghĩa đánh giá tương tự với số mũ nhỏ Điều thấy, chúng √ ta áp dụng miền Ω = B(0, 1) ⊂ C2 , y = (t, 0), x = (t, − t), t ∈ lu an R+ n va Trước khi, nghiên cứu kết tương tự cận hàm Green tn to đa phức miền giả lồi chặt, bị chặn, có định lý nhúng Fornaess sau ie gh p Định lý 2.2.5 Cho Ω miền giả lồi chặt, bị chặn Cn Khi đó, oa nl w tồn ánh xạ chỉnh hình ψ : Cn → Cm , với m ∈ Z+ miền lồi b Cm thỏa mãn chặt, bị chặn Ω d (1) ψ song chỉnh hình lên đa tạp đóng Cm ; b ψ(∂ Ω) ⊂ ∂ Ω b; (2) ψ(Ω) ⊂ Ω an lu nf va b (3) ψ(Cn ) giao với ∂ Ω lm ul Khi đó, có kết sau cận hàm Green đa phức z at nh oi miền giả lồi chặt, bị chặn Cn Mệnh đề 2.2.6 Cho Ω ⊂ Cn miền giả lồi chặt, bị chặn Khi đó, tồn z số C = C(Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho với x, y ∈ Ω, δ(x) δ(y) |x − y|4 (2.6) m co l −g(x, y) ≤ C gm @ ta có an Lu Chứng minh Theo định nghĩa hàm Green đa phức ta có f : Ω1 → Ω2 ánh xạ chình hình n ac th 18 va gΩ1 (x, y) ≥ gΩ2 (f (x), f (y)) si Áp dụng bất đẳng thức hàm ψ Định lý 2.2.5 áp dụng Mệnh đề 2.2.4, ta nhận bất đẳng thức sau

δΩb ψ(x) δΩb ψ(y ) −gΩ (x, y) ≤ −gΩb (ψ(x), ψ(y)) ≤ C |ψ(x) − ψ(y)|4 Vì ψ song chỉnh hình lên ảnh lân cận Ω nên tồn số A > cho |ψ(x) − ψ(y)| < < A, A |x − y| với x, y ∈ Ω Hơn nữa, với x ∈ U ∩ Ω, ta có
δΩb ψ(x) ≤ |ψ(x) − ψ(πx)| < C|x − πx| = Cδ(x) lu Đối với x ∈ Ω\U , ta có δ(x) ≥ η Vì vậy, cách tăng C cần thiết, an n va tn to ta có đánh giá tương tự Khi đó, ta có δ(x)δ(y) −gΩ (x, y) ≤ C |x − y|4 ie gh Vậy mệnh đề chứng minh p Chúng ta có kết tương tự đánh giá cận hàm oa nl w Green thực cổ điển Cụ thể, có d −G(x, y) ≤ C (2.7) an lu δ(x)δ(y) , |x − y|N z at nh oi 2.3 lm ul Ω ⊂ RN nf va với C số dương phụ thuộc vào miền giả lồi bị chặt, bị chặn z Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green cổ điển miền giả lồi chặt Cn gm @ Áp dụng kết Mệnh đề 2.2.6 đánh giá (2.7), chúng l co ta có kết sau khẳng định thương hai hàm Green đa phức hàm m Green thực cổ điển bị chặn miền giả lồi chặt, bị chặn Đây an Lu kết phần n va ac th 19 si Định lý 2.3.1 Cho Ω miền giả lồi chặt, bị chặn Cn Khi đó, tồn số C = C(Ω) > phụ thuộc vào miền Ω cho ≤ h(x, y) = g(x, y) ≤ C|x − y|2n−4 , G(x, y) với x, y ∈ Ω Đặc biệt, hàm h bị chặn Ω Chứng minh Chúng ta xét hai trường hợp sau: (i) Trường hợp x, y ∈ Ω thỏa mãn   δ(x) δ(y) |x − y| ≤ max , , 2 Sử dụng bất đẳng thức (2.1) Mệnh đề 2.1.1, cách tính tốn lu qua vài ước lượng đơn giản ta nhận bất đẳng thức C −g(x, y) ≤ |x − y| an n va p ie gh tn to (ii) Trường hợp x, y ∈ Ω thỏa mãn   δ(x) δ(y) |x − y| > max , , 2 w Sử dụng bất đẳng thức (2.2) Mệnh đề 2.1.1 Mệnh đề 2.2.6, ta nhận minh d oa nl bất đẳng thức cần chứng minh Vậy Định lý cho chứng lu nf va an Nhận xét 2.3.2 Hiển nhiên, tính siêu lồi miền Ω cần thiết cho tính bị chặn thương hai hàm Green h Tuy nhiên, khơng phải lm ul điều kiện đủ Chúng ta có phản ví dụ sau, với Ω song đĩa đơn vị z at nh oi C2 với biên Lipschitz Cụ thể, song đĩa đơn vị C2 hàm Green đa phức hàm Green cổ điển khơng so sánh với nhau, chí cực cố định Khi đó, thương hai hàm Green h z gm @ tiến tới vô z hội tụ đến điểm phân biệt biên l Để chứng minh kết cần đến Bất đẳng thức Harnack m co biên an Lu Định lý 2.3.3 Giả sử D miền Lipchitz, P0 điểm D, E tập mở ∂D, S miền miền D thỏa mãn ∂S ∩∂D ⊆ E va n Khi đó, tồn số C cho với u1 u2 hai hàm điều ac th 20 si hòa dương D triệt tiêu E u1 (P0 ) = u2 (P0 ), ta có u1 (P ) ≤ Cu2 (P ), với điểm P ∈ S Chúng ta có phản ví dụ sau thương hai hàm Green song đĩa đơn vị C2 Định lý 2.3.4 Trong song đĩa đơn vị C2 , ta có h(z, 0) hàm khơng bị chặn Chứng minh Đặt  D = z = (z1 , z2 ) ∈ C2 ; 1/3 < |z1 | < 1, 1/3 < |z2 | < , lu  E = z = (z1 , z2 ) ∈ ∂D; |z1 | = |z2 | = ,  S = z = (z1 , z2 ) ∈ C2 ; 2/3 < |z1 | < 1, 2/3 < |z2 | < an n va tn to Khi đó, miền D, E S thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.3 gh p ie Cho G(z, 0) hàm Green cổ điển song đĩa với cực điểm gốc, w cho −u1 (z) hạn chế G(z, 0) D Định nghĩa hàm d oa nl u2 (z) = k(log |z1 |)(log |z2 |), an lu k chọn cho u1 (1/2, 1/2) = u2 (1/2, 1/2) hàm nf va u1 u2 thỏa mãn điều kiện giả thuyết Định lý 2.3.3 lm ul u1 (z)/u2 (z) ≤ C với z ∈ S Hàm Green đa phức cho song đĩa với cực gốc z at nh oi g(z, 0) = max {log |z1 |, log |z2 |} z Do @ l gm −g(z, 0) −g(z, 0) u2 (z) − max {log |z1 |, log |z2 |} g(z, 0) = = ≥ , G(z, 0) u1 (z) u2 (z) u1 (z) Ck(log |z1 |)(log |z2 |) m co với z ∈ S Đặt z1 = z2 = t ∈ R+ Khi đó, ta có n ac th 21 (2.8) va t dần đến Định lý chứng minh an Lu g((t, t), 0) − log t ≥ → +∞, G((t, t), 0) Ck(log t)2 si Nhận xét 2.3.5 Từ Định lý 2.3.4, cách tự nhiên, xét hàm x 7→ 1/h(x, y), cực y cố định Thật vậy, cho Ω miền bị chặn với biên lớp C Khi đó, theo định lý cổ điển Keldysh, Lavrent’ev Hopf −g(x, y) > Cδ(x), với C = C(y) số phụ thuộc vào y , δ(x) khoảng cách Euclid từ x tới biên Ω Kết hợp kết với ước lượng hàm Green thực cổ điển (2.7), suy hàm x 7→ 1/h(x, y) bị chặn gần biên ∂Ω lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 22 si Chương Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu lu an Đánh giá thương hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền khả lồi địa phương n va 3.1 ie gh tn to p Trong phần này, mở rộng kết Định lý 2.3.3 có nl w miền giả lồi yếu Cụ thể, chứng minh tính bị chặn thương oa gD /GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển d số miền khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Cn Kết an lu trình bày Định lý 3.1.6 Cuối cùng, nghiên cứu phản nf va ví dụ tính khơng bị chặn gD /GD lm ul Trước hết, có nghiên cứu số kết đánh giá cận z at nh oi hàm Green đa phức miền khả lồi địa phương, bị chặn Cn Mệnh đề 3.1.1 Cho D miền khả lồi địa phương, bị chặn z Cn Giả sử tồn số dương α > β với α ≥ r > cho, với @ l gm p ∈ ∂D, tồn hàm chỉnh hình hp D ∩ B(p, r) thỏa mãn c1 |z − p|α ≤ − |hp (z)| ≤ c2 |z − p|β , m co (3.1) an Lu với số thích hợp c2 > c1 > (độc lập với p), B(p, r) hình cầu Cn với tâm điểm p, bán kính r Khi đó, tồn n va ac th 23 si số C > phụ thuộc vào α, β, r, c1 , c2 cho β β δD (z)δD (w) −gD (z, w) ≤ C , |z − w|2α (3.2) δD (z) ký hiệu khoảng cách Euclid tới biên D z Để chứng minh kết trên, để đơn giản giả thiết đường kính D : diam(D) < Trong kết phần này, ký hiệu C số phụ thuộc vào số α, β, r, c1 , c2 Chúng ta có bổ đề sau β Bổ đề 3.1.2 Với z, w ∈ D cho δD (w) ≤ a|z − w|α , a = c1 /(2α+1 c2 ), ta có lu β δD (w) −gD (z, w) ≤ C |z − w|α an (3.3) n va β/α Nếu δD (w) ≥ r/2 ta có |z − w| ≥ δD (w)/a1/α ≥ C Bởi ước lượng gh tn to e cho δD (w) = |w − w| e Chứng minh Cố định w Lấy điểm biên w p ie tính tốn đơn giản, ta nhận diam(D) , |z − w| nl w −gD (z, w) ≤ log d oa Từ đó, ta nhận bất đẳng thức (3.3) Vì vậy, giả sử an lu δD (w) < r/2 Đầu tiên, ta β (w) δD −gD∩B(w,r) e (z, w) ≤ C |z − w|α nf va (3.4) lm ul e r) nên suy Vì |hwe | < D ∩ B(w, z at nh oi z
−gD∩B(w,r) (z, w) ≤ −g h (z), h (w) e e ∆ w w e |hwe (z) − hwe (w)|2 = − log |1 − hwe (w)hwe (z)|2   (1 − |hwe (z)|2 )(1 − |hwe (w)|2 ) = log + |hwe (z) − hwe (w)|2 (1 − |hwe (z)|2 )(1 − |hwe (w)|2 ) ≤ |hwe (z) − hwe (w)|2 (1 − |hwe (z)|)(1 − |hwe (w)|) , ≤2 |hwe (z) − hwe (w)|2 m co l gm @ an Lu n ac th 24 va ∆ đĩa đơn vị C Chú ý si β − |hwe (w)| ≤ c2 δD (w) |hwe (z) − hwe (w)| ≥ − |hwe (z)| − (1 − |hwe (w)|) e α − c2 |w − w| eβ ≥ c1 |z − w| β ≥ c1 (|z − w| − δD (w))α − c2 δD (w) ≥ (c1 (1 − a1/β )α − c2 a)|z − w|α ≥ (c1 2−α − c2 a)|z − w|α ≥ c1 2−α−1 |z − w|α Nếu |1 − |hwe (z)|| ≤ 2(1 − |hwe (w)|) ta có lu an 4(1 − |hwe (w)|)2 −gD∩B(w,r) e (z, w) ≤ |hwe (z) − hwe (w)|2 2β δD (w) ≤C |z − w|2α β δD (w) , ≤C |z − w|α n va p ie gh tn to oa nl w β δD (w) ≤ a|z − w|α Nếu không, ta có d
|hwe (z) − hwe (w)| ≥ − |hwe (z)| − − |hwe (w)| ≥ (1 − |hwe (z)|) nf va an lu Từ suy lm ul z at nh oi
β − |hwe (w)| (w) δD −gD∩B(w,r) ≤C e (z, w) ≤ |hwe (z) − hwe (w)| |z − w|α Tiếp theo, chứng minh phần lại bổ đề Cố định z, w |z − w| r/4 |z − w| < r/4, trường hợp lại m b := co e r) Đặt Rõ ràng, ta có B(w, λ) ⊂ B(w, l gm λ := @  z đặt inf an Lu n va gD∩B(w,r) e (ξ, w),
log 2|ξ − w|/r v(ξ) := b log(2λ/r) ξ∈D∩∂B(w,λ) ac th 25 si Khi đó, ta có v hàm đa điều hòa D thỏa mãn  b ≤ gD∩B(w,r) |ξ − w| = λ, e (ξ, w) v(ξ) = v(ξ) = > gD∩B(w,r) |ξ − w| = r/2 e (ξ, w) Vì vậy, ta có hàm   ξ ∈ D ∩ B(w, λ), gD∩B(w,r) e (ξ, w), u(ξ) = max v(ξ), gD∩B(w,r) e (ξ, w) , ξ ∈ D ∩ B(w, r/2)\B(w, λ),  v(ξ), ξ ∈ D\B(w, r/2), hàm đa điều hòa D có cực loagrit điểm w Mặt khác, từ bất đẳng thức (3.4) ta có lu β δD (w) u(z) ≥ −C |z − w|α an
β log diam(D)/r δD (w) sup u(ξ) ≤ b ≤C log(2λ/r) |z − w|α ξ∈D n va Đồng thời, ta có gh tn to p ie Suy w gD (z, w) ≥ u(z) − sup u(ξ) nl ξ∈D d oa β δD (w) ≥ −C |z − w|α an lu nf va Vậy bổ đề chứng minh lm ul Tiếp theo, có đánh giá sau z at nh oi Bổ đề 3.1.3 Với z, w ∈ D, ta có 2β/α z δ (z) −gD (z, w) ≤ C D |z − w|2 @ gm Cố định z, w lấy γ = |z − w|, w0 = w + (w − z)/γ , R = + 2γ co l Vì |z − w0 | = + γ < R nên |w − w0 | = z ∈ B(w0 , R) Khơng m tính tổng quát, giả định w0 = Để chứng minh Bổ an Lu đề 3.1.3, cần chứng minh kết sau n va ac th 26 si Mệnh đề 3.1.4 Khi đó, tồn số C > phụ thuộc vào n, cho −gB(0,R) (ξ, w) ≤ C , (3.5) |dξ gB(0,R) (ξ, w)| ≤ C /γ (3.6) với + γ/2 ≤ |ξ| ≤ + γ Ở đây, ký hiệu dξ đạo hàm theo biến ξ Chứng minh Vì hàm Green đa phức bất biến qua song chỉnh hình nên giả sử w = (t, 0, · · · , 0) với t > Hơn nữa, lấy R = phép co ξ → ξ/R Khi đó, R ≤ nên t = 1/R ≥ 1/3 32 γ ≤ − t ≤ 2γ Suy lu |1 − tξ |2 log |t − ξ |2 + q(1 − t2 )   (1 − |ξ|2 )(1 − t2 ) = log + |t − ξ |2 + q(1 − t2 ) (1 − |ξ|2 )(1 − t2 ) ≤ , |t − ξ |2 + q(1 − t2 ) an −gB(0,1) (ξ, w) = n va p ie gh tn to w ξ = (ξ , ξ , , ξ 2n ) ∈ R2n q = q(ξ) = |ξ |2 + · · · + |ξ 2n |2 oa nl Nếu |t − ξ | > γ/4 d |t − ξ |2 + q(1 − t2 ) > γ /16 nf va an lu Ngược lại, ta có lm ul q = |ξ|2 − |ξ |2 z at nh oi ≥ (t + γ/2)2 − (t + γ/4)2 ≥ (γ/2)t ≥ γ/6, z gm @ với t + γ/2 ≤ |ξ| ≤ t + γ Từ suy co l |t − ξ |2 + q(1 − t2 ) ≥ q(1 − t2 ) ≥ 23 qγ ≥ γ /9 m Do đó, ta có bất đẳng thức (3.5) − |ξ| ≤ − t − γ/2 ≤ 2γ Theo an Lu n va ac th 27 si