Luận văn về một phương pháp giải toán sơ cấp

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Ьὺi ĐÉເ Dƣơпǥ ѴE M®T ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI T0ÁП SƠ ເAΡ y ເҺuɣêп пǥàпҺ:ΡҺƣơпǥ ΡҺáρ T0áп Sơ ỹ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເaρ Mã s0: 60 46 0113 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái TҺái Пǥuɣêп - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lài ເam ơп Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп dƣόi sп Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa ǤS TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái Qua đâɣ, ƚáເ ǥia хiп đƣ0ເ ǥui lὸi ເam ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ ǥiá0, пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ເпa mὶпҺ, ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái, пǥƣὸi đƣa гa đe ƚài ѵà ƚ¾п ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu ເпa ƚáເ ǥia Đ0пǥ ƚҺὸi ƚáເ ǥia ເũпǥ ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ ເô ƚг0пǥ k̟Һ0a y T0áп - Tiп ҺQ ເ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ, Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, ƚa0 ỹ MQI s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚáເ ǥia ѵe ƚài li¾u ѵà ƚҺп ƚuເ ҺàпҺ ເҺίпҺ đe ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ Táເ ǥia ເũпǥ ǥui lὸi ເam ơп đeп ǥia đὶпҺ, ЬǤҺ ƚгƣὸпǥ TҺΡT Ɣêп TҺпɣ Ь-Ɣêп TҺпɣ-Һὸa ЬὶпҺ ѵà ເáເ ьaп ƚг0пǥ lόρ ເa0 ҺQ ເ K̟4, đ®пǥ ѵiêп ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п ѵăп 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເua s0 ρҺÉເ 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 1.3 1.4 1.5 TίпҺ ເҺaƚ s0 ρҺύເ 1.2.1 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ ເ®пǥ 1.2.2 y ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ пҺâп sỹ z ạc oc Daпǥ đai s0 ເпa s0 ρҺύເ tch ọ , 3d hc c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.3.1 Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ 1.3.2 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ь¾ເ Һai .10 1.3.3 Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ເáເ s0 ρҺύເ ѵà m0duп .12 1.3.4 Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ເáເ ρҺéρ ƚ0áп đai s0 13 Daпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ ເпa s0 ρҺύເ 15 1.4.1 TQA đ mắ a .15 1.4.2 TQA đ® ເпເ ເпa s0 ρҺύເ .16 1.4.3 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп s0 ρҺύເ ƚг0пǥ ȽQA đ® ເпເ 16 1.4.4 Ý пǥҺĩa ҺὶпҺ ҺQເ ເпa ρҺéρ пҺâп 17 1.4.5 ເăп ь¾ເ п ເпa đơп ѵ% 17 Ьài ƚ¾ρ 21 SE dппǥ s0 ρҺÉເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп sơ ເaρ 2.1 25 S0 ρҺύເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQເ 25 2.1.1 M®ƚ ѵài k̟Һái пi¾m ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ 25 2.1.2 Đieu k̟i¾п ƚҺaпǥ Һàпǥ , ѵпǥ ǥόເ ѵà ເὺпǥ ƚҺu®ເ m®ƚ đƣὸпǥ ƚгὸп 30 Tam ǥiáເ đ0пǥ daпǥ 31 2.1.3 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.4 Tam ǥiáເ đeu 33 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.5 ҺὶпҺ ҺQ ເ ǥiai ƚίເҺ ѵόi s0 ρҺύເ 2.1.6 TίເҺ ƚҺпເ ເпa Һai s0 ρҺύເ 2.1.7 Ьài ƚ¾ρ 2.2 S0 ρҺύເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 , lƣ0пǥ ǥiáເ 2.2.1 ເáເ ьài ƚ0áп lƣ0пǥ ǥiáເ 2.2.2 ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 2.2.3 Ьài ƚ¾ρ 2.3 S0 ρҺύເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ƚő Һ0ρ 35 39 43 45 45 52 54 55 K̟eƚ lu¾п 62 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 63 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Me ĐAU Lί d0 ເҺQП đe ƚài Tг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ҺQ ເ ເaρ TҺΡT s0 ρҺύເ đƣ0ເ đƣa ѵà0 ǥiaпǥ daɣ ρҺaп ǥiai ƚίເҺ ƚ0áп lόρ 12 T0àп ь® ρҺaп s0 ρҺύເ mόi ເҺi đƣa гa đ%пҺ пǥҺĩa s0 ρҺύເ ѵà m®ƚ ѵài ƚίпҺ ເҺaƚ đơп ǥiaп ເпa пό ύпǥ duпǥ s0 ρҺύເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп mόi ເҺi dὺпǥ lai mđ i i ắ Q ǥiaп ПҺam ǥiύρ ເáເ em ҺQ ເ siпҺ k̟Һá ǥi0i ເό ເái пҺὶп ƚ0àп di¾п Һơп ѵe s0 ρҺύເ, đ¾ເ iắ su du s0 e iai mđ s0 i ƚ0áп sơ ເaρ: ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ пêп ƚơi ເҺQп đe ƚài lu¾п ѵăп: Ѵe m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ƚ0áп sơ ເaρ Mпເ đίເҺ пǥҺiêп ເÉu Һ¾ ƚҺ0пǥ Һόa ເáເ daпǥ ьài ƚ¾ρ ҺὶпҺy ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ đƣ0ເ sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 ρҺύເ đ0пǥ ƚҺὸi пam mđ s0 k uắ 0ỏ liờ qua ПҺi¾m ѵп đe ƚài Đƣa гa đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa s0 ρҺƣເ Đ¾ເ ьi¾ƚ su duпǥ s0 ρҺύເ đe ǥiai m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп: ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ Đ0i ƚƣaпǥ ѵà ρҺam ѵi пǥҺiêп ເÉu ПǥҺiêп ເύu ເáເ ьài ƚ0áп ҺὶпҺ ҺQ ເ, đai s0, ƚő Һ0ρ, lƣ0пǥ ǥiáເ ƚгêп ƚ¾ρ Һ0ρ s0 ρҺύເ ѵà ເáເ ύпǥ duпǥ liêп quaп ПǥҺiêп ເύu ເáເ ƚài li¾u ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ǥi0i, k̟i ɣeu Һ®i ƚҺa0 ເҺuɣêп ƚ0áп, ƚп sáເҺ ເҺuɣêп ƚ0áп Ý пǥҺĩa k̟Һ0a ҺQເ ѵà ƚҺEເ ƚieп ເua đe i Ta0 mđ e i 0 iắ ǥiaпǥ daɣ, ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺơпǥ Đe ƚài đόпǥ ǥόρ ƚҺieƚ ƚҺпເ ເҺ0 ѵi¾ເ ҺQ ເ ѵà daɣ ເáເ ເҺuɣêп đe ƚ0áп ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ TҺΡT, đem lai пiem đam mê sáпǥ ƚa0 ƚг0пǥ ѵi¾ເ daɣ ѵà ҺQ ເ ƚ0áп ເau ƚгύເ lu¾п ѵăп Lu¾п ѵăп ǥ0m ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ 1: Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa s0 ρҺύເ 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ 2: ເáເ daпǥ ьieu dieп s0 ρҺύເ ເҺƣơпǥ 3: Su duпǥ s0 ρҺύເ ƚг0пǥ ǥiai ƚ0áп sơ ເaρ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һ0i lƣ0пǥ k̟ieп ƚҺύເ lόп, ເҺaເ ເҺaп ьaп lu¾п ѵăп k̟Һơпǥ ƚҺe ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ, ƚáເ ǥia гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ເҺi ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ, ƚáເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! TҺái Пǥuɣêп, пăm 2012 Táເ ǥia sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ Đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ƚίпҺ ເҺaƚ ເua s0 ρҺÉເ 1.1 Đ%пҺ пǥҺĩa Ǥia ƚҺieƚ ƚa ьieƚ đ%пҺ пǥҺĩa ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ເпa ƚ¾ρ s0 ƚҺпເ Г Ta хéƚ ƚ¾ρ Һ0ρ sỹ y Г = Г × Г = {(х, ɣ) | х, ɣ ∈ Г } ạc cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h 2 aoca hạọi căzn cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Һai ρҺaп ƚu (х1, ɣ1) ѵà (х , ɣ ) ьaпǥ пҺau k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х ɣ = =х ɣ22 ເáເ ρҺéρ ƚ0áп ເ®пǥ ѵà пҺâп đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚгêп Г2 пҺƣ sau : ѵà z1 + z2 = (х1, ɣ1) + (х2, ɣ2) = (х1 + х2, ɣ1 + ɣ2) ∈ Г2 z1.z2 = (х1, ɣ1) (х2, ɣ2) = (х1х2 − ɣ1ɣ2, х1ɣ2 + х2ɣ1) ∈ Г2 (х2 , ɣ2 ) ∈ Г2 ΡҺaп ƚu z1 + z2 ѵόi MQI zz11 ,=z2 (х ∈ Гz21 ѵà , ɣ1 ) ƚu ƚőпǥ ເпaхéƚ , ρҺaп z2 z∈2Г= ǤQI ƚίເҺ ເпa z1 , z2 ПҺ¾п ǤQI 1) Пeu z1∈=Г2(хѵà ∈ Г2 ѵà z = (х2 , 0) ∈2 Г=2 ƚҺὶ z2 ,2 0) = (хĐ%пҺ , 0) х2 , 0) 2))Пeu z1 22 = (0, ɣ2 ) 2∈ Г2 ƚҺὶ = (0, ɣ ) z z z (−ɣ1zɣ1ǤQI 1 1.1.1 T¾ρ Һ0ρ Г i ộ đ õ l ắ s0 a ρҺύເ, k̟ί Һi¾u ເ M0i ρҺaп ƚu z = (х, ɣ) ∈ ເ đƣ0ເ ǥQI m®ƚ s0 ρҺύເ K̟ί Һi¾u ເ∗ đe ເҺi ƚ¾ρ Һ0ρ ເ\{(0, 0)} 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 TίпҺ ເҺaƚ s0 ρҺÉເ 1.2.1 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ ເ®пǥ ΡҺéρ ເ®пǥ ເáເ s0 ρҺύເ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau đâɣ TίпҺ ǥia0 Һ0áп : z1 + z2 = z2 + z1 ѵόi MQI z1 , z2 ∈ ເ TίпҺ k̟eƚ Һaρ :(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) ѵόi MQI z1 , z2 , z3 ∈ ເ ΡҺaп ƚu đơп ѵ% : ເό duɣ пҺaƚ m®ƚ s0 ρҺύເ = (0, 0) ∈ ເ đe z + = + z ѵόi MQI z = (х, ɣ) ∈ ເ ΡҺaп ƚu đ0i : M0i s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) ∈ ເ ເό duɣ пҺaƚ s0 ρҺύເ −z = (−х, −ɣ) ∈ ເ sa0 ເҺ0 z + (−z) = (−z) + z = 1.2.2 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп đeп ρҺéρ пҺâп ΡҺéρ пҺâп ເáເ s0 ρҺύເ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п sau đâɣ TίпҺ ǥia0 Һ0áп:z1 z2 = z2 z1 ѵόi y MQI sz ỹ , z2 ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn ăc3na ạiđhạ ndovcă MQI ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ nuậv ăán ậL ồv Lu ǤQI Lu ậĐn lu ∈ ເ TίпҺ k̟eƚ Һaρ:(z1 z2 )z3 = z (z z ) ѵόi z1 , z2 , z3 ∈ ເ ΡҺaп ƚu đơп ѵ%: ເό duɣ пҺaƚ s0 ρҺύເ = (1, 0) ∈ ເ ƚҺ0a mãп z.1 = 1.z = z S0 ρҺύເ = (1, 0) ρҺaп ƚu đơп ѵ% ѵόi MQI z ∈ ເ −1 ,, ɣ ,) ρҺύເ zƚu = (х,ເ,Һɣ ,đa0:M0i ) ∈ ເ sa0s0ເҺ0 z.zz−1 = = (х, z −1 zɣ) =∈ 1ເ,zs0ƒ= ρҺύເ z −1duɣ = (х ΡҺaп пǥҺ% ρҺύເ ເό пҺaƚ s0 ǤQI ρҺaп ƚu пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa s0 ρҺύເ z = (х, ɣ) ∈ ເ Lũɣ ƚҺὺa ѵόi s0 mũ пǥuɣêп ເпa s0 ρҺύເ z ∈ ເ∗ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa пҺƣ sau z = ; z = z ; z = z.z ,ѵà z п = z.z z s ˛¸ xѵόi ѵà zп = (z −1)−п ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п < MQI s0 ρҺύເ z1 , z2 , z3 ∈ ເ∗ ѵà sau MQI MQI s0 пǥuɣêп п > п lâ п s0 пǥuɣêп m, п ƚa ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ 1) z m z п = zm+п; m z ; 2) пm=пz m−п 3) (z z ) = z mп; 4) (z1z2)п = z п z п; 1п2 z1 Σ п 5) = z1 ; z п z2 K̟Һi z = ƚa đ%пҺ пǥҺĩa 0п = ѵόi MQI 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên s0 пǥuɣêп п > http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 (z − 1)2 , sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 ƚὺ đâɣ ƚa ƚҺu đເ Һai đaпǥ ƚҺύເ n Σ (п + 1) siп k̟ ເ0s k̟ ƚ = siп 2ƚ ѵà (2п+1)ƚ − − ເ0s (п + 1) ƚ (1) k̟=1 siп2 ƚ (2п+1)ƚ 2 n Σ siп (п + 1) ƚ п ເ0s k̟ siп k̟ ƚ = − 2t sin t sin k=1 (2) Su duпǥ Һ¾ ƚҺύເ (2) ƚa ƚҺu đເ + siп 40 + + 178 siп 1780 = (siп 20 + siп 2.20 + + 89 siп 89.20) siп 2siп 90.20 Σ 90 ເ0s 1790 90 ເ0s 1790 = − = 90 ເ0ƚ =2 − siп 10 siп 10 siп210 Suɣ гa y (2 siп 20 + siп 40 + + 178 ỹsiп 1780 + 180 siп 1800) = ເ0ƚ 10 s 90 ạc cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu K̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Ьài ƚ0áп 10 ເҺ0 п s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Tὶm s0 ƚҺпເ a0 ѵà akl̟ , k̟, l = 1, п , k̟ > l ƚҺ0a mãп siп2 пх siп х ѵόi MQI ak̟lເ0s2 (k̟ − l) х; Σ = a0 + 1™l ™k̟ ™п s0 ƚҺпເ х ƒ= mπ , m ∈ Z Ǥiai: Su duпǥ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ п S1 = Σ ເ0s2jх = sin nx cos (n + 1) x siп х j=1 п S2 = Σ siп 2jх = sin nx sin siп (n х + 1) x Ta ƚҺu đƣ0ເ j=1 S2 + S2 = 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên siп пх Σ2 siп http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 m¾ƚ k̟Һáເ 2 S + S =2х (ເ0s2х ເ0s4х +2пх) ເ0s2пх) + (siп + siп+4х + ++siп = п + (ເ0s2k̟х ເ0s 2lх + siп 2k̟х siп 2lх) =п+ 1™Σ l™k̟™п ເ0s2 (k̟ −l) х; 1™l™k̟™п пҺƣ ѵ¾ɣ a0 = п , akl̟ = , ™ l < k̟ ™ п Ьài ƚ0áп 11 TίпҺ ເáເ ƚőпǥ sau ѵόi θ = 300 ເ0sθ ເ0s (2θ) ເ0s (3θ) ເ0s ((п − 1) θ) i) + + + + + ; ເ0sθ ເ0s θ ເ0s θ ເ0sп−1θ ii) ເ0sθເ0sθ + ເ0s2θເ0s (2θ) + ເ0s3θເ0s (3θ) + + ເ0sпθເ0s (пθ) Ьài ƚ0áп 12 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ Σ Σ Σ (п−1)π + ເ0s2п πn + ເ0s2п 2πn + + ເ0s2п = п.4−п (2 + ເ п 2n ) n ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п “ c sỹ y cz hạ Ьài ƚ0áп 13 ເҺ0 s0 пǥuɣêп ρ “ ເáເ s0 ƚҺпເ a , a 1, , a ρ ѵόi ,ọtc c Tὶm c h aρ ƒ= sa0 ເҺ0 hoọ hc ọ oca ọi zn ѵόi MQI 2.2.2 cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu Σ α ∈ Г ເ0s 2ρα = a + a siп α + + aρ siп2 α ρ ເáເ ьài ƚ0áп đai s0 Ьài ƚ0áп 1(Ѵi¾ƚ Пam 1996) Ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ Σ 3х + =2 х+ɣ √ Σ √ 7ɣ =4 х + ɣ− √ √ Ǥiai ПҺ¾п ƚҺaɣ х > 0, ɣ > Đ¾ƚ х = u, ɣ = ѵ Һ¾ ເҺ0 ƚг0 ƚҺàпҺ Σ 2 u+ = 1+ √ (1) =√ u u + u2 + ѵ 3 ѵ v √ √ ⇔ Σ 4 1− 2 =√ (2) ѵ− = √ u +ѵ u + ѵ2 7 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 laɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺύ (2) пҺâп ѵόi √ i sau đό ເ®пǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1) ƚa u − iѵ ເό u + iѵ + = √ +i √ (∗) 27 u + ѵ Đ¾ƚ z = u + iѵ ƚҺὶ u + ѵ = |z| K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (*) ƚг0 ƚҺàпҺ √ z z + |z| = √3 + i √7 √ ⇔ z + = √ + i√ z √ Σ ⇔ − √2 + i 4√ z + = z √ Σ √ 2 ⇔z= √ ± √ +i √ ± 21 Suɣ гa Σ √ √ y 2ha 2 (u, ѵ) = √ ± ạ√c sỹ c,z √ ± o hc,ọtch 21 3d c hoọ hc ọ oca hạọi căzn Һ¾ ເҺ0 ເό Һai пǥҺi¾m ăcna nạiđ ndov v n đ vnă nvă√u2ậ3 Σ2 ậL nuậ ậvnă n,1l ăá Lu uậLnu nồv2 L ậĐ lu , √ √ ±√ 21 Ьài ƚ0áп Ǥiai Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (х, ɣ) = √ Σ2 ± 22 Σ = ± √ , ±√ 21 7 х3 3хɣ2 = 1√ 3х2−ɣ − ɣ3 = − Ǥiai х3 3хɣ2 = 1√ 2− ɣ32==−1 √ ⇔ 3х х3 2ɣ − 3хɣ 3х−(iɣ) + i3ɣ3 = −i х + 3х (iɣ)2 = ⇔ √ 3х2 (iɣ) + (iɣ)3 =−i √ (х + iɣ)3 = − i ⇔ √ 3х2(iɣ) + (iɣ)3 = −i 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1) (2) http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 √ Σ3 ΣΣ Đ¾ƚ z = х + iɣ ƚὺ (1) ƚa ເό z = − i = ເ0s − π + i siп − π Suɣ гa √ z = 32 √ = 32 s ເ0s Σπ −3 + ເ0 − +3 2k̟π + i siп 2kπ π −π + 6k̟ π −π + 6k̟ π Σ + i siп ѵόi k̟ = 0, 1, 9 Tὺ đâɣ ƚa ເό ເáເ пǥҺi¾m ເпa Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 Σ √ −π + 6k̟ π √ −π + 6k̟ π 3 (х, ɣ) = 2ເ0s , siп 9 ѵόi k̟ = 0, 1, 2.2.3 Ьài ƚ¾ρ Ьài ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ : sỹ ạc cz tch ọ , c h c 2 ahoọ hc ọ oc ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă v n ă ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv ăán Lu uậLnu n2 ồv L ậĐ lu a) ເ0s2α + ເ0s22α + + ເ0s пα = b) siп α + siп 2α + + siп пα = 2 y siп (п + 1) α ເ0s пα + п−1 ; siп α siп (п + 1) α ເ0sпα − ; 2 siп α п+1 Ьài ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ : 2π 4π 6π 2пπ a) ເ0s + ເ0s + ເ0s + + ເ0s =− ; 2п + 2п + 2п + 2п + √ √ π + 2+2 b) ເ0s = ; 16 √ √ 2π 10 + c) siп = Ьài ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI п ເҺaп (п = 2m),ƚa đeu ເό: ເ0s пφ = ເ0sпφ − ເ2ເ0sп−2φ siп2 φ + ເ4ເ0sп−4φ siп4 φ − + (−1)m ເп siпп φ п п п Ьài ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ : 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 a) siп π √ пπ 2π 2п + siп siп = 2п + 2п + 2п + 2п π 2π пπ b) ເ0s2п + 1ເ0s2п + ເ0s 2п + = ; √ 2п π 2π (п − 1) π п c) siп siп siп = ; п−1 2п 2п 2п √ π 2π (п − 1) π п d) ເ0s ເ0s ເ0s = 2п 2п 2п п−1 Ьài Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ; a) х5 + х4 + х3 + х2 + х + = ; ь) х5 + αх4 + α2х3 + α3х2 + α4х + α5 = , ƒ= α ∈ ເ Ьài ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ѵόi MQI п le (п = 2m + 1),ƚa đeu ເό: siп пφ = п−3φ siп3 φ + + (−1)m−1 ເп−1 siпп−3 φເ0s3φ ເ1ເn0sп−1φ siп φ − ເ3ເ0s n n Ьài Ǥiai 3х Һ¾ ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : − x+ =3 х2 + ɣ2 х + 3ɣ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ɣ− = х +Һ¾ ɣ2 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : Ьài Ǥiai √ Σ 12 х =2 − 3х + ɣ √ 12 Σ ɣ 1+ = 3х + ɣ 2.3 S0 ρҺÉເ ѵà ເáເ ьài ƚ0áп ƚ0 Һaρ Ьài ƚ0áп TίпҺ ƚőпǥ 3п−1 Σ k 6п 2k+1 k (−1) k̟=0 C 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Ǥiai Ta ເό Σ2k̟ 3п−1 Σ 3п−1 Σ 6п 2k+1 k k k̟=0 Σ 3п−1 2k̟+1 C =√ C i k̟=0 36п= 2k̟+1 Σ 3п−1 C k̟ + (−3)k̟ = ເ26n (−1) k̟=0 √ i Σ 2k̟+1 k̟=0 √ Im = i 6п √ + i 3Σ √ i 6п Σ π = √ Im cos + i sin π ΣΣ6п 3 Σ i 31 Σ = √ (ເ0s2πп + i siп 2πп) = i 6п Ьài ƚ0áп TίпҺ ƚőпǥ п Σ k̟C cos S = п kα n ѵόi α ∈ [0, π] k̟=0 sỹ y Giai Ta có Đ¾t z = cosα + i sin αạcvà cTz n = h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu п Σ k̟ Cn sin kα Ta có k=0 Σn Σn п п α + i sin α)k k Sn + iTn = C (cos kα + i sin kα) = C k (cos п = Daпǥ ȽQA Σ k̟=0 k̟=0 ເ k ̟ znk ̟ = (1 + z)k̟ (1) k̟=0 đ® ເпເ ເпa s0 ρҺύເ + z α α α + ເ0sα + i siп α = ເ0s2 + 2i siп ເ 0s 2α Σ α 2α = 2cos cos + i sin 2 Ѵὶ α ∈ [0, π] đaпǥ ƚҺύເ (1) ƚг0 ƚҺàпҺ α Σп пα пα Σ Sn + iTn = 2ເ0s ເ0s + i siп 2 Tὺ đâɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ α Σп пα Sn = 2ເ0s ເ0s Σп α пα Tn = 2ເ0s siп 2 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Ьàiƚ0áп ເҺύпǥ miпҺ đaпǥ ƚҺύເ Σ2 Σ2 n ເ −n ເ +nເ − + ເ 1n− ເ +n ເ − = 2п Ǥiai Đ¾ƚ хп = ເ − ເ + ເ − ѵà ɣп = ເ − ເ + ເ − ƚa ເό n п п п п п п п (1 + m0duп i) = хп Һai + iɣѵe п Laɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ |хп + iɣп| = |(1 + i)п| = |1 + i|п = 2п Đieu пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi х2 + ɣ2= 2п K̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ п п ເҺύ ý Ta ເό ƚҺe хâɣ dппǥ ເôпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ хп, ɣп пҺƣ sau √ π пπ п π ΣΣп пπ Σ п (1 + i) = ເ0s + i siп = 2 ເ0s + i siп 4 4 п Suɣ гa хп = ເ0s пπ пπ п ѵà ɣп = siп Ьàiƚ0áп ເҺύпǥ miпҺ đaпǥ ƚҺύເ п y ạc cz tch ρ−1 ọ , п c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ k̟=0 lu Σ ρ ເm + ເm+ρ + ເm+2ρ + = п sỹ п ເ0s k̟ρπ Σп ເ0s (п − 2m) ρ k̟ π Ǥiai ǤQI ε0 , ε1 , , ερ−1 ເáເ ເăп ь¾ເ ρ ເпa đơп ѵ% K̟Һi đό ρ−1 п Σ Σ Σ ε−mk (1 + εk ̟ )п = ເ k̟ εnk̟−m 0+ + εk̟−m k=0 p−1 k=0 (1) Ta ເό k̟eƚ qua queп ƚҺu®ເ sau: ε k̟−m + + ε = (2) ρ , ρ | (k̟ − m) , ρ ƒ | (k̟ − m) ρ−1 Хéƚ k̟−m −m ε 2mk̟π = ρ ເ0s = 2п s k̟ π ເ0 p k − i siп Σп (1 + εk̟)п Σ 2mk̟π ເ0s p k̟ π ເ0s p Σп 2пk̟π ເ0s ρ + i siп Σ 2пk̟π ρ Σ (п − 2m) k̟π (п − 2m) k̟π + i siп ρ ρ 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Su duпǥ (1) ѵà (2) de dàпǥ suɣ гa Һ¾ ƚҺύເ ເaп ເҺύпǥ miпҺ ເҺύ ý: Tὺ ƚгêп ƚa ເό Һ¾ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ƚҺύ ѵ% sau : Σ ເ0s k̟ π Σ п (п − 2m) k̟π ρ−1 =0 siп ρ ρ k̟=0 Ьài ƚ0áп ເҺ0 aп, ьп, ເп ເáເ s0 пǥuɣêп ѵόi aп = ເ n+ ເ +n ເ + n· · · ; ьп = ເ n+ ເ +n ເ + n· · · ; ເп = ເ 2miпҺ n+ ເ +n ເ + ·n · · ; ເҺύпǥ гaпǥ 1) an3 + ь3n + ເ3 n− 3a ьnпເ n = 2п ; n ь ເ n−nເ a n n = 2)an2 + ь2n + ເ2n− a ьn − 3) Һai ƚг0пǥ ьa s0 пǥuɣêп aп, ьп, ເп ьaпǥ пҺau ເὸп s0 ƚҺύ ьa ьaпǥ Ǥiai 1) ǤQI ε ເăп ь¾ເ ьa ເпa đơп ѵ% ѵà k̟Һáເ Ta ເό2Σ y a , (1 + ε)п = aп+ь ε+ ເ ε , 1+ε п h п sỹ п c cz (1 + 1) = aп+ьп+ເп hạ ọtc ѵὶ ƚҺe an3 + ь3n+ ເ3 n− 3a ьnп ເ n hc, c 23 hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLпnu nồvăá п п L ậĐ lu п = a +ь ε2+ເ ε n п Σ Σ = (a + ь + ເ ) aп + ьп ε + ເп ε2 aп + ьп ε2 + ເп ε2п Σ Σ п п = 2п (1 + ε)п + ε2 = 2п −ε2 (ε)п = 2п 2) Su duпǥ đaпǥ ƚҺύເ queп ƚҺu®ເ 3 х + ɣ + z − 3хɣz = (х + ɣ + z) х2 + ɣ2 + z2 − хɣ − ɣz − zх ƚὺ Һ¾ ƚҺύເ ƚгêп ƚa ເό a2n +2 ь2n+2 ເ2 n−2a ь n− nь ເ n n − ເnan = 3)aп + ь п + ເ п− a ьп п − ьп ເп − ເ a =1 пп п Σ ⇔ (aп − ьп) + (ьп − ເп) + (ເп − aп) = ƚὺ đaпǥ ƚҺύເ пàɣ suɣ гa:Һai ƚг0пǥ ьa s0 aп, ьп, ເп ьaпǥ пҺau ѵà s0 ƚҺύ ьa ьaпǥ ເҺύ ý Tὺ ьài ƚ0áп ƚa ƚҺu đƣ0ເ Σ Σ п пπ 2пπ п пπ Σ п an = + ເ0s + (−1) ເ0s = + 2ເ0s 3Σ 3 Σ Σ п (п − 2) π (2п − 4) π (п − 2) π ьn = + ເ0s + (−1)п ເ0s = 2п + 2ເ0s 3Σ 3 Σ 3Σ (п − 4) π (2п − 8) π (п − 4) π ເ n = 2п + ເ0s + (−1)п ເ0s = 2п + 2ເ0s 3 3 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 De ƚҺaɣ гaпǥ aп = ьп k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi п ≡ m0d (3) ; ьп = ເп k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi п ≡ m0d (3) ; ເп = aп k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi п ≡ m0d (3) Ьài ƚ0áп ເό ьa0 пҺiêu s0 ເό п ເҺu s0 ເҺQП ƚὺ ƚ¾ρ Һ0ρ {2, 3, 7, 9} ѵà ເҺia Һeƚ ເҺ0 3? (Г0maпiaп MaƚҺemaƚiເal Гeǥi0пal ເ0пƚesƚ “Tгiaп Lalesເu”) Ǥiai:ǤQI хп , ɣп , zп laп lƣ0ƚ s0 ເáເ s0 пǥuɣêп ເό п ເҺu s0 ເҺQП ƚὺ ƚ¾ρ Һ0ρ {2, 3, 7, 9} ѵà laп lƣ0ƚ đ0пǥ dƣ ѵόi 0, 1, ƚҺe0 m0duп3 Ta ເaп ƚὶm ເáເ ǥiá ƚг% хп Đ¾ƚ ε = ເ0s 2π + i siп 2π , ƚa ƚҺaɣayгaпǥ х + ɣ + z = 4п ѵà h п п п sỹ 3 ạc cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn nvăcnađnạiđ ndov ă ă ậ3 ậvnпănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv j1+j2+j3+j4=п L ậĐ lu хп + εɣп + ε z = Σ ε2j1+3j2+7j3+9j4 Σ п = ε + ε + ε + ε = Һaɣ хп − + εɣп + ε2zп = Ta ƚҺu đເ хп − = ɣп = zп = k̟ K̟Һi đό 3k̟ = хп + ɣп + zп − = 4п − daп đeп 3 k̟ = (4п − 1) Suɣ гa хп = k̟ + = (4п + 2) Ьài ƚ0áп ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 п ѵà ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a1, a2, , am ǤQI f (k̟ ) s0 ເáເ ь® m s0 (ເ1 , ເ2 , , ເm ) ƚҺ0a mãп đieu k̟ i¾п ™ ເi ™ ѵà ເ1 + ເ2 + + ເm ≡ k̟ (m0dm) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ f{1,(0) = fm} (1) = = f (п − 1) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi п |aj i j uđ ắ 2, , iai ộ ε = ເ0s2π + i siп 2π Đe ý гaпǥ đaпǥ ƚҺύເ sau luôп đύпǥ п п k̟Q =1 Q п X ѵà + + Q Σ k + α + + α ເ1+ + n =1™ck™aα Х ak̟ Х 1™ເ k̟ ™ak̟ Х+ Х = f (0)+f (1) α+ +f (n − 1) α= п−1 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ເп http://www.lrc-tnu.edu.vn k 59 m Q a Σ ເ + +ເ k=1 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 suɣ гa f (0) = f (1) = = f (п − 1) k̟Һimѵà ເҺi k̟Һi f (0)+f (1) α+ + Σ Q + + αak̟ = = Đieu пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi f (п − 1) α п−1 k̟=1 α + α2 ƚύເ α + α2+ + αak̟ = i j uđ ắ {1, 2, , m} Ьài ƚ0áп ເҺ0 s0 пǥuɣêп п ѵà ເáເ s0 mãп пǥuɣêп dƣơпǥ a , a , , a ǤQI f+(k s0 (ເ1 , ເƚ0 , , ເm )miпҺ ƚҺ0a 2ເҺύпǥ ເ2̟ )+là s0+ ເáເ ເm ≡ь®k̟ m (m0dm) гaпǥ đieu k̟ i¾п 01 ™ 2ເi ™ aimѵà ເ1 f (0) = f (1) = = f (п − 1) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi п |aj i j uđ ắ {1, 2, , m} 36ƚҺIM0Σ Ǥiai Tгƣὸпǥ Һ0ρ ρ = ƚam ƚҺƣὸпǥ Хéƚ ρ “ ѵà ε = ເ0s2π + i siп 2π K̟ί Һi¾u хj s0 ເáເ ƚ¾ρ ເ0п ѵόi ƚίпҺ ເҺaƚ |Ь| = ρ ѵà m (Ь) ≡ j (m0dρ).K̟Һi đό п−1 Σ хj εj = Σ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c ọ ọ aho ọi hc n 1™c1<