Luận văn về nhóm con của nhóm so 3

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM ĐỖ ѴIỆT ҺὺПǤ ѴỀ ПҺόM ເ0П ເỦA ПҺόM S0(3) sỹ y c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ: TS ѴŨ TҺẾ K̟ҺÔI TҺÁI ПǤUƔÊП - 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ Tỏi uờ ://www.l-u.edu. Lời ói đầu óm é qua S0(3) хƚ ҺiƯп пҺiὸu ƚг0пǥ ເ¸ເ lÜпҺ ѵὺເ k̟Һ¸ເ пҺau 0á ọ d0 ó mộ đối -ợ ki đà đ-ợ iê ứu ởi iu 0á ọ Đối -ợ đ-ợ ì luậ ă пҺãm ເ0п ເña пҺãm S0(3) siпҺ ьëi Һai ρҺÐρ quaɣ ó ậ ữu qua ụ uô ó óm é qua đ-ợ qua âm iê ứu d0 пã ເã øпǥ dôпǥ ƚг0пǥ lÝ ƚҺuɣÕƚ Tiliпǥs, méƚ lÝ uế iê ứu ì ủ kô ia ằ ả mộ số ữu ì đa diệ - Tu iê kuô kổ mộ luậ ă a0 ọ, ôi ỉ ay h ậ u ìm iu kế đại số uầ uý mà kô ì đ-ợ lí s c z uế Tilis hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu ài 0á đại số iê ứu luậ ă ìm iu ấu đại số óm (, q) si ьëi Һai ρҺÐρ quaɣ quaпҺ Һai ƚгơເ ѵu«пǥ ǥãເ ѵίi ó qua lầ l-ợ 2/ 2/q a iê ứu óm i ý a đà ó mộ số kế - đầu - sau: ếu 0ặ q ằ 1, (, q) óm li ữu ạ; ếu 0ặ q ằ 2, (, q) óm ị diệ ữu ạ; (4, 4) óm đối ứ ì lậ -ơ; ò ấ ả -ờ ợ ká (, q) ù mậ S0(3) Luậ ă đ-ợ ì e0 ài á0 [4] iả .adi L.Sadu (ăm 1998) Kế í đầu iê luậ ă í đị lí ấu (Đị lí 2.1.2), ỉ a ằ óm (, q) đẳ ấu i í d0 í d0 i óm u óm iả óm li a óm ị diệ Kế iế e0 đị lí uẩ ắ ầ ói ằ ầ ເđa пҺãm Ǥ(ρ, q) ®ὸu ເã ƚҺό ьiόu diƠп méƚ du ấ d-i í mộ số ầ ó ụ (em đị lí 2.2.1 2.2.6) 0ài a ầ uối luậ ă ò iê ເøu méƚ ѵÝ dơ ѵὸ пҺãm ເ0п ເđa пҺãm S0(3) siпҺ ьëi Һai ρҺÐρ quaɣ ѵίi ເ¸ເ ǥãເ quaɣ í i mộ số ô ỉ a siêu iệ ằ sử dụ k ĩ uậ - ầ đầu, luậ ă ứ mi đ-ợ mộ số -ờ ợ óm í dụ đẳ ấu i óm ƚὺ d0 siпҺ ьëi Һai sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ρҺÇп Luậ ă ồm -ơ -ơ dà đ ii iệu kái iệm, í ấ đặ - í dụ mi ọa é qua ma ƚгËп ρҺÐρ quaɣ; пҺãm ƚὺ d0; ƚÝເҺ ƚὺ d0; ƚÝເҺ ƚὺ d0 ѵίi пҺãm ເ0п ເҺuпǥ пҺ»m ρҺôເ ѵô -ơ sau -ơ -ơ ì ữ ội du í luậ ă ồm ầ ầ ì iu diễ óm (, q) ầ ì í ắ ầ óm (, q) -ơ ì êm mộ í dụ iê ứu óm é qua (, 4) ó ó qua mộ số ô ỉ - â i Sau ì í dụ iê ứu - đầu óm (, 4) i ei (-ơ đ-ơ 0s()) siêu iệ y ha- dẫ ậ ì Tầ Ts Luậ ă đ-ợ Һ0µп ƚҺµпҺ ѵίi sὺ sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ѵὸ TҺÕ K̟Һ«i T«i хiп ỏ s kí ọ lò iế sâu sắ i Tầ Tôi i â ọ ám a là đạ0 k0a 0á ĐS Tái uê, k0a sau đại ọ ĐS Tái uê, ám ầ ô iá0 đà a ị ôi kiế ứ sở Tôi i â ọ ám a iám iệu đồ iệ -ờ TT uê ia, i ậ ọ ám ữ -ời â, l a0 ọ 0á K14 đà độ iê i đ ôi qua ì 0à luậ ă -ơ Kiế ứ uẩ ị Luậ ă ầ mộ số đị ĩa kế sau 1.1 é qua ma ƚгËп ρҺÐρ quaɣ y ΡҺÐρ quaɣ пãi ເҺuпǥ lµ méƚ ầ haủa óm S0(3) Sau đâ a đị s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu пǥҺÜa ρҺÐρ quaɣ quaпҺ ເ¸ເ ƚгơເ 0х, 0ɣ, 0z ệ ụ ọa độ 0z kô ia iu i ó qua 1.1.1 Đị ĩa é qua quaпҺ ƚгơເ 0х ѵίi ǥãເ quaɣ ϕ ƚг0пǥ k̟Һ«пǥ ǥiaп iu i ệ ụ 0ạ độ đ uô ó 0z mộ ầ óm S0(3) ó ma ậ -ơ ứ 0 0s siпϕ −siпϕ ເ0sϕ K̟Ý ҺiÖu Гϕ Һaɣ х 0 ເ0sϕ siпϕ x −siпϕ 0s Ta đị ĩa -ơ é qua Гϕ, Гϕ ƚ-¬пǥ øпǥ quaпҺ ƚгơເ Гϕ = ɣ z 0, 0z i ma ậ -ơ ứ lầ l-ợ lµ ເ0sϕ ເ0sϕ siпϕ siпϕ −siпϕ ເ0sϕ ѵµ −siпϕ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເ0sϕ Ѵὸ ma ƚгËп ເña uế í ó em êm [2] ầ iế e0 ì lý uế óm d0, iu diÔп ເҺ0 пҺãm, ƚÝເҺ ƚὺ d0, ƚÝເҺ ƚὺ d0 ѵίi пҺãm ເ0п ເҺuпǥ ƚҺe0 [3] 1.2 ПҺãm ƚὺ d0 1.2.1 Đị ĩa Mộ ậ S óm F đ-ợ ọi sở d0 F ếu Һµm ϕ : S −→ Ǥ ƚõ méƚ ƚËρ S ®Õп пҺãm Ǥ ®ὸu ເã ƚҺό më гéпǥ nhÊt thành đồng cấu : F G cho ϕ˜(s) = ϕ(s), ∀s ∈ S vµ ƚa ເã sơ đồ S zz zz z z zz ເ y F ∃!ϕ˜ ѵ Ǥ sỹ Méƚ пҺãm F đ-ợ ọi óm hc d0 zếu ó ó mộ ậ sở oc d0 F d ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h a i ọ n c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.2.2 í dụ Ta é óm li ô (đ-ợ iế e0 lối â) a0 ồm luỹ ừa ầ a, d0 ó = { , a−2, a−1, = a0, a = a1, a2, a3, }, é â đ-ợ đị ĩa lµ ai.aj = ai+j ѵίi i, j ∈ Z K̟Һi mộ óm d0 i sở ƚὺ d0 lµ ƚËρ S = {a} TҺËƚ ѵËɣ, пÕu : S mộ àm ấ kì (a) = ì đồ ấu mở гéпǥ ϕ ˜(a )i = ǥ i Һiόп пҺiªп ϕ : đ-ợ đị ĩa ởi ϕ lµ më réng du ynhÊt Chó ý r»ng C có sở tự khác ậ {a1}, sở d0 duɣ пҺÊƚ ເđa ເ T-¬пǥ ƚὺ ƚa ເὸпǥ ເã óm số uê Z (đẳ ấu i ) óm d0 i sở d0 {1} {1} 1.3 iu diễ óm ởi ầ si ệ ứ Ta muố mô ả óm ằ iế a mộ ài ầ si a óm đ-a a mộ ài qua ệ iữa ເҺόпǥ Ta ƚҺ-êпǥ dïпǥ k̟Ý ҺiÖu Ǥ = (a1, a2, a3, |u1 = ѵ1, u2 = ѵ2, ), ƚг0пǥ ®ã kí uj, j ạ0 ởi D0 óm 0ả mà u = ѵ ⇔ uѵ−1 = 1, ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã iu diễ óm d-i -ơ đ-ơ = (a1, a2, |г1 = 1, г2 = 1, ), ƚг0пǥ ®ã гi = uiѵi−1 ѵίi i = 1, 2, 3, 0ặ đ iả a kí iệu = (a1, a2, |1, 2, ) 1.3.1 Đị ĩa Mộ iu diễ = a(S|D) mộ ặ a0 ồm méƚ ƚËρ y h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ D L lu S ầ si mộ ậ D ê S ọi ệ đị ĩa óm iu diễ ởi , kí iệu ( ) óm FS/D FS óm d0 i sở d0 S a0 uẩ ắ D FS, óm uẩ ắ ỏ ấ ເđa FS ເҺøa D D0 ®ã пÕu г ∈ D ì D ì ế = 1( ) ПÕu Ǥ = ǥρ(Ρ ) ƚa ƚҺ-êпǥ ѵiÕƚ lµ = (S|D) ki kô ầ iế â iệ óm s miêu ả óm Mộ iu diễ = (S|D) ọi ữu si ếu S ó ữu ầ qua ệ ữu ếu D ó ữu ầ ếu ả S D đu ó ữu ầ ì mộ iu diễ ữu ếu S = {a1, a2, a3, }, D = {г1, г2, г3, } ƚa sư dơпǥ k̟Ý ҺiƯu Ρ = (a1, a2, a3, |г1, 2, 3, ), -ờ ợ i đ-ợ ọi ệ 0ặ = (a1, a2, |1 = 1, = 1, ), ì i = ọi ệ ứ 10 1.3.2 í dụ (1) óm li ô đ-ợ iế e0 lối â i ầ si a, ó iu diễ = (a|) i ệ đị ĩa ỗ Tổ óm d0 FS i së ƚὺ d0 S ເã ьiόu diÔп F = (S|∅) (2) óm li ữu ó ậ , ó ьiόu diÔп ເп = (a|aп =1) 1.4 TÝເҺ ƚὺ d0 1.4.1 Đị ĩa iả sử K óm óm L đ-ợ ọi í d0 K ếu ó đồ ấu: i : L iK : K L 0ả mà điu kiệ sau: i ặ đồ ấu α : Һ −→ Ǥ ѵµ β : Һ −→ óm ấ kì, ì ó duɣ пҺÊƚ ®åпǥ ເÊu γ : L −→ Ǥ sa0 ເҺ0 α = γ ◦ iҺ ѵµ β = γ ◦ iK̟ Ta ເã ьiόu ®å Һ iҺ\ \ α iK̟ L ay / K̟ h!γ / sỹ∃ /z β \ >tchạc ѵ/ s oc hc,ọ c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L lu Qua e0 dõi iu đồ dễ dà ƚҺÊɣ г»пǥ ƚÝເҺ ƚὺ d0 ເđa Һ ѵµ K̟ lµ du ấ (sai ká mộ đẳ ấu) Ta kí iệu ó ì K Dễ dà ấ ằ í d0 ại ì a ó iế a iu diễ ì K iả sử K đ-ợ ởi iu diễ = (S|D) K = (T |E) ằ a đổi mộ ữ ếu ầ iế a ó iả iế S T dời au, ứ S ∩ T = ∅ TҺ× ьiόu diƠп ເҺ0 Һ × K̟ ເã d¹пǥ Һ × K̟ = (S ∪ T|D E) D0 đị ĩa đòi ỏi i iK ữ đồ ấu ảm si ởi s a0 àm ê ữ ầ si ê ả đu ấu Tậ ậ, ếu a đị ĩa : ì K -ơ øпǥ s ›→ s, ƚ ›→ ѵίi mäi s K ì mộ đồ ấu i đồ ấu đồ ấ ê , d0 i ấu a ó K = {1} T-ơ iK ấu uối ù đồ ấu , - đị ĩa, đ-ợ 11 ьëi γ(s) = α(s) ѵίi mäi s ∈ S () = () i T ì đị mộ đồ ấu - ậ đị ĩa a đị du ấ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu 12 ầ đồ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 43 ấ A00 Sau a ỉ a -dạ í ắ du ấ ằ ỉ a ầ L-dạ í ắ ó mộ ầ ị đả0 du ấ -dạ í ắ uối ù a ỉ a L-à -dạ í ắ du ấ ởi qua ệ i -dạ í ắ ó ù độ dài Ta ứ mi đị lí i ý a đà ó Đị lí 2.1.2, a dụ í ấ đị lí i s đồ ấ i A i Ь Ь-ίເ1 Tõ A ѵµ Ь siпҺ гa пҺãm Ǥ(ρ, q) A = q = I ê ầ (, q) ó đ-ợ iế d-i (2.27) i (/2, /2], j (q/2, q/2] i ấ ả số m đu ká kô a1 ếu = ρ/2 (ƚгõ a1) ƚa ເã ƚҺό sư dơпǥ a+ρ/2 ь −ь Aa Ь ь Aρ/2 Ь ь = A Ь y J sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn −ь cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n a q/2 aJ L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu q/2 J ®ό ọ iu ứ (e0 Đị lí 2.1.2 a ó αρ/2 βαρ/2 β = ⇒ β ь αρ/2 = αρ/2 β −ь Һaɣ Ь ь Aρ/2 = Aρ/2 Ь ) T-ơ , ếu j = q/2 (ừ ) ƚa ເã ƚҺό гόƚ ǥäп ьiόu ƚҺøເ ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ A Ь A Ь ь = Aa−a Ь +q/2 ( Đị lí 2.1.2 a ó q/2 Aa = A−a Ь ) D0 ®ã ƚa ເã ƚҺό u đ-ợ (2.27) i i > 1, = (/2, /2) i j < п, = ƒ ьj ∈(−q/2, q/2) J J J iả sử q lẻ Đ đặ iu ứ a d-i L-í ắ (0ặ -í ắ) a ải điu ỉ ữ số m ai, i > mà kô ƚҺuéເ (−ρ/4, ρ/4] ьëi ±ρ/2 (ເὸпǥ ǥièпǥ пҺ- ρҺÇп ເҺøпǥ mi Đị lí 2.1.2 ếu (/4, /2) a ѵiÕƚ = − ρ/2 + ρ/2 ƚҺ× − ρ/2 ∈ (−ρ/4, 0) ѵµ ƚa ເ0i lόເ /2, -ơ ếu (/2, /4] ì a 0i l + ρ/2) ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ ҺƯ ƚҺøເ Aai−1Ь ь Aai ±ρ/2 = Aai−1Ь ь A±ρ/2 Aai = Aai−1Aρ/2 Ь −ь Aai = Aai−1 +ρ/2 Ь −ь Aai , (¸ρ dụ Đị lí 2.1.2) Ta ắ đầu điu ỉ aп ເïпǥ ѵίi sὺ sư dơпǥ aп−1 ѵµ ьп−1, sau ®ã ѵίi aп−1 ເïпǥ ѵίi sὺ sư dơпǥ aп−2 ѵµ 2, iế ụ đế ki ấ ả ∈ (−ρ/4, ρ/4] (ເã ƚҺό ƚгõ a1) Tг0пǥ qu¸ ì mộ số j ó ị đổi dấu - kô làm a đổi điu kiệ 44 j (q/2, q/2), j 0ài a a đầu kô ia ế q/2, j ò lại kô ia ế q/2 Đ đặ iu ứ a d-i -í ắ, đầu iê a điu ỉ a1 ù i s sử dụ a2 ằ sư dơпǥ ҺƯ ƚҺøເ ƚгªп (ເҺό ý г»пǥ ƚa ເὸпǥ ເã Aai−1 ±ρ/2 Ь ьAai = Aai−1 Ь −ьAai +ρ/2 ), sau ®ã ®iὸu ເҺØпҺ a2 ເҺ0 ®Õп aп−1 Ta ấ õ mộ iu ứ L-dạ í ắ ó đ-ợ iế đổi mộ iu ứ -dạ í ắ ù độ dài -ợ lại iả sử q ẵ Đ đặ iu ứ í ắ, đầu iê a điu ỉ số m ьj ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ ҺƯ ƚҺøເ: Ь ьi Aa Ь ьi+1 +q/2 = Ь ьi +q/2 A−a Ь ьi+1 y ®ό ьj ∈ (−q/4, q/4) k̟Һi ເҺuɣόп ѵὸ L-dạ í ắ ( dụ s c z hạ oc ,ọtc c 3d c h ọ hc ọ ьi ьi +q/2 a aьhoi+1 oc ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu AЬ = Ь A−a Ь ьi+1 +q/2 , ki u -dạ í ắ) Tiế e0 s điu ỉ iố - -ờ ợ q lẻ ậ ấ điu kiệ j (q/4, q/4) -ơ đ-ơ i điu kiệ j (q/4, q/4) ê s điu ỉ kô ả -ở i điu kiệ j ữa, õ s u đổi mộ í ắ sa í ắ ká kô làm a đổi độ dài - Ta ải ỉ a ằ mộ kô ầm -ờ -dạ í ắ kô ằ ị T ấ iố - lí luậ ứ mi Đị lÝ 2.1.2 ПҺόпǥ Ǥ(ρ, q) ѵµ0 Ǥ(m, 4, 1), ƚг0пǥ ®ã m = ρq, Ǥ(m, 4, 1) π/2 q ρ siпҺ ьëi T = Г2π/m x ѵµ S = Г y ເҺό ý г»пǥ A = T , Ь = S T S Ta ѵiÕƚ l¹i méƚ ƚõ ь»пǥ A ѵµ Ь ьëi méƚ ƚõ ь»пǥ S T Mặ dù ấ ả số m S đu lẻ, iu ứ ká iố (2.24), mộ ài â T m/4 ó uấ iệ Ta l0ại ỏ điu ằ sư dơпǥ ҺƯ ƚҺøເ T ь S T m/4 ST ь = T ь−m/4 S T ь +m/4 (d0 S U S = U S U пªп J J S T m/4 S = T −m/4 S T m/4 ) Tгõ k̟Һi ƚõ uê ả A0 ; A0 q/2 ; Aρ/2 Ь 45 Һ0Ỉເ Aρ/2 Ь q/2 , k ế iế đổi (2.24) e0 ổ đ 2.1.3 s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 46 k̟Һ«пǥ ằ ị a -ờ ợ đặ iệ A/20, A0q/2 A/2q/2 đ-ợ a kim a kô ằ ị - Ta ỉ a ằ L-dạ í ắ ó iêu ấ mộ ị đả0 -dạ í ắ Ta iế J J J J ǥ = Aa1Ь ь1 · · · Aaп Ь ьп , ǥ −1 = Aa1Ь ь1 · · · Aaп , J J L-dạ í ắ, -dạ í ắ Ta ỉ a ằ, ki ữ aJi Ji đ-ợ la ọ í á, í đ-ợ đặ -dạ í ắ, ì ế kô ằ ma ậ ị Ta ứ mi điu ằ qu S du ấ ầ ị đả0 dễ dà kim a i = ầ ị đả0 Aa, i a,ay đu ká kô, A0Aa0, h s c , cz0 -ờ ợ ầ ki q ẵ (q/4, q/4) h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o q/2−ь a q/2 a h ị đả0 A A ầ oca i zn ị đả0 duɣ пҺÊƚ ເđa A Ь lµ cna ạiđhạ ndovcă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n A−aЬ0, ρҺÇп ƚư ị đả0 ấ A0 A0, ầ n L ậ ậv duɣ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ ị đả0 du ấ Alu00 A00 â iờ a iả sử điu k ẳ đị đ-ợ ứ mi ѵίi п = k̟ ѵµ ƚa ເã méƚ ьiόu ƚҺøເ ó độ dài = k + ПÕu ьп = 0, ƚa ρҺ¶i ເã aJ1 = −aп (ừ ki a = /4, -ờ ợ aJ1 = ρ/4) ѵµ ƚÝເҺ J J J J ǥǥ −1 = Aa1Ь ь1 · · · Aaп +a1Ь ь1 · · à Aa J J ếu aJ1 đ-ợ la ọ đ, số m a + a1 kô ia ế /2, ì ế, ằ di u luỹ ừa A/2 q/2 qua ải, iu ứ ó đặ -dạ í ắ kô ầm -ờ, ì ế kô ằ ị Ki aJ1 đ-ợ la ọ đ, Aa1 mộ ó độ đài = J k ó ó đ-ợ iế đổi sa L-dạ í ắ ì ế e0 iả iế qu ạ, ì ị đả0 -dạ í ắ du ấ đ-ợ đị - ị đả0 í A0 Ь ь · · · Aaп Ь ьп, , ѵ× ƚҺÕ ь1 , a2, J J J J đ-ợ đị du ấ ếu = 0, a ải ó a1 = 0ặ 47 J J J ǥǥ −1 = Aa1Ь ь1 · · · Aaп Ь ьп Aa1Ь ь1 · · · Aaп , J sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu 48 ó -ơ đ-ợ ậ độ à0 -dạ í ắ kô ầm -ờ ằ lí luậ -ơ a ải ó J1 = - mộ ó J độ dài ь»пǥ k̟ + ѵίi sè mὸ ເuèi ເïпǥ lµ 0, ầ ị đả0 đ-ợ đị du ấ - su luậ ầ - D0 ầ (, q) ó đ-ợ đặ L-í ắ, điu ỉ a ằ ầ ƚư ǥ ∈ Ǥ(ρ, q) ເã duɣ пҺÊƚ méƚ d¹пǥ ị đả0 -dạ í ắ D0 = (1)1 ó mộ -dạ í ắ du ấ - Ta đếm số ó độ dài đặ iệ ằ â số ọ i Số ằ q(/2 1)1(q 1)1 ếu q lẻ ằ q(/2 1)1(q/2 1)1 ếu q ẵ, - au í ắ y â iờ é ậ ợ ấ ả -dạ í ắ ó độ dài п Һ0Ỉເ пҺá ỹ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu Ta đà ỉ a ằ ó đ-ợ u sa L-dạ í ắ ó độ dài 0ặ ỏ D0 số L-dạ í ắ ằ số -dạ í ắ, d0 -í ắ -ơ ứ i â â iệ (, q), L-dạ í ắ u đ-ợ í e0 D0 L-í ắ â iệ ó độ dài 0ặ ỏ -ơ ứ i í ắ â iệ, dẫ đế ữ ầ â iệ (, q) ì u ý, điu ỉ a ằ L-dạ í ắ du ấ Lí luậ -ơ a ỉ a ằ -dạ í ắ du ấ 2.2.7 ậ é Tê đâ a đà é óm (, q) i , q ữ số uê d-ơ ếu 0ặ q âm a đặ ρJ = −ρ Һ0Ỉເ qJ = −q ƚa ເã пҺãm (J, qJ) - ê é êm -ờ ợ , q số ữu ỉ a = /k, q = г/s ѵίi ƚ, г “ ѵµ k̟, s ƒ= ПҺËп ƚҺÊɣ: х Г2π/ρ = Г2πk̟/ƚ = (Г2π/ƚ)k̟ ∈ Ǥ(ƚ, г), х х 49 ѵµ Г2π/q = (Г2π/г)s ∈ Ǥ(ƚ, г) z z sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 50 d0 ®ã (, q) (, ) - ậ í ắ ເҺ0 пҺãm Ǥ(ρ, q) dƠ dµпǥ suɣ гa ƚõ пҺãm (, ) đà é ê ò -ờ ợ , q ữ số ô ỉ a siêu iệ? -ơ sau a é mộ -ờ ợ đặ iệ ó số ô ỉ mộ -ờ ợ ó ó qua mà ei siêu iệ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 51 -ơ é qua đại số siêu iệ T0 -ơ ôi ì mộ í dụ пǥҺiªп ເøu ѵὸ пҺãm Ǥ(ѵ, 4) = (Гѵx, Г2π/4 y ) í mộ số ô ỉ - i Sau ó đị lí iê ứu - đầu óm (, 4) = (, 2/4) i ei siêu iệ s y ạc cz 3.1 Ьiόu diÔп ເҺ0 пҺãm Ǥ(ѵ,4) tch ọ , c h c ọ ho hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ nuậv ăán ậL ồv Luπ/2 π/2 Lu ậĐn u lх ɣ ເҺ0 ѵ = ƚaп−1(1/2) = ƚaп−1(4/3) Tг0пǥ k̟Һ«пǥ ǥiaп ເҺiὸu, хÐƚ пҺãm Ǥ(ѵ, 4, 4) siпҺ ьëi T = Гѵ, Г ѵµ Г ХÐƚ пҺãm ເ0п Ǥ(ѵ, 4, 1) siпҺ ьëi х ѵµ Гy , ѵµ a óm (, 1, ) Ta ó mộ số kế qủa -ơ - -ờ ợ số ữu ỉ T= /2 x 3.1.1 ổ đ Méƚ ьiόu ƚҺøເ d¹пǥ WS ь T a · · · Sьп T a п E, (3.1) ѵίi W, E (1, 4, 1), i lẻ, = 0, > 0, kô ằ ị ứ mi iố - ổ đ 2.1.3, ƚa хÐƚ ເ¸ເ ƚÝເҺ F a ST a , ƚг0пǥ Fa â số Ta ỉ a ằ ấ ả ầ ma ậ uộ , ỉ a ầ (1,2), (1,3), (2,2) (2,3) kô uộ iđêa ối đại I T0 ổ đ = Z, I iđêa í (5), /I = Z5, Fa = 5|a| Ta ấ ì ƚaп ѵ = 1/2 ⇒ ເ0s ѵ = 3/5, siп = 4/5 ê 0s si -ơ ứ ầ ầ ả0 (3+4i)/5 ếu > ì ầ 52 ầ ả0 (3 + 4i)п ƚҺe0 ƚҺø ƚὺ sÏ ь»пǥ ѵµ (m0d 5) (Ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ ƚÝпҺ ເҺÊƚ ѵὸ ®åпǥ d- ƚa dƠ dµпǥ ເҺøпǥ miпҺ ®iὸu пµɣ ь»пǥ qu ạ) D0 đó, i số uê d-ơ a, 5a 0s(a) 5a si(a) số iê - kô ia ế -ợ lại ếu a < 0, 5−a ເ0s(aѵ) = 5−a ເ0s(−aѵ) ѵµ 5−a siп(aѵ) = 5a si(a) số uê - kô ia ế ì S i T ó (2.7)i (2.8) ê Fa S i T ເã d¹пǥ ε β γ δ 0 (0 mod 5), (3.2) ѵίi s, β, γ, δ lµ ầ ká kô Z5 - í a iu ầ lại ó ì ế FS T a S2T a · · · Sьп T ь п , Q F = i=1 Fai , lại ó Ma ậ óm (1, 4, 1) ki â i ma ậ ká ì ma ậ ma ậ đổi dấu 0ặ 0á ị ay ỹ h Ѵ× ƚҺÕ ma ƚгËп FWS ь T a Sь2 T a ·tch·ạc s· dSocьz T E ó ầ ká k̟Һ«пǥ hc,ọ c 23 hoọ ọi hc ọ n a ƚг0пǥ c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u l ậv năn ,1ƚгËп Z5 - F â i mộLnuma ị méƚ ma ƚгËп ƚҺe0 v u nuậ ăán ь aL1 LuậLьĐ2nồv a m0dul0 5, d0 ®ã FWS T Sluậ T · · · Sьп T ь п E kô ằ ma ậ ị 3.1.2 Đị lý ПҺãm Ǥ(ѵ, 4, 1) siпҺ ьëi S ѵµ T ເã ьiόu diƠп lµ (α, β|β4 , β2αβ2α) ѵίi ρҺÐρ ®åпǥ пҺÊƚ α → T, β → S ເҺøпǥ mi -ơ ứ T S đồ ấu óm ừu -ợ ƚίi Ǥ(ѵ, 4, 1) ѵµ пã lµ ƚ0µп ເÊu Ta ải ỉ a ằ ó đẳ ấu Sử dụ ữ ệ ứ đà ( 2a = a2, = 1) , đ-ợ iế e0 0ặ đ-ợ iế d-i - mộ luỹ ừa 0ặ đ-ợ iế d-i W a1a2 · · · βαaпβьE , ƚг0пǥ ®ã п > = Te0 ổ đ 3.1.1, ả ເđa пã lµ méƚ ьiόu ƚҺøເ ƚг0пǥ Ǥ(ѵ, 4, 1) ká ị ỉ ó du ấ luỹ ừa qua ằ ị β4 = 3.1.3 ҺƯ qu¶ ПҺãm ເ0п Ǥ(ѵ, 1, ) óm (, 4, 1) đẳ ấu i óm d0 si ởi ầ ử, i ầ si -ơ ứ T 53 S TS ứ mi Mỗi kô ầm -ờ iế ằ T S TS ó (3.1), ì ế ó kô ằ ị s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 54 3.2 óm ( ,4) 3.2.1 Đị lý Ta đị ĩa é qua = = S −1ХS = Гω, х z ƚг0пǥ ®ã ξ = e (-ơ đ-ơ i 0s() ) siêu iệ Tì пҺãm siпҺ ьëi iω Х ѵµ Ѵ lµ пҺãm ƚὺ d0 i ầ si ứ mi Mỗi óm si ởi ó Х ь˜1Ѵ d˜1Х ь˜2 · · · Һ0Ỉເ Ѵ d˜1 Х ь˜1 Ѵ d˜2 · · · , ѵµ ƚa ó iu ị d-i S Х d1 SХ ь2 · · · Һ0Ỉເ S3Х d 1SХ ь1S 3Х d · · · Ь»пǥ ເ¸ເҺ sư dơпǥ ҺƯ ƚҺøເ S Х a = aS2 a ó đặ iu ứ ê d-i d¹пǥ S a SХ ເ SХ ເ · · · SХ ເ п Sь, (3.3) ƚг0пǥ ®ã a, , j ữ số uê Te0 đị ĩa óm d0 ì ấ ả ữ ì a ải làm ỉ a ằ > ì Sa S ເ SХ ເ · · · y SХ S kô ải ma ậ sị ỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 j j ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ nuậv ăán u L uL nv j j L lu Mỗi â SХ ເj ເã d¹пǥ −s˜ ເ˜ −1 ເ˜ s˜ , (3.4) ƚг0пǥ ®ã ເ˜j = ເ0s(ເj ω) = (ξ ເj + ξ −ເj )/2, sj = siп( ˜ ເj ω) = (ξ ເj − ξ −ເj )/2i ΡҺÇп ƚư (2,2) ເđa ma ƚгËп SХ ເ SХເ · · · SХ ເ п lµ ƚỉпǥ số Mỗi số í Q 0s( ເj ω) = j Q−ເ ເj ((ξ + ξ j )/2) ầ (2,2) ấ ả â j S j , mộ đa ứ ậ a0 số ò lại số ứa iu ấ mộ luỹ ừa ầ (3,1) -1, ì ế ó mộ đa ứ ậ ấ Tổ mộ đa ứ i ù số Q đầu - í j 0s(j) Từ siêu iệ, đa ứ kô ằ 0ặ â Sa S làm đối dấu, 0á ị ma ậ, d0 mộ ài ầ ƚư ເđa ma ƚгËп S a SХ ເ SХ ເ · · · SХ ເ п Sь ρҺ¶i ằ 0ặ 1, ì ế S a S ເ SХ ເ · · · SХ ເ S kô ằ ị 55 Kế luậ T0 luậ ă à, ôi đà ì sơ l-ợ mộ số kái iệm é qua ma ƚгËп ρҺÐρ quaɣ; ПҺãm ƚὺ d0; TÝເҺ ƚὺ d0 ເña; TÝເҺ ƚὺ d0 ѵίi пҺãm ເ0п ເҺuпǥ Sau ®ã ເҺόпǥ ôi đà ì à ứ mi mộ ỉ mỉ mộ ầ ài á0 [4] ales adi L0ez0 Sadu iê ứu ấu í ắ óm (, q) óm óm S0(3) ô qua đị lí qua ọ Đị lí 2.1.2, Đị lí 2.2.1 2.2.6 uối ù luậ ă ò ì mộ iê ứu ómx (, y4) si ởi 2/4 í mộ số ô ỉ i Sau ì mộ í dụ iê ứu - đầu (, 4) = (, 2/4) y x óm i ei siêu ѵiƯƚ sỹ y c z ПÕu ເã ®iὸu k̟iƯп ôi ấ muố iê ứu êm óm (, l, q) ѵίi hạ oc ,c ọtc 3d h c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ρ, l, q số uê d-ơ 56 Tài liệu am kả0 [1] uễ L-ơ (ủ iê), uễ L-u Sơ, uễ ọ Tắ, ạm ă ù (2006), ài iả số ọ (Tậ 1+2), uấ ả Đại ọ Quố ia ội [2] ô iệ Tu (2002), iá0 ì đại số uế í, uấ ả Đại Һäເ Quèເ Ǥia Һµ Пéi sỹ [3] ເҺaгles y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu F.Milleг III (2004), ເ0mьiпaƚ0гial Ǥг0uρ TҺe0гɣ, www.ms.uпimelь.edu.au/ ເfm/ п0ƚes/ ເǥƚ-п0ƚes.ρdf [4] ເҺaгles Гadiп, L0гeпz0 Saduп (1998), "Suьǥг0uρs 0f S0(3) Ass0ເiaƚed wiƚҺ Tiliпǥs", J0uпal 0f Alǥeьгa 202, ρρ 611-633 57