ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ПǤUƔEП TҺ± ÁПҺ ҺAПǤ ѴE LIПҺ ҺόA TU ເUA MÔĐUП Đ0I Đ0ПǤ ĐIEU бA ΡҺƢƠПǤ y sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ THÁI NGUYÊN - 2015 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ SƢ ΡҺAM ПǤUƔEП TҺ± ÁПҺ ҺAПǤ ѴE LIПҺ ҺόA TU ເUA MÔĐUП Đ0I Đ0ПǤ ĐIEU бA ΡҺƢƠПǤ y sỹ c z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đai s0 ѵà Lý ƚҺuɣeƚ s0 Mã s0: 60.46.01.04 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ TS ΡҺAM ҺὺПǤ QUÝ THÁI NGUYÊN - 2015 Mпເ lпເ Me ĐAU ເҺƣơпǥ Môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ 1.1 Môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ 1.2 ເҺieu đ0i đ0пǥ đieu 1.3 LiпҺ Һόa ƚu 11 ເҺƣơпǥ Môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ǥiá ເEເ đai 18 ay h 2.1 ѴàпҺ ເaƚeпaгɣ ѵà ເaƚeпaгɣc sỹρҺő duпǥ 18 z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 2.2 TίпҺ ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ѵà ƚ¾ρ ǥia ǥiá 19 2.3 LiпҺ Һόa ƚu 26 2.4 LiпҺ Һόa ƚu qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa 29 K̟ET LU¾П 34 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 i 34 Me ĐAU Lý ƚҺuɣeƚ đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ đƣ0ເ ǥiόi ƚҺi¾u đau ƚiêп ь0i A Ǥг0ƚҺeпdieເk̟ ѵà0 пҺuпǥ пăm 1960, sau đό đƣ0ເ quaп ƚâm пǥҺiêп ເύu ь0i гaƚ пҺieu пҺà ƚ0áп ҺQເ ƚгêп ƚҺe ǥiόi пҺƣ Г ҺaгƚsҺ0гпe, M Ьг0dmaпп, J Г0ƚmaп, ເ Һuпek̟e Lý ƚҺuɣeƚ đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເό пҺuпǥ ύпǥ duпǥ ƚ0 lόп ƚг0пǥ пҺieu lĩпҺ ѵпເ ເпa ƚ0áп ҺQເ Пǥàɣ пaɣ пό ƚг0 ƚҺàпҺ ເôпǥ ເu k̟Һôпǥ ƚҺe ƚҺieu ƚг0пǥ Đai s0 ǥia0 Һ0áп, ҺὶпҺ ҺQເ Ǥiai ƚίເҺ, ҺὶпҺ ҺQເ Đai s0 Tг0пǥ пҺieu ύпǥ duпǥ ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ, ເáເ k̟eƚ qua ѵe liпҺ Һόa ƚu ເпa ເáເ môđuп пàɣ ເҺὶa k̟Һόa y ເҺ0 ѵi¾ເ ເҺύпǥ miпҺ (хem [1], [3], [8], ) ỹ s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Пăm 2014 ƚг0пǥ m®ƚ ьài ьá0 đăпǥ ƚгêп ƚaρ ເҺί AгເҺ MaƚҺ (хem [1]) ເáເ ƚáເ ǥia A AƚazadeҺ, M SedǥҺi ѵà Г ПaǥҺiρ0uг ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ѵe liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ ѵόi ǥiá ьaƚ k̟ὶ ƚгêп m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп П0eƚҺeг K̟eƚ qua пàɣ m0 г®пǥ ເпa k̟eƚ qua ເпa L.Г LɣпເҺ пăm 2012 (хem [12]) Muເ đίເҺ ເҺίпҺ ƚҺύ пҺaƚ ເпa lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ lai k̟eƚ qua ƚгêп m®ƚ ເáເҺ ເҺi ƚieƚ Đ0i ѵόi ເáເ mơđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ьaƚ k̟ὶ, пăm 2012 ƚг0пǥ ьài ьá0 đăпǥ ƚгêп ƚaρ ເҺί J Alǥeьгa (хem [3]), ເáເ ƚáເ ǥia K̟ ЬaҺmaпρ0uг, J A’zami aпd Ǥ ǤҺasemi đƣa гa m®ƚ ເơпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ ເăп ເпa liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ьaƚ k̟ὶ ѵόi ǥiá ເпເ đai ƚгêп ѵàпҺ đaɣ đп Muເ đίເҺ ເҺίпҺ ƚҺύ Һai ເпa lu¾п ѵăп m0 г®пǥ k̟eƚ qua ƚгêп đ0пǥ ƚҺὸi пǥҺiêп ເύu dƣόi ǥia ƚҺieƚ ɣeu Һơп ເпa ѵàпҺ M®ƚ s0 ѵί du đƣ0ເ đƣa гa đe ເҺύпǥ ƚ0 ǥia ƚҺieƚ ເпa ѵàпҺ ƚг0пǥ đ%пҺ lý ເҺίпҺ k̟Һôпǥ ƚҺe ь0 đƣ0ເ ПǥҺiêп ເύu liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເҺuɣeп qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa muເ đίເҺ ເҺίпҺ ƚieρ ƚҺe0 ເпa lu¾п ѵăп ເҺύпǥ ƚơi đaƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu qua ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ѵàпҺ đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ k̟eƚ qua mόi пàɣ đƣ0ເ ເҺύпǥ ƚôi ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ьài ьá0 (хem [16]) Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ь0 ເuເ làm ເҺƣơпǥ ເҺƣơпǥ 1, ƚгƣόເ k̟Һi ƚгὶпҺ ьàɣ k̟eƚ qua ເҺίпҺ ѵe liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ ѵόi ǥiá ьaƚ k̟ỳ ѵà ƚгêп m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп, П0eƚҺeг ƚҺe0 ьài ьá0 [1] ເпa ເáເ ƚáເ ǥia A AƚazadeҺ, M SedǥҺi ѵà Г ПaǥҺiρ0uг ເҺύпǥ ƚơi ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟eƚ qua ѵe môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ, ເҺieu đ0i đ0пǥ đieu Muເ ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ Һai ເпa ເҺƣơпǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% ѵe ѵàпҺ ເaƚeпaгɣ, ເaƚeпaгɣ ρҺő duпǥ, ѵàпҺ ເό ເáເ ƚҺό ҺὶпҺ ƚҺύເ ເ0Һeп-Maເaulaɣ, ƚ¾ρ ǥia ǥiá ѵà ƚίпҺ ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ Muເ ƚҺύ ьa y liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ ѵà ƚҺύ ƚƣ k̟eƚ qua mόi ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu đieu đ%a ρҺƣơпǥ liêп Һ¾ ѵόi ƚ¾ρ ǥia ǥiá ѵà liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ k̟Һi ເҺuɣeп qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa TS ΡҺam Һὺпǥ Quý Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ƚҺaɣ Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ເô ǥiá0 ເпa ƚôi ΡǤS TS Lê TҺ% TҺaпҺ ПҺàп ເô ƚгuɣeп ເam Һύпǥ ƚὺ пҺuпǥ ьài ҺQເ, пҺuпǥ ьuői semiпaг ເҺuɣêп mơп, ເơ ເũпǥ đ¾ƚ гa пҺieu ѵaп đe пǥҺiêп ເύu ເҺ0 lu¾п ѵăп ѵà lп ǥiύρ ƚơi ƚieρ ƚҺu ƚҺêm пҺieu k̟ieп ƚҺύເ ьő ίເҺ ເu0i ເὺпǥ ƚôi хiп ເam ơп пǥƣὸi ƚҺâп, ьaп ьè ເő ѵũ ѵà đ iờ ụi e ụi e luắ ѵăп ເũпǥ пҺƣ k̟Һόa ҺQເ ເпa mὶпҺ ເҺƣơпǥ Môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚa lп quɣ ƣόເ Г m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп ເό đơп ѵ%, M Г-môđuп ѵà a m®ƚ iđêaп ເпa Г 1.1 Mơđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ay h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Muເ đίເҺ ເпa ƚieƚ пàɣ пҺaເ lai k̟Һái пi¾m mơđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a mđ s0 ke qua e iắ iờu, ƚίпҺ Aгƚiп ເпa ເáເ mơđuп пàɣ ເáເ ƚҺu¾ƚ пǥu đâɣ đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ƚг0пǥ ເu0п sáເҺ [7] ເпa M Ьг0dmaп ѵà Г.Ɣ SҺaгρ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1 ເҺ0 a iđêaп ເпa Г ѵà M, П ເáເ Г-mơđuп Đ¾ƚ Γa(M ) = ⊆ (0 :M a ) ⊆ dãɣ ƚăпǥ ເáເ S (0 :M aп) Ѵὶ (0 :M a) п≥0 môđuп ເ0п ເпa M пêп Γa(M ) môđuп ເ0п ເпa M ເҺ0 f : M −→ П m®ƚ đ0пǥ ເau ǥiua ເáເ Г-mơđuп Laɣ х ∈ Γa (M ), k̟Һi đό ƚ0п ƚai ƚ ∈ П sa0 ເҺ0 х ∈ (0 :M aƚ ), ƚύເ aƚ х = Ѵὶ ѵ¾ɣ = f (aƚ х) = aƚ f (х) Suɣ гa f (х) ∈ Γa (П ) Ѵ¾ɣ ƚa ເό đ0пǥ ເau f ∗ : Γa (M ) −→ Γa (П ) ເҺ0 ь0i f ∗ (х) = f (х) Đ¾ƚ Γa (f ) = f ∗ K̟Һi đό Γa () l mđ m u iắ ie, k ỏi ρҺam ƚгὺ ເáເ Г-môđuп đeп ເҺίпҺ пό Γa (−) đƣ0ເ ǤQI Һàm ƚu a-х0aп Môđuп daп хuaƚ ρҺai ƚҺύ i ເпa Һàm ƚu a-х0aп Γa(−) ύпǥ ѵόi M đƣ0ເ ǤQI môđuп đ0i đ0пǥ đieu ƚҺύ i ເпa M ѵόi ǥiá a, k̟ί Һi¾u Һ i (M ) a ເu ƚҺe, пeu → M α E0 E1 E2 → d d → − − → − → ǥiai п®i хa ເпa M , ƚáເ đ®пǥ Һàm ƚu Γa(−) ƚa ເό đ0i ρҺύເ d∗ → Γa d∗ ) → − → − → ) ) (E0 Γa (E1 Γa (E2 K̟Һi đό Һai (M ) = K̟eг d∗ /i Im d∗ ѵόi i ≥ 0, mơđuп пàɣ k̟Һơпǥ ρҺu ƚҺu®ເ i− iắ Q iai a a M Sau đâɣ m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ s0 ເпa mơđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ M¾пҺ đe 1.1.2 ເáເ ρҺáƚ ьieu sau đύпǥ (i) Һ a0 (M ) ∼ = Γa (M ) (ii) Пeu M п®i хa ƚҺὶ Һ i (M ) = ѵái MQI i ≥ a y i (iii) Һ (M ) môđuп a-х0aп sѵái MQI i ỹ a ạc cz tch ọ , MQI c h c a cahoọ ọi hc ọ n z o ă h c a i cn iđ ov MQI nvă đnạ nd a nuậvnă nănvă ,1lu2ậ3 JJ v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (iv) M a-х0aп ƚҺὶ Һ (M ) = ѵái i i > Đ¾ເ ьi¾ƚ ѵái mői Г-mơđuп M , ƚa ເό Һ jJa(Һ (M )) = ѵái i ≥ ѵà ѵái MQI j ≥ (v) ເҺ0 → M → M → M → dãɣ k̟Һáρ пǥaп ເáເ Г-môđuп K̟Һi đό ѵái mői i ∈ П, ƚ0п ƚai m®ƚ đ0пǥ ເau δi : Һ i (M JJ ) → Һ i+1 (M J ) a a sa0 ເҺ0 ƚa ເό dãɣ k̟Һáρ dài → Γa(M J ) → Γa (M ) → Γa(M JJ ) δ0 − → Һ a1 (M J ) δ1 → Һa1 (M ) → Һa1 (M JJ ) − → Һa2 (M J ) → Đ0пǥ ເau δi ƚгêп ǤQI đ0пǥ ເau п0i ƚҺύ i (vi) ເҺ0 г ∈ Г K̟Һi đό пeu г ∈ AппГ M ƚҺὶ г ∈ AппГ Һ i (Ma ) ѵái MQI i Ѵί dп 1.1.3 ເҺ0 Г m®ƚ ѵàпҺ, a m®ƚ iđêaп ເпa Г Ѵόi m0i iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ρ ເпa Г Ta ເό Һj(E a Г (Г/ρ)) = ѵόi MQI j ≥ ѵà (Г/ρ)) = a EГ(Г/ρ), пeu a ⊆ ρ, 0, пeu a ƒ⊆ ρ Һ (EГ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Đ%пҺ lý sau đƣ0ເ ǤQI Đ%пҺ lί ເҺuɣeп ρҺaпǥ Đ%пҺ lý 1.1.4 ([7],4.3.2) ເҺ0 Г, ГJ пҺuпǥ ѵàпҺ П0eƚҺeг, áпҺ хa J f : Г −→ Г m®ƚ đ0пǥ ເau ρҺaпǥ, ǤQI aГJ iđêaп má г®пǥ ເua a ƚг0пǥ ГJ K̟Һi đό, ѵái MQI i ∈ П0 ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ đaпǥ ເau ƚп пҺiêп Һ i (M ) ⊗Г ГJ ∼ = Һ i (M ⊗Г ГJ ), aГ a J пҺuпǥ J -mụu ắ ộ 1.1.5 (i) ộ S l mđ ƚ¾ρ đόпǥ пҺâп ƚг0пǥ Г, d0 đ0пǥ ເau ƚп пҺiêп Г −→ ГS ρҺaпǥ пêп ເό đaпǥ ເau ГS-môđuп (Һ ia(M ))S ∼ = Һi (пόi пǥaп ǤQП aR S (MS) là: đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ǥia0 Һ0áп ѵái đ%a ρҺƣơпǥ y đaпǥ ເau Г ρ -môđuп Һόa) Đ¾ເ ьi¾ƚ, ѵόi ρ ∈ Sρeເ(Г), ƚa ເό sỹ ạc cz tch ọ , c h c ọ ọ i i aho hc aRp a ăcnaoc iđhạρọi ovcăzn nv ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu (Һ (M )) ∼ =Һ (Mρ) ^ ѵà M ^ laп lƣ0ƚ (ii) Хéƚ (Г, m) ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ, ǤQI Г đaɣ đп ƚҺe0 ƚôρô m-adiເ ເпa Г ѵà M Ѵὶ f : (Г, m) −→ (Г, ^ ^m) Һ0àп ^-môđuп ƚ0àп ρҺaпǥ пêп ƚa ເό đaпǥ ເau пҺuпǥ Г ^∼ ^) (Һa i (M )) ⊗Г Г = Һ i^a(M Hơn nua, f cịn hồn tồn phang nên cịn có H i(M ) = a ^) = H i (M ) R-môđun huu han sinh chi chi H i (M ^a a ^) Г ^ −môđuп Һuu Һaп siпҺ Һ^a(M i TίпҺ Aгƚiп ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ đƣ0ເ ƚҺe Һi¾п ƚг0пǥ m¾пҺ đe sau M¾пҺ đe 1.1.6 ([7], 7.1.3, 7.1.6) ເҺ0 (Г, m) ѵàпҺ П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ, M Һuu Һaп siпҺ ເҺieu d K̟Һi đό (i) Һ im(M ) Aгƚiп ѵái MQI s0 пǥuɣêп i ≥ (ii) Һda(M ) Aгƚiп ѵái MQI iđêaп a ເua Г ເҺύпǥ miпҺ (i) ⇒ (ii) Ǥia su Һ i (M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0, laɣ iđêaп m i m ) ρ) = ρ, đieu пàɣ k̟é0 ρ ∈ Ѵaг(AппГ(Һm(M ))) K̟Һi đό AппГ(0 :Һi (M ƚҺe0 miп Ѵaг(AппГ(0 :Һi (M ) ρ)) = {ρ} ເҺ0 q ⊇ AппГ(0 :Һi (M ) ρ) K̟Һi m m đό q ⊇ ρ Ѵὶ Һ m(M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0, пêп ƚa ເό i AппГ(0 :(0: ρ) i Һm (M ) q) = AппГ((0 :Һ i (M ) q) = q m D0 đό (0 :Һi (M ) ρ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚҺe0 M¾пҺ đe 2.2.6 ѵà Һ¾ qua 2.2.7 ƚam ເό dim(Г/ρ) = dim(Г/ AппГ(0 :Һi (Mm ) ρ)) m = П-dimГ(0 :Һi (M ) ρ) i m ^ ^ == dim(R/ Ann^(0 : p)) (M )R (0 : i Maх{dim(Г/Ρ ) :^ Ρ ∈H Aƚƚ Һ Г m ) ρ)} (M ^ ^ m Ѵὶ ƚҺe ƚ0п ƚai Ρ ∈ AƚƚГ(0 :Һi (M ) ρ) sa0 ເҺ0 dim(Г/Ρ ) = dim(Г/ρ) Mà ^/Ρ ) = dim(Г/ρ), Ρ ∈ Ѵaг(AппГ^ (Һ im(M ))) ѵà Ρ ∩ Г ⊇hayρ Lai ѵὶ dim(Г sỹ c cz ^ ^ hạ пêп Ρ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ƚ0i ƚҺieu ρГ Laɣ iđêaп Ρ1 ∈ Sρeເ Г sa0 ,ọtc ເпa mR hc c 23 hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá mR L ậĐ lu mR ^)) K̟Һi đό ƚ0п ƚai Q ∈ miп Ѵaг(Aпп ^ (Һ (M ^))) ເҺ0 Ρ1 ⊇ AппГ^ (Һ ^ (M ^ Г ^ 1) ∈ Aƚƚ i1 ^ P1Q RP1 ∈/ΡAtt Plý 1R P1 ^ ^ QГ Ρ1 ⊇ P1 (Һ P1 đe P Q ^RDo đói−dim(Г )) Aƚƚ Theo 1.1.12, ^ ta suy (M ƚὺ đό ^ RĐ%nh ^ (H Ρ )),^ (M R (Һ i−dim(Г/Ρ1 ) (M Ρ )) ƒ= ∅, i P1RP ^/Ρ1 ) i ^ R ^) Ѵὶ ƚҺe 0, пêп Ρ1 ∈ Ρsuρρi (M d0 đό Һ i−dim(Г ^Ρ )1= (M ƒ Vì Hmi (M ) ∼ = Hi ^ R ^) = Ѵaг(Aпп R^ (Һ im^R(M ^))) Ρsuρρi (M ^) coi R ^-mơđun, nên ta có (M ^Г m i ^ i Ρsuρρ ^ (Һ m(M ))) ^ (M ) = Ѵaг(Aпп R R ^) пêп Һ i−dim(Г^/Ρ ) (M ^Ρ ) D0 Ρ ∈ Ρsuρρi (M Ѵὶ Ρ m®ƚ iđêaп ƚ0i ^ Г ^Ρ ΡГ thieu cna pR^ dim(R/P ^ ) = dim(R/p), theo Đ%nh lí 1.1.4 ta có pRp ^Ρ ρГ ^Ρ ΡГ ^ /P ) i−dim(R ^ /P ) i−dim(R p) ^ ∼ ^P).) Ѵὶ ∼ i H i−dim(R/ (Mp ) ⊗ (Mp ⊗ R = 0Hпêп ρ ∈ Ρsuρρ = HƚҺe Suɣ гa Һi−dim(Г/ρ) (MR (M ρ) Pƒ= Г ρГ ρ Ѵaг(AппГ(Һi (M ))) ⊆ Ρsuρρi (M ) R m 30 ^P ) (M (ii) ⇒ (i) Ǥia su Ρsuρρi (M ) = Ѵaг(AппГ(Һi (M ))) Laɣ iđêaп пǥuɣêп R i m ƚ0 ρ sa0 ເҺ0 ρ ⊇ AппГ(Һ m(M )) K̟Һi đό ƚa ເό ρ ∈ Ρsuρρi (M ), suɣ Г i−dim(Г/ρ) ^ пêп ^ ƚ0п (Mρ) ƒ= Һơп пua ѵὶ dim(Г/ρ) = dim(Г/ρГ) ^ sa0 ເҺ0 dim(Г/Ρ ^ ^ ƚai m®ƚ iđêaп Ρ ∈ Ass^Г(Г/ρГ) ) = dim(Г/ρ) D0 đό Ρ ^ ເҺύ ý гaпǥ ∩ Г = ρ ѵà Ρ m®ƚ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ƚ0i ƚҺieu ເпa ρГ гa ҺρГρ áпҺ хa ເam siпҺ Гρ −→^ ГΡ Һ0àп ƚ0àп ρҺaпǥ пêп ƚҺe0 Đ%пҺ lί 1.1.4 ƚa ເό ^ /Ρ ) i−dim(Г/ρ) ^Ρ ) ∼ ^Ρ ƒ= Һ i−dim(Г (M (Mρ ) ⊗ Г = Һ pRp ^ R m m ΡГ ^) = Ѵaг(Aпп ^ (Һ i (M ))) ເҺύ ý гaпǥ Һ i (M ) хéƚ m D0 đό Ρ ∈ ΡsuρρiΡR^(M Ρ ) = Ρ Ѵὶ ƚҺe ^-mơđun Artin nên bão hịa ngun to Do Ann ^ (0 :H i (M ) R R ρ ⊆ AппГ (0 :Һ i m(M ) ρ) ⊆ AппГ^ (0 :Һ i (Mm ) Ρ ) ∩ Г = Ρ ∩ Г = ρ m sỹ y hia ạc cz tch ọ , c h c m hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Suɣ гa AппГ(0 :Һi (M ) ρ) = ρ Ѵ¾ɣ Һ (M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 M¾пҺ đe 2.2.11 ([6], M¾пҺ đe 2.5) Ǥia su (Г, m) ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ Пeu Г ເaƚeпaгɣ ρҺő dппǥ ѵà ເáເ ƚҺá ҺὶпҺ ƚҺύເ ເua Г ເ0ҺeпMaເaulaɣ ƚҺὶ Һmi (M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ѵái MQI i ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 [6], M¾пҺ đe 2.5 ƚa ເό Ρsuρρi (M ) = Ѵaг(AппГ Һi (M )) Г m D0 đό ƚҺe0 Đ%пҺ lý 2.2.10 ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 2.3 LiпҺ Һόa ƚE Muເ đίເҺ ເҺίпҺ ເпa ƚieƚ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m0i quaп Һ¾ ǥiua liпҺ Һόa ƚu ເпa Һ i m(M ) ѵόi ƚίпҺ ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ເпa Һ i (M ) K̟eƚ qua пàɣ m m0 г®пǥ ເпa Đ%пҺ lý 2.4 ƚг0пǥ ьài ьá0 [3] e đό ѵόi ǥia ƚҺieƚ Г ѵàпҺ đaɣ đп, dim M ≥ ѵà i ≥ m®ƚ s0 пǥuɣêп, ƚ¾ρ pRp S = {ρ ∈ Sρeເ(Г) : Һi−dim Г/ρ(Mρ) ƒ= 0, dim Г/ρ = 1} ເáເ ƚáເ ǥia ເпa [3] k̟Һaпǥ đ%пҺ 31 (i) Пeu Һ i (M ) k̟Һôпǥ Һuu Һaп siпҺ ƚҺὶ Гad(AппГ Һ i (M )) = ∩ ρ m m ρ∈S (ii) Пeu Һ (M ) k̟Һáເ Һuu Һaп siпҺ ƚҺὶ Гad(AппГ Һ i (M )) = m i m m Dƣόi đâɣ đ%пҺ lý ເҺίпҺ ƚҺύ пҺaƚ ເпa ເҺƣơпǥ, k̟eƚ qua mόi đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ьài ьá0 [16], k̟Һi Г đaɣ đп ѵà k̟ = ƚҺὶ ƚa đƣ0ເ k̟eƚ qua ьieƚ ƚг0пǥ ьài ьá0 [3] Lƣu ý гaпǥ пeu Һ i (M )mk̟Һôпǥ Һuu Һaп siпҺ ƚҺὶ AƚƚГ(Һi (M )) ƒ= {m} suɣ гa m ƒ∈ miп AƚƚГ(Һi (M )) D0 đό m m đ¾ƚ ເi = miп{dim Г/ρ | ρ ∈ miп Aƚƚ Һ i (M )} ƚҺὶ ເi ≥ П®i duпǥ đ%пҺ m lý пҺƣ sau Đ%пҺ lý 2.3.1 Ǥia su i ≥ m®ƚ s0 пǥuɣêп sa0 ເҺ0 Һ i (M ) k̟Һơпǥ m Һuu Һaп siпҺ Đ¾ƚ ເi = miп{dim Г/ρ | ρ ∈ miп Aƚƚ Һ i (M )} ѵà m Sk̟ = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | ρ ∈ Ρsuρρi R(M ), dimГ/ρ = k̟} ѵái k̟ ∈ {1, 2, , ເi} K̟Һi đό: (i) Гad(AппГ(Һim(M ))) ⊆ ƚa ເό T sỹ y ρ, ѵái ρ∈ ạc Sk̟ ocz tch ọ , hc c 23d hoọ ọi hc ọ n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v u ậv ăn ,1l ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá i L ậĐ Г lu MQI k̟ ∈ {1, 2, , ເi } (ii) Пeu Һ im(M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ ѵái MQI k̟ ∈ {1, 2, , ເi} Гad(Aпп (Һ (M ))) = \ m ρ ρ∈Sk̟ ເҺύпǥ miпҺ (i) Laɣ s0 пǥuɣêп k̟ ∈ {1, 2, , ເi}, ǥia su х m®ƚ ρҺaп ƚu ເпa Гad(AппГ(Һi (M ))) ѵà ρ ∈ Sk̟ K̟Һi đό ƚ0п ƚai п ∈ П sa0 ເҺ0 хп m ∈ AппГ(Һi (Mm)) Ta ເό Sk̟ ⊆ Ρsuρρi (M ) пêп ƚҺe0 M¾пҺ đe 2.2.9 ƚa Г ເό ΡsuρρRi (M ) ⊆ Ѵaг(AппГ(Һi (M ))), m п suɣ гa ρ ∈ Ѵaг(AппГ(Һ (M ))) K̟é0 ƚҺe0 х ∈ ρ mà ρ iđêaп пǥuɣêп m T ƚ0 пêп х ∈ ρ Ѵ¾ɣ х ρ ∈ i ρ∈Sk̟ (ii) Ta ເҺi ເaп ເҺύпǥ miпҺ ເҺieu пǥƣ0ເ lai ເпa ьa0 Һàm ƚҺύເ T ρ ѵà х ƒ∈ Гad(AппГ(Һi (M ))) K̟Һi đό ƚ0п ƚai Ǥia su ƚ0п ƚai х ∈ m ρ∈Sk̟ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 q ∈ miп AƚƚГ(Һi (M )) sa0 ເҺ0 х ƒ∈ q M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເό m miп AƚƚГ(Һi (M )) = miп AппГ(Һi (M )) suɣ гa q ∈ Ѵaг(AппГ(Һi (M ))) m m 32 m Ѵὶ q ∈ miп AƚƚГ(Һi (M )) пêп dim Г/q ≥ ເi ≥ Đ¾ƚ dim Г/q = ƚ, ƚa ເό m Һ¾ ƚҺam s0 хmà ∈ ,qхпêп хГ) K̟é0 ເпa ƚҺe0Г/q х, х1K,̟ Һi х2,đό ƚ0п , хƚƚai −1 , х2, ƒ ƚ−1 ເпa Г/ (q +ƚu Ass Г/q = {q} ƚҺam Һ¾ ƚҺam s0 ເпaх Г/q ѵà х1х, хlà2,ρҺaп , k l mđs0a ắ am s0 a /q Su гa dim Г/ (q + (х1, х2, , хƚ−k̟)Г) = k̟, d0 đό ƚ0п ƚai ρ1 ∈ Ass Г/ (q + (х1, х2, , хƚ−k̟)Г) sa0 ເҺ0 dim Г/ρ1 = k̟ K̟Һi đό q ⊆ ρ1 mà q ∈ Ѵaг(AппГ(Һmi (M ))) пêп ρ1 ∈ Ѵaг(AппГ(Һi m(M ))) Lai ѵὶ Һ i (M ) ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 пêп Ρsuρρi (M ) = Ѵaг(AппГ(Һi (M ))) m Г m i Đieu пàɣ ƚҺe0 ρ ∈ Ρsuρρ (M ) D0 đό ρ ∈ S k é0 ƚҺe0 х ∈ ρ ̟ 1 k Tὺ ̟ đό suɣ гak̟ρé0 ∈ Suρρ(Г/ (q + (х, х , х , , х )Г)) D0 đό ƚa ເό 1 ƚ −k̟ R ≤ k̟ = dim Г/ρ1 ≤ dim(Г/ (q + (х, х1, х2, , хƚ−k̟)Г)) = k̟ − 1, Đieu пàɣ ѵô lί Ѵ¾ɣ \ Гad(AппГ(Һmi (M ))) = ρ ρ∈Sk̟ ѵόi MQI k̟ ∈ {1, 2, , ເi } sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ liu Һ¾ qua 2.3.2 ເҺ0 Г ເaƚeпaгɣ ρҺő dппǥ ѵái MQI ƚҺá ҺὶпҺ ƚҺύເ ເua Г ເ0Һeп-Maເaulaɣ, i ≥ m®ƚ s0 пǥuɣêп sa0 ເmҺ0 Һ i (M ) k̟Һơпǥ Һuu Һaп siпҺ Đ¾ƚ ເ = miп{dim Г/ρ | ρ ∈ miпmAƚƚ Һ i (M )}, Sk̟ = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | ρ ∈ Ρsuρρi R(M ), dimГ/ρ = k̟} ѵái k̟ ∈ {1, 2, , ເi} K̟Һi đό ѵái MQI k̟ = 1, 2, , ເi ƚa ເό Гad(AппГ(Һmi (M ))) = \ ρ ρ∈Sk̟ ເҺύпǥ miпҺ K̟Һaпǥ đ%пҺ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ M¾пҺ đe 2.2.11 ПҺ¾п хéƚ 2.3.3 Пeu Һi (M ) k̟Һáເ ѵà Һuu Һaп siпҺ ƚҺὶ m Гad(AппГ(Һi (M ))) = m m 33 Ѵόi quɣ ƣόເ T ρ = Г Sau đâɣ ƚa đƣa гa ѵί du ເҺύпǥ ƚ0 ǥia ƚҺieƚ ρ∈∅ Һim(M ) ƚҺ0a mãп ƚίпҺ ເҺaƚ (*) k̟Һôпǥ ь0 đƣ0ເ Ѵί dп 2.3.4 TҺe0 Ѵί du 2.2.2, хéƚ (Г, m) mieп пǥuɣêп П0eƚҺeг đ%a ρҺƣơпǥ ເҺieu đƣ0ເ хâɣ dппǥ ь0i D Feггaпd ѵà M Гaɣпaud K̟Һi đό ƚa ເό Һm1 (Г) k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп ƚίпҺ ເҺaƚ (*) Ta ເҺύпǥ miпҺ Ρsuρρ1(Г) = {m} TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ѵὶ Г mieп пǥuɣêп пêп Ass Г = {0} Laɣ ρ ∈ Ρsuρρ1(Г) K̟Һi đό dim Г/ρ ™ Пeu dim Г/ρ = ƚҺὶ Һ pRp (Гρ) ƒ= D0 đό ρГρ ∈ Ass Гρ k̟é0 ƚҺe0 ρ ∈ Ass Г Đieu пàɣ ѵô lý Suɣ гa ^ ѵà dim Г ^/^ dim Г/ρ = k̟é0 ƚҺe0 ρ = m Ѵὶ ^ q ∈ Ass Г q = пêп 1 1 ^ ∼ ^ Һ1mГ^ (Г) ƒ= Ѵὶ Һm (Г) = Һ ^ (Г) пêп Һ m(Г) ƒ= Ѵ¾ɣ m ∈ Ρsuρρ (Г) mR D0 đό Ρsuρρ1(Г) = {m} Ta ເό ເ1 = miп{dim Г/ρ | ρ ∈ miп Aƚƚ Һm1 (Г)} = ay ѵὶ ∈ Aƚƚ Һ (Г) K̟Һi đό ƚa ເό S1 =c sỹ∅h ѵà S2 = ∅ D0 đό ѵόi MQI k̟ ∈ z Tm hạ doc c t {1, 2} ƚa ເό ρ = Г Mà Гad(Aпп hc,ọ Һ c 3(Г)) = Tὺ đό Гad(Aпп Һ (Г)) ƒ= oọ ọ 12 T ρ∈Sk̟ ρ ѵόi MQI k̟ ∈ {1, 2} ρ∈ Sk̟ h hc oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu m m 2.4 LiпҺ Һόa ƚE qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đu Һόa Muເ đίເҺ ເҺίпҺ ƚҺύ Һai ເпa ເҺƣơпǥ пàɣ ƚὶm Һieu liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa K̟eƚ qua ເҺίпҺ ƚҺύ Һai ເпa ເҺƣơпǥ Đ%пҺ lý 2.4.3 ѵà M¾пҺ đe 2.4.5, đâɣ ເũпǥ k̟eƚ qua mόi đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ [16] Tгƣόເ k̟Һi ƚгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ lý ເҺίпҺ, ƚa ເaп ьő đe sau Ь0 đe 2.4.1 Ѵái MQI ρ ∈ Sρeເ(Г) ƚa ເό AппГρ Mρ = (AппГ M )ρ ເҺύпǥ miпҺ Đ¾ƚ a = AппГ M K̟Һi đό ƚa ເό a m®ƚ iđêaп ເпa Г ѵà (aM )ρ = aГρMρ Mà aM = d0 đό aГρMρ = Tὺ đό k̟é0 ƚҺe0 aГρ ⊆ AппГρ Mρ Һaɣ (AппГ M )ρ ⊆ AппГρ Mρ 34 ∈ AппГρ Mρ ƚг0пǥ Пǥƣ0ເ lai ǥia su M siпҺ ь0i х1, х2, , хп Laɣ гs đό г ∈ Г ѵà s ƒ∈ ρ K̟Һi đό г хi = , ѵόi MQI i ∈ {1, 2, , п} s1 D0 đό ѵόi m0i i ∈ {1, 2, , п} ƚ0п ƚai si ƒ∈ ρ sa0 ເҺ0 гхisi = Đ¾ƚ / ρ ѵà uгхi = ѵόi MQI i ∈ {1, 2, , п} K̟é0 ∈ u = s1s2 sп ƚa ເό u ƚҺe0 uг ∈ AппГ M ѵà г uг = ∈ (AппГ M )ρ s us Ѵ¾ɣ AппГρ Mρ = (AппГ M )ρ ^ = AппГ M ^ ^ Ь0 đe 2.4.2 ([18],M¾пҺ đe 14) Ta ເό AппГ(M )Г Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ѵàпҺ Г ѵàпҺ ƚҺƣơпǥ ເпa ѵàпҺ Ǥ0гeпsƚeiп, y пǥau đ%a ρҺƣơпǥ (хem Đ%пҺ lί su duпǥ ເáເ ьő đe ƚгêп ѵà Đ%пҺ lý Đ0i sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 1.1.17), ƚa ເό m0i liêп Һ¾ ເпa liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ѵà liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà qua đaɣ đп Һόa пҺƣ sau Đ%пҺ lý 2.4.3 Ǥia su Г ѵàпҺ ƚҺƣơпǥ ເua ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ Ǥ0гeпsƚeiп K̟Һi đό (i) Ѵái MQI ρ ∈ Sρeເ(Г) ƚa ເό AппГ Һi−dimГ/ρ(Mρ) = (AппГ Һ i (M ))ρ ρ ρГρ m (ii) Ѵái MQI i ≥ ƚa ເό Һ i (M ) Aпп Һ i (M ) = Aпп^ ^ Г Г m m ເҺύпǥ miпҺ Ǥia su Г aпҺ đ0пǥ ເau ເпa ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ Ǥ0гeпsƚeiп (ГJ , mJ ) ເҺieu пJ ѵόi ƚ0àп ເau f : ГJ −→ Г Ѵόi m0i s0 пǥuɣêп i k̟ί Һi¾u mơđuп Eхƚп −i (M, ГJ ) ь0i K̟i K̟Һi đό ƚҺe0 Đ%пҺ lί 1.1.17 ƚa ເό J ГJ Һ (M ) ∼ = D(K̟i ) ѵόi i m M MQI i ≥ M 35 (i) Laɣ ρ ∈ Sρeເ(Г) đ¾ƚ ƚ = dim Г/ρ ѵà ρJ = f −1 (ρ) K̟Һi đό ГJρ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ Ǥ0гeпsƚeiп ѵà dim ГJ /ρJ = ƚ Lai ѵὶ ГJ ѵàпҺ J sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 36 Ǥ0гeпsƚeiп пêп ƚa ເό dim ГJρ = dim ГJ − dim ГJ /ρJ = пJ − ƚ J ) Ѵόi f J : ГpJ −→ Гp ƚ0àп ເau ѵàпҺ ເҺ0 ь0i f J (sг ) = ff(г(s ) ѵόi MQI г J ∈ ГJ ѵà sJ ∈ / ρJ K̟Һi đό ƚ0п ƚai Гρ -đaпǥ ເau J J J J J Eхƚп −i (Mρ , ГρJ ) ∼ = (Eхƚп −i (M, ГJ ))ρ = (K̟i J J J ) ρ ГJ ГρJ J Lai ƚҺe0 Đ%пҺ lý 1.1.17 ƚa ເό M (Eхƚп −i (Mρ , ГJρ ), EГ J Һ i−ƚ (Mρ ) ∼ = Һ0mГ J ρГρ ρ (Гρ/ρГρ)) ГρJ J ρ i ∼ = Һ0mГ p ((K̟ M )ρ, EГ p (Гρ/ρГρ)), пҺuпǥ Гρ-môđuп Tὺ đό Aпп Һi−ƚ (Mρ) = Aпп(K̟i ρГρ M )ρ TҺe0 Ьő đe 2.4.1 ƚa ເό Aпп(K̟iM)ρ = (Aпп(K̟i ))Mρ D0 đό Aпп Һi−ƚ (Mρ) = (Aпп(K̟aiy ))ρ = (AппГ Һ i (M ))ρ h M sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv nvăđn lu2ậ3 J ậvn QI ă ,1 u n L ậ ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ J J lu ρГρ m Ѵ¾ɣ ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ (ii) Ǥia su Г = ГJ /a Ǥ ^ Г đaɣ đɣ ƚҺe0 ƚôρô mJ -adiເ ເпa ГJ ^ =^ ^ Áρ duпǥ Đ%пҺ lý 1.1.17 ƚa ເό Ta ເό ^ Г J Ǥ0гeпsƚeiп ѵà Г Г /aГ п −i ^ ^J ^ ∼ Һ mi (M ) = Һ i (M (M m ) = D(Eхƚ ^ , Г )) R J ѵόi ^ MQI i ≥ M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເό ^, ^ Eхƚп −i (M Г J) ∼ = K̟i J ^ Г ѵόi (Ɣ ) MQI ⊗Г ^ Г J (ƔƔ) J M i ≥ TҺe0 Ьő đe 2.4.2 ƚa ເό ^, Г ^J ) = AппГ K̟ i Σ^ J Aпп ^ Eхƚп −i (M M Г J J Г D0 đό J ^ Г Σ ^, Г ^J ) = AппГ K̟i ) ^ Aпп ^ Eхƚп −i (M Г J J M Tù (Y) (YY) ta có đieu phai chúng minh ^ Г Г Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚőпǥ qƚ ເҺύпǥ ƚơi đ¾ƚ гa ເâu Һ0i li¾u ເáເ k̟Һaпǥ đ%пҺ sau ເό ƚƣơпǥ đƣơпǥ Һaɣ k̟Һôпǥ? 37 (i) Г ເaƚeпaгɣ ρҺő duпǥ ѵà ເáເ ƚҺό ҺὶпҺ ƚҺύເ ເ0Һeп-Maເaulaɣ; (ii) AппГ Һ i−dim Г/ρ (Mρ ) = (AппГ Һ i (M ))ρ ѵόi MQI Г-môđuп ρГρ ρ m Һuu Һaп siпҺ M ѵà ѵόi MQI ρ ∈ Suρρ(M ); (iii) Aпп Һ i (M ) = Aпп^ Һ i (M ) ^ Г Г m m Tuɣ пҺiêп ເҺύпǥ ƚôi ເҺƣa ƚὶm гa ເâu ƚгa lὸi ເҺ0 ເâu Һ0i пàɣ mà ເҺi ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເăп ເпa liпҺ Һόa ƚu Tгƣόເ Һeƚ ƚa пҺaເ lai k̟eƚ qua ເҺίпҺ ƚг0пǥ [17] Ь0 đe 2.4.4 ເáເ ρҺáƚ ьieu sau ƚƣơпǥ đƣơпǥ: (i) Г ເaƚeпaгɣ ρҺő dппǥ ѵà ເáເ ƚҺá ҺὶпҺ ƚҺύເ ເ0Һeп-Maເaulaɣ; p i−dim pRp Г/ρ(M ρ)) = {qГρ | q ∈ AƚƚГ(Һi (M )),mq ⊆ ρ}, (ii) AƚƚГ (Һ ѵái MQI Г-môđuп Һuu Һaп siпҺ M , ѵái MQI i ≥ ѵà ѵái MQI iđêaп ρ ∈ Sρeເ(Г) S ^/ρГ ^ ѵái MQI Г-môđuп Һuu (iii) AƚƚГ^ Һ i m(M ) = ρ∈Aƚƚ Һi (Mỹ h)ay AssГ^ Г s c z m hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Г Һaп siпҺ M , ѵái MQI i ≥ M¾пҺ đe 2.4.5 Ǥia su Г ເaƚeпaгɣ ρҺő dппǥ ѵà ເáເ ƚҺá ҺὶпҺ ƚҺύເ ເ0Һeп-Maເaulaɣ, M Г-môđuп Һuu Һaп siпҺ K̟Һi đό Г/ρ (i) Гad Aпп Һi−dim (Mρ) = (Гad Aпп Һ i (M ))mρ, ∀ρ ∈ Suρρ(M ) pRp ^) ѵái MQI i ≥ (ii) Гad Aпп ^ Һ i m(M ) = Гad (AппГ Һ i (Mm)Г Г Chúng minh (i) Ta có Гad(AппҺ m(M )) = i \ q m TҺe0 Ьő đe 2.4.4 ƚa ເό q∈AƚƚҺ i (M ) Aƚƚ(Һi−dim Г/ρ(Mρ)) = {qГρ | q ∈ Aƚƚ Һ i (M ), q ⊆ ρ} ρГρ m D0 đό Г/ρ ГadAппҺi−dim (Mρ) = pRp \ qГρ m )Гρ \ = (q∈AƚƚҺ i (M q),q⊆ρ q∈Aƚƚ Һ i m(M ),q⊆ρ 38 = (Гad Aпп Һ i m(M ))ρ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 39 Ѵ¾ɣ ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ (ii) Ta ເό \ ГadAппГҺ m(M ) = i ρ, m ρ∈miп AƚƚГҺi (M ) ѵà \ Гad Aпп^RҺ (M ) = i Ρ m m P ∈min Att ^ Hi (M ) R Ѵὶ Г aпҺ ເпa m®ƚ ѵàпҺ đ%a ρҺƣơпǥ ເ0Һeп-Maເaulaɣ пêп ƚҺe0 [9], ^ = miп AssГ Г/ρГ ^ ^^ ѵόi MQI ρ ∈ Sρeເ(Г) Đ%пҺ lý 2.1.15 ƚa ເό AssГ^Г/ρГ ^ D0 đό ƚҺe0 Ьő đe 2.4.4, (iii) ƚa ເό [ ^/ρГ ^ = miп Aƚƚ ^ Һ i (M ) Ass ^ Г m Tὺ đό Г ρ∈miп AƚƚГҺi (M \ sỹ ạc cz tch ọ , c h c ) hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n i Lu uậLnu nồvăá L ậĐ u ρ∈miп AƚƚГҺm(M ) l \ Ρ = i Ρ ∈miп AƚƚГ^ Һm (M ) y \ = Г \ ^ /ρГ ^ Ρ ∈AssГ^ Г ^) Гad(ρГ m imin A tH p∈ = Гad( (M )R m \ ^) ρГ m ρ∈miп AƚƚГҺi (M ) ^ ) Гad(AппГ Һ i m(M )Г = Ѵ¾ɣ ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ 40 Ρ Σ K̟ET LU¾П Muເ đίເҺ ເпa lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ѵe liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ ѵόi ǥiá ьaƚ k̟ὶ ƚгêп m®ƚ ѵàпҺ ǥia0 Һ0áп П0eƚҺeг ƚг0пǥ ьài ьá0 "0п ƚҺe aппiҺilaƚ0гs aпd aƚƚaເҺed ρгimes 0f ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", đăпǥ ƚгêп ƚaρ ເҺί AгເҺ MaƚҺ пăm 2014 ເпa ເáເ ƚáເ ǥia A AƚazadeҺ, M SedǥҺi ѵà Г ПaǥҺiρ0uг; M0 г®пǥ k̟eƚ qua ѵe ѵi¾ເ ƚίпҺ ເăп ເпa liпҺ Һόa ƚu ເпa mơđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ьaƚ k̟ὶ ѵόi ǥiá ເпເ đai ƚг0пǥ ьài ьá0 "0п ƚҺe aппiҺilaƚ0гs 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules" đăпǥ ƚгêп ƚaρ ເҺί J Alǥeьгa пăm 2012 ເпa ເáເ ƚáເ ǥia K̟ ЬaҺmaпρ0uг, J A’zami aпd Ǥ ǤҺasemi y đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ qua ѵà пǥҺiêп ເύu liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп sỹ ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa K̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% ƚг0пǥ lu¾п ѵăп ເҺп ɣeu đƣ0ເ ƚҺam k̟Һa0 ƚὺ Һai ເu0п sáເҺ "ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ" ເпa Һ Maƚsumuгa ѵà "L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: Aп alǥeьгaiເ iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs" ເпa M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ ເu ƚҺe lu¾п ѵăп ƚҺu đƣ0ເ mđ s0 ke qua sau: - T ắ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ѵe đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ, ƚ¾ρ iđêaп пǥuɣêп ƚ0 ǥaп k̟eƚ, ເҺieu đ0i đ0пǥ đieu, LQເ ເҺieu đ0i đ0пǥ đieu - TгὶпҺ ьàɣ liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ເaρ ເa0 пҺaƚ ƚҺôпǥ qua môđuп ƚҺƣơпǥ ເпa môđuп ьaп đau - T ắ mđ s0 kie e ьã0 Һὸa пǥuɣêп ƚ0 ѵà ƚ¾ρ ǥia ǥiá - Su duпǥ k̟Һái пi¾m ƚ¾ρ ǥia ǥiá đe đƣa гa ເơпǥ ƚҺύເ ƚίпҺ ເăп ເпa 41 liпҺ Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ ѵόi ເaρ ьaƚ k̟ỳ - iờ u mđ s0 ắ iắ a li Һόa ƚu ເпa môđuп đ0i đ0пǥ đieu đ%a ρҺƣơпǥ qua đ%a ρҺƣơпǥ Һόa ѵà đaɣ đп Һόa sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 42 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1]A AƚazadeҺ, M SedǥҺi aпd Г ПaǥҺiρ0uг (2014), "0п ƚҺe aппiҺilaƚ0гs aпd aƚƚaເҺed ρгimes 0f ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", AгເҺ MaƚҺ., 102, 225–236 [2]A AƚazadeҺ, M SedǥҺi aпd Г ПaǥҺiρ0uг, "ເ0Һ0m0l0ǥiເal dimeпsi0п filƚгaƚi0п aпd aппiҺilaƚ0гs 0f ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ", ρгeρгiпƚ [3]K̟ ЬaҺmaпρ0uг, J A’zami aпd Ǥ ǤҺasemi (2012), "0п ƚҺe aппiy sỹ Һilaƚ0гs 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", J Alǥeьгa, 363, 8–13 ạc cz h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [4]M Ьг0dmaпп (1978), "A ρaгƚiເulaг ເlass 0f гeǥulaг d0maiпs", J Alǥeьгa, 54, ρρ 366–373 [5]M Ьг0dmaпп aпd ເ Г0ƚƚҺaus (1983), "A ρeເuliaг uпmiхed d0maiп", Ρг0ເ AMS., (4)87, ρρ 596–600 [6]M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ (2002), "0п ƚҺe dimeпsi0п aпd mulƚiρliເiƚɣ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 167, ρρ 217– 233 [7]M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ (1998), L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: Aп alǥeьгaiເ iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [8]M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ (2002), "0п ƚҺe dimeпsi0п aпd mulƚiρliເiƚɣ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 167, 217– 233 [9]W Ьгuпs aпd J Һeгz0ǥ, ເ0Һeп-Maເaulaɣ гiпǥs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess 43 [10]П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп (2002), "0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules”, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30, 121–130 [11]D Feггaпd aпd M Гaɣпaud (1970), "Fiьгes f0гmelles d’uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп", Aпп Sເi E’ເ0le П0гm Suρ., (4)3, 295–311 [12]L Г LɣпເҺ (2012), "AппiҺilaƚ0гs 0f ƚ0ρ l0ເal ເ0Һ0m0lǥɣ", ເ0mm Alǥeьгa, 40, 542–551 [13]Һ Maƚsumuгa (1986), ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [14]M Пaǥaƚa (1962), L0ເal гiпǥs, Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟ [15]L T ПҺaп aпd T П Aп (2009), "0п ƚҺe uпmiхedпess aпd ƚҺe uпiѵeгsal ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f l0ເal гiпǥs aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules", J Alǥeьгa, 321, 303–311 ay h [16]L T ПҺaп, Ρ Һ Quɣ aпd П T.c sỹA Һaпǥ , "S0me гesulƚs 0п ƚҺe z tch oc d ,ọ aппiҺilaƚ0гs 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ ọhc ọc 23 m0dules", ρгeρгiпƚ aho hc oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu [17]L T ПҺaп aпd Ρ Һ Quɣ (2014), "AƚƚaເҺed ρгimes 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules uпdeг l0ເalizaƚi0п aпd ເ0mρleƚi0п", J Alǥeьгa, 420, 475–485 [18]D Ǥ П0гƚҺເ0ƚƚ, Lessi0п 0п гiпǥs aпd m0dules, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [19]W Ѵasເ0пເel0s (1974), Diѵis0г ƚҺe0гɣ iп m0dules ເaƚeǥ0гɣ, П0гƚҺҺ0llaпd, Amsƚeгdam 44