(Luận văn) bài toán luồng lớn nhất và luồng chi phí nhỏ nhất trên mạng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ CÚC lu an n va BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ p ie gh tn to LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ CÚC lu an BÀI TỐN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ va n LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG p ie gh tn to d oa nl w an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 z at nh oi lm ul Mã số: NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z m co l gm @ GS.TS TRẦN VŨ THIỆU an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si i Mục lục lu an n va Danh sách kí hiệu iii Danh sách hình vẽ v Lời nói đầu tn to 1.1 p ie gh Chương Kiến thức chuẩn bị 4 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.1.2 Đồ thị đẳng cấu 1.1.3 Đồ thị liên thông 1.1.4 Đường chu trình đồ thị 1.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt d oa nl w Khái niệm đồ thị nf va an lu lm ul Mạng luồng 1.3 Một số toán tối ưu đồ thị 13 1.3.1 Ghép cặp, phủ cạnh, phủ đỉnh, tập ổn định clique 13 1.3.2 Bài toán phủ đỉnh, phủ cạnh ghép cặp 14 Kết luận Chương 15 z m Nội dung toán 17 2.1.1 17 an Lu 2.1 12 17 co Chương Bài toán luồng lớn mạng l gm @ 1.4 z at nh oi 1.2 Mạng luồng n va ac th si ii 2.1.2 Luồng tương thích lớn 19 2.1.3 Bài toán luồng lớn mạng 19 2.1.4 Tiêu chuẩn tối ưu 20 2.2 Thuật tốn tìm luồng lớn 22 2.3 Luồng lớn thiết diện nhỏ 25 2.3.1 Khả mạng 25 2.3.2 Thiết diện nhỏ 27 Kết luận Chương 29 2.4 lu an Chương Bài tốn luồng chi phí nhỏ mạng 30 n va Phát biểu toán 30 3.2 Tiêu chuẩn tối ưu 31 3.3 Thuật tốn thu hẹp tắc 35 Trường hợp tổng quát (d(u) 6= +∞) 40 ie gh tn to 3.1 p 3.4 Kết luận Chương 41 42 d Kết luận oa nl w 3.5 an lu 43 nf va Tài liệu tham khảo z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách kí hiệu G = G(V, E) đồ thị vô hướng với tập đỉnh V , tập cạnh E G = (A,U, d(u)) mạng với tập đỉnh A, tập cung U, khả lu cung d(u) an n va luồng mạng u = (i, j) cạnh (cung) từ đỉnh i đến đỉnh j c(u), di j khả thông qua cạnh (cung) u = (i, j) khả thông qua cạnh (cung) u = (i, j) x(u) cường độ luồng cạnh (cung) u Kn đồ thị hai phần đầy đủ n đỉnh ie d(u), di j p gh tn to X = {x(u)} nl w đồ thị hai phần đầy đủ, phần m n đỉnh d oa Km,n yêu cầu đỉnh i (đỉnh i trạm phát pi < 0, thông lượng luồng đỉnh i lm ul αi = αi (X) đỉnh i trạm thu pi > 0) nf va an lu pi tập hợp cung tới đỉnh i Ui+ tập hợp cung khỏi đỉnh i σ (X) trị số luồng X f (X) hàm cước phí luồng X µ dây chuyền hay chu trình mạng z at nh oi Ui− z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Danh sách hình vẽ n va 1.2 Sơ đồ mạch điện 1.3 Đồ thị đại diện 1.4 Cạnh kép đa đồ thị 1.5 Khuyên đa đồ thị 1.6 Đồ thị có hướng 1.7 Bậc đỉnh đồ thị 1.8 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 1.9 Đồ thị G1 , G2 hợp G1 ∪ G2 1.10 Đồ thị không liên thông 1.11 Ví dụ rừng 10 1.12 Đồ thị đầy đủ K4 K5 11 1.13 Đồ thị hai phần 11 1.14 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 , K2,3 , K3,3 , K4,3 11 ie gh tn to w an Sơ đồ khu phố p lu 1.1 d oa nl nf va an lu z at nh oi lm ul z @ l gm 1.15 Phủ đỉnh, phủ cạnh ghép cặp 15 Thông lượng đỉnh (αi = 18 − = 7) 2.2 Dây chuyền chưa bão hòa 20 2.3 Luồng lớn mạng dạng 25 m co 2.1 18 an Lu n va ac th si v 3.1 Ví dụ 3.3.6: yêu cầu trạm, cước phí cung 39 3.2 Rút gọn đường nhánh 39 3.3 Luồng tối ưu: x(u) ghi cung u 39 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạch điện hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động lu cụ thể khái niệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị (graph) an va n Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tn to tố đỉnh cạnh với mối quan hệ chúng Nếu cạnh ie gh đồ thị có xét tới di chuyển lượng vật chất (nước, xăng dầu, hàng hóa ) p đồ thị gọi mạng (network) Đồ thị mạng mơ hình tốn học nl w cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng d oa Lý thuyết đồ thị mạng đề cập tới nhiều tốn đa dạng có ý nghĩa thực an lu tiễn thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu nf va quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng lm ul sống thường ngày nói riêng Trong số đáng ý hai tốn sau đây: toán luồng lớn toán luồng chi phí nhỏ mạng z at nh oi Bài tốn thứ tìm cách vận chuyển nhiều hàng từ (hay nhiều) đỉnh nguồn tới (hay nhiều) đỉnh đích mạng cho trước Bài toán z gm @ thứ hai thực chất toán vận tải mạng vận chuyển hàng hóa từ điểm cung cấp tới điểm tiêu thụ với chi phí nhỏ Các tốn l m Hồng Tụy có lý thuyết đẹp luồng mạng co nhiều nhà toán học tiếng quan tâm, nghiên cứu Ford-Fulkerson, an Lu Luận văn “Luồng lớn luồng chi phí nhỏ mạng” có mục đích n va ac th si tìm hiểu trình bày hai tốn nói thuật tốn giải hai tốn Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo có [1]-[5] Nội dung luận văn gồm ba chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị nhắc lại số khái niêm đồ thị: đỉnh cạnh, đường chu trình, đồ thị đặc biệt (rừng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần), khái niệm mạng luồng mạng Giới thiệu số tốn tối ưu đồ thị: tìm phủ đỉnh, phủ cạnh nhỏ nhất, tìm ghép cặp lớn lu an va • Chương Bài tốn luồng lớn mạng trình bày nội dung tốn n luồng lớn mạng, dạng mở rộng toán luồn lớn to thuật tốn tìm luồng lớn mạng Cuối chương giới thiệu định lý quan trọng cho biết trị số luồng lớn khả thiết diện p ie gh tn mạng giao thông Ford -Fulkerson, nêu điều kiện cần đủ để có luồng lớn oa nl w nhỏ d • Chương Bài tốn luồng chi phí nhỏ mạng đề cập tới toán lu nf va an vận tải mạng trình bày "thuật tốn thu hẹp tắc" giải toán lm ul Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái z at nh oi Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học & Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người z gm @ đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn l m co Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại an Lu học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu n va ac th si Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể Lớp B, cao học Tốn khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Lời cuối, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 lu an Tác giả n va gh tn to p ie Hoàng Thị Cúc d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25 lu an Hình 2.3: Luồng lớn mạng dạng n va gh tn to tra dễ dàng tiêu chuẩn Định lý 2.1.3 p ie 2.3 Luồng lớn thiết diện nhỏ Khả mạng d oa nl w 2.3.1 an lu Cho mạng G = (A,U, d(u)) hệ yêu cầu {pi }, trị số luồng nf va tương thích G gọi khả mạng hệ yêu cầu cho Trong thực tế, nhiều nảy vấn đề sau đây: làm tăng khả mạng lm ul cách thêm cung mới, hay cách tăng khả thông qua d(u) z at nh oi cung khơng? Để trả lời câu hỏi đó, ta cần đưa vào số khái niệm Cho X = {x(u)} z luồng tương thích lớn Ta nói đỉnh i G thừa trạm @ gm phát chưa thỏa mãn hay có dây chuyền chưa bão hòa từ trạm phát co l chưa thỏa mãn đến nó; thiếu, trạm thu chưa thỏa mãn hay có m dây chuyền chưa bão hịa từ đến trạm thu chưa thỏa mãn; đủ an Lu trường hợp khác Do đặc trưng luồng tương thích lớn (Định lý 2.1.3), ta thấy tính thừa, thiếu hay đủ đỉnh hoàn toàn xác định Hơn n va ac th si 26 chứng minh tính thừa, thiếu, đủ khơng phụ thuộc luồng tương thích lớn nhất, mà hoàn toàn xác định cho biết mạng G = (A,U, d(u)) yêu cầu pi Để cho gọn, ta qui ước nói đỉnh thừa “mạnh” đỉnh thiếu hay đủ, đỉnh đủ “mạnh” đỉnh thiếu Bổ đề 2.3.1 (1) Mọi trạm thu thừa hay đủ, trạm phát thiếu hay đủ, thỏa mãn (2) Nếu u cung nối đỉnh với đỉnh mạnh x(u) = lu Nếu u cung nối đỉnh với đỉnh yếu x(u) = d(u) an n va Chứng minh Kết luận (1) hoàn toàn rõ ràng Để chứng minh điểm (2), ta xét tn to cung u = (i, j) với chẳng hạn i thừa hay đủ, j thiếu Theo định nghĩa, có dây gh chuyền chưa bão hịa µ từ j tới trạm thu chưa thỏa mãn k (µ thu lại p ie đỉnh) Nễu x(u) < d(u) cung u tạo nên với µ dây chuyền chưa bão oa nl w hòa từ i tới k, i đỉnh thiếu, trái với giả thiết Vậy phải có x(u) = d(u) d Định lý sau trả lời câu hỏi nêu lu nf va an Định lí 2.3.2 Giả sử ta thay d(u) cung u = (i, j) d (u) > d(u) z at nh oi lm ul (1) Nếu i thừa, j thiếu khả mạng tăng lên; (2) Nếu i đủ, j thiếu khả mạng không đổi, mạng đỉnh i trở thành thiếu, đỉnh thiếu thiếu, đỉnh thừa thừa z gm @ Chứng minh (1) Nếu i thừa, j thiếu theo định nghĩa có dây chuyền chưa l bão hòa từ trạm phát chưa thỏa mãn tới i, dây chuyền chưa bão hòa j m co tới trạm thu chưa thỏa mãn Khi ta thay d(u) = d (u) x(u) < d (u) an Lu u tạo nên với hai dây chuyền dây chuyền chưa bão hòa từ trạm phát chưa thỏa mãn tới trạm thu chưa thỏa mãn Như vậy, X khơng cịn luồng n va tương thích lớn nữa, tức khả mạng tăng lên ac th si 27 (2) Nếu i đủ khơng có dây chuyền chưa bão hòa từ trạm phát chưa thỏa mãn tới i, dù ta có sửa d(u) tạo dây chuyền chưa bão hòa từ trạm phát chưa thỏa mãn tới trạm thu chưa thỏa mãn Vậy X luồng tương thích lớn đỉnh thiếu thiếu, đỉnh thừa thừa Mặt khác, j thiếu, nên có dây chuyền chưa bão hòa từ j tới trạm thu chưa thỏa mãn, ta thay d(u) d (u) dây chuyền tạo nên với u dây chuyền chưa bão hòa từ i tới trạm thu chưa thỏa mãn, i trở thành thiếu định lý chứng minh xong lu Qui tắc thực hành Trên thực tế, muốn xác định đỉnh thừa, thiếu, đủ an n va tiến hành sau: đánh dấu (+) tất trạm phát chưa thỏa mãn, đánh dấu tn to (−) tất trạm thu chưa thỏa mãn Khi đỉnh i đánh dấu (+) gh đánh dấu (+) cho đỉnh j cho: (i, j) ∈ U, x(i, j) < d(i, j), ( j, i) ∈ U, p ie x( j, i) > Khi đỉnh i đánh dấu (−) đánh dấu (−) cho đỉnh w j cho: ( j, i) ∈ U, x( j, i) < d( j, i), (i, j) ∈ U, x(i, j) > Cho đến oa nl tiếp tục đỉnh đánh dấu (+) đỉnh thừa, dấu (−) d đỉnh thiếu, đỉnh khác đỉnh đủ an lu Thiết diện nhỏ nf va 2.3.2 lm ul Cho tập hợp S ⊂ A gọn ta ký hiệu: z at nh oi / S, j ∈ S}, US− = {u = (i, j) : i ∈ z US+ = {u = (i, j) : i ∈ S, j ∈ / S}, pi , i∈S,pi 0 p ie i∈S1 ,αi >0 Ta thấy σ2 tổng số hàng nhận trạm thu S2 nhỏ tổng số oa nl w hàng phát từ trạm phát S2 cộng với tổng số hàng đưa từ d S2 vào, với đại lượng p− (S2 ) + d(US− ), σ1 ≤ p+ (S1 ), trị số an lu luồng tương thích nhỏ khả thiết diện nf va Mặt khác, X luồng tương thích lớn nhất, S1 tập hợp đỉnh thừa lm ul đủ, S2 tập hợp đỉnh thiếu luồng đó, theo Bổ đề 2.3.1: z at nh oi 1) Các trạm thu S1 , trạm phát S2 thỏa mãn, tức αi (X) = pi với đỉnh ấy, σ1 = p+ (S1 ) i∈S2 ,αi c(u), ∑+ u∈K (µ) u∈K (µ) ta luồng có cước phí nhỏ X Ta chứng minh phần “đủ” Cho X = {x(u)} luồng có điều kiện (3.2) dây chuyền đóng chưa bão hịa, X = {x0 (u)} luồng Mục đích ta chứng minh f (X) ≤ f (X ) Đặt ρ(X, X ) = ∑ x0(u) − x(u) u∈U lu Ta giả thiết ρ(X, X ) > 0, ρ(X, X ) = X trùng với X Cho (i, j) an n va cung có xi0 j 6= xi j , chẳng hạn xi0 j < xi j Vì thơng lượng X X j (k, j) với xk0 j > xk j , thơng lượng k nhau, nên phải có cung (k, l) gh tn to (cùng p j ), nên phải có cung ( j, k) với x0jk < x jk , cung p ie < x , cung (l, k) với x0 > x , v.v Do số đỉnh hữu hạn nên với xkl kl lk lk tiếp tục thế, phải đến lúc ta trở lại đỉnh qua rồi: lúc ta nl w dây chuyền đóng µ với tính chất: x0 (u) < x(u) u ∈ K + (µ) d oa x0 (i) > x(u) u ∈ K − (µ) Ta sửa x0 (u) thành x0 (u) + cung an lu u ∈ K + (µ), thành x0 (u) − cung u ∈ K − (µ) Có thể thấy dễ dàng ∑ c(u), ∑ c(u) z at nh oi lm ul thêm nf va làm ta khơng tăng cước phí X Thật vậy, cước phí K + (µ) tăng u∈K + (µ) cước phí K − (µ) giảm bớt z c(u) ≥ u∈K (µ) ∑+ c(u) u∈K (µ) m co ∑− l gm @ u∈K − (µ) c(u) − ∑ u∈K + (µ) c(u) ≥ n va ∑ u∈K − (µ) an Lu gọi µ dây chuyền µ đổi chiều điều kiện (3.2) µ cho ta ac th si 33 (để ý K + (µ ) = K − (µ), K − (µ ) = K + (µ)) Vậy, gọi luồng X 00 luồng X sau sửa, ta có f (X 00 ) ≤ f (X ) Mặt khác, dĩ nhiên ρ(X 00 , X ) < ρ(X , X) Thế nghĩa ta sửa X để giảm bớt ρ(X , X) mà không làm tăng f (X ) Sau số hữu hạn lần sửa ta luồng X(t) với ρ(X(t), X) = (tức X(t) trùng với X) f (X(t)) ≤ f (X ) Do f (X) ≤ f (X ) Đó điều cần chứng minh Chú ý 3.2.2 Đương nhiên, điều kiện (3.2) thỏa mãn dây chuyền sơ cấp thỏa mãn dây chuyền, Định lý 3.3.2, việc xét dây chuyền sơ cấp đủ lu Chú ý 3.2.3 Trên chu trình, cần xét nhiều hai dây chuyền: µ1 , tạo an thành cung u hướng theo chiều thuận chu trình mà có x(u) > 0, tất va n cung hướng theo chiều ngược cạnh cịn lại chu trình; µ2 , định gh tn to nghĩa µ1 , thay “thuận” “ngược” p ie Định lí 3.2.4 Muốn cho luồng X = {x(u)} tối ưu điều kiện cần đủ có d oa nl w tồn số λi với i = 1, 2, , n cho với u = (i, j) ∈ U, (3.3) λ j − λi = ci j xi j > (3.4) an lu λ j − λi ≤ ci j nf va Các số λi với điều kiện thường gọi vị lm ul Chứng minh Đủ Nếu có tồn vị dây chuyền đóng µ chưa z at nh oi bão hòa, qua đỉnh i1 , i2 , , is ta có ∑ c(u) − ∑ c(u) ≥ ∑(λ jr+1 − λ jr ) = r z u∈K − (µ) u∈K + (µ) l gm @ Do theo Định lý 3.3.2, X luồng tối ưu co Cần Ngược lại giả sử X = {x(u)} luồng tối ưu Với dây chuyền µ ta cho u∈K (µ) c(u) − ∑− u∈K (µ) x(u)>0 c(u) + ∑− u∈K (µ) x(u)=0 c0 (u), (3.5) n va ∑+ an Lu l(µ) = m ứng “ước lượng” l(µ) xác định sau: ac th si 34 c0 (u) = R, R số lớn Nếu µ chưa bão hịa số hạng sau (3.5) khơng có, µ đóng theo Định lý 3.3.2, l(µ) ≥ Ta xác định R đủ lớn dây chuyền đóng µ có ước lượng l(µ) ≥ 0, điều làm được, cần l(µ) ≥ với dây chuyền sơ cấp đóng µ đủ, mà số dây chuyền hữu hạn Sau ta đặt λ1 = cho đỉnh số ứng với đỉnh i ta đặt λi ước lượng nhỏ dây chuyền sơ cấp từ đỉnh tới đỉnh i Khi ấy, với dây chuyền µ, sơ cấp hay khơng sơ cấp, từ đỉnh tới đỉnh i, ta có λ1 ≤ l(µ) µ khơng sơ cấp sau bỏ dây chuyền sơ cấp đóng chứa µ ta lại dây lu chuyền sơ cấp µ với l(µ ) ≤ l(µ) (do ước lượng phần bỏ lớn an n va 0) Ta chứng minh λi vị cần tìm Thật vậy, lấy cho l(µi ) = λi , l(µ j ) = λ j Nếu j 6= xét dây chuyền cung u(i, j) tạo nên gh tn to cung tùy ý u = (i, j) gọi µi , µ j dây chuyền từ đỉnh tới i, j p ie với µi , theo nhận xét ta có, λ j ≤ λi + ci j , hay λ j − λi ≤ ci j Còn j = (tức w λ j = 0) dây chuyền vừa nói đóng, phải có ước lượng lớn oa nl 0, hệ thức vừa Nếu xi j > xét dây chuyền u = (i, j) d tạo nên với µ j , ta lại có, cách tương tự λi ≤ λ j + ci j hay λ j − λi ≥ ci j , an lu kết hợp với hệ thức trước, λ j − λi = ci j Vậy điều kiện (3.3) (3.4) nf va thỏa mãn Đó điều cần chứng minh lm ul Chú ý 3.2.5 Định lý chứng minh trực tiếp cách đơn giản, z at nh oi mà không cần dựa vào Định lý 3.3.2 Thật vậy, phần thứ hai lập luận dựa vào phần “tất yếu” Định lý 3.3.2, mà phần chứng minh dễ Cịn z phần thứ chứng minh sau: @ (λ j − λi )xi j co ∑ c(u)x(u) = ∑ (i, j)∈U m u∈U l f (X) = gm Nếu có tồn vị λi ta có = ∑λj j ∑ i, (i, j)∈U xi j − ∑ λi i ! an Lu ! ∑ xi j j, (i, j)∈U n va ac th si 35 ! = ∑ λi i x ji − ∑ xi j ∑ j, (i, j)∈U j, ( j,i)∈U = ∑ λi pi i với luồng X ta có f (X ) = ∑ c(u)x0(u) ≥ ∑ u∈U (λ j − λi )xi0 j = ∑ λi pi , i (i, j)∈U f (X) ≤ f (X ), chứng tỏ X tối ưu lu 3.3 an Thuật toán thu hẹp tắc va n Dựa theo Định lý 3.3.2, có phương pháp đơn giản (có gọi “phương gh tn to pháp sơ đồ”) xuất phát từ luồng X = {x(u)} kiểm tra chu ie trình, xem có thỏa mãn tiêu chuẩn Định lý 3.3.2 khơng: có chu trình chưa p thỏa mãn điều chỉnh X chu trình Bao chu trình thỏa mãn nl w tiêu chuẩn, ta có luồng tối ưu Phương pháp dùng đồ thị có chu d oa trình, trường hợp tổng qt khơng tiện Dưới trình bày an lu phương pháp thu hẹp tắc, dựa vào Định lý 3.2.4 nf va Phương pháp trực tiếp dựa vào lý thuyết mạng đề cập tới chương trước lm ul có nhiều phương diện bổ ích lý thuyết đồ thị z at nh oi Đại ý phương pháp xuất phát từ mạng G1 , thu hẹp mạng G cho, mở rộng dần G1 , cách có lợi nhất, khả G1 tổng số hàng hóa cần vận chuyển luồng tương thích lớn G1 lúc cho z gm @ ta lời giải (luồng tối ưu) l Một thu hẹp tắc mạng G = (A,U) mạng G1 = (A,U1 ) với m co U1 ⊂ U cho tìm số λi (i = 1, , n) thỏa mãn điều kiện   λ j − λi ≤ ci j với cung u = (i, j) ∈ U, an Lu với cung u = (i, j) ∈ U1 n va  λ j − λi = ci j ac th si