THÔNG TIN TÀI LIỆU
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH lu an n va p ie gh tn to GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY d oa nl w BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN a lu oi lm ul f an nv z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z om l.c gm @ n a Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VĂN THẠCH lu GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY an n va p ie gh tn to BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN d oa nl w Chuyên ngành Mã số : Phương pháp toán sơ cấp : 8460113 a lu oi lm ul f an nv z at nh z gm @ om l.c Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG n a Lu n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an bảo tính trung thực, xác n va Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 to p ie gh tn Học viên d oa nl w Đăng Văn Thạch a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th si Mục lục lu an MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ n va Khái niệm số tính chất sai phân 1.2 Khái niệm số tính chất sai phân ngược p ie gh tn to 1.1 Tính tổng phương pháp sai phân 10 1.4 Một số ví dụ 11 d oa nl w 1.3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA 2.1.1 Phương pháp 21 2.1.2 Phương pháp 22 oi lm ul Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng với z at nh 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính hệ số 21 f an nv 2.1 21 a lu DÃY hệ số z 2.2.1 Phương pháp sử dụng định lý Caley-Hamilton 2.2.2 Phương pháp tính lũy thừa Ma trận Jordon 33 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao hệ số 35 Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến a Lu 2.3.1 24 om l.c gm @ 2.3 24 tính cấp cao 35 n n va ac th si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 2.3.2 Nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp cao không MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 38 44 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số 44 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy véc tơ 50 Kết luận 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Một số kí hiệu • N: Tập số tự nhiên • N˚ : Tập số tự nhiên khác • Z: Tập số nguyên • Z` : Tập số nguyên dương • R: Tập số thực lu • AT : Ma trận chuyển vị ma trận A an n va p ie gh tn to d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Mở đầu Bài toán xác định số hạng tổng quát dãy số toán thú vị khó, thường xuất chương trình tốn Trung học lu phổ thơng Để giải tốn xác định số hạng tổng quát dãy số, an người ta thường sử dụng phương pháp truyền thống quy nạp tốn n va học, sử dụng đạo hàm, tích phân, biến đổi đại số, sử dụng tính chất tn to số phức, Tuy nhiên, câu hỏi thường đặt toán xác p ie gh định số hạng tổng quát dãy số phương pháp quy nạp là: “Làm biết cơng thức tổng qt dãy số đó?”, “Làm sáng d oa nl w tác hệ thống tập hay cho học sinh?” Luận văn cung cấp câu trả lời cho câu hỏi a lu Trong luận văn này, chúng tơi tập trung nghiên cứu việc giải tốn f an nv xác định số hạng tổng quát dãy số dãy véc tơ phương pháp sai phân Chúng hệ thống làm rõ số nội dung tài oi lm ul liệu tham khảo r1s, r2s, r3s, r4s Ngoài mục lục, mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: z at nh Chương Trình bày khái niệm số tính chất sai phân, sai z phân ngược, tính tổng phương pháp sai phân gm @ Chương Trình bày phương pháp giải phương trình hệ phương trình om l.c sai phân tuyến tính n số dãy véc tơ a Lu Chương Trình bày số dạng tốn tìm số hạng tổng quát dãy n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Đinh Công Hướng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình thầy suốt trình thực luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, ngày tháng năm 2020 lu Học viên an n va to p ie gh tn Đăng Văn Thạch d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương KIẾN THỨC CHUẨN lu BỊ an n va tn to Khái niệm số tính chất sai p ie gh 1.1 d oa nl w phân Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f : R Ñ R hàm số cho trước Ta gọi a lu sai phân cấp hàm f đại lượng f an nv ∆f pxq “ f px ` 1q ´ f pxq oi lm ul Giả sử với n ą ta định nghĩa sai phân cấp n ´ hàm f Khi sai z at nh phân cấp n hàm f định nghĩa sau ˘ ` ∆n f pxq “ ∆ ∆n´1 f pxq , n ě 1, ∆0 f pxq :“ f pxq z @ n n va Thật vậy, ta có 4pC q “ C ´ C “ a Lu Chứng minh a Sai phân số om c 4n pxn q “ n!, 4m pxn q “ 0, m ą n; m, nP Z l.c b Sai phân cấp tốn tử tuyến tính gm Định lý 1.1.1 a Sai phân số ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an b Ta chứng minh sai phân cấp tốn tử tuyến tính phương pháp quy nạp + Thật vậy, @f, g : R ÝÑ R, @α, β P R, @xP R, ta có ∆ pαf ` βg q pxq “ pαf ` βg q px ` 1q ´ pαf ` βg q pxq “ αf px ` 1q ` βg px ` 1q ´ αf pxq ´ βg pxq “ rαf px ` 1q ´ αf pxqs ` rβg px ` 1q ´ βg pxqs “ α rf px ` 1q ´ f pxqs ` β rg px ` 1q ´ g pxqs “ α∆ pf q pxq ` β∆ pg q pxq lu Do an n va ∆ pαf ` βg q “ α∆ pf q ` β∆ pg q tn to Vậy sai phân cấp toán tử tuyến tính p ie gh +Giả sử 4n tốn tử tuyến tính Ta cần chứng minh 4n`1 tốn tử tuyến tính d oa nl w Thật vậy, @f, g : R Ñ R, @α, β P R, @xP R, ta có 4n`1 pαf ` βg q pxq “ 4p4n pαf ` βg q pxqq a lu “ 4pα4n pf q pxq ` β4n pg q pxqq (theo giả thiết quy nạp) f an nv “ α4p4n f pxqq ` β4p4n g pxqq nh Do oi lm ul “ α4n`1 pf q pxq ` β4n`1 pg q pxq z at 4n`1 pαf ` βg q “ α4n`1 f ` β4n`1 g z gm @ Vậy sai phân cấp n ` toán tử tuyến tính Do đó, theo ngun lý quy nạp ta có 4n tốn tử tuyến tính n a Lu Ta cần chứng minh 4k`1 pxk`1 q “ pk ` 1q! om Giả sử 4k pxk q “ k!, @k ď n l.c c Ta có 4pxq “ px ` 1q ´ x “ n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 41 Phương trình đặc trưng có nghiệm λ “ ´1, λ “ 1, λ “ Từ ta có x˚n “ cos nπ b Phương pháp toán tử Từ phương trình p2.6q, ta suy ` ˘ a0 E k ` a1 E k´1 ` ` ak I xn “ fn , ` ˘ đó, E toán tử dịch chuyển Exn “ E xn “ xn`1 lu Hay ta f pE q xn “ fn Do đó, ta tìm nghiệm riêng x˚n dạng fn x˚n “ f pE q an n va Tính chất f pE q λn “ f pλq λn to p ie gh tn Chứng minh Ta có ` ˘ f pE q λn “ a0 E k ` a1 E k´1 ` ` ak I λn d oa nl w “ a0 E k λn ` a1 E k´1 λn ` ` ak I.λn a lu “ a0 λn`k ` a1 λn`k´1 ` ` ak λn ` ˘ “ a0 λk ` a1 λk´1 ` ` ak λn oi lm ul f an nv “ f pλq λn Tính chất f pE q λn Pm pnq “ f pλE q λn Pm pnq z @ f pE q λn Pm pnq z at nh Chứng minh Ta có gm “ a0 E k λn Pm pnq ` a1 E k´1 λn Pm pnq ` ` ak I.λn Pm pnq l.c “ a0 λn`k Pm pn ` k q ` a1 λn`k´1 Pm pn ` k ´ 1q ` ak λn Pm pnq om “ λn a0 λk E k Pm pnq ` λn a1 λk´1 E k´1 Pm pnq ` ` λn ak Pm pnq n n va “ λn f pλE q Pm pnq a Lu “ λn ra0 λk E k ` a1 λk ´ 1.E k´1 ` ` ak I sPm pnq ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 42 1 n λn “ λ f pE q f pλq 1 Tính chất .λn Pm pnq “ λn Pm pnq f pE q f pλE q pk q n´k n λ Tính chất .λn “ k k! pE ´ λI q Tính chất Chứng minh Tính chất Tính chất suy từ Tính chất Ta chứng minh Tính chất Ta chứng minh phương pháp quy nạp lu an ‚ Với k “ 1, ta có n va n.λn´1 “ pn ` 1q λn ´ nλn “ λn pE ´ λI q tn to p ie gh np1q λn´1 n λ “ pE ´ λq 1! npkq λn´k n λ “ k! pE ´ λI qk npk`1q λn´pk`1q n Ta chứng minh λ “ pk ` 1q! pE ´ λI qk`1 Thật vậy, ta có d oa nl w ‚ Giả sử a lu pE ´ λI q λn “ k `1 npkq λn´k “ λn´1 g pnq E ´ λI k! z at nh “ 1 λn k E ´ λI pE ´ λI q oi lm ul f an nv z Suy @ om l.c “ λn ∆g pnq gm pE ´ λI q λn´1 g pnq “ λn g pn ` 1q ´ λn g pnq Từ đó, ta suy n n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn npkq λ´k pk ` 1q! a Lu ∆g pnq “ si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 43 npk`1q λ´k npk`1q λ´k “ g pnq “ pk ` 1q! k ` k! Do đó, ta pE ´ λI q λn “ k `1 npk`1q λn´pk`1q pk ` 1q! Ví dụ 2.15 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân xn`2 ´ 7xn`1 ` 12xn “ 2020n Ta có lu an f pE q “ E ´ 7E ` 12 “ pE ´ 3I q pE ´ 4I q n va Suy 2020n pE ´ 3I q pE ´ 4I q 2020n x˚n “ p2020 ´ 3q p2020 ´ 4q x˚n “ 2020n 4066272 Ví dụ 2.16 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân p ie gh tn to x˚n “ d oa nl w a lu xn`3 ´ 10xn`2 ` 33xn`1 36xn “ 2020n oi lm ul f an nv Ta có f pE q “ E ´ 10E ` 33E ´ 36 z at nh “ pE ´ 3I q2 pE ´ 4I q Suy @ z x˚n “ 2020n om l.c gm pE ´ 3I q pE ´ 4I q “ 2020n pE ´ 3I q p´1q n “´ 2020 pE ´ 3I q 2020n “´ 20172 n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 44 Chương MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP lu DỤNG an n va tn to Xác định số hạng tổng quát dãy số p ie gh 3.1 d oa nl w Ví dụ 3.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng a lu công thức truy hồi sau # x1 “ 2020, f an nv xn`1 “ 2xn ` 2n ´ 1, @n P N˚ oi lm ul Bài toán quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp với điều kiện ban đầu x1 “ 2020 z at nh pn ` x˚n Ta có số hạng tổng quát dãy xn “ x pn “ c.2n Vì phương trình đặc trưng λ ´ “ có nghiệm λ “ nên ta có x z x˚n “ an ` b om xn`1 “ 2xn ` 2n ´ 1, l.c gm @ Thay x˚n “ an ` b vào phương trình sai phân n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 45 ta a pn ` 1q ` b “ 2an ` 2b ` 2n ´ ´an ` a ´ b “ 2n ´ # a“2 b “ ´1 Ta x˚n “ ´2n ´ Suy xn ` x˚n “ c.2n ´ 2n ´ xn “ x lu Từ x1 “ 2020 ta c “ an 2023 Vậy n va xn “ 2023.2n`1 ´ 2n ´ tn to Ví dụ 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số cho dạng p ie gh d oa nl w công thức truy hồi sau # x1 “ 2020; xn`1 “ 2xn ` n2 ` n ` 2.2n , @n P N˚ a lu Bài toán quy việc giải phương trình sai phân tuyến tính khơng f an nv cấp với điều kiện ban đầu x1 “ 2020 oi lm ul pn ` x˚n , x˚n “ x˚n1 ` x˚n2 Ta có số hạng tổng quát dãy số xn “ x pn “ c.2n Vì phương trình đặc trưng λ ´ “ có nghiệm λ “ nên ta có x nh Hơn nữa, ta có x˚n1 “ an2 ` bn ` c nghiệm riêng phương trình z at sai phân z xn`1 “ 2xn ` n2 ` n, @ om xn`1 “ 2xn ` 2.2n l.c gm x˚n2 nghiệm riêng phương trình n a Lu Thay x˚n1 “ an2 ` bn ` c vào phương trình xn`1 “ 2xn ` n2 ` n ta n va a pn ` 1q2 ` b pn ` 1q ` c ´ 2an2 ´ 2bn ´ 2c “ n2 ` n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 46 ´an2 ` p2a ´ bq n ` a ` b ´ c “ n2 ` n $ ’ ’ & a “ ´1 b “ ´3 ’ ’ % c “ ´4 Suy x˚n1 “ ´n2 ´ 3n ´ Thay x˚n2 “ an2 ` bn ` c vào phương trình xn`1 “ 2xn ` 2.2n ta A pn ` 1q 2n`1 ´ 2An.2n “ 2.2n lu A“ an n va Do đó, ta x˚n2 “ 3n.2n´1 to tn Suy p ie gh xn “ c.2n ´ n2 ´ 3n ´ ` 3n.2n´1 2022 Vì x1 “ 2020 nên c “ “ 1011 Vậy d oa nl w xn “ 1011.2n ´ n2 ´ 3n ´ ` 3n.2n´1 a lu Ví dụ 3.3 Tính tích phân sau f an nv ż8 ż8 xn e´x sin xdx, xn e´x cos xdx Kn “ oi lm ul In “ u “ xn e´x, z at nh Đặt dv “ sinxdx, z @ gm ta có In “ nKn´1 ´ Kn , om l.c Kn “ ´nIn ´ ` In n va In ` Kn “ nKn´1 , n a Lu Từ ta ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 47 In ´ Kn “ nIn´1 , hay n pIn´1 ` Kn´1 , n Kn “ ´ pIn´1 ` Kn´1 , I0 “ , K0 “ In “ Đổi biến In “ n!xn , Kn “ n!yn , ta thu hệ x0 “ , y0 “ lu xn “ xn´1 ` yn´1 , an n va yn “ ´xn´1 ` yn´1 , to p ie gh tn Hệ tương đương với hệ x0 “ , y0 “ x n `1 “ x n ` y n , d oa nl w yn`1 “ ´xn ` yn , Ta viết hệ dạng a lu ˜ A“ 1 ´1 ¸ , ˜ xn nh với oi lm ul f an nv x pn ` 1q “ Ax pnq , yn x pnq “ ¸ ˜ , x p0q “ 1{ 1{ ¸ z at Các giá trị riêng A λ1,2 “ ˘ i Các véc tơ riêng độc lập tuyến tính z om l.c gm @ A tương ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 ¸ ˜ ¸ ˜ 1 v1 “ , v2 “ ´i n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 48 Nghiệm tổng quát hệ ˜ ¸ n n α1 p1 ` iq ` α2 p1 ´ iq x pnq “ α1 ip1 ` iqn ` α2 ip1 ´ iqn ˜ `? ˘n ` ˘ ¸ nπ pα1 ` α2 q cos nπ ` i p α ´ α q sin 2 4 “ `? ˘n ` ˘ nπ nπ pα1 ´ α2 q i cos ` pα1 ` α2 qsin ˜ `? ˘n ` ˘¸ nπ α cos nπ ` iβsin 4 “ `? ˘n ` ˘ nπ nπ βi cos ´ αsin Từ ta nhận lu ˜ `? ˘n ` ˘¸ nπ α cos nπ ` iβsin 4 xn “ `? ˘n ` ˘ nπ nπ βi cos ´ αsin ˜ `? ˘n ` ˘¸ nπ α cos nπ ` iβsin 4 yn “ `? ˘n ` ˘ nπ ´ αsin βi cos nπ 4 an n va tn to p ie gh Cho n “ ta α “ 12 , βi “ 21 , dó ? n nπ nπ xn “ pcos ` sin q 4 ?2 n nπ nπ yn “ pcos ´ sin q 4 d oa nl w a lu f an nv Vậy oi lm ul ? n n! nπ nπ ` sin q In “ n`1 pcos 4 ?2 n nπ nπ yn “ pcos ´ sin q 4 z at nh z Ví dụ 3.4 Cho n, k P Z` Chứng minh với px0 , y0 q, x0 , y0 P Z` , tồn gm @ pxn , yn q, xn , yn P Z` thỏa mãn om ? n ? px0 ´ y0 k “ xn ´ yn k (3.1) l.c ? n ? px0 ` y k “ xn ` y n k (3.2) a Lu n Từ suy rằng: Nếu phương trình x2 ´ ky “ 1, k P Z` có nghiệm va ngun dương với k có vơ số nghiệm nguyên dương Ta chứng n ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 49 minh toán phương pháp quy nạp Ta cần chứng minh p3.1q p3.2q chứng minh tương tự Giả sử p3.1q với n tức ? ? px0 ` y0 k qn “ xn ` yn k, ta chứng minh p3.1q với n ` Ta có ? ? ? px0 ` y0 k qn`1 “ px0 ` y0 k qn px0 ` y0 k q ? “ xn x0 ` kyn y0 ` pyn x0 ` xn y0 q k ? “ xn`1 ` y n`1 k, lu an từ ta có n va xn`1 “ x0 xn ` ky0 yn P Z` to p ie gh tn yn`1 “ y0 xn ` kx0 yn P Z` Chứng minh tính Giả sử tồn px1n , yn1 q, x1n , yn1 P Z` thỏa p3.1q d oa nl w Khi ta có ? ? ? xn ` yn k “ x1n ` yn1 k ðñ xn ´ x1n “ pyn1 ´ yn q k a lu xn ´x1n yn1 ´yn , yn1 “ yn do k khơng phương nên ta có điều mâu thuẫn Vậy, x1n “ xn Ta giả thuyết k khơng f an nv Giả sử yn ‰ yn1 , suy oi lm ul phương k phương k “ l2 Suy x2 ´ ky “ lx2 ´ l2 y “ ‰ x ´ ly “ ˘1; x ` ly “ ˘1, z at nh từ ta có z x “ ˘; y “ 0, gm @ dó k khơng thỏa giả thuyết tốn Bây giả sử phương trình om l.c x2 ´ ky “ 1, k P Z, n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn n a Lu có nghiệm nguyên dương px0 , y0 q, x0 , y0 P Z` Khi ? ? x0 ´ ky0 “ ‰ px0 ´ ky0 qpxq ` ky0 q “ si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 50 Với n P Z` ta có hay px0 ´ ky0 n qpx0 ` ky0 n q “ 1, ? ? pxn ´ yn k qpxn ` yn k q “ 1, nên xn ´ kyn “ Rõ ràng, pxn , yn q cặp nghiệm phương trình x2 ´ ky “ 1, k P Z 3.2 Xác định số hạng tổng quát dãy véc tơ lu an Ví dụ 3.5 Xác định cơng thức tổng quát dãy véc tơ xác định n va xk`1 “ Axk , k P Z, tn to p ie gh d oa nl w Ta có « A“ « a lu Ak “ « cos pkπ {2q sin pkπ {2q ff ´ sin pkπ {2q cos pkπ {2q cos pkπ {2q oi lm ul xk “ ´1 f an nv Do ff sin pkπ {2q ff ´ sin pkπ {2q cos pkπ {2q c, @k P Z, z at nh với c véc tơ , @k P Z Ví dụ 3.6 Xác định cơng thức tổng quát dãy véc tơ xác định z @ gm xk`1 “ Axk , k P Z, fi n va ffi ffi fl ´4 n — A“— – ´3 ´1 ´1 a Lu om l.c » ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 51 Vì A có giá trị riêng λ1 “ λ2 “ λ3 “ ´1 nên theo Định lí 2.2.1, ta có w1 “ p´1qk , w2 “ k p´1qk´1 , w3 “ k pk ´ 1q p´1qk´2 nghiệm hệ phương trình w1 pk ` 1q “ p´1q w1 pk q , w1 p0q “ w2 pk ` 1q “ p´1q w2 pk q ` w1 pk q , w2 p0q “ w3 pk ` 1q “ p´1q w3 pk q ` w2 pk q , w3 p0q “ Suy lu Ak “ p´1qk I ` k p´1qk´1 pa ` I q ` k pk ´ 1q p´1qk´2 pA ` I q2 an n va Khi » p ie gh tn to ´ 3k ´ 3k — Ak “ p´1qk — – 2 ´2k k`k ´2k 6k ´9k ´ 9k 2 fi ffi ffi fl ´6k ` 3k ` 3k d oa nl w a lu Vậy nghiệm tổng quát có dạng » ´ 3k ´ 3k ´2k k ` k2 — xk “ p´1qk — 6k ´2k – ´9k ´ 9k ´6k ` 3k ` 3k fi oi lm ul f an nv ffi ffi c, fl với c véc tơ z at nh Ví dụ 3.7 Xác định công thức tổng quát dãy véc tơ xác định z xk`1 “ Axk , k P Z, » fi om n a Lu — ffi ffi A“— 0 – fl ´3 l.c gm @ n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 52 Tương A có giá trị riêng λ1 “ λ2 “ λ3 “ nên w1 “ 1, w2 “ k, w3 “ k pk ´ 1q nghiệm hệ phương trình w1 pk ` 1q “ w1 pk q , w1 p0q “ w2 pk ` 1q “ w2 pk q ` w1 pk q , w2 p0q “ w3 pk ` 1q “ w3 pk q ` w2 pk q , w3 p0q “ Ak “ I ` k pA ´ I q ` k pk ´ 1q pA ´ I q2 Khi » lu an Ak “ n va 1— — 2– fi pk ´ 1q pk ´ 2q ´2k pk ´ 2q k pk ´ 1q k pk ´ 1q ´2 pk ` 1q pk ´ 1q k pk ` 1q k pk ` 1q ´2k pk ` 2q pk ` 2q pk ` 1q ffi ffi fl tn to p ie gh Vậy nghiệm tổng quát có dạng » pk ´ 1q pk ´ 2q ´2k pk ´ 2q k pk ´ 1q 1— xk “ — k pk ´ 1q ´2 pk ` 1q pk ´ 1q k pk ` 1q 2– pk ` 2q pk ` 1q k pk ` 1q ´2k pk ` 2q fi d oa nl w ffi ffi c, fl a lu với c véc tơ f an nv Ví dụ 3.8 Xác định công thức tổng quát dãy véc tơ xác định oi lm ul xk`1 “ Axk , k P Z, » ffi ´1 ffi fl l.c gm fi @ — A“— – 0 z ´1 z at nh n va w1 “ p´1qk , w2 “ k, w3 “ k pk ´ 1q p´1qk´2 n a Lu ta có om Vì A có giá trị riêng λ1 “ ´1, λ2 “ 1, λ3 “ ´1 nên theo Định lí 2.2.1, ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 53 Suy # Ak “ p´1qk I ` k p´1qk´1 pA ` I q ` Khi » k ´1 k p´1q ´2 ` ´ p´1q p´1qk 0 p´1qk ´ ¯ k ` ´ p´1qk ´ ¯ k ´ p´1q 0 — Ak “ — – lu an n va + pA ` I q2 fi ffi ffi fl fi ffi ffi c, fl tn to Vậy nghiệm tổng quát có dạng ´ ¯ » k k p´1q k ` ´ p´1q ´ ¯ — k k — xk “ – p´1q ´ p´1q 0 k p ie gh với c véc tơ d oa nl w a lu oi lm ul f an nv z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 54 Kết luận Luận văn đạt số kết sau: lu • Hệ thống, làm rõ số tính chất phép tính sai phân sai phân an ngược n va • Hệ thống, làm rõ số phương pháp giải phương trình sai phân p ie gh tn to hệ phương trình sai phân tuyến tính • Áp dụng phương pháp sai phân để giải toán xác định số hạng tổng d oa nl w quát dãy số dãy véc tơ Học viên a lu f an nv Đặng Văn Thạch oi lm ul z at nh z om l.c gm @ n a Lu n va ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn
Ngày đăng: 22/07/2023, 07:36
Xem thêm: