(Luận văn) binoid và đại số binoid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH lu an n va p ie gh tn to d oa nl w BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANH lu an va n BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID ie gh tn to p Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số d oa nl w Mã số: 84.60.104 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Tơi khơng chép từ cơng trình nghiên cứu khác lu Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 an n va Người viết luận văn gh tn to p ie Lưu Hoàng Anh người hướng dẫn khoa học oa Xác nhận d nl w Xác nhận nf va an lu trưởng khoa chuyên môn lm ul z at nh oi TS Trần Nguyên An z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc lu an dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn va Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn n học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động gh tn to viên tơi vượt qua khó khăn học tập ie Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, p Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian nl w học tập d oa Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân giúp đỡ, động nf va an lu viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái nguyên, ngày 10 tháng năm 2020 lm ul Người viết Luận văn z at nh oi Lưu Hoàng Anh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục 1.1 Binoid đồng cấu binoid 1.2 Tập sinh binoid 1.3 Một số lớp binoid đặc biệt 10 1.4 Quan hệ tương đương 15 1.5 Tích smash 20 1.6 Tác động binoid tập định điểm 22 1.7 Địa phương hóa 23 1.8 Iđêan binoid giao hoán 25 lu Chương Binoid an n va p ie gh tn to Chương Đại số binoid 31 nl w d oa 2.1 Đại số 2.2 Đại số binoid 31 35 an lu 2.3 Iđêan đại số binoid nf va 2.4 R[N]–môđun lm ul 2.5 Đại số binoid N -binoid 39 41 43 z at nh oi KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si MỞ ĐẦU Năm 2015, Simone Bottger luận án tiến sĩ “Monoids with absorbing elements and their associated algebras” [3] giới thiệu khái niệm binoid đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R lu vành giao hốn, cho M vị nhóm với phép cộng Phần tử a ∈ M thỏa mãn an va a + b = a, với b ∈ M gọi phần tử hút (absorbing element) Phần tử n tồn ký hiệu ∞ Một vị nhóm có phần tử tn to hút gọi binoid Đại số kết hợp với binoid gọi đại số binoid gh p ie M, ký hiệu R[M ] xác định đại số thương oa nl w R[M ] := RM/(X ∞ ), L a∈M d RM = RX a đại số vị nhóm, (X ∞ ) iđêan RM sinh lu nf va an X ∞ Như vậy, đại số binoid mở rộng đại số vị nhóm Đại số binoid vành thương đại số đa thức iđêan đơn thức iđêan nhị thức sinh lm ul nhị thức túy (pure difference binomial) Nhắc lại giả sử S = R [x1 , , xn ] , đơn thức, đa thức dạng z at nh oi n ≥ vành đa thức, đa thức dạng xa11 xa22 xann , ∈ N, i = 1, n gọi z axa11 xa22 xann − bxb11 xb22 xbnn ; a, b ∈ R, , bi ∈ N gm @ l gọi nhị thức, nhị thức mà a, b ∈ {0; 1} gọi nhị thức túy m co Các đại số binoid đối tượng Tổ hợp, Đại số giao hốn hình học an Lu đại số Các đại số phải kể đến là: Vành tọa độ đa tạp affin (xạ ảnh), vành Stanley-Reisner, vành Toric n va ac th si Mục đích luận văn tìm hiểu binoid đại số binoid theo hai tài liệu [2], [3] Luận văn bao gồm chương Chương tìm hiểu binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, số lớp binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid tập định điểm, địa phương hóa iđêan binoid giao hốn Chương tìm hiểu đại số đại số binoid, iđêan đại số binoid, cấu trúc môđun đại số lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Binoid 1.1 Binoid đồng cấu binoid lu Phần giới thiệu định nghĩa binoid số tính chất binoid Trong an luận văn ta ln quy ước R vành giao hốn có đơn vị va n Định nghĩa 1.1.1 (1) Một nửa nhóm (M, ∗) tập hợp M phép toán ∗ tn to kết hợp ie gh ∗ : M × M → M (a, b) 7→ a ∗ b p Một vị nhóm (M, ∗, e) nửa nhóm tồn phần tử e thỏa mãn w oa nl a ∗ e = e ∗ a = a với a ∈ M d Một phần tử gọi phần tử đơn vị M phần tử đơn vị nf va an lu (2) Một vị nhóm vị nhóm M nửa nhóm có chứa phần tử lm ul đơn vị M Trong phép toán cộng, phần tử đơn vị ký hiệu z at nh oi phép toán nhân ta ký hiệu (3) Một phần tử a ∈ M nửa nhóm phần tử hút (absorbing) a ∗ x = x ∗ a = a với x ∈ M Một phần tử hút tồn z gm @ (4) Một binoid (M, ∗, e, a) (nửa binoid (M, ∗, a)) vị nhóm (hay nửa nhóm) với phần tử hút a Một binoid (nửa binoid con) M vị l nhóm (hay nửa nhóm con) M chứa phần tử hút M Trong phép toán co m cộng, phần tử hút ký hiệu ∞ phép toán nhân ta ký hiệu an Lu Theo định nghĩa, nửa binoid vị nhóm ln tập khác rỗng, đặc biệt binoid n va ac th si Ta ký hiệu tập binoid B tập binoid giao hoán com B Trong suốt luận văn này, không nói thêm binoid trang bị phép tốn cộng (kể binoid khơng giao hốn) Hơn nữa, trừ có nhầm lẫn, viết tắt là: na = a + + a nA = {a1 + + an | ∈ A} , với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0A = ∅ Ví dụ 1.1.2 (1) Binoid {∞}, tức = ∞ gọi binoid không binoid {0, ∞} gọi binoid tầm thường lu an (2) Thêm phần tử hút ∞ vào vị nhóm giao hoán (Nn , +, (0, , 0)) , n ≥ 1, ∞ n va cách xác định k + ∞ = ∞ tạo binoid, ký hiệu (Nn ) tn to (3) Cho (R, +, ·) vành Khi (R, ·) binoid ie gh Ví dụ 1.1.3 Cho V tập tùy ý Tập lũy thừa P (V ) tập tập V p Khi ta có hai binoid sau: oa nl w P (V )∩ = (P (V ), ∩, V, ∅) P (V )∪ = (P (V ), ∪, ∅, V ) d Ta có P (∅) tạo binoid không P ({1}) binoid tầm thường Nếu V hữu an lu hạn, viết tắt P ({1, , n}) = Pn , n ≥ viết Pn,∩ Pn,∪ cho nf va binoid tương ứng Các binoid P (V )∩ P (V )∪ cho tập hợp lm ul M ⊆ P (V ) chúng đóng phép tốn ∪ ∩, chứa ∅ V Nếu M binoid P (V )∪ (tương ứng P (V )∩ ), z at nh oi M c = {U c | U ∈ M } , U c = V \ U phần bù U , binoid P (V )∩ (tương z l gm @ ứng P (V )∪ ) U c ∪ W c = (U ∩ W )c (tương ứng U c ∩ W c = (U ∪ W )c ) với  U, W ⊆ P (V ) Đặc biệt, topo T = U | U ⊆ V mở tập khác rỗng V xác định binoid giao hoán liên quan đến phép hợp phép giao, cụ thể co m (T , ∩, V, ∅) = T∩ (T , ∪, ∅, V ) = T∪ , tập hợp tất tập đóng an Lu T c = {U c | U ∈ T } Các binoid P (V )∪ P (V )∩ sinh từ tôpô rời rạc V ac th n va binoid tơpơ tầm thường V binoid tầm thường {V, ∅} si Định nghĩa 1.1.4 Nửa binoid vị nhóm thành lập thêm phần tử hút phần tử đơn vị vào nửa nhóm M ký hiệu M ∞ M Nếu M chứa phần tử hút, viết M • = M \ {∞} Định nghĩa 1.1.5 Một tập định điểm (pointed set) (S, p) tập S có phần tử đặc biệt p ∈ S Một ánh xạ (S, p) → (T, q) tập hợp điểm với p 7→ q gọi ánh xạ định điểm (pointed map) Tập hợp tất ánh xạ định điểm S → T ký hiệu mapp7→q (S, T ) Trong trường hợp T = S p = q, cần viết mapp S Tập mapp S binoid với phép hợp thành ánh xạ S → S Phần tử đơn vị cho idS phần tử hút xác định ánh xạ không đổi cp : s 7→ p, s ∈ S lu an Trong phần tiếp theo, binoid nhúng vào n va binoid gồm ánh xạ tn to
mapp S, ◦, idS , cp gh Đặc biệt, ta có tập hợp M vị nhóm nửa p ie nhóm định điểm (M, 0) với tính chất bổ sung phần tử đơn vị Tương tự, w nửa binoid M nửa nhóm định điểm (M, ∞) với tính chất xác định ∞ oa nl Khi quan sát điều này, binoid M coi tập hợp định điểm d (M, p) theo hai cách khác nhau: Một tập hợp định điểm với p = an lu tập hợp định điểm với p = ∞ nf va Tích tổng trực tiếp họ (Si , pi )i∈I tập định điểm z at nh oi lm ul tập định điểm với phần tử (pi )i∈I chúng trùng I hữu L Q hạn; trường hợp này, ký hiệu i∈I Si thay i∈I Si Tương tự cấu trúc khác, ta có khái niệm tổng, tích binoid Định nghĩa 1.1.6 Cho M N binoids (hoặc nửa binoid) Một ánh xạ z ϕ : M → N đồng cấu binoid (nửa binoid) đồng cấu (nửa @ gm nhóm) ϕ(∞M ) = ∞N Hơn nữa, gọi ϕ đơn cấu phép m co l nhúng đơn ánh, tồn cấu tồn ánh, đẳng cấu song ánh, ta viết M ∼ = N Tập im ϕ = ϕ (M ) ảnh ϕ cấu binoid từ M đến N ký hiệu hom(M, N ) an Lu tập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ (a) = ∞N } hạt nhân ϕ Tập hợp tất đồng n va ac th si L Định nghĩa 2.1.8 Cho A = An R-đại số M -phân bậc Một iđêan I L A gọi phân bậc I = n∈M (I ∩ An ) n∈M Ví dụ 2.1.9 (i) Cho A = ⊕An R-đại số phân bậc I iđêan A sinh phần tử Khi I phân bậc (ii) Cho A = R [x] , I = hx + 1i Khi I khơng phân bậc I khơng chứa L∞ đơn thức n=0 (I ∩ R [x]n ) = {0} = I Mệnh đề 2.1.10 Cho A = L An R-đại số M -phân bậc I iđêan phân bậc A Đặt (A/I)n = (An + I) /I ∼ = An /I ∩ An ảnh An L A/I Khi A/I = n∈M (A/I)n R-đại số M -phân bậc lu Định nghĩa 2.1.11 Cho A = n∈M L n∈M An B = L n∈M Bn R-đại số Một an ánh xạ ϕ : A → B gọi R-đồng cấu đại số phân bậc ϕ R-đồng cấu va n đại số ϕ (An ) ⊆ Bn , ∀n ∈ M gh tn to Định nghĩa 2.1.12 Cho M vị nhóm tùy ý Đại số vị nhóm RM M R R-mơđun trái có sở {T a | a ∈ M } với phép nhân cho phần tử ie p sở xác định cách sử dụng phép toán M , w oa nl T a T b = T a+b , d với a, b ∈ M sau tính chất phân phối mở rộng với phép nhân lu R nf va an RM Trong trường hợp M nhóm, RM gọi nhóm đại số M lm ul R vành RM thông qua đơn cấu vành R ,→ RM, r → rT Nếu z at nh oi R 6= ta có phép nhúng vị nhóm M ,→ RM với a 7→ T a cho M xem vị nhóm RM Mọi phần tử f ∈ RM viết dạng X T a , gm @ a∈M z f= bậc M an Lu a∈M RT a , m RM = co l với ∈ R cho hữu hạn 6= 0, a ∈ M Hơn nữa, RM R-đại số M -phân n va ac th 33 si RT a = {rT a | r ∈ R} Các phần tử R-môđun RT a gọi bậc a Theo quy ước, phần tử bậc Đại số vị nhóm RM giao hoán M giao hoán Ví dụ 2.1.13 Đại số đa thức R [Xi /i ∈ I] ∼ = RN(I) R đại số vị nhóm Đặc biệt R[Nn ] ∼ = R[X1 , , Xn ] Tính phổ dụng đại số vị nhóm thể mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.14 Cho R-đại số A đồng cấu vị nhóm: φ : M → (A, ) , tồn đồng cấu R-đại số φ˜ : RM → A với φ˜ (T a ) = φ (a) , với lu a ∈ M an n va Hệ 2.1.15 Cho M vị nhóm vị nhóm Khi đó, có phép đồng vành RM → SN xác định gh tn to (1) Gọi α : R → S đồng cấu vành ϕ : M → N đồng cấu p ie 7→ α (r) ϕ (a) (2) Nếu a iđêan R, RM/aRM ∼ = (R/a) M oa nl w (3) Nếu S tập đóng nhân R (RM )S ∼ = RS M d (4) Cho họ hữu hạn (Mi )i∈I vị nhóm, ta có đẳng cấu an lu tắc ! nf va R Y Mi ∼ = i∈I O R RMi i∈I lm ul (5) Nếu A R-đại số A ⊗R RM ∼ = AM z at nh oi Người ta quan tâm đến câu hỏi đại số vị nhóm RM miền nguyên Câu trả lời đưa mệnh đề sau z @ Mệnh đề 2.1.16 Cho M vị nhóm R 6= Đại số vị nhóm RM l gm miền nguyên R miền nguyên M ∞ khơng xoắn có luật giản ước co m Chứng minh Xem ([7], Định lý 8.1) ([4], Định lý 4.18) an Lu n va ac th 34 si 2.2 Đại số binoid Định nghĩa 2.2.1 Cho M binoid Đại số binoid M ký hiệu R[M ], định nghĩa đại số R [M ] := RM/(T ∞ ), RM = M RT a đại số vị nhóm, (T ∞ ) iđêan RM sinh a∈M phần tử T ∞ Một cách tổng quát, I iđêan M , biểu thị iđêan (tương ứng R-môđun con) RM sinh T a , a ∈ I RI = (T a | a ∈ I) ⊆ RM, lu an n va R [I] = RI/ (T ∞ ) = (T a | a ∈ I) ⊆ R [M ] , tn to iđêan (tương ứng R-môđun con) R [M ] p ie gh Theo định nghĩa, R [M ] đồng với tập hợp tất tổng X hình thức T a với ∧ ⊆ M • hữu hạn ∈ R, phép nhân   r s T a+b , a + b 6= ∞, a b a b T sb T =  0, trường hợp lại d oa nl w a∈∧ nf va an lu Đẳng cấu R-môđun: R [M ] ∼ = RM/ht∞ i lm ul suy từ đồng cấu R-đại số phân bậc z at nh oi KM → R [M ] với ker = RT ∞ Với iđêan I ⊆ M , iđêan RI R[I] ∼ = K[t]/ht∞ i = R[t] z a 7→ T a m co l ιM : M → R [M ] , gm RM → R [M ] tạo phép nhúng binoid @ iđêan đơn thức RM R [M ] Nếu R 6= 0, hợp thành M ,→ Ví dụ 2.2.2 Cho R vành Khi đó: an Lu cho M coi binoid (R [M ] , , 1, 0) n va ac th 35 si (1) Đại số binoid binoid không {∞}, tức = ∞ vành vành khơng (trong đại số vị nhóm khơng R) (2) Đại số binoid binoid tầm thường {0; ∞}, tức với 6= ∞ R R (trong đại số vị nhóm R[x]/(x2 )) Mệnh đề 2.2.3 Cho binoid M , R-đại số A phép đồng cấu binoid ϕ : M → A Khi tồn phép đồng cấu R-đại số φ : R [M ] → A cho sơ đồ sau giao hoán M ι  ϕ < / A φ R [M ] lu an Đặc biệt, A = R, n va R- spec M ∼ = R- Spec R [M ] gh tn to π Chứng minh Xét hợp thành ánh xạ tắc M → RM → R [M ] Theo tính chất phổ dụng đại số vị nhóm, xem Mệnh đề 2.1.14, ϕ cảm sinh ie p đồng cấu R-đại số ϕ˜ : RM → A với rT a 7→ α (r) ϕ (a), α : R → A nl w đồng cấu đại số, r ∈ R a ∈ M Vì ker π = RT ∞ ⊆ ker ϕ, ˜ đồng cấu R- oa đại số ϕ˜ cảm sinh phép đồng cấu vành φ : R [M ] → A với φπ = ϕ∼ cho d rT a 7→ α (r) ϕ (a) , r ∈ R, a ∈ M Vậy φ phép đồng cấu R-đại số an lu nf va Hệ sau đại số binoid xác định tính chất phổ dụng lm ul Hệ 2.2.4 Cho α : R → S đồng cấu vành φ : M → M z at nh oi đồng cấu binoid Khi có đồng cấu vành φ : R [M ] → S[M ] z @ với φ (rT a ) 7→ α (r) ϕ (a) , r ∈ R, a ∈ M gm co l Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3, ϕ cảm sinh phép đồng cấu R-đại số φ˜ cho biểu đồ sau giao hoán m an Lu n va ac th 36 si ϕ M / M ιM ιM  φ˜ R [M ] / h  0i R M α ˜ / h L M i Khi φ = α ˜ φ˜ phép đồng cấu vành nhất, α ˜ : rT a 7→ α (r) T a Ghi 2.2.5 Có hai trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.4 (1) Nếu ϕ = idM có đồng cấu vành α [M ] : R[M ] → S[M ] Hơn nữa, tập hợp S sinh S R-môđun (hoặc R-đại số) sinh S[M ] R[M ]-môđun (hoặc R[M ]-đại số) tập phần tử độc lập lu an tuyến tính S R độc lập tuyến tính S[M ] R[M ] Đặc biệt, va sở giữ nguyên không thay đổi chuyển sang đại số binoid Hơn n nữa, α tồn cấu, α [M ] tồn ánh tn to (2) Xét S = R Trong trường hợp có đồng cấu R-đại số gh p ie R [ϕ] : R [M ] → R [N ] oa nl w ϕ đơn cấu (toàn cấu) R [ϕ] đơn cấu (toàn cấu) Hệ 2.2.6 Cho M binoid d nf va R [M ] an lu (1) Nếu N binoid M đại số binoid R [N ] R-đại số lm ul (2) Nếu a iđêan R z at nh oi (R/a) [M ] ∼ = R [M ] /aR [M ] (3) Nếu M giao hoán I iđêan M z R [M/I] ∼ = R [M ] /R [I] ∼ = RM/RI gm @ (4) Nếu M giao hoán S binoid M S˜ = {T a | a ∈ S} an Lu n va ac th 37 m (5) Nếu A R-đại số A ⊗R R [M ] ∼ = A [M ] co S˜−1 (R [M ]) ∼ = R (MS ) l tập đóng nhân R [M ] có đẳng cấu si (6) Nếu S tập đóng nhân R R [M ]S ∼ = RS [M ] Chứng minh (1) Kiểm tra theo định nghĩa (2) Đặt π : R → R/a tồn ánh tắc Hạt nhân đơn cấu vành cảm sinh R [π] : R [M ] → (R/a) [M ] , xem Hệ 2.2.4, bao gồm tất f ∈ R [M ] với hệ số a, điều chứng tỏ (2) (3) Toàn cấu binoid M → M/I cảm sinh toàn cấu R-đại số R [M ] → R [M/I] L Hệ 2.2.4 Hạt nhân xác định a∈I • RT a = R [I] , R [M/I] ∼ = R [M ] /R [I] lu (4) Theo Hệ 2.2.4, ánh xạ tắc ιS : M → MS cảm sinh đồng cấu R-đại số ˜ιS : R [M ] → R [MS ] Đặt ι : R [M ] → S˜−1 (R [M ]) biểu thị đồng cấu  × −1 ˜ vành tắc Vì ι (S) ⊆ S (R [M ]) , nên theo tính chất phổ dụng địa an va phương hóa ta có sơ đồ giao hốn sau: n to ι/ gh tn R [M ] ie  ιS˜ S˜−1 (R [M ]) ψ x p R [MS ] nl w Trong đồng cấu R-đại số cảm sinh ψ đẳng cấu với nghịch đảo đưa d oa cách viết lại phần tử R [MS ] theo cách sau Pn Q Q n n a0 aj fi aj −0 fi −0 X X r T r T T r T T j j j j=1 i6 = j i6 = j Qn 7→ = , rj T aj −fj = n f fi Y T T i=1 j=1 j=1 T fi −0 nf va an lu i=1 i6=j fi ∈ M f = Pn i=1 fi ∈ S Đây phần tử z at nh oi (5) Ta có P lm ul với a = aj + S˜−1 (R [M ]) z đẳng cấu Hệ 2.1.15 (2) l gm @ A ⊗R R [M ] ∼ = (A ⊗R RM ) / (1 ⊗ T ∞ ) ∼ = AM/(T ∞ ) ∼ = A [M ] , m co (6) Ta có R [M ]S ∼ = RS ⊗R R [M ] ∼ = RS [M ] , với đẳng cấu sau (5) an Lu Hệ 2.2.7 Cho I ⊆ M iđêan e ∈ I phần tử lũy đẳng (tức e2 = e) cho RI K-đại số với đơn vị e Khi đó: RM → RI × R[M/I] n va ac th 38 si xác định φ(x) = (ex, π(x)), π : RM → R[M/I] kí hiệu cho đồng cấu tắc, đẳng cấu đại số Đặc biệt, RM ∼ = R × R[M ] R-đại số Chứng minh Theo giả thiết, có đẳng cấu R-đại số RM ∼ = RI × (1 − e)RM (1 − e)RM ∼ = RM/RI ∼ = R[M/I], theo Hệ 2.2.6 Vì π((1 − e)x) = π(x), với x ∈ RM ker π ∩ (1 − e)RM = RI ∩ (1 − e)RM = 0, lu nên giới hạn π (1 − e)RM đẳng cấu (1 − e)RM ∼ = R[M/I] Từ ta có RM → RI × R[M/I] Trường hợp I = RT ∞ , ta có RM ∼ = K × K[M ] an va Để tìm hiểu R[M ] miền nguyên ta giới thiệu khái niệm binoid n tn to quy không xoắn ie gh Định lý 2.2.8 Đại số binoid R [M ] miền nguyên R p miền M binoid quy khơng xoắn d oa nl w Chứng minh Nếu R [M ] miền nguyên, binoid M phải nguyên Do R [M ] ∼ = RM • Từ Mệnh đề 2.1.16 ta suy điều phải chứng minh lu nf va an 2.3 Iđêan đại số binoid Chú ý iđêan I binoid M xác định iđêan đơn thức lm ul R [M ], cụ thể là: M RT a z at nh oi R [I] = a∈I Ngược lại, với iđêan a ⊆ R [M ] có iđêan số mũ M , z co l Ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau gm @ I (a) = {a ∈ M | T a ∈ a} Bổ đề 2.3.1 (1) Giả sử I J hai iđêan M Khi đó: m an Lu (a)R [I ∪ J ] = R [I] + R [J ] (b) R [I ∩ J ] = R [I] ∩ R [J ] n va ac th 39 si (c) R [I + J ] = R [I] R [J ] (2) R [I (a)] ⊆ a với iđêan a R [M ] Hơn nữa, a b iđêan đơn thức R [M ] thì: (a) R [I (a)] = a Cụ thể, I (−)thành lập song ánh tập hợp iđêan M tập hợp iđêan đơn thức R [M ] với ánh xạ nghịch đảo R [−] , I 7→ R [I] a 7→ I (a) (b) b ⊆ a I (b) ⊆ I (a) (c) Nếu a iđêan I (a) Mệnh đề 2.3.2 Cho R trường Nếu M dương R [M+ ] iđêan tối đại lu R [M ] an n va Chứng minh Chúng ta có tn to R∼ = R [{0, ∞}] = R [M/M+ ] = R [M ] /R [M+ ] , ie gh đồng thức sau Hệ 2.2.6 (3) p Kết sai binoids không dương ∞ với n ≥ Khi nl w Ví dụ, ta xét nhóm binoid M = (Z/nZ) d oa R [M ] /R [M+ ] = R [M/M+ ] = R [M ] ∼ = R [X] / (X n − 1) , lu an khơng phải trường X − ước không Cụ thể, ta có nf va R [M+ ] = R [(∞)] = iđêan tối đại R [M ] lm ul Hệ 2.3.3 Cho R trường Nếu M hữu hạn sinh dương z at nh oi n dimR R [M ] / (R [M+ ]) = H (n, M ) , ta sử dụng quy ước a0 = R cho iđêan a vành R z gm @ Chứng minh Chúng ta có n M RT a a∈(M/nM+ )• m co l R [M ] / (R [M+ ]) = R [M ] / (R [nM+ ]) = R [M/nM+ ] = −1 n dimR R [M ] / (R [M+ ]) = (M/M+ ) an Lu R-khơng gian vectơ, = H (n, M ) n va ac th 40 si 2.4 R[N]–môđun Khái niệm đại số binoid cho binoid tổng quát cho N -tập tùy ý (S, p); nghĩa là, với N -tập (S, p) người ta liên kết R [N ]-môđun R [S] Định nghĩa sau R [S] cho thấy nhiều kết đại số binoid đưa Mục 2.2 tổng quát cho N -tập R [N ]-mơđun liên kết chúng binoid {0, ∞}-tập Định nghĩa 2.4.1 Cho N -tập hợp (S, p) R [S] định nghĩa R [N ]-môđun X xác định tập hợp tất tổng thức rs X s với T ⊆ S ∗ hữu hạn, s∈T lu rs ∈ R phép nhân vô hướng xác định  r r X a+s , a + s 6= p, a s a s X rs X =  , a+s=p an n va gh tn to a ∈ N s ∈ S Ví dụ 2.4.2 Iđêan R [I] R [M ]-mơđun hiểu xây dựng từ M -tập ie p (I, ∞) oa nl w Bằng kiểm tra trực tiếp, ta có kết sau d Bổ đề 2.4.3 S N -tập hợp hữu hạn sinh R [S] R [N ]-môđun nf va an lu hữu hạn sinh Mỗi R [N ]-môđun V N -tập hợp với phép toán (trái) N z at nh oi lm ul (V, 0) xác định N × V → V, (a, v) 7→ a + v = X a · v Đặc biệt, R [S] lại N -tập với N −tập (S, p) R 6= 0, ta có đơn cấu z tắc N -ánh xạ @ l gm ıS : S → R [S] , s 7→ X s R[N ]-môđun N -tập xác định sai khác đẳng cấu m co Mệnh đề 2.4.4 Cho (S, p) N -tập hợp V R [N ]-mơđun Khi an Lu đó, N -ánh xạ ϕ : (S, p) → (V, 0) cho ta đồng cấu R [N ]-môđun n va ac th 41 si φ : R [S] → V cho sơ đồ sau giao hoán: ϕ S ιS  /