Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ CÚC BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ CÚC BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THỊ CÚC BÀI TỐN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh sách kí hiệu iii Danh sách hình vẽ v Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đồ thị 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.1.2 Đồ thị đẳng cấu 1.1.3 Đồ thị liên thông 1.1.4 Đường chu trình đồ thị 1.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt 1.2 Mạng luồng 12 1.3 Một số toán tối ưu đồ thị 13 1.3.1 Ghép cặp, phủ cạnh, phủ đỉnh, tập ổn định clique 13 1.3.2 Bài toán phủ đỉnh, phủ cạnh ghép cặp 14 Kết luận Chương 15 1.4 Chương Bài toán luồng lớn mạng 2.1 17 Nội dung toán 17 2.1.1 17 Mạng luồng ii 2.1.2 Luồng tương thích lớn 19 2.1.3 Bài toán luồng lớn mạng 19 2.1.4 Tiêu chuẩn tối ưu 20 2.2 Thuật tốn tìm luồng lớn 22 2.3 Luồng lớn thiết diện nhỏ 25 2.3.1 Khả mạng 25 2.3.2 Thiết diện nhỏ 27 Kết luận Chương 29 2.4 Chương Bài toán luồng chi phí nhỏ mạng 30 3.1 Phát biểu toán 30 3.2 Tiêu chuẩn tối ưu 31 3.3 Thuật tốn thu hẹp tắc 35 3.4 Trường hợp tổng quát (d(u) 6= +∞) 40 3.5 Kết luận Chương 41 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Danh sách kí hiệu G = G(V, E) đồ thị vô hướng với tập đỉnh V , tập cạnh E G = (A,U, d(u)) mạng với tập đỉnh A, tập cung U, khả cung d(u) X = {x(u)} luồng mạng u = (i, j) cạnh (cung) từ đỉnh i đến đỉnh j c(u), di j khả thông qua cạnh (cung) u = (i, j) d(u), di j khả thông qua cạnh (cung) u = (i, j) x(u) cường độ luồng cạnh (cung) u Kn đồ thị hai phần đầy đủ n đỉnh Km,n đồ thị hai phần đầy đủ, phần m n đỉnh pi yêu cầu đỉnh i (đỉnh i trạm phát pi < 0, đỉnh i trạm thu pi > 0) αi = αi (X) thông lượng luồng đỉnh i Ui− tập hợp cung tới đỉnh i Ui+ tập hợp cung khỏi đỉnh i σ (X) trị số luồng X f (X) hàm cước phí luồng X µ dây chuyền hay chu trình mạng iv Danh sách hình vẽ 1.1 Sơ đồ khu phố 1.2 Sơ đồ mạch điện 1.3 Đồ thị đại diện 1.4 Cạnh kép đa đồ thị 1.5 Khuyên đa đồ thị 1.6 Đồ thị có hướng 1.7 Bậc đỉnh đồ thị 1.8 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 1.9 Đồ thị G1 , G2 hợp G1 ∪ G2 1.10 Đồ thị không liên thông 1.11 Ví dụ rừng 10 1.12 Đồ thị đầy đủ K4 K5 11 1.13 Đồ thị hai phần 11 1.14 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 , K2,3 , K3,3 , K4,3 11 1.15 Phủ đỉnh, phủ cạnh ghép cặp 15 2.1 Thông lượng đỉnh (αi = 18 − = 7) 18 2.2 Dây chuyền chưa bão hòa 20 2.3 Luồng lớn mạng dạng 25 v 3.1 Ví dụ 3.3.6: yêu cầu trạm, cước phí cung 39 3.2 Rút gọn đường nhánh 39 3.3 Luồng tối ưu: x(u) ghi cung u 39 Lời nói đầu Các sơ đồ giao thơng, sơ đồ mạch điện hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động cụ thể khái niệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị (graph) Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh với mối quan hệ chúng Nếu cạnh đồ thị có xét tới di chuyển lượng vật chất (nước, xăng dầu, hàng hóa ) đồ thị cịn gọi mạng (network) Đồ thị mạng mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Lý thuyết đồ thị mạng đề cập tới nhiều tốn đa dạng có ý nghĩa thực tiễn thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng sống thường ngày nói riêng Trong số đáng ý hai toán sau đây: toán luồng lớn tốn luồng chi phí nhỏ mạng Bài tốn thứ tìm cách vận chuyển nhiều hàng từ (hay nhiều) đỉnh nguồn tới (hay nhiều) đỉnh đích mạng cho trước Bài toán thứ hai thực chất toán vận tải mạng vận chuyển hàng hóa từ điểm cung cấp tới điểm tiêu thụ với chi phí nhỏ Các tốn nhiều nhà toán học tiếng quan tâm, nghiên cứu Ford-Fulkerson, Hồng Tụy có lý thuyết đẹp luồng mạng Luận văn “Luồng lớn luồng chi phí nhỏ mạng” có mục đích tìm hiểu trình bày hai tốn nói thuật tốn giải hai tốn Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo có [1]-[5] Nội dung luận văn gồm ba chương: • Chương Kiến thức chuẩn bị nhắc lại số khái niêm đồ thị: đỉnh cạnh, đường chu trình, đồ thị đặc biệt (rừng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần), khái niệm mạng luồng mạng Giới thiệu số toán tối ưu đồ thị: tìm phủ đỉnh, phủ cạnh nhỏ nhất, tìm ghép cặp lớn • Chương Bài tốn luồng lớn mạng trình bày nội dung toán luồng lớn mạng, dạng mở rộng toán luồn lớn mạng giao thông Ford -Fulkerson, nêu điều kiện cần đủ để có luồng lớn thuật tốn tìm luồng lớn mạng Cuối chương giới thiệu định lý quan trọng cho biết trị số luồng lớn khả thiết diện nhỏ • Chương Bài tốn luồng chi phí nhỏ mạng đề cập tới toán vận tải mạng trình bày "thuật tốn thu hẹp tắc" giải toán Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học & Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu 3 Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể Lớp B, cao học Tốn khóa (2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Lời cuối, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Cúc ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ CÚC BÀI TOÁN LUỒNG LỚN NHẤT VÀ LUỒNG CHI PHÍ NHỎ NHẤT TRÊN MẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:... có luồng lớn thuật tốn tìm luồng lớn mạng Cuối chương giới thiệu định lý quan trọng cho biết trị số luồng lớn khả thiết diện nhỏ • Chương Bài tốn luồng chi phí nhỏ mạng đề cập tới tốn vận tải mạng. .. Giới thiệu số toán tối ưu đồ thị: tìm phủ đỉnh, phủ cạnh nhỏ nhất, tìm ghép cặp lớn • Chương Bài tốn luồng lớn mạng trình bày nội dung tốn luồng lớn mạng, dạng mở rộng toán luồn lớn mạng giao thông