(Luận văn) ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————————– PHẠM THỊ HUỆ lu an n va to p ie gh tn ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên-2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ———————————————– PHẠM THỊ HUỆ lu an n va ỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH p ie gh tn to w d oa nl Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH.VŨ NGỌC PHÁT m co l gm @ an Lu Thái Nguyên-2015 n va ac th si i Mục lục lu an n va ii 1 Cơ sở tốn học 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ 1.2 Bài toán ổn định Lyapunov 1.2.1 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân 1.2.2 Ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân có trễ 1.3 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian 1.4 Các bổ đề bổ trợ 3 7 p ie gh tn to Kí hiệu tốn học Mở đầu nl w d oa 10 12 14 nf va an lu z at nh oi lm ul Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ 2.3 Ứng dụng giải tốn ổn định hóa hữu hạn thời gian 15 15 31 34 z 39 gm 39 m co l Tài liệu tham khảo @ Kết luận an Lu n va ac th si ii KÍ HIỆU TỐN HỌC lu an n va R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) L2 ([0, T ], Rm ) không gian hàm khả tích bình phương C([−r, 0], Rm ) gh tn to đoạn [0, T ] nhận giá trị Rm không gian hàm liên tục trên[−r, 0] ie p nhận giá trị Rm ma trận đơn vị cỡ (l × l) d ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= A>B nf va an lu A>0 ma trận chuyển vị ma trận A oa AT nl w Il nghĩa A − B xác định dương lm ul tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) kAk λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} q kAk = λmax (AT A) K tập hợp hàm liên tục tăng chặt z at nh oi λ(A) z gm @ m co l a(.) : R+ → R+ , a(0) = " # R(t) diag(R(t), ΓK (t))) ma trận chéo khối ΓK (t) an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU lu an n va p ie gh tn to Nghiên cứu tính ổn định nội dung lý thuyết định tính hệ động lực, cuối kỷ XIX với cơng trình xuất sắc nhà tốn học Nga A.M.Lyapunov Mỗi phân tích thiết kế hệ thống kỹ thuật mô hình kinh tế mơ tả phương trình tốn học người ta cần nghiên cứu tính ổn định hệ thống Cho đến nay, tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết tốn học độc lập có nhiều ứng dụng kinh tế, khoa học, kỹ thuật Từ xuất tốn nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển d oa nl w Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian (FTS) xuất vào cuối năm 1950 giới thiệu tài liệu nhà Toán học Nga Sau đó, suốt năm 1960, khái niệm xuất tạp chí phương Tây Cụ thể hơn, hệ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho nf va an lu z at nh oi lm ul z Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân tốn có nhiều ứng dụng quan trọng giải toán xuất phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết cơng cụ tốn học đại Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân, có phương pháp hàm Lyapunov Trong khuôn khổ luận văn này, luận văn đề cập đến ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính, có sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho toán ổn định Lyapunov hệ phương trình m co l gm @ an Lu n va ac th si vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ Luận văn gồm hai chương Chương "Cơ sở toán học", chương giới thiệu kiến thức hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ điều kiện cho tồn nghiệm Từ giới thiệu tốn tốn ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ Bài tốn ổn định hữu hạn thời gian bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính chương sau lu an n va gh tn to Chương "Ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính", nội dung chương trình bày kết tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến có trễ, ứng dụng giải toán ổn định hữu hạn thời gian, đưa ví dụ minh họa cho tốn ổn định p ie Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Vũ Ngọc Phát Mặc dù thân cố gắng thời gian có hạn, trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn bè đồng nghiệp d oa nl w lu nf va an Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, người thầy nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt cho tơi kiến thức suốt q trình hồn thành luận văn z at nh oi lm ul Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Huệ Phạm Thị Huệ z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Cơ sở toán học lu an n va p ie gh tn to Chương trình bày kiến thức hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ điều kiện cho tồn nghiệm nó, tốn ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân có trễ, tốn ổn định hữu hạn thời gian bổ đề liên quan đến việc chứng minh tính ổn định hữu hạn thời gian hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung chủ yếu lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [5] oa nl w Hệ phương trình vi phân d 1.1 an lu 1.1.1 Hệ phương trình vi phân nf va z at nh oi lm ul Xét phương trình vi phân  x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0; x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, (1.1) z f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái gm @ an Lu i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn ; m co l Định nghĩa 1.1 Nghiệm x(t) phương trình vi phân (1.1) hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn n va ac th si ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) cho dạng tích phân sau Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (1.2) t0 1.1.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân lu Định nghĩa 1.2 Hàm f : R × Rn → Rn , gọi Lipschitz x theo t tồn số thực dương L cho an ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn n va kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ Lkx1 − x2 k, ie gh tn to Định lý sau khẳng định tồn nghiệm hệ phương trình vi phân (1.1) p Định lý 1.3 Xét hệ phương trình vi phân (1.1) giả sử hàm f (t, x) : R+ × Rn → Rn liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x: d oa nl w ∀t ≥ an lu ∃K > : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ Kkx1 − x2 k, nf va Khi với (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn tìm số d > cho hệ (1.1) ln có nghiệm khoảng [t0 − d, t0 + d] lm ul i) ∃M1 , M2 > : z at nh oi Định lý 1.4 Giả sử f : R+ × Rn → Rn liên tục thỏa mãn điều kiện sau z ii) ∃M3 > : co l gm @ kf (t, x)k ≤ M1 + M2 kxk, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn m kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ M3 kx1 − x2 k, ∀(t, x1 , x2 ) ∈ R+ × Rn × Rn an Lu n va ac th si Khi với x0 ∈ Rn , tồn nghiệm x(t, x0 ) khoảng [0, ∞) Nếu vế phải hệ (1.1) khơng phụ thuộc t ta nói hệ (1.1) ơtơnơm, ngược lại ta nói hệ khơng ơtơnơm Xét hệ phương trình vi phân tun tính ơtơnơm:  x(t) ˙ = Ax(t) + g(t), t ≥ 0; (1.3) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ lu A ma trận số cấp n × n, g : [0, +∞) → Rn hàm liên tục, hệ có nghiệm xác định [0, +∞) cho công thức Cauchy Zt x(t) = eA(t−t0 ) x0 + eA(t−s) g(s)ds an n va to tn t0 p ie gh Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng  x(t) ˙ = A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0; (1.4) x(t0 ) = x0 , t ≥ 0, oa nl w d A(t) ma trận hàm số liên tục R+ , g : R+ → Rn hàm liên tục Nghiệm hệ (1.4) thông qua ma trận nghiệm Φ(t, s) hệ tuyến tính nf va an lu z at nh oi cho công thức lm ul x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, Zt x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)ds, z gm @ t0 m co l Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ thỏa mãn   dΦ (t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s ≥ 0; dt Φ(t, t) = I an Lu n va ac th si 1.1.3 Hệ phương trình vi phân có trễ Chúng ta nhận thấy hệ phương trình vi phân thường mơ tả mối quan hệ biến thời gian, trạng thái hệ thống vận tốc thay đổi trạng thái thời điểm Song thực tế, trình xảy tự nhiên thường có liên quan tới q khứ Vì mơ tả q trình này, chúng biểu diễn phương trình vi phân có trễ Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ trễ (0 ≤ h ≤ +∞) Với x(.) hàm liên tục R+ , nhận giá trị Rn , xây dựng hàm xt ∈ C : C([−r, 0], Rn ) sau lu an xt (s) = {x(t + s), ∀s ∈ [−r, 0]} n va p ie gh tn to Như xt đoạn quỹ đạo [t − r, t] hàm x(.) Khi hệ phương trình có trễ mơ tả phụ thuộc vận tốc thay đổi thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trước [t − r, t] cho dạng tổng quát t ≥ 0, (1.5) w x(t) ˙ = f (t, xt ), d oa nl f (.) : R+ × C → Rn Một nghiệm x(.) hệ (1.5) qua điểm (t0 , φ) ∈ R+ × C kí hiệu x(t0 , φ) Khi hàm giá trị ban đầu nghiệm khoảng [t0 − r, t0 ] hàm φ, tức xt0 (t0 , φ)(s) = x(t0 + s) = φ(s), ∀s ∈ [−r, 0] Tương tự phương trình vi phân thường ta có cơng thức nghiệm dạng tích phân hệ (1.5) nf va an lu z at nh oi lm ul x(t0 + s) = φ(s), s ∈ [−r, 0], Zt f (s, xs )ds, z x(t) = φ(0) + gm @ t0 t ≥ t0 co l Định lý sau khẳng định tồn nghiệm tồn cục hệ phương trình (1.5) với điều kiện ban đầu x(t0 , φ) m Định lý 1.5 Giả sử f (.) : R+ × C → Rn , hàm liên tục theo T thỏa mãn điều kiện sau an Lu n va ac th si 26 Nhận xét 2.9 Nếu điều kiện (2.8) - (2.12) (2.21) - (2.24) (2.25) - (2.29) thỏa mãn với α = 0, hệ (2.5)- (2.6) ổn định tiệm cận Lyapunov Xét hệ tuyến tính không ôtônôm x(t) ˙ = A(t)x(t), x(0) = x0 , A(t) ma trận hệ số phụ thuộc vào thời gian, x(t) véc tơ trạng thái Định nghĩa 2.10 lu Cho số dương c1 , c2 , T với c1 < c2 , R(t) ma trận hàm đối xứng xác định dương đoạn [0, T ] Hệ an va n x(t) ˙ = A(t)x(t), x(0) = x0 , (2.30) xT0 R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) < c2 , p ie gh tn to gọi ổn định hữu hạn thời gian (Finite-time stability(FTS)) tương ứng với (c1 , c2 , T, R(t)) ∀t ∈ [0, T ] (2.31) d oa nl w Định lý sau cho điều kiện cần đủ điều kiện đủ để hệ (2.30) FTS an lu Định lý 2.11 Xét hệ (2.30) Khi phát biểu sau tương đương lm ul ii) ∀t ∈ [0, T ] nf va i) Hệ (2.30) FTS tương ứng với (c1 , c2 , T, R(t)) c2 R(0), c1 Φ(t, 0) ma trận chuyển trạng thái Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0) < z at nh oi iii) ∀t ∈ [0, T ], điều kiện sau thỏa mãn z @ P˙ (τ ) + A(τ )T P (τ ) + P (τ )A(τ ) < 0, (2.32b) l (2.32c) m co an Lu P (.) ma trận đối xứng (2.32a) gm P (t) ≥ R(t); c2 P (0) < R(0), c1 τ ∈ [0, t]; n va ac th si 27 iv) Bất phương trình vi phân Lyapunov P˙ (t) + A(t)T P (t) + P (t)A(t) < 0; (2.33a) P (t) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 P (0) < R(0), c1 (2.33b) (2.33c) P (.) ma trận đối xứng Chứng minh lu ii) ⇒ i) Cho xT0 R(0)x0 ≤ c1 Khi đó, theo cơng thức nghiệm Cauchy hệ tuyến tính khơng ơtơnơm x(t) = Φ(t, 0)x0 ta có an n va x(t)T R(t)x(t) = xT0 Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0)x0 < c2 T x R(0)x0 < c2 c1 to gh tn Vậy hệ (2.30) FTS p ie i) ⇒ ii) Ngược lại, giả sử với t, x ta có c2 T x R(0)x c1 (2.34) Đặt d oa nl w xT Φ(t, 0)T R(t)Φ(t, 0)x ≥ an lu x(0) = λx, nf va với λ cho biểu thức sau z at nh oi Từ (2.34), suy lm ul x(0)T R(0)x(0) = c1 x(0)T Φ(t, 0)T Φ(t, 0)x(0) ≥ c2 z gm @ Do co l x(t)T R(t)x(t) = x(0)T Φ(t, 0)T Γ(t)Φ(t, 0)x(0) ≥ c2 , m mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, hệ (2.30) FTS an Lu n va ac th si 28 iii) ⇒ i) Cho V (t, x) = xT P (t)x Từ (2.32a), V˙ (t, x) xác định âm dọc theo quỹ đạo hệ (2.30) Với xT0 R(0)x0 ≤ c1 , x(t)T R(t)x(t) ≤ x(t)T P (t)x(t) < x(0)T P (0)x(0) c2 < x(0)T R(0)x(0) c1 ≤ c2 i) ⇒ iii) Giả sử hệ (2.30) FTS Do tính liên tục đối số, giả sử z = x, với  đủ nhỏ, với t ∈ [0, T ] lu x(0)T R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) + kzk22 < c2 (2.35) an n va Cho P (.) nghiệm (2.36) P (t) = R(t), (2.37) ie gh tn to P˙ (τ ) + A(τ )T P (τ ) + P (τ )A(τ ) = −2 I; p x thỏa mãn (2.38) d Với c2 T x R(0)x c1 oa nl w xT P (0)x ≥ lu nf va an x(0) = λx, với λ cho biểu thức sau lm ul x(0)T R(0)x(0) = c1 z at nh oi Từ (2.38), suy x(0)T P (0)x(0) ≥ c2 z Từ (2.37), ta thu @ gm d x(τ )T P (τ )x(τ ) = −2 x(τ )T x(τ ) dτ (2.39) l m co Lấy tích phân hai vế từ đến t phương trình (2.39), ta có: an Lu x(t)T P (t)x(t) − x(0)T P (0)x(0) = −2 kxk22 n va ac th si 29 Khi x(t)T R(t)x(t) ≥ x(t)T P (t)x(t) = x(0)T P (0)x(0) − 2 kxk22 ≥ c2 − kzk22 , mâu thuẫn với (2.35) iv) ⇒ iii) Dễ kiểm tra P hàm ma trận thỏa mãn điều kiện (2.33) thỏa mãn (2.32) lu Xét hệ tuyến tính khơng ơtơnơm có nhiễu an x(0) = x0 , n va x(t) ˙ = A(t)x(t) + G(t)w(t), ie gh tn to A(t), G(t) ma trận hệ số phụ thuộc vào thời gian, w(t) nhiễu p Định nghĩa 2.12 Cho số dương c1 , c2 , T với c1 < c2 , R(t) ma trận hàm đối xứng xác định dương đoạn [0, T ], lớp hàm nhiễu W, hệ oa nl w x(0) = x0 , d x(t) ˙ = A(t)x(t) + G(t)w(t), (2.40) an lu nf va gọi bị chặn hữu hạn(Finite-time boundedness(FTB)) ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)), lm ul xT0 R(0)x0 ≤ c1 ⇒ x(t)T R(t)x(t) < c2 , (2.41) z at nh oi với t ∈ [0, T ], với w(.) ∈ W w(.)|w(.) ∈ L2 ([0, T ]), ) w(τ )T w(τ )dτ ≤ d , l gm @ W = ZT z ( m co L2 ([0, T ]) tập hàm khả tích bình phương đoạn [0, T ] d số dương an Lu n va ac th si 30 Định lý 2.13 Hệ (2.40) FTB tương ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)) tồn hàm ma trận đối xứng P (.) cho c1 + d P˙ (t) + A(t)T P (t)+P (t)A(t) + P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; c2 (2.42a) P (t) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 R(0) P (0) < c1 + d (2.42b) (2.42c) Chứng minh Đặt lu α= an c1 + d c2 (2.43) n va Từ (2.32b) (2.40), ta có được: p ie gh tn to d T x P x < −αxT P GGT P x + wT GT P x + xT P Gw dt !T ! √ √ w w √ − αGT P x = wT w − √ − αGT P x α α α (2.44) Lấy tích phân hai vế (2.44), suy oa nl w d x(t)T P (t)x(t) − x(0)T P (0)x(0) !T ! Z Z t √ T √ T t T w w √ − αG P x √ − αG P x dt < w wdt − α α α Z T T ≤ w wdt α = d, ∀t ∈ [0, T ] α Với xT0 R(0)x0 ≤ c1 , x(t)T R(t)x(t) ≤ x(t)T P (t)x(t) < x(0)T P (0)x(0) + d α
< x(0)T R(0)x(0) + d α ≤ c2 , ∀t ∈ [0, T ] nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 31 Vậy hệ (2.40) FTB 2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ lu an n va p ie gh tn to Như biết, hệ phương trình vi phân thường (1.1) mơ tả mối quan hệ thời gian t, trạng thái x(t) thời điểm Tuy nhiên, thực tế trình xảy thường có liên quan đến khứ nên nhiều di truyền việc sử dụng lớp hàm cổ điển để phân tích hay thiết kế hệ thống dẫn tới kết yếu, độ xác không cao Trong trường hợp này, tốt ta xem xét hoạt động hệ dựa vào thơng tin, trạng thái trước Những hệ mà q trình hoạt động khơng phụ thuộc vào trạng thái mà cịn phụ thuộc vào thơng tin trạng thái trước gọi hệ có trễ Xét hệ phương trình sau  x˙ = Ax(t) + A x(t − τ ), ∀t ∈ [0, T ]; 1 (2.45) x(t) = ψ(t), t ∈ [−τ, 0], nl w A ∈ Rn×n A1 ∈ Rn×n ma trận thực, d oa Ψ(t) : [−τ, 0] −→ Rn an lu hàm liên tục cho trước, τ > số cho trước nf va Định nghĩa 2.14 Hệ (2.45) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , T, R) lm ul −τ ≤t≤0 suy z at nh oi max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 , xT (t)Rx(t) < c2 , ∀t ∈ [0, T ] z m co l gm @ Định lý 2.15 Hệ (2.45) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với c1 , c2 , T, R tồn số α > hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > cho điều kiện sau thỏa mãn " # T A P + P A − αP P A1 < 0, (2.46) −Q AT1 P an Lu n va ac th si 32 λmax (P ) + τ λmax (Q) c2 −αT < e , c1 λmin (P ) (2.47) 1 P = R− P R , 1 Q = R− P R− Chứng minh Xét hàm toàn phương dạng V (t, xt ) = eαt P x(t), x(t) + eαt Zt Qx(s), x(s) ds, t−τ lu an n va ie gh tn to lấy đạo hàm V (xt ) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (2.45) ta có h αt ˙ V (t, xt ) = e (AT + P A + Q − αP )x(t), x(t) i + P A1 x(t − τ ), x(t) h i αt −e Qx(t − τ ), x(t − τ ) + αV (x(t)) p Ta có #T " w " d oa nl V˙ (t, xt ) = eαt # T nf va an lu x(t) A P + P A + Q − αP P A1 −Q x(t − τ ) AT1 P " # x(t) + αV (t, xt ) x(t − τ ) lm ul Từ điều kiện (2.46) ta có: e−αt V˙ (t, xt ) − αV (t, xt )e−αt ≤ 0, z at nh oi ∀t ∈ [0, T ] Lấy tích phân hai vế từ đến t ta z ∀t ∈ [0, T ] gm @ V (t, xt ) ≤ eαt V (0, x(0)), l Mặt khác ta có 1 1 an Lu = xT (t)R R− P R− R x(t) m co V (t, xt ) ≥ eαt hP x(t), x(t)i ≥ hP x(t), x(t)i n va ac th si 33 1 Đặt P = R− P R− ta có 1 V (t, xt ) ≥ xT (t)R− P R x(t) ≥ λmin (P )xT (t)Rx(t) Hơn ta có đánh giá   V (0, x(0)) ≤ λmax (P ) + τ λmax (Q) max ΨT (t)RΨ(t), −τ ≤t≤0 (2.48) t ∈ [0, T ] (2.49) Q = R − 12 QR − 12 Theo điều kiện định nghĩa max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1 , −τ ≤t≤0 lu từ (2.48) (2.49) ta có an n va λmin (P )xT (t)Rx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (0, x(0))eαt   ≤ λmax (P ) + τ λmax (Q) c1 eαT tn to ie gh Vì t < T theo điều kiện (2.47) ta có p xT (t)Rx(t) nl w λmax (P ) + τ λmax (Q) c1 < c2 λmin (P ) nf va an Xét hệ lu Ví dụ 2.16 d oa Định lý chứng minh x(t) ˙ = Ax(t) + A1 x(t − τ ), lm ul z at nh oi với R = I, α = 1, T = 1, giả sử " # " # a1 a2 A= , Q= , a3 P = # z @ Ta xét " l gm AT P + P A − P < 0, m co Ta có " # " # " # " # " # " # a1 3 a1 a2 6a1 − 3a2 + − = a2 a3 1 a3 3a2 6a3 − an Lu n va ac th si 34 Từ điều kiện (2.46) định lý ta có    2a1 < (2a1 − 1)(2a3 − 1) − 3a22 >    a1 = −2 ⇔    a1 = −2 a3 = −4    a2 = Vậy " A= # −2 , −4 " Q= # , " lu Tương tự ta tìm ma trận A1 = # " P = # −3 Vì R = I , suy −4 −1 an P = P, Q = Q, n va tn to λmax (P ) = 3; gh λmin (P ) = 1; p ie λmax (P ) = 4, d oa nl w lấy τ = 0, ta chọn c1 = e−1 , c2 = Như hệ  x˙ = −2x (t) + 3x (t) − 3x (t − 0, 5) 1 , x˙ = −4x2 (t) − 4x1 (t − 0, 5) − x2 (t − 0, 5) an lu nf va ổn định hữu hạn thời gian (e−1 , 6, 1, I) lm ul Ứng dụng giải tốn ổn định hóa hữu hạn thời gian z at nh oi 2.3 Xét hệ điều khiển tuyến tính ơtơnơm mơ tả hệ phương trình vi phân điều khiển có nhiễu sau z @ x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + Gw(t), w(t) ˙ = F w(t), l gm (2.50) (2.51) co m u(t) véc tơ điều khiển, u(t) ∈ L2 ([0, T ], Rm ) w(t) nhiễu, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , G ∈ Rn×r F ∈ Rr×r ma trận an Lu n va ac th si 35 Định nghĩa 2.17 Hệ (2.50), (2.51) ổn định hóa (Finite-time stabilization ( FTSz ) ứng với (c1 , c2 , R, T ) Nếu tồn hàm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), (2.52) cho hệ đóng  x(t) ˙ = (A + BK)x(t) + Gw(t), w(t) ˙ = F w(t) (2.53) ( FTSz ) ứng với (c1 , c2 , R, T ) lu an Định lý sau đưa tiêu chuẩn cho tồn điều khiển ngược đảm bảo cho hệ đóng (2.53) bị chặn hữu hạn n va p ie gh tn to Định lý 2.18 Hệ (2.53) FTB tương ứng với (c1 , δ, c2 , T, R) tồn số α ≥ 0, λi xác định dương, i = 1, 2, 3, hai ma trận đối xứng xác định dương Q1 ∈ Rn×n , Q2 ∈ Rr×r cho bất đẳng thức sau đúng:   ˜ AT + AQ ˜ + BM Q G   ˜1 (2.54)   < 0, + M T B T − αQ ˜2 + Q ˜ F − αQ ˜2 GT FTQ d oa nl w an lu (2.55) λ4 I < Q2 < λ2 I; (2.56) e(λ0 −α)T λ4 − λ2 < 0, " # √ c1 λ3 δλ2 − δe(λ0 −α)T λ4 − c2 e−αT < √ c1 λ3 −λ3 (2.57) nf va λ3 I < Q1 < I; z at nh oi lm ul (2.58) z ˜ = R 21 Q2 R 12 , Q ˜ −1 K = MQ co l gm ˜ = R− 12 Q1 R− 12 , Q λ0 = λmin (F T + F ), @ m ˜ , áp dụng hệ 2.8, ta suy Chứng minh Đặt M = K Q điều phải chứng minh an Lu n va ac th si 36 Bài toán 2.19 Xét hệ điều khiển tuyến tính khơng ơtơnơm x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)u(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , (2.59) u(t) điều khiển liệu đầu vào, w(t) nhiễu Cho số dương c1 , c2 , T , với c1 < c2 , R(t) ma trận đối xứng xác định dương [0, T ], tìm điều khiển ngược trạng thái: t ≥ 0, u(t) = K(t)x(t), (2.60) Từ (2.59) (2.60), ta có được: lu x(t) ˙ = (A(t) + B(t)K(t))x(t) + G(t)w(t), x(0) = x0 , (2.61) an n va FTB tương ứng với (c1 , c2 , W, T, R(t)) p ie gh tn to Định lý 2.20 Hệ (2.59) Finite-time stabilityzation (FTSz) ứng với (c1 , c2 , R, T ) ma trận hàm đối xứng Q(.) ma trận hàm L(.) thỏa mãn bất đẳng thức ma trận vi phân sau: ˙ −Q(t) + A(t)Q(t) + Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T c1 + d G(t)G(t)T < 0; + B(t)L(t) + c2 −1 Q(t) ≤ Γ (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 + d −1 Q(0) > Γ (0) c2 d oa nl w (2.62a) an lu (2.62b) nf va (2.62c) lm ul Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) z at nh oi Chứng minh Từ định lý 2.13 áp dụng cho tốn 2.19 suy tồn ma trận hàm đối xứng P (.) ma trận hàm K(.) cho z P˙ (t) + (A(t) + B(t)K(t))T P (t) + P (t)(A + BK(t)) c1 + d P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; + c2 P (T ) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 R(0) P (0) < c1 + d @ l gm (2.63a) m co (2.63b) an Lu (2.63c) n va ac th si 37 Nhân hai vế (2.63a) P −1 (t) cho Q(t) = P −1 (t) Từ điều kiện (2.62a) ta có được: ˙ Q(t) = −Q(t)P˙ (t)Q(t) Đặt L(t) = K(t)Q(t), kết hợp với điều kiện (2.63b), (2.63c) dễ dàng suy (2.62b) (2.62c) Định lý chứng minh Định lý 2.21 Hệ (2.59) (với w(t) = 0) ổn định hóa hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , W, T, diag(R(t), ΓK (t))), tồn ma trận hàm P (.) đối xứng ma trận hàm L(.) cho lu ˙ −Q(t) + A(t)Q(t)+Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T + B(t)L(t) < 0; (2.64a) an n va Q(t) ≤ Γ−1 (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 Q(0) > Γ−1 (0) c2 (2.64b) Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) p ie gh tn to (2.64c) w Xét trường hợp điều khiển ngược d oa nl Định lý 2.22 Bài toán 2.19 giải tồn ma trận hàm đối xứng Q(.) ma trận hàm L(.) cho lu an ˙ −Q(t) + A(t)Q(t) + Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T c1 + d + B(t)L(t) + G(t)G(t)T < 0; c2 −1 Q(t) ≤ Γ (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 + d −1 Q(0) > Γ (0) c2 nf va (2.65a) lm ul (2.65b) z at nh oi (2.65c) z Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) @ m co l gm Chứng minh Từ định lý 2.13, suy toán 2.19 có nghiệm tồn an Lu n va ac th si 38 P (.) ma trận hàm đối xứng ma trận hàm K(.) cho P˙ (t) + (A(t) + B(t)K(t))T P (t) + P (t)(A + BK(t)) c1 + d + P (t)G(t)G(t)T P (t) < 0; c2 P (T ) ≥ R(t), ∀t ∈ [0, T ]; c2 P (0) < R(0) c1 + d (2.66a) (2.66b) (2.66c) Nhân hai vế (2.66a) P −1 (t) cho Q(t) = P −1 (t) Từ điều kiện (2.65a) ta có được: lu ˙ Q(t) = −Q(t)P˙ (t)Q(t) an n va tn to Đặt L(t) = K(t)Q(t), kết hợp với điều kiện (2.66b), (2.66c) suy (2.65a) (2.65b) Định lý chứng minh p ie gh Định lý 2.23 Hệ (2.59) (với w(t) = 0) ổn định hữu hạn thời gian ngược trạng thái tương ứng với (c1 , c2 , W, T, diag(R(t), ΓK (t))), tồn ma trận hàm đối xứng P (.) ma trận hàm L(.)sao cho w d oa nl ˙ −Q(t) + A(t)Q(t)+Q(t)A(t)T + L(t)T B(t)T + B(t)L(t) < 0; (2.67a) (2.67b) an lu Q(t) ≤ Γ−1 (t), ∀t ∈ [0, T ]; c1 Q(0) > Γ−1 (0) c2 (2.67c) nf va z at nh oi lm ul Ngoài ra, hàm điều khiển ngược u(t) = L(t)Q−1 (t)x(t) z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: lu • Các kiến thức sở hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân có trễ tồn nghiệm nó, tốn ổn định Lyapunov cho hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân có trễ, tốn ổn định hữu hạn thời gian khác ổn định hữu hạn thời gian ổn định Luyapunov an n va p ie gh tn to • Các tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình phân: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ hệ ôtônôm hệ không ôtônôm, ứng dụng giải toán ổn định hóa oa nl w d • Sự đóng góp luận văn tìm hiểu làm rõ nội dung toán ổn định hữu hạn thời gian nêu báo [4], [5], [6] đưa số ví dụ minh họa nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt lu [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục an n va ie gh tn to [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội p Tiếng Anh w d oa nl [3] Amato F., Ambrosino R., Ariola M (2013), Finite-Time Stability and Control, Springer, Berlin lu nf va an [4] Amato F., Ariola M., Cosentino C (2005), "Finite-time control of linear time-varying systems via output feedback", In Proc American Control Conference, June 8-10, Portland, OR, USA, pp.4722-4726 lm ul z at nh oi [5] Kharitonov V.L (2003), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser, Berlin z [6] Shen Y (2008), "An LMI method for stabilization for linear systems on finite time horizon", In Proc Chinese Control Conference, July 16–18, Kunming, Yunnan, China IEEE, pp.616-620 m co l gm @ an Lu n va ac th si