(Luận văn) định lý đếm polya

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI lu an n va ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA lu an va n Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp 60 46 01 13 p ie gh tn to Mã số: d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC lm ul z at nh oi TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục lu an iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 n va Lời cam đoan Khái niệm ví dụ nhóm Định lý Lagrange ie 1.1 p gh tn to Kiến thức chuẩn bị Tác động nhóm cơng thức lớp 10 13 2.1 Bổ đề Burnside 13 2.2 Định lý Polya (Polya’s Baby Theorem) 15 2.3 Ví dụ 16 2.4 Bài tập đề nghị 21 nf va an 23 z @ Định lý đếm Polya z at nh oi lm ul Bổ đề Burnside lu d oa nl 1.3 w 1.2 Bổ đề Burnside với trọng 23 3.2 Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) 25 3.3 Ví dụ 3.4 Bài tập đề nghị m co l gm 3.1 27 an Lu 39 n va ac th si ii Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc lu an n va to Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 p ie gh tn Họ tên w d oa nl Nguyễn Ngọc Chi nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Lời cảm ơn Sau năm nghiên cứu miệt mài luận văn thạc sỹ với chủ đề "Định lý đếm Polya" hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Những kết ban đầu mà luận văn thu nhờ lu an hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TS Đồn Trung Cường Tơi xin va n gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy tn to Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo khoa Tốn - Tin, ie gh Phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học p Toán K7D bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác nl w giả trình học tập nghiên cứu d oa Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân nf va văn an lu ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận lm ul Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót z at nh oi hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện z Nguyễn Ngọc Chi l gm @ Thái Nguyên, 2015 m co Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên an Lu n va ac th si Mở đầu Cấu trúc nhóm xuất cách tự nhiên Toán học Toán học phổ thơng Giải tích, Đại số, Số học, Tổ hợp Một ví dụ tiêu biểu Tổ hợp ứng dụng lý thuyết nhóm vào tốn tơ mầu thơng qua bổ đề lu an Burnside Mục đích luận văn trình bày tốn tơ mầu, bổ va n đề Burnside, định lý Polya ứng dụng vào tập cho học sinh phổ Bổ đề Burnside kết lý thuyết nhóm vận dụng ie gh tn to thơng p vào tốn tơ mầu với hệ định lý Polya Bài tốn đặt tơ mầu r nl w mảnh vải khác n mầu Nếu ta gọi G nhóm nhóm d oa Sr nhóm phép hốn vị r mảnh vải hai cách tơ mầu an lu cách tô mầu nhận từ cách tô mầu phép hoán vị nf va mảnh vải G Hỏi có cách tơ mầu khác nhau? Nội dung lm ul luận văn số cách tơ mầu khác số quỹ đạo tác z at nh oi động nhóm G vào tập mảnh vải để đếm số quỹ đạo ta sử dụng bổ đề Burnside với hệ định lý Polya z Trong thực tế với tốn tơ mầu ta thường gặp u cầu kỹ hơn, gm @ cụ thể cách thức tô mầu Cụ thể với mầu M = {M1 , M2 , , Mm } l số nguyên t1 , t2 , , tn ≥ tô r mảnh vải m mầu toán m co kèm theo điều kiện mầu Mi xuất ti lần Hỏi có cách an Lu tơ mầu khác nhau? Để giải toán ta cần sử dụng đến khái niệm hàm sinh đa thức số xích để đến cơng cụ mạnh bổ đề Burnside n va ac th si định lý đếm Polya Trong luận văn tốn tơ mầu xuất việc tơ đỉnh đa giác đều, tơ mầu vịng cổ, tô mầu ô vuông lưới vuông, hay tơ mầu hình đa diện tứ diện đều, khối lập phương, bát diện Đồng thời luận văn đề cập đến việc ứng dụng tốn tơ mầu vào đếm số đồng phân phân tử hợp chất hóa học Đây tốn khó có nhiều ứng dụng việc tìm đặt tên hợp chất hóa học hữa lu Trên sở luận văn chia thành ba chương với nội dung an sau: va n Chương 1: Trình bày số khái niệm nhóm, định lý Lagrange, gh tn to tác động nhóm cơng thức lớp p ie Chương 2: Trình bày bổ đề Burnside, định lý Polya ví dụ Chương 3: Là nội dung luận văn, chương trình bày định lý d oa nl w đếm Polya ví dụ lu nf va an Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Email: ngocchigvt@gmail.com z at nh oi lm ul Nguyễn Ngọc Chi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức nhóm, nêu lu chứng minh định lý Lagrange Đồng thời nêu định nghĩa tác động nhóm an n va chứng minh công thức lớp Kiến thức cần thiết cho áp dụng gh tn to vào việc chứng minh định lý chương sau Khái niệm ví dụ nhóm p ie 1.1 nl w Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm gồm tập hợp G 6= ∅ phép tốn d oa G × G → G, (a, b) 7→ a ∗ b thỏa mãn tiên đề: an lu (G1 ) Tính chất kết hợp: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), với a, b, c ∈ G nf va (G2 ) Phần tử đơn vị: tồn e ∈ G cho e ∗ a = a ∗ e = a với lm ul a ∈ G Phần tử e gọi phần tử đơn vị G z at nh oi (G3 ) Phần tử nghịch đảo: với a ∈ G, có phần tử b ∈ G cho a ∗ b = b ∗ a = e Phần tử b gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu z a−1 l tiên đề sau thỏa mãn gm @ Một nhóm (G, ∗) gọi nhóm Abel nhóm giao hốn m co (G4 ) Tính chất giao hốn: a ∗ b = b ∗ a với a, b ∈ G an Lu Về mặt kí hiệu, bên cạnh kí hiệu tích dạng a ∗ b, người ta cịn sử dụng n va kí hiệu a + b, ab, a ◦ b, tùy vào trường hợp cụ thể Trong chương này, ac th si với nhóm Abel nói chung ta dùng kí hiệu + để phép tốn, phần tử đơn vị kí hiệu gọi phần tử trung hòa Phần tử nghịch đảo phần tử a kí hiệu −a gọi phần tử đối Trong trường hợp tổng quát, tích thường kí hiệu ab, phần tử đơn vị đơi kí hiệu Để nhóm, ta dùng kí hiệu (G, ∗) đơn giản G Ví dụ 1.1.1 Sau số ví dụ nhóm a) Tập số nguyên Z với phép + nhóm Abel Phần tử trung hòa 0, phần tử đối n ∈ Z −n Tương tự, tập số hữu tỷ Q, tập số lu thực R với phép cộng nhóm Abel an n va b) Tập G = {1, −1} ⊂ R với phép nhân Chú ý (−1)−1 = −1 tn to c) Tập có phần tử G = {e} với phép tốn e ∗ e = e nhóm gh Nhóm kí hiệu e gọi nhóm tầm thường p ie d) Tập R× := R\{0} với phép nhân Tương tự tập R+ := {x ∈ nl w R : x > 0} oa e) Tập lớp đồng dư Z/nZ với n ∈ Z cho trước, phép tốn d phép cộng (a + nZ) + (b + nZ) := a + b + nZ Chú ý lớp đồng dư an lu nf va a + nZ hay kí hiệu a cho gọn lm ul g) Nhóm đối xứng: Xét tập khác rỗng X đặt SX := {f : X → X song ánh} Trên SX có phép hợp thành ánh xạ (f • g)(x) = f (g(x)) z at nh oi kí hiệu ánh xạ đồng idX Khi (SX , •) nhóm với phần tử đơn vị idX Nhóm gọi nhóm đối xứng phần tử tập X z Đặc biệt nhóm SX giao hốn |X| = 1, @ l gm h) Nếu X tập hữu hạn có n phần tử tức X = {1, 2, , n} co nhóm SX cịn kí hiệu nhóm Sn Một phần tử Sn song ánh m ϕ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} Do hồn tồn xác định ảnh ϕ(1) = an Lu a1 , ϕ(2) = a2 , , ϕ(n) = an Từ ta biểu diễn ϕ dạng n va (a1 a2 an ) phép hoán vị n phần tử Ngồi ϕ biểu diễn ac th si = |Ox1 | + |Ox2 | + · · · + |OxN | i=1 Suy N X lu |X| = an |Oxi | = i=1 N X i=1 |G| | StabG (xi )| n va Từ đó, ta có cơng thức lớp gh tn to Định lí 1.3.1 (Cơng thức lớp) Cho G nhóm hữu hạn với tác động p ie lên tập hữu hạn X Giả sử Ox1 , Ox2 , , OxN tất quỹ đạo oa nl w tác động với x1 , x2 , , xN ∈ X Khi d |X| = |G| N X lu | StabG (xi )| nf va an i=1 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 13 Chương Bổ đề Burnside Trong chương vận dụng định lý Lagrange công thức lu lớp vào xây dựng chứng minh bổ đề Burnside định lý Polya Kết an n va chương cho lời giải hay toán xác định số gh tn to lượng quỹ đạo tác động nhóm mà cụ thể tốn tơ màu Bổ đề Burnside p ie 2.1 nl w Xét nhóm G với tác động lên tập hữu hạn X Công thức d oa lớp cho ta cách để đếm số quỹ đạo tác động nhóm G thơng qua an lu cấp số nhóm dừng Ta tính số quỹ đạo nf va cách khác thông qua bổ đề Burnside lm ul Bổ đề Burnside kết lý thuyết nhóm với nhiều ứng z at nh oi dụng tổ hợp Một ứng dụng tiêu biểu tốn tơ màu Bổ đề Burnside chứng minh phương pháp cổ điển tổ hợp z đếm hai cách Fix(g) := {x ∈ X : gx = x} m co l gm @ Với g ∈ G kí hiệu Z = {(g, x) ∈ G × X : x ∈ Fix(g)} an Lu n va ac th si 14 Khi |Z| = X X |{x ∈ X : gx = x}| = | Fix(g)| g∈G g∈G Mặt khác |Z| = X |{g ∈ G : gx = x}| = x∈X X | StabG (x)| x∈X Như |Z| = X | Fix(g)| = X | StabG (x)| x∈X g∈G lu Với phần tử x ∈ X ta xét tác động nhóm G hạn chế tập Ox an n va Theo công thức lớp Định lý 1.3.1 tn to |G| | StabG (x)| ie gh |Ox | = p Suy w X nf va an lu Vậy |Ox | d oa nl | StabG (x)| = |G| | Fix(g)| = X |G| | StabG (x)| = x∈X x∈X Suy X |G| g∈G z at nh oi lm ul g∈G X | Fix(g)| = X x∈X |Ox | |Ox | = N, z số quỹ đạo Từ đó, ta có kết sau bổ đề Burnside gm @ x∈X | StabG (x)| = |G| g∈G | Fix(g)| an Lu |G| X m N= X co l Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Burnside) Số quỹ đạo tác động nhóm G lên tập X n va ac th si 15 2.2 Định lý Polya (Polya’s Baby Theorem) Bài tốn tơ màu: Tơ r mảnh vải n màu Nếu ta gọi G ⊆ Sr nhóm phép hốn vị mảnh vải hai cách tơ màu cách tô nhận từ cách tô phép hốn vị G Hỏi có cách tơ màu khác nhau? Bài tốn tơ mầu phát biểu theo nhiều cách với tình khác ta thấy mục sau Bằng ngôn ngữ toán học toán phát biểu lại sau: lu an Tô r mảnh vải n mầu, ta kí hiệu số mảnh vải v1 , v2 , , vr n va màu c1 , c2 , , cn Mỗi cách tô màu tương ứng 1-1 với hàm f ∈ X Nhóm G ⊆ Sr ie gh tn to Xét tập hợp ánh xạ: X = {f : {v1 , v2 , , vr } → {c1 , c2 , , cn }} p tác động lên tập {v1 , v2 , , vr } nên có tác động tự nhiên lên tập X cho nl w (g, f ) ∈ G × X 7→ f ◦ g ∈ X Hai cách tô màu d oa ánh xạ tương ứng nằm quỹ đạo Do số cách tơ màu khác nf va tác động an lu số quỹ đạo tác động Theo bổ đề Burnside số quỹ đạo lm ul NG = X |G| | Fix(δ)|, z at nh oi δ∈G với Fix(δ) = {f ∈ X : f (δ(vi )) = f (vi ), i = 1, 2, , n} Gọi chu trình δ V1 , V2 , , Vt Khi f ∈ Fix(δ) f z gm @ ánh xạ hạn chế lên chu trình V1 , V2 , , Vt hay hiểu δ có chu trình k nk số ánh xạ f cố định δ l m co Như | Fix(δ)| = nc(δ) với c(δ) = t số chu trình δ Từ đó, ta an Lu đến kết quan trọng sau nội dung định lý Polya n va ac th si 16 Định lí 2.2.1 (Định lý Polya con) Ta ln có số phép tô màu khác NG = X |G| nc(δ) δ∈G Bây xét số ví dụ cụ thể mà bổ đề Burnside định lý Polya sử dụng để tìm lời giải 2.3 Ví dụ lu Ví dụ 2.3.1 (Đề thi HSGQG 2010) Người ta dùng n màu để tô ô vuông an bảng ô vuông × Mỗi ô tô màu Hai cách tô màu va n giống cách tô nhận từ cách tô nhờ phép quay tâm gh tn to hình vng Hỏi có cách tô màu khác p ie Giải Giả sử ô vuông đánh số từ đến hình vẽ d oa nl w nf va an lu Mỗi phép quay bảng ô vuông mơ tả thơng qua phép hốn lm ul vị vng sau: góc iπ với i = 0, 1, 2, Ta có z at nh oi Gọi τ i phép quay quanh tâm hình vng theo chiều kim đồng hồ z @ τ = id, τ = (1397)(2684), τ = (19)(37)(28)(46), τ = (1793)(2486) co τ có chu trình, τ có chu trình l gm Ta có G = {id, τ , τ , τ } nhóm cấp id có chu trình, τ m Theo định lý Polya con, ta có số cách tô màu khác là: n va N = (n9 + n5 + 2n3 ) an Lu ac th si 17 Ví dụ 2.3.2 Ta tơ màu đỉnh hình vng n màu cho đỉnh tô màu n màu Hai cách tô màu cách tô có từ cách tơ thơng qua phép quay quanh tâm phép đối xứng qua trục đối xứng hình vng Hỏi có cách tơ màu khác Giải Ta kí hiệu đỉnh hình vng 1,2,3,4 hình vẽ Mỗi phép quay hay lấy đối xứng đỉnh hình vng mơ tả thơng qua phép hốn vị đỉnh vuông sau: lu an n va p ie gh tn to nl w iπ với i = 0, 1, 2, Gọi δj phép đối xứng qua trục đường nối trung điểm cạnh đối diện d oa Gọi τ i phép quay quanh tâm hình vng góc nf va an lu với j = 1, Như τ = id, lm ul Gọi µk phép đối xứng qua trục đường chéo với k = 1, τ = (1234), τ = (13)(24), τ = (1432), z at nh oi δ1 = (12)(34), δ2 = (14)(23), µ1 = (24), µ2 = (13) Xét tập G = {id, τ , τ , τ , δ1 , δ2 , µ1 , µ2 } Ta có bảng nhân phần tử z m co l gm @ an Lu n va ac th si 18 tập G sau: id id τ τ τ δ1 δ2 µ1 µ2 id τ τ τ δ1 δ2 µ1 µ2 τ τ τ τ id τ τ τ id τ τ id µ2 µ1 δ1 τ δ2 δ1 δ2 µ2 µ1 τ τ µ1 µ2 δ2 δ1 τ2 τ1 τ3 δ1 δ1 µ1 δ2 µ2 id δ2 δ2 µ2 δ1 µ1 τ id τ3 τ1 lu an µ δ1 τ τ id τ2 µ2 µ1 δ1 µ δ2 τ τ τ id n va µ1 µ1 δ2 tn to Từ bảng nhân ta thấy G đóng với phép nhân phép lấy nghịch đảo, theo ie gh Bổ đề 1.1.1 G nhóm với |G| = Số phép quay đối xứng có p chu trình 2, có chu trình 3, có chu trình có chu trình d oa nl w Như vậy, theo định lý Polya số cách tô màu mảnh vải khác là: nf va an lu N = [n4 + 2n3 + 3n2 + 2n] Ví dụ 2.3.3 Ta có vịng cổ gồm hạt cườm có n màu khác lm ul Người ta trang trí vịng cổ cách tơ hạt cườm màu Hai z at nh oi vòng cổ giống cách tô màu nhận từ cách tô màu thông qua phép xoay lấy đối xứng qua trục vòng cổ Hỏi có z vịng cổ khác nhau? @ l gm Giải Ta mơ vòng cổ gồm hạt cườm đỉnh co thất giác đánh số từ đến (như hình vẽ) Mỗi phép quay hay lấy m đối xứng đỉnh thất giác mơ tả thơng qua phép an Lu hoán vị đỉnh thất giác sau: n va Gọi τ i phép quay quanh tâm thất giác góc i2π với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ac th si 19 Gọi δj phép đối xứng qua trục đường nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện với j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Như τ = id, τ = (1234567), τ = (1357246), lu an τ = (147362), τ = (152637), τ = (1642753), τ = (1765432) n va δ2 = (13)(74)(56), δ3 = (24)(15)(67), δ4 = (35)(26)(17), δ5 = (46)(37)(12), δ6 = (57)(14)(23), gh tn to δ1 = (27)(36)(45), δ7 = (16)(25)(34) ie p Ta có G = {id, τ , τ , τ , τ , τ , τ , δ1 , δ2 , δ3 , δ4 , δ5 , δ6 , δ7 } nhóm nl w với |G| = 14 Số phép quay đối xứng có chu trình 6, có chu trình d oa 7, có chu trình nf va an lu Như vậy, theo định lý Polya số vòng cổ khác là: [n7 + 7n4 + 6n] 14 z at nh oi lm ul N= Ví dụ 2.3.4 Có cách sơn mặt hình lập phương màu khác với điều kiện mặt sơn màu hai cách sơn z sai khác phép xoay khối lập phương không gian gm @ m co xoay sau đây: l Giải Khi xoay khối lập phương không gian, ta có loại phép iπ , (i = 1, 2, 3), ta có trục loại n va góc xuay an Lu a) Phép xoay 1: Xoay quanh trục đường nối tâm hai mặt đối diện với ac th si 20 b) Phép xoay 2: Xoay quanh trục đường chéo khối lập phương với góc xuay k2π , (k = 1, 2), ta có trục loại lu an n va ie gh tn to p c) Phép xoay 3: Xoay quanh trục đường nối trung điểm hai cạnh đối d oa nl w diện với góc xuay π, ta có trục loại nf va an lu z at nh oi lm ul Bây giờ, ta đánh số mặt hình lập phương từ đến (như hình z m co l gm @ vẽ) an Lu n va ac th si 21 Mỗi phép quay hay lấy đối xứng mặt khối lập phương mơ tả thơng qua phép hoán vị mặt khối lập phương sau: Các phép xoay loại bao gồm: (2645); (24)(56); (2546); (1234); (13)(24); (1432); (1536); (13)(56); (1635) Các phép xoay loại bao gồm: (145)(263); (154)(236); (152)(364); (125)(346); lu an n va (146)(253); (164)(235); (126)(345); (162)(354) gh tn to Các phép xoay loại bao gồm: p ie (13)(26)(45); (14)(23)(56); (12)(34)(56); (13)(25)(46); oa nl w (16)(24)(35); (15)(24)(36) d Đồng thời, ta có phép đồng id lu nf va an Như vậy, tập G gồm 23 phép xoay với phép đồng lập thành nhóm có cấp |G| = 24 Ta thấy số phép xoay có chu trình 1, lm ul có chu trình 3, có chu trình 12 có chu trình Theo định lý (86 + 3.84 + 12.83 + 8.82 ) = 11712 cách 24 z N= z at nh oi Polya số cách sơn màu khác co l Bài tập đề nghị gm @ 2.4 m Bài tốn tơ màu xuất thường xun thực tế, có nhiều an Lu cách đưa tập với tình khác Một cách tương đối n va đơn giản tìm cách tô màu vật đối xứng với G nhóm phép đối ac th si 22 xứng quay vật thể Trường hợp thường xuyên gặp bảng vng, coi vật thể hai chiều Ta xét vật thể chiều vòng vật thể ba chiều khối lập phương Dưới số tập đề nghị Bài Tơ màu vịng cổ gồm hạt đá, viên tô màu màu xanh, đỏ, tím, vàng Hỏi có cách tô màu khác nhau, biết hai cách tô màu cách nhận từ cách thông qua phép xoay chuỗi hạt? lu Bài Tơ màu đỉnh hình lập phương hai màu xanh đỏ, ta an thu cách tô màu khác nhau? Hai cách tô màu va n cách có từ cách thơng qua phép xoay khối lập phương gh tn to Bài Tô màu cạnh khối lập phương màu, ta thu p ie cách tô màu khác nhau? Hai cách tô màu cách có từ cách thơng qua phép xuay khối lập phương oa nl w Bài Dùng màu xanh hồng tô ô vuông bảng vng kích thước d × cho tơ màu Hỏi có cách tô màu khác lu nf va an biết hai cách tô màu cách nhận từ cách qua phép xuay hình vng quanh tâm? z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 23 Chương Định lý đếm Polya Như chương ta trình bày vận dụng bổ đề Burnside với lu hệ định lý Polya vào tốn tơ mầu ta đếm số cách an n va tơ mầu khác với lựa chọn n mầu Nhưng điều xảy tn to muốn đếm số cách tô mầu với hạn chế việc phân bổ số lượng mầu, gh ví dụ mầu đỏ tô lần, mầu xanh tô lần, mầu vàng tô lần Trong p ie chương đưa lời giải đầy đủ cho tốn tơ mầu với Bổ đề Burnside với trọng d an lu 3.1 oa nl w hạn chế số lượng mầu dựa vào định lý đếm Polya nf va Bài tốn tơ mầu phát biểu lại sau: Tô r mảnh vải m lm ul mầu, ta kí hiệu màu M = {M1 , M2 , , Mm } số nguyên t1 , t2 , , tô ti lần z at nh oi tn ≥ Bài toán đặt có cách tơ màu khác mà màu Mi z Như toán chương u cầu chặt chẽ tốn tơ màu gm @ mục 2.2 mà ta xét Chương đáp án cần cụ thể màu phải tơ bao m co ta có kết toán mục 2.2 l nhiêu lần Bằng cách tính tổng tất cách tơ màu theo trọng t1 , t2 , , tn an Lu Lời giải toán nội dung định lý đếm Polya Để phát biểu chứng minh định lý ta cần sử dụng khái niệm hàm sinh đa thức số n va ac th si 24 xích phiên mạnh bổ đề Burnside gọi bổ đề Burnside theo trọng Ta kí hiệu fG (t1 , t2 , , tn ) số cách tô màu khác với trọng ω = (t1 , t2 , , tn ), nghĩa màu Mi tô ti lần Xét hàm sinh X FG (x1 , x2 , , xn ) = fG (t1 , t2 , , tn )xt11 xt22 xtnn , ω=(t1 ,t2 , ,tn ) t1 + t2 + · · · + tn = m với |X| = m Với trọng ω = (t1 , t2 , , tn ), ta kí hiệu Cω tập tất phép tô lu màu mà màu Mi tô ti lần an n va Tác động G lên tập X cảm sinh tác động G lên tập Cω Hơn tn to nữa, số quỹ đạo tác động số cách tô màu khác mà gh màu Mi tô ti lần với i = 1, 2, , n, nghĩa fG (t1 , t2 , , tn ) p ie Áp dụng bổ đề Burnside, ta có X nl w |G| d oa fG (t1 , t2 , , tn ) = | Fix(g)ω | g∈G lu g ∈ G Vậy nf va an Fix(g)ω tập phép tơ mầu Cω bất động tác động lm ul  FG (x1 , x2 , , xn ) =  ω=(t1 ,t2 , ,tn ) X  | Fix(g)ω |xt11 xt22 xtnn  ω=(t1 ,t2 , ,tn ) P | Fix(g)ω |xt11 xt22 xtnn m co ω=(t1 ,t2 , ,tn ) l gm Đặt Fix(g)(x1 , x2 , , xn ) := | Fix(g)ω | xt11 xt22 xtnn g∈G X  g∈G   @ |G| |G| z = X z at nh oi X trọng an Lu Từ lập luận ta có kết sau thường gọi bổ đề Burnside với n va ac th si 25 Bổ đề 3.1.1 (Bổ đề Burnside với trọng) Với giả thiết cách gọi ta có FG (x1 , x2 , , xn ) = X |G| Fix(g)(x1 , x2 , , xn ) g∈G Như vậy, để tính hàm FG (x1 , x2 , , xn ), ta tính hàm Fix(g)(x1 , x2 , , xn ) Hàm tính thơng qua đa thức số xích mục sau 3.2 Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) lu an va Định nghĩa 3.2.1 Giả sử có tác động nhóm G lên tập X, với g ∈ G n ta kí hiệu ci (g) số xích g có độ dài i Khi đó, đa thức n biến gh tn to p ie ZG (x1 , , xn ) = X |G| c (g) c (g) x11 x22 xcnn (g) , g∈G nl w gọi đa thức số xích G, hay có người cịn gọi đa thức d oa số chu trình G lu nf va an Ví dụ, xét nhóm xyclic G = {id; (1234); (13)(24); (1423)} Khi |G| = 4, dễ thấy phép đồng id có xích độ dài 1; hốn vị (1234) (1423) lm ul có xích độ dài 4; hốn vị (13)(24) có xích độ dài Vậy đa thức số z at nh oi xích G z ZG (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x41 + x22 + 2x4 ) co ω=(t1 ,t2 , ,tn ) l gm @ Xét tốn tơ mầu tiết trước để tính đa thức Fix(g)(x1 , x2 , , xn ) := P | Fix(g)ω |xt11 xt22 xtnn (∗), ta cần xét xem phép m tô mầu T ∈ F ix(g)ω Với g ∈ G, ta phân tích g thành tích xích an Lu g1 g2 gr (xem Ví dụ 1.1.2 (c)) Khi T ∈ Fix(g) tức mảnh vải n va thuộc xích gi tơ mầu qua cách tô T ac th si