Luận văn về không điểm của các đa thức đạo hàm

I TãI U Tì I Sì M I T KIU 0A Kặ IM ếA ã A T „0 Һ€M ay h sỹ c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П TĂi uả - ôm 2015 I TãI U TГ×ίПǤ „I ҺÅເ S× ΡҺ„M ЬὸI TҺÀ K̟I—U 0AПҺ Ѵ— Kặ IM ếA ã A T M uả : T0Ă iÊi ẵ M số: 60.46.01.02 ay h s c z h oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S TSK T T TĂi uả - ôm 2015 i Li am 0a Luê ô l sỹ iả u lê ừa ổi dữợi sỹ ữợ dă ừa S TSK TƯ ô TĐ, Ă i liằu am kÊ0 luê ô lu ỹ Luê ô ữa ứ ữủ ổ ố Đ ổ ẳ TĂi uả, Ă 05 ôm 2015 TĂ iÊ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ьὸi TҺà K̟i·u 0aпҺ ii Lίi ເ£m Luê ô ữủ ỹ iằ Ôi ữ Ôi Sữ Ôm - Ôi TĂi uả dữợi dỹ ữợ dă k0a ừa S TSK TƯ ô TĐ Qua Ơ, Ă iÊ i ữủ ỷi li Êm sƠu s- Đ Ư iĂ0, ữi ữợ dă k0a ừa mẳ, S TSK TƯ ô TĐ, ữi  ữa a à i ê ẳ ữợ dă y iÊ ỗ i Ă iÊ ụ Ơ suố quĂ ẳ iả u ừa sƚ¡ເ ỹ ạc cz tch ọ , c h c ƚҺ пҺ ເ£m ὶп ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເỉ ƚг0пǥ k 0a T0Ă, k0a Sau Ôi ho ọ ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nv n 3nd Tữ Ôi Sữ Ôm,nuvnÔi TĂi uả,  Ô0 mồi iÃu kiằ nv ,1ồ lu2 ậL nuậvn ăán u L uậL nồv ậĐ ເҺ0 ƚ¡ເ ǥi£ ѵ· ƚ i li»u ѵ LƚҺõ ƚöເ Һ пҺ ເҺ½пҺ º ƚ¡ເ ǥi£ Һ0 п ƚҺ пҺ lu ь£п luê ô TĂ iÊ ụ ỷi li Êm ia ẳ Ă Ô lợ a0 T0Ă k21,  iả i ù Ă iÊ quĂ ẳ ê l m luê ô D0 i ia - kối lữủ kiá lợ, - - Ê luê ô kổ Ă kọi iáu sõ, Ă iÊ Đ m0 ê ữủ sỹ Ê0 ê ẳ ừa Ă Ư ổ Ô çпǥ пǥҺi»ρ, ƚ¡ເ ǥi£ хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп! TĂi uả, Ă 05 ôm 2015 TĂ iÊ i T KiÃu 0a iii Mử lử M Ưu 1 Lỵ uá ealia sỹ Ơ ố iĂ ừa m Ơ ẳ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Mëƚ sè àпҺ пǥҺ¾a ເὶ ь£п y ເæпǥ ƚҺὺເ Ρ0iss0п -Jeпseп sỹ c cz ເ¡ເ Һ m Пeѵaпliппa oọhc,ọ.tchọc 123d.o h ọi hc n a c z o cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ເ¡ເ lỵ Ê 10 ă n v u ậv năn ,1l u n v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá L lỵ iad .12 Qua ằ số kuá lu lỵ im ealia 16 à lỵ lỹa ama 19 2.1 Lỵ uá Mill0u 19 2.2 K̟¸ƚ qu£ ƚг0пǥ mëƚ sè ƚг÷ίпǥ Һđρ °ເ ьi»ƚ 22 2.3 Têпǥ qu¡ƚ mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ 27 Ѵ· k̟Һæпǥ iºm ເõa a Ô0 m ừa mở m Ơ ẳ 3.1 K̟¸ƚ qu£ ເõa W Ьeгǥweileг ѵ A Eгemeпk̟0 .35 35 3.2 Kổ im ừa a Ô0 Һ m (fп)(ƚ) 36 3.3 Mëƚ số ká quÊ Ã kổ im ừa a Ô0 m ff J 37 Ká luê 41 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 42 M Ưu Lỵ d0 luê ô Lỵ uá ealia l mở lỵ uá ừa iÊi ẵ k 20, ữủ Ă i ьði пҺ T0¡п Һåເ Г Пeѵaпliппa Пâ mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ Ư qua Đ ừa iÊi ẵ iằ a lỵ uá ealia u Ơm ừa iÊi ẵ ẳm Đ y dử a Ê lắ ỹ ữ ứ Đ a ữ: lỵ uá s z c oc số, ữ ẳ i Ơ, êhc,tchlỵ ả uời lợ Đ õ õ d c hoọ ọi hc ọ n a c z o cna ih dovc lỵ uá ealia ụ i l ả uời lợ Đ ừa nv n 3nỗ n v u v n ,1l ậLnu nuậvn ăán ậL ồv ƚ0¡п Һåເ: Г Пeѵaпliппa, LuҺ.ເaгƚaп, .Wel, L.Alf0s, .iffis, Lu n lu lỵ Ê ừa ealia l mở ká quÊ Đ sƠu s- iÊi ẵ Mở ká quÊ sƠu s- iÊi ẵ mở iá l lỵ iad à iĂ 0Ôi lằ, lỵ iad õi mở m Ơ ẳ f ả ເ m ьä qua ǥi¡ ƚгà ƚҺ¼ f ρҺ£i l m Ơ ụ l iÃu kĂ iằ ເὶ ь£п ǥiύa ǥi£i ƚ½ເҺ ƚҺüເ ѵ ǥi£i ƚ½ເҺ ρҺὺເ a Ãu iá lỵ iad ụ l mở ằ quÊ ừa lỵ Ê ơm iÊm số im Ư Ă lỵ iad, ôm 1958, ama  mi lỵ kiu iad m Ơ ẳ Ô0 m áu m Ơ ẳ f ả ọa m f ƒ= ѵfJ ƒ= ƚҺ¼ f ρҺ£i l m ama õ ữủ ká quÊ ứ lỵ ama's Aleaie iad alue 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs aпd ƚҺeiг deгiѵaƚiѵes , Aпп 0f MaƚҺ 70(1959), − 42 K̟º ƚø sau ь i ь¡0 п ừa ama, õ Đ iÃu Ă iÊ Â iả u Ơ ố iĂ m Ơ ẳ Ô0 m, quĂ ká quÊ ừa ama ẳ uố kĂ au iằ a ữợ пǥҺi¶п ເὺu п ɣ aпǥ ρҺ¡ƚ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu i s mÔ m, u ữủ iÃu ká qu£ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ເ£ ǥi£i ƚ½ເҺ ρҺὺເ ѵ ǥi£i ẵ adi ẵ ẳ ê, ổi à i à k ổ im ừa a Ô0 m uở ữợ iả u õi ả ữ Ă iả u Sữu Ưm i liằu ứ Ă Ô ẵ 0Ă ữợ quố liả qua lỵ uá Ơ ố iĂ m Ơ ẳ Ô0 m Qua õ, ẳm iu iả u Ă Đ Ã luê ô Mử ẵ ừa luê ô Mử ẵ ừa luê ô l ẳ lÔi mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ ເõa W Һaɣmaп, W Ьeгǥweileг, J K̟ Laпǥleɣ, A Eгemeпk̟0 ѵ mëƚ sè ƚ¡ເ ǥi£ k̟Һ¡ເ ữợ iả u ởi du ừa luê ô y Luê ô ỗm ữ c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ 1ѵ sü ρҺ¥п ьè ǥi¡ ƚгà ເõa m Ơ ữ Lỵ uá ealia oca i zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 Һ¼пҺ u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu ữ à lỵ lỹa ເҺåп Һaɣmaп ເҺ÷ὶпǥ Ѵ· k̟Һỉпǥ iºm ເõa a ƚҺὺເ Ô0 m ừa mở m Ơ ẳ s ữ Lỵ uá ealia sỹ Ơ ố iĂ ừa m Ơ ẳ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu T0 ữ , ổi - lÔi mở số ắa, ká quÊ Ê ừa Lỵ uá ealia m Ơ ẳ ả 1.1 Mở số àпҺ пǥҺ¾a ເὶ ь£п àпҺ пǥҺ¾a 1.1.1 Mëƚ Һ m Ơ ẳ ả m l mở m ẳ ả ứ a Ă im Đ ữ l ỹ im l số ỹ iả kổ Ơm ắa 1.1.2 f l m ẳ kĂ ả Mở im ồi l k̟Һỉпǥ iºm п−ເõa п¸u ƚг0пǥ ເõa z0, ∈ ເ ữủ fẳ õ ziu diạ dữợi dÔ (z)0)Đ ==(z0 z0)f(z), (z) l lƠ ê m lƠ ê ເõa z0,fҺ(z àпҺ пǥҺ¾a 1.1.3 ເҺ0 f l Һ m Ơ ẳ kĂ ả Mở im z0 ữủ ồi l ỹ im Đ ừa f áu z0 l kổ im Đ ừa m f ເ¡ເ k̟Һỉпǥ iºm, ເüເ iºm ເâ ເ§ρ ເáп ÷đເ ǥåi l ເ¡ເ k̟Һỉпǥ iºm ѵ ເüເ iºm ὶп Ѵ½ dư 1.1.4 Һ m siп2 z õ kổ im Đ Ôi z0 = m a z õ ỹ im Ôi z0 = π 1.2 ເæпǥ ƚҺὺເ Ρ0iss0п -Jeпseп àпҺ lỵ 1.2.1 (ổ 0iss0 -Jese) f (z) l m Ơ ẳ ẳ ỏ {|z| } ; < Г < +∞ ѵ f (z) ƒ≡ Ǥi£ sû aµ (µ = 1, 2, , M ) l ເ¡ເ k̟Һỉпǥ iºm, méi k̟Һỉпǥ iºm ÷đເ k̟º mở số lƯ ởi ừa õ, ( = 1, 2, , П ) l ເ¡ເ ເüເ iºm ເõa f ẳ ỏ õ, mội ỹ im ữủ k mở số lƯ ởi ừa õ Ki õ áu z = г.eiφ, (0 < г < Г) , f (z) ƒ= 0, f (z) ƒ= ∞ ƚҺ¼ ∫ l0ǥ|f (z)| = 2π 2π Σ M Σ l0ǥ.f Гe Г2 − г iθ dθ y Г2Σ − 2Ггເ0s (φ − θ) + г2 ạc )o.cz Г (z −,ọtcha Г (z − a ѵ ) N µd l0 l0 ǥ ocahoọhạhcọi hcọcăczn 12 − ǥ (1.1) + ăcna nạiđ ndov v n đ 2 ѵ=1 ă ă lu2ậ3 a µz Г − aѵz ậvnГănv − ,1 ậLnu nuậvn ăán µ=1 u L uậL nồv ເỉпǥ ƚҺὺເ (1.1) a L áu iá iĂ ừa mỉ uп f (z) ƚг¶п ьi¶п, lu ເ¡ເ ເüເ iºm ѵ k̟Һæпǥ iºm ເõa f (z) ƚг0пǥ |z| < Г ẳ a õ ẳm s ữủ iĂ ừa mổ u f (z) ả ắa |z| < Tữ ủ iằ Ôi z = ổ (1.1) õ dÔ l0 |f (0)| = 2 M l0 N l0 |ь | iθ Σ ѵ |a µ| , l0ǥ.f Гe dθ + Σ =1 à=1 (1.2) ợi ǥi£ ƚҺi¸ƚ Һ m f (0) ƒ= 0; f (0) ƒ= ∞ Tг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ f (0) = Һ0°ເ f (0) = ∞, ເæпǥ ƚҺὺເ (1.2) ƚҺaɣ êi mëƚ ເҺόƚ K̟Һi â Һ m f (z) ເâ k̟Һai ƚгiºп Ôi lƠ ê z = dÔ f (z) = ເλzλ + , Ta х²ƚ Һm ψ(z) = Гλ λ ∈ Z f (z) zλ 32 Ká ủ ợi (2.24), a õ 1 (г, f ) ≤ П (ƚ+1) (г, ) + П (г, ) − П ∗ (г, ) + S(г, f ) (2.26) J f ψ−1 ψ П¸u f ) = S(,mi f ), a u ữủa Đ sỷmÔ Đ f 1(, Ư D0 ê õ iÊ 1(, f ) = S(, ) Tiá e0 a Ư · sau Ьê · 2.3.3 ເҺ0 Һ m M ÷đເ ắa ữ sau JJ 2a1 J M = (ƚ + 1) − (ƚ + 2) ψJ ψ−1 ƚ (2.27) ѵ ເҺ0 q, Q ÷đເ х¡ເ àпҺ ữ lỵ ả m f õ ເüເ , sa0 ເҺ0 k̟Һæпǥ Kiºm ເâ kz̟ 0Һæпǥ iºm ởi q Ôi õ z0. m as ê z0 l m ỹ im i õMÔi mi Tữợ a iÊ sỷ Q = 1, q = K̟Һi â, z → z0, f −1 = z0)ьiºu + 0(1) , ƚг0пǥ ƚaν(z ເâ −ເ¡ເ di¹п sau â ν l Һ¬пǥ sè k̟Һ¡ເ 0, z õ Ư z0 D0 ê = (−1) ƚ!νt+1 + (−1) νaƚ−1(zt 0) + O (z − z )t−1 (z − z ) (z −ay z ) h Σ sỹ c z c ψ = + O (z − z t , +ọhc,ọtchc 23doƚ ƚ+1 t+1 t+2 ọ ) (z − z (z − z o ) ) 0 h (−1) (ƚ + 1)!ν (−1) ƚ!a (z ) hc J ƚ−1 oca hạọi căzn ƚ d0 â k̟Һi z → z0, ƚa ເâ ƚ−1 cna iđ ov nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu ƚ +1 − aƚ−1 + 0(z − z ) =− z −z ψJ t ψ−1 aƚ−1 ƚ +2 ψ ƚ +1 JJ =− − z −z + 0(z − z0) ψ J D0 â ƚa ƚҺ§ɣ M (z0) = 0, ѵ M ເâ k̟Һæпǥ iºm ьëi q = Ôi z0 Tiá e0 a iÊ sỷ Q ≤ ƚ − sa0 ເҺ0 aƚ−1 ≡ 0, ѵ q = ƚ − − Q K̟Һi â z Ư z0, a õ iu diạ (1)! + O ψ − = (z − z )t+1 (z − z )Q+1 Σ ψ = + O (z − z Q+2 , (zƚ+1− z )t+2 0) (−1) (ƚ + 1)!ν J 33 d0 â k̟Һi z → z0, ƚa ເâ ƚ +1 ψJ = − ψ−1 z −z )q ψ ), JJ =− ƚ +2 z −z )q) ψJ + 0((z − z0 + 0((z − z0 (2.28) D0 â M õ ỹ im ởi ẵ Đ q Ôi z0 ເuèi ເὸпǥ, ǥi£ sû Q = −1 (ƚὺເ ψ = f (ƚ)), q = ƚ, k̟Һi â z → z0, ƚa ເâ ψ − 1= (−1)ƚ ƚ!ν (z − z0 )ƚ+1 J + 0(1), ψ = (−1)ƚ+1 (ƚ + 1)!ν (z z0 )+2 + 0(1) D0 ê ữ ỹ ữ (2.28), a õ ữủ iÃu Ư mi mi Tiá e0 a mi lỵ 2.3.1- Ư II Ǥi£ sû M ÷đເ х¡ເ àпҺ пҺ÷ ƚг0пǥ Ьê · 2.3.3 sa0 ເҺ0 M ƒ≡ K̟Һi â ƚҺe0 à Ô0 m L0aimi, a õ M (, ψ) = S(г, ψ) = S(г, f ) y s ã dử à 2.3.3 lỵc ເὶczь£п ƚҺὺ пҺ§ƚ, ƚa ເâ qП1(г, f ) ≤ П (г, h ,ọtc ọhc hc ọc 123 o h oca hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ ƚ−1 lu ) + S(г, f ) ≤ T (г, M ) + S(г, f ) ≤ П (г, M ) + S(г, f ) 2a Tuɣ пҺi¶п, ເ¡ເ ເüເ iºm ເõa M + ເҺ¿ ເâ ƚҺº l ເüເ iºm ὶп ѵ ƚ х£ɣ a Ôi: ỹ im ừa as, ỹ im ởi ừa f, 1− iºm ເõa ψ, k̟Һæпǥ iºm ເõa ψ J ữủ ẵ (, ), l k ổ im ừa f ởi ẵ Đ + ẳ Ă kổ im ừa Jf ởi ẵ Đ + ữủ ẵ lƯ M (+2)(, 1/f ) − п(ƚ+1)(г, 1/f ), d0 â ƚa ເâ qП1 (г, f ) ≤ П 2(г, f ) + П (г, ) + П ∗ (г, ψ−1 П (ƚ+2)(г, ) − П (ƚ+1)(г, f ) ψ ) + S(г, f ) f D0 â k̟¸ƚ Һđρ ѵỵi (2.26), ƚa ເâ 1 qП (г, f ) ≤ П (ƚ+2)(г, ) + 2П (г, ) + S(г, f ) f ψ −1 ເuèi ເὸпǥ, k̟¸ƚ Һñρ ເ¡ເ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.24), (2.25) ѵ (2.26), ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ 34 ƚҺὺເ (2.19) Ǥi£ sû г¬пǥ П1(г, f ) ƒ= S(г, f ), k̟Һi â ỗ Ôi z0 l ỹ im Tiá e0 a ƚг÷ίпǥ Һđρ M ≡ Х²ƚ β ÷đເ х¡ເ àпҺ ừa f , ỗ Ôi ắa ເҺὺa z0 õ пҺä sa0 ເҺ0 ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ Һ m as l ǥi£i ƚ½ເҺ ƚг0пǥ Г K̟Һi â ເҺόпǥ ƚa ເâ ƚҺº х¡ເ àпҺ Һ m ǥi£i ƚ½ເҺ Һ пҺ÷ mëƚ пҺ¡пҺ ƚгà ƚa ເõaເâҺ m (1 − ψ)−1/(ƚ+1) , ợi ỹ im Ôi z0 ẳ M ≡ 0,ὶпп¶п (ƚ + 1) ψ JJ ψJ − (ƚ + 2) ψ ψ−1 = 2aƚ−1 ƚ Tø àпҺ ắa ừa , a Đ l iằm ừa ữ ẳ (2.19) a, a õ = Lƚ(f ) = − ƚ+1 Һ Ti¸ρ ƚҺe0 a Ă 0Ă ỷ uá ẵ d d J = ( + β) ( + ƚβ), K̟ = Lƚ − J dz dz Ta ເâ ƚҺº ắa m , Ơ ẳ ả ữ sau Ǥ= s c z hạ oc J c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n J ƚ−1 Lu uậLnu nồvăá L ậĐ u l K̟Һi â ƚҺe0 (2.19), ƚa ເâ d d0 â J (Ǥ) = + ƚβ dz − y (−1)ƚ Һƚ+1ỹ ha− ƚ!Һ(Һ )ƚ Σ (Һ ) (Ǥ) = d Һƚ+1 dҺ Һƚ+1 − (−1)ƚ ƚ!Һ Σ , = Tiá e0 a Ư Ă Ã sau: · 2.3.4 T0¡п ƚû K̟ = Lƚ − J ≡ 0, ѵ Lƚ =J ѵ П1(г, f ) ƒ= S(г, f ), d0 õ ỗ Ôi z0 sa0 K (f ) õ ỹ im Ôi ọ mi Ǥi£ sû K̟ ƒ≡ K̟Һi â, ѵ¼ Һ» sè ເõa K̟ l ເ¡ເ Һ m õ z0, k̟Һi z → z0, ƚa ເâ ьiºu di¹п ເ f (z) = z −z + 0(1), Һ(z) = ν(z − z0 ) +0((z − z0 )2) 35 D0 â s0 s¡пҺ ѵỵi k̟Һai ƚгiºп Lauгeпƚ ເõa J (Ǥ), ƚa ເâ (−1)ƚ+1 ເ= ƚ!νƚ+1 Tuɣ пҺi¶п k̟Һi z → z0, ເ (−1)ƚ+1 Ǥ(z) = = z − z0 + 0(1), ƚ!νƚ+1(z − z0) d0 â Ǥ − f ເҺ¿пҺ Һ¼пҺ Ôi z0 Ta õ K (f ) = L(f ) − J (f ) = ψ − J (f ) = J (Ǥ − f ), ƚø â ƚa ເâ z0 l ເüເ iºm ὶп ເõa K̟ (f ) ¥ɣ l iÃu ổ lỵ D0 õ J ( f ) ẳ Ôi z0 D0 õ K à 2.3.5 ợi Ă iÊ iá lỵ 2.3.1, ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.18) όпǥ Һ0°ເ Һ l Һ m Ơ ẳ ả m s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺὺпǥ miпҺ °ƚ Ѵ = Һƚ+1 ѵ Σ Σ d + 2β d ω= dz + ƚβ f, dz ƚг0пǥ â ω = f п¸u dƚ = Гã г пǥ ƚa ເâ + β Σω = ψ = − dz Һƚ+1 =1 , d0 õ l Ơ ẳ ả m Tẵ Ơ ả , a õ ( + 1)(ƚѴ + 1) ເ = , ƚѴ J ҺJ õ l số áu = 0, ki õ l m Ơ ẳ = ả m áu = 0, a Đ ເâ k̟Һæпǥ iºm ὶп, ѵ d0 â M (г, 1/(ω)) = S(г, f ) Sû döпǥ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.22), ƚa ເâ 1 ω m(г, ) ≤ m(г, ) + m(г, ) = S(г, f ) f ω f TҺe0 lỵ Ê Đ, a õ T (г, f ) ≤ П (г, ) + S(г, f ) f 36 Sû döпǥ ¯пǥ ƚҺὺເ = f s, ƚa ເâ ω f (s) , ѵ ເ¡ເ ເüເ iºm ເõa k̟Һỉпǥ ѵ÷đƚ qu¡ ω f f 1 T (г, f ) ≤ П (г, f) + S(г, f ) ≤ П (ƚ)(г, )f+ S(г, f ) (2.29) ữ ê a u ữủ Đ mÔ (2.18) Tiá e0 a mi lỵ 2.3.1-ρҺ¦п III ເҺόпǥ ƚa ເâ ƚҺº ǥi£ sû Һ l Ơ ẳ (ữủ lÔi Đ (2.18)) à ả), ẵ Ơ (2.22) sỷ dử à 2.3.4, ỗ Ôi a () ьªເ k̟Һỉпǥ qu¡ ƚ − sa0 ເҺ0 f = Һƚ+1 +ҺΡ (Һ) ƚ!Һ(Һ − −( 1)ƚ J = )ƚ (Һ − ເ1) (Һ − ເƚ+1) , ƚ!Һ(Һ J )ƚ ƚг0пǥ â ƚ½ເҺ ເ¡ເ ເs ເâ mỉ uп П¸u ເ¡ເ ເs l ƚгὸпǥ пҺau, k̟Һi â f y dÔ (2.20), d0 õ kổ mĐc sẵ quĂ a 0i = 2, z ƚ!f tch oc d ,ọJ ҺҺ ọhc ọc 23 aho hc ƚ+1 Ɣ oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu = Һ J Σ, Һ − ເs (Һ − ເ )(Һ − ເ2) s=3 d0 â = ѵ ҺJ Σ , Σ ƚ+1 Ɣ + ѵ2 Һ J f Һ − ເ1 Һ J Һ − ເ2 (2.30) s=3 Һ − ເs ƚг0пǥ â s l Ă số Ká ủ ợi (2.22), a ເâ m(г, ) = S(г, Һ) = S(г, ψ) = S(г, f ) f Tø (2.30), ƚҺe0 àпҺ пǥҺ¾a Һ, ƚa ƚҺ§ɣ f k̟Һỉпǥ ƚҺº ເâ k̟Һỉпǥ iºm ьëi lợ D0 õ a õ ữủ Đ ƚҺὺເ (2.29) ເuèi ເὸпǥ, ǥi£ sû aƚ−1 ≡ 0, ѵ (2.19) όпǥ, f ÷đເ х¡ເ àпҺ ƚг0пǥ (2.20) K̟Һi â l m uá ẵ ẳ = 0, d0 â f l Һ m Һύu ƚ ѵỵi f (∞) = ∞ K̟Һi â ¡ρ JJ Һ ҺJ döпǥ àпҺ lỵ Ê Đ, a õ T (, f ) = П (г, ) +0(1) 37 f Ѵ¼ f ເҺ¿ ເâ mëƚ k̟Һỉпǥ iºm ьëi ƚ + 1, d0 â (2.18) όпǥ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu 38 ເҺ÷ὶпǥ à kổ im ừa a Ô0 m ừa mở m Ơ ẳ y T0 ữ ổi ẳ mở số ká qu£ ເõa W Ьeгǥsỹ z ạc oc tch ѵ· weileг ѵ A Eгemeпk̟0 ƚг0пǥoọ[2] ọ , hc ọc 23d k̟Һæпǥ iºm ເõa mëƚ sè a ƚҺὺເ h hc oca i zn cna ih ndovc Ô0 m iÊ iá ừavnnv ama mở số dÔ m ເõa ăđn ậ3 ănv ,1lu2 n u n v ậ n L ậ Lu uậLnu nồvăá ເҺόпǥ L ậĐ lu 3.1 Ká quÊ ừa W eweile A Eemek0 Tữợ ổi ẳ mở số ắa sau: ắa 3.1.1 f l mở m Ơ ẳ, f l m ữủ ừa õ ợi a ∈ ເ ∗ ѵ måi г > 0, ເҺåп mëƚ ƚҺ пҺ ρҺ¦п U (г) ƚг0пǥ f −1 (Ь(a, г)) sa0 ເҺ0 ѵỵi måi г1 < г2 ƚa ເâ U (г1 ) ⊂ U (г2 ) K̟Һi â ƚa ເâ Һai k̟Һ£ п«пǥ sau ເâ ƚҺº х£ɣ гa (i) >0U () = {z0}, ợi z0 áu a ∈ ເ, fJ(z0) 0, Һ0°ເ п¸u a = ∞ ѵ z l ເüເ iºm Jὶп ເõa f, k̟Һi â z ữủ ồi l im 0 ữủ lÔi, áu a ∈ ເ ѵ f (z0 ) = 0, Һ0°ເ z0 l ເüເ iºm ьëi ເõa f , ƚҺ÷ίпǥ k̟Һi â z0 ữủ ồi l im ợi Ô a ữủ ồi l iĂ ợi Ô >0fU1() , õki õ aữủ õiồi U () Ăký mở Ul Ư kk̟ ̟ ýý(ii) dà , k̟=Һik∅̟ Һi l l¥п dà áu dừa ữ ê, õU a()ữủ ồi l iĂ ê iằm ê, ắa l mở ỗ lê Ôi ữ ເ0пǥ Γ ∈ ເ, ƚi¸п гa ∞, sa0 ເҺ0 f (z) → a k̟Һi z → ∞ ÷ίпǥ ເ0пǥ 39 ỏ ữủ ồi l ữ iằm ê z Ѵ½ −1 3.1.2 ເҺ0 Һ m f (z) = z eJ , k̟Һi â х²ƚ пǥҺàເҺ £пҺ ເõa Ь(0, г) lເõafdö (Ь(0, г)) Гã г пǥ f (0) = → D0 ∞â, fz(z) = 0→ l 0, iºm f Tu iả dồ e0 ez =f0,(0) ki= |z| d0 õợiz Ô =0 ụ l mở im ký d ừa f ắa 3.1.3 Mở lƠ ê ký d ả a ữủ ồi l die áu ỗ Ôi > sa0 ເҺ0 f (z) =ƒ a ѵỵi måi z ∈ U (г) Ѵ½ dư f = ez , a = lƠ ê ký d ừa im a = l die Mở lƠ ê ký d ữủ ồi l idie áu õ kổ die, ắa l ợi mồi > 0, ỗ Ôi mở im z U (г) sa0 ເҺ0 f (z) = a Гã г пǥ f Êi ê iĂ a ổ Ô lƯ U (), áu ữủ lÔi, a õ ẳm ữủ mở lƠ ê U () ừa a sa0 kổ ເâ iºm z ƚг0пǥ U (δ) m f (z) = a, iÃu mƠu uă ợi ắa im k̟ý dà iпdiгeເƚ Mëƚ ѵ½ dư ເõa iºm k̟ý dà dÔ l im a = siz y ເõa Һ m sỹ z ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Ѵỵi ເ¡ເ àпҺ ắa ữ ả, W eweile A Eemek0  miпҺ ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ sau M»пҺ · 3.1.4 ເҺ0 f l m Ơ ẳ ợi ê u Ô Ki â måi iºm k̟ ý ເõa f −1 ƚг¶п a ∈ ເ∗ l iºm ƚư ເõa ເ¡ເ ເ¡ເ iºm ƚỵi Ô f (zs) a Mằ à 3.1.5 f l m Ơ ẳ ợi ê u Ô áu f õ ổ Ô k ổ im ởi, ẳ f J ê mồi iĂ u Ô kĂ k ổ ổ Ô lƯ 3.2 Kổ im ừa a Ô0 m (fп)(ƚ) M»пҺ · 3.2.1 ເҺ0 f l Һ m Ơ ẳ siảu iằ ả , () , l Ă số ổ sa0Ô lƯ > ƚ K̟Һi â (f ) пҺªп måi ǥi¡ ƚгà u Ôuả kĂ kổ Sỷ dử Mằ à , a mi ữủ mở số ká quÊ sau 40 d÷ὶпǥ K̟Һi â f m f J ѵ f (m)f (m+1) ê mồi iĂ u Ô kĂ kuả ổ ằ ổ quÊ Ô 3.2.2 lƯ f l m Ơ ẳ siảu iằ m l số mi ã dử Mằ à 3.2.1 ợi = 1, п = m + 1, ƚa ƚҺu ÷đເ f m f J a õ ổ Ô k ổ im ợi a l số kĂ Ơ l ǥi£ ƚҺuɣ¸ƚ ເõa Һaɣmaп(хem [4]) Ti¸ρ ƚҺe0 ƚa ¡ρ dưпǥ M»пҺ · 3.2.1 ѵỵi ƚ = 1, п = 2, f = f (m), ƚa ເâ f (m)f (m+1) − õ ổ Ô kổ im ợi mồi số ь ƒ= Һ» qu£m 3.2.3 ເҺ0 f l Һ m Ơ ẳ siảu iằ ợi ê u Ô Ki õ f J + f õ ổ Ô k ổ im ki m mi Tữợ á, ƚa °ƚ ǥ = , k̟Һi â ьði M»пҺ · 3.2.1, (ǥ m−1 )J f пҺªп måi ǥi¡ ƚгà Һύu Ô kĂ ổ Ô lƯ D0 õ ( m1 )J = (f 1−m )J = (1 − m)f −m f J = a Һaɣ af m + (m − 1)f J õ ổ Ô k ổ im y M»пҺ · 3.2.4 ເҺ0 f l Һ m ρҺ¥п z ẳ siảu iằ ả sa0 f c oc tch sỹ d ƚ hc,ọ 23 [ ] +aocah1oọhạọi hcọc.ăczn 1K 2nvăcn nạiđ ndov ̟ Һi â (f 2)(ƚ) ê mồi iĂ u õ kổ im ởi ẵ ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 пҺ§ƚ u n L nuv ỏn v Ô kĂ kổ ổ ÔLuLulLulƯ n mi Tữợ a iÊ sỷ f õ u Ô kổ im, ki õ f ụ lỵõ2.2.3, u ằ ÔquÊ kổ lỵ lỹa ama( 2.2.4),im a õTứ (f 2)()õ e0 a õ ổ Ô kổ (ƚ) M»пҺ · 3.1.5, ƚҺ¼ (f ) − a õ ổ Ô kổ im ợi mồi số ợi måi sè ρҺὺເ a ƒ= П¸u f ເâ ѵỉ Ô kổ im, ki õ e0im a = 3.3 Mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ ѵ· k̟Һỉпǥ iºm ເõa a ƚҺὺເ ¤0 Һ m ff J Tг0пǥ ρҺ¦п п ɣ, ເҺόпǥ ổi ẳ ká quÊ ừa K W u (em [5]) Tữợ a Ư ká quÊ sau ừa Q D ZҺaпǥ (хem [6]) 41 M»пҺ · 3.3.1 ເҺ0 f l m Ơ ẳ siảu iằ ả , a l Һ m õ пҺä ເõa f K̟Һi â ƚa ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau T (г, f ) < 9 П (г, f ) + П (г, 2 f f J − a ) + S(г, f ) (3.1) Һ» qu£ 3.3.2 ເҺ0 f l m Ơ ẳ ả , a l Һ m õ пҺä ເõa f K̟Һi â, п¸u Θ(∞, f ) ≥ ƚҺ¼ f f J − a õ ổ Ô k ổ im mi Tứ (3.1), ƚa ເâ П (г, f ) − T (г, f ) П (г, a, f f J ) < − 2 T (г, f ) D0 â ເҺ0 г → ∞, õ lỵп, l§ɣ lim suρ, ƚa ເâ ay П (г, a, h sỹ Θ(∞, f ) − < f f J) c z c 9,ọtch ọhc hc ọc 123 o T (г, f ) h oca ọi zn cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu ả a su a, áu f f J a õ u Ô k ổ im, ki õ (г, a, f f J ) → T (г, f ) 7 0, k̟²0 ƚҺe0 Θ(∞, f ) < ê (, f ) ẳ f f J a õ ổ Ô k ổ 9 im à 3.3.3 f l m Ơ ẳ k̟Һ¡ເ Һ¬пǥ, ϕ = ƒ≡ l Һ m a Ơ ẳ ọ ừa f sa0 ỗ Ôi uả ọa m f () à, õ l số u Ô, , ເ l Һai sè ρҺὺເ ρҺ¥п ьi»ƚ K̟Һi â ƚa ເâ 1 T (г, f ) < П (г, ) + П (г, (ƚ) ) + П (г, (ƚ) ) − П (г, f ) f ϕf1 − ь ϕf − ເ − П (г, (ϕf (ƚ) )J (3.2) ) + S(, f ) mi Tữợ ƚa ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ sau m(г, ϕf f (ƚ) ) ≤ m(г, ϕf (ƚ) ) + m(г, f ) 42 = m(г, ϕf (ƚ) sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ) + S(г, f ), 43 K̟Һi â ¡ρ dử lỵ Ê Đ a õ 1 ) = T (г, ϕf ) − m(г, ) + 0(1), ϕf ϕf 1 m(г, ) = T (г, ϕf (ƚ)) − m(г, ) + 0(1) m(г, D0 â ƚa ເâ ϕf (ƚ) ϕf (ƚ) 1 T (г, ϕf ) ≤ П (г, ) + T (г, ϕf (ƚ)) − П (г, ) + S(г, f ) f f () ã dử lỵ Ê Һai, ƚa ເâ T (г, ϕf (ƚ)) ≤ П (г, ) + П (г, ϕf (ƚ) (3.3) 1 ) + П (г, ) (ƚ) (ƚ) ϕf (ƚ) − ь ϕf − ເ (ƚ) ) (3.4) − П1(г, ϕf ) + S(г, ϕf Ǥi£ sû г¬пǥ f ເâ ເüເ im ởi Ôi z0, ki õ õ ữủ ẵ ƚ +ρ − ≥ ρ (ƚ) ƚг0пǥ ເâ П1 (г, ϕf ) = П (г, ay h (ƚ) (ƚ) J ) + 2П sỹ (г, ϕf ) − П (г, (ϕf ) ) D0 â ƚa (t) (ϕf c z c h ,ọtc 23 ọfhc hc)ọc+ o h П (г, ϕf (ƚ)) П (г, П (г, ) + S(г, f ) a i ọ n c ) nao iđhạ vcăz c ndo ă (ƚ) J ≥ vnănv nvăđn u2ậ3 (ϕf ) l ậ J nu ƚa D0 â k̟¸ƚ Һđρ (3.3)-(3.4) ữủ Đ Ư mi ,õ uL ậLnuậ văán L u nồ L ậĐ lu Sû döпǥ Ă ká quÊ ả, a õ lỵ sau lỵ 3.3.4 f l m Ơ ẳ si¶u ѵi»ƚ ѵ a ƒ≡ l Һ m õ ọ ừa f Ki õ ẵ Đ f f J − a ѵ f f J + a ເâ ѵæ Ô k ổ im mi = a , F = f , k̟ = 1, ь = 1, ເ = −1 Khi â ¡p döng Ьê · 3.3.3 ເҺ0 Һ m F , ƚa ເâ2 ) + П (г, 1 ) + П (г, ϕf f J − )2П (г, f ) ϕf f J + 1 − П (г, ) + S(г, f ) (ϕf f J )J Ta ເâ ƚҺº ǥi£ sû Θ(∞ , f ) < , k̟Һi â k̟Һi г õ lỵп ƚa ເâ 1 ) П (г, ) + П (г, ϕf f J + ϕf f J − > 0, 2T (г, f ) 2T (г, f ) < 2П (, f 44 d0 õ ẵ Đ f f J − a Һ0°ເ f f J + a ເâ ѵæ Ô k ổ im s y c cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu 45 Ká luê Luê ô ẳ mở số ká quÊ Ã Ơ ố iĂ ừa Ă m Ơ ẳ Ô0 m Ă ká quÊ ẵ ừa luê ô ỗm õ: ữ Lỵ uá ealia sỹ Ơ ố iĂ ừa m Ơ ẳ ữ à lỵ lỹa ama ữ à kổ im ừa a h Ô0 m ừa mở m Ơ ay s c z oc ẳ tch hc,ọ c 23d hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu ã ữ I, ổi ẳ qua ả lỵ uá ealia: lỵ Ê Đ, lỵ Ê Qua ằ số kuá, lỵ ôm im ã ữ II, ổi ẳ Ă ká quÊ ừa lỵ lỹa ama m ừa õ [7], [1] ã ữ III, ổi ẳ mëƚ sè k̟¸ƚ qu£ ѵ· k̟Һỉпǥ iºm ເõa mëƚ sè a Ô0 m [2], [5], [6], ữợ iả u iá e0 ừa luê ô l iá iả u à Ơ ố iĂ ừa Ă m Ơ ẳ Ô0 m 46 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] Ьeгǥweileг W., Laпǥleɣ J K̟ (2005), Mulƚiρliເiƚes iп Һaɣ- maп's Alƚeгпaƚiѵe , J Ausƚгaliaп MaƚҺ S0ເ, 78, ρρ 37-57 [2] Ьeгǥweileг W., Eгeпmeпk̟0 A (1995), 0п ƚҺe siпǥulaгiƚies 0f ƚҺe iпѵeгse ƚ0 a meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs 0f fiпiƚe 0гdeг , Гeѵisƚa MaƚҺemaƚiເa Iьeг0ameгiເaпa, 11, ρρ 355-373 y [3] Һaɣmaп W K̟ (1964), Meг0m0гρҺiເ Fuпເƚi0пs, ເlaгeпd0п Ρгess, z ạc oc tch d ọ , hc c 23 0хf0гd hoọ hc ọ oca hạọi ăzn sỹ cna iđ ovc nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu [4] Һaɣmaп W K̟ (1967), ГeseaгເҺ Ρг0ьlem 0f TҺe0гɣ, AƚҺl0пe Ρгess 0f Uпiѵ 0f L0пd0п, L0пd0п [5] Ɣu K̟ W (2001), A П0ƚe 0п ƚҺe Ρг0duເƚ 0f Meг0m0гρҺiເ Fuпເƚi0пs aпd iƚs Deгiѵaƚiѵes , K̟0dai MaƚҺemaƚiເal J0uгпal, 24, ρρ 339- 343 [6] ZҺaпǥ Q D (1994), 0п ƚҺe ѵalue disƚгiьuƚi0п 0f ϕ(z)f (z)fJ(z) , Aເƚa MaƚҺ Siпiເa, 37, ρρ 91- 97 (iп ເҺiпese) [7] Һaɣmaп W K̟ (1959), Ρiເaгd ѵalue 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs aпd ƚҺeiг deгiѵaƚiѵes , Aпп 0f MaƚҺ, 70, ρρ 9-42