Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN BÌNH DƯƠNG CHÉO HĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Bình Dương CHÉO HĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH Đồn Thái Sơn Thái Nguyên - 2020 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn PGS TSKH Đoàn Thái Sơn i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TSKH Đồn Thái Sơn Tơi xin cảm ơn thầy hướng dẫn tận tình hiệu kinh nghiệm q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo tổ môn giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn thạc sĩ Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tuy nhiên, luận văn tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý từ thầy giáo để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu Chương Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Tính nhị phân mũ 1.2 Phổ nhị phân mũ 1.3 Ví dụ 15 Chương Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 17 2.1 Một số kết chuẩn bị tích phân Lebesgue hàm liên tục tuyệt đối 17 2.2 Phép biến đổi tương đương 23 2.3 Chéo hóa 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực Rn×n tập ma trận vng cấp n A : R → Rn×n Hàm ma trận khả tích địa phương ∅ tập rỗng ⊕ tổng trực tiếp GLN (R) Nhóm ma trận tuyến tính khả nghịch cấp N im P Ảnh phép chiếu P ker P Nhân phép chiếu P ✷ kết thúc chứng minh iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (1) với hàm ma trận A : R → RN ×N liên tục bị chặn Nếu (1) phương trình vi phân với hệ số không phụ thuộc thời gian, tức x˙ = Ax, A ∈ RN ×N việc thay đổi biến x → T −1 x biến phương trình thành phương trình có dạng x˙ = T −1 ATx Do đó, cách lựa chọn ma trận khả nghịch T cách phù hợp ta đơn giản hóa phương trình tuyến tính với hệ số khơng phụ thuộc thời gian Ví dụ ta chọn ma trận khả nghịch T cho T −1 AT dạng chuẩn Jordan Trong khuân khổ nội dung luận văn này, tìm hiểu kết tương tự cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc thời gian (1) Ở sử dụng khái niệm khả quy định nghĩa Coppel [3] Cụ thể, hệ (1) gọi khả quy tồn phép đổi biến khả nghịch phụ thuộc thời gian biến đổi hệ (1) thành hệ đường chéo khối với số chiều đường chéo khối nhỏ hẳn N Để mở rộng kết dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc vào thời gian cần nhắc tới lý thuyết phổ phù hợp hệ (1) Khái niệm phổ coi khái niệm khái quát giá trị riêng theo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cách thích hợp Nhắc lại rằng, lịch sử có nhiều khái niệm phổ cho phương trình (1), ví dụ khái niệm phổ Lyapunov cho hệ quy, khái niệm phổ Morse cho hệ động lực tích lệch (xem Colonius Kliemann [4]), khái niệm phổ Bohl với mục đích mơ tả tất tốc độ tăng trưởng hệ với thời gian dương (xem Daleckii Krein [5]) Tuy nhiên, khái niệm phổ Sacker-Sell, hay gọi phổ nhị phân mũ, dường khái niệm phổ phù hợp để giải câu hỏi mở rộng Nhằm trình bày cách có hệ thống kết mở rộng định lý dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian Siegmund [9], luận văn bao gồm nội dung sau: Chương 1: Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Chương 2: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều Cuối phần kết luận tóm tắt kết đạt danh mục tài liệu tham khảo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm có dạng x˙ = A(t)x (1.1) với A : R → RN ×N hàm đo khả tích địa phương, tức với đoạn [a, b] ⊂ R ta có b A(t) dt < ∞ a Mục đích chương trình bày khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình (1.1) định lý phổ nhị phân mũ cho phương trình Kết chương chứng minh [9] 1.1 Tính nhị phân mũ Ta kí hiệu Φ : R × R → RN ×N , (t, τ ) → Φ(t, τ ) tốn tử tiến hóa phương trình (1.1), tức Φ(., τ )ξ giải toán giá trị ban đầu (1.1) với χ(τ ) = ξ Một phép chiếu bất biến (1.1) định nghĩa hàm P : R → RN ×N phép chiếu P (t), t ∈ R, cho P (t)Φ(t, s) = Φ(t, s)P (s), t, s ∈ R (1.2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lưu ý P liên tục đồng thức P (·) ≡ Φ(., s)P (s)Φ(s, ) Chúng ta nói (1) có tính nhị phân mũ có phép chiếu bất biến P số K ≥ 1, α > cho Φ(t, s)p(s) ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s Φ(t, s)[I − P (s)] ≤ Keα(t−s) với t ≤ s Tiếp theo nghiên cứu lớp phương trình dịch chuyển sau x˙ = (A(t) − γI)x (1.3) γ ∈ R Dễ dàng thấy Φγ (t, s) := e−γ(t−s) Φ(t, s) tốn tử tiến hóa Nếu với giá trị γ mà phương trình dịch chuyển (1.3) có tính nhị phân mũ với họ phép chiếu bất biến P P phép chiếu bất biến x˙ = A(t)x, tức (1.2) thỏa mãn Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau Φ(t, s)P (s) ≤ Ke(γ−α)(t−s) với t ≥ s Φ(t, s)[I − P (s)] ≤ Ke(γ+α)(t−s) với t ≤ s Nhận xét 1.1 Nếu x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P ≡ I x˙ = [A(t) − ζI]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến cho ζ > γ Khẳng định với ζ < γ P ≡ Tiếp theo ta trình bày khái niệm mơ tả tốc độ tăng trưởng mũ hàm số Định nghĩa 1.2 Giả sử γ ∈ R Một hàm liên tục g : R → RN (a) γ + - bị chặn supt≥0 g(t) e−γt < ∞ (b) γ − - bị chặn supt≤0 g(t) e−γt < ∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dσ(A) − Dσ(B) L(Sym) ≤2 A−B tính liên tục Dσ chứng minh Để kết thúc chứng minh, ta cần Dσ ∈ L(Sym) Tính tồn ánh: Với A ∈ P d Q ∈ Sym phương trình Lyapunov (hoặc Sylvester) XA + AX = Q có nghiệm X ∈ Sym từ ta có tính tồn ánh Tính đơn ánh : Với A ∈ P d Q ∈ Sym với Dσ(A)X = Chúng ta X = 0, có nghĩa Ker Dσ(A) = {0} Đặt v vectơ riêng A với giá trị riêng a > 0, có nghĩa Av = av Do AX = −XA nên ta có AXv = −XAv = −aXv Xv vectơ riêng A với giá trị riêng −a Ma trận A xác định dương nên khơng có giá trị riêng giá trị âm Do X = Bổ đề 2.5 Ánh xạ σ: Pd → Pd, A → A2 vi phôi C nghịch đảo √ σ −1 : Pd → Pd, A → A liên tục Chứng minh Chúng ta σ: Pd → Pd, A → A2 , vi phôi C (2.1) Dựa vào Bổ đề 2.4, σ khả vi liên tục với A ∈ P d đạo hàm Dσ(A) phép đẳng cấu tuyến tính Định lý ánh xạ nghịch đảo cho kết σ vi phôi C lân cận A σ(A) Do σ : P d → P d có tính song ánh, (2.1) chứng minh Giờ chứng minh phát biểu bổ đề Với tính khả vi liên tục √ σ −1 : Pd → Pd, A → A , ta có với A ∈ P d X ∈ Sym bất đẳng thức √ √ A + X − A − Dσ −1 (A)X ≤ R(X) X Với limX→0 R(X) = Từ ta thu chứng minh bổ đề Bổ đề 2.6 Đặt P0 ∈ RN ×N phép chiếu đối xứng X : R → GLN (R), t → X(t), liên tục tuyệt đối Khi ta có: 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (A) Ánh xạ ˜ : R → RN ×N , t → P0 X(t)T X(t)P0 +[I−P0 ]X(t)T X(t)[I−P0 ] (2.2) R ˜ liên tục tuyệt đối R(t) xác định dương, đối xứng với t ∈ R Hơn nữa, có hàm liên tục tuyệt đối R : R → RN ×N ma trận đối xứng xác định dương R(t), t ∈ R thỏa mãn ˜ R(t)2 = R(t), P0 R(t) = R(t)P0 (B) Ánh xạ S : R → RN ×N , t → X(t)R(t)−1 liên tục tuyệt đối ma trận S(t) khả nghịch thỏa mãn S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 thỏa mãn S(t) ≤ S(t)−1 ≤ X(t)P0 X(t)−1 √ + X(t)[I − P0 ]X(t)−1 (2.3) (2.4) với t ∈ R Chứng minh (A) Chứng minh chia làm ba bước ˜ : R → RN ×N xác định (2.2) liên tục tuyệt đối Bước 1: Ánh xạ R ˜ xác định dương đối xứng R(t) ˜ Do P0 có tính chất đối xứng, nên rõ ràng R(t) có tính chất đối xứng với t ∈ R Kết luận P0 X(t)T X(t)P0 P0 = xác định dương P0 = 0, với v ∈ RN ta có v, P0 X(t)T X(t)P0 v = X(t)P0 v, X(t)P0 v > 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ˜ xác định dương tương tự vậy, ta có kết luận thứ hai R(t) ˜ có tính tuyệt Do X có tính tuyệt đối liên tục , ta suy R đối liên tục Bước 2: Tồn hàm liên tục tuyệt đối R : R → RN ×N ma trận xác định dương, đối xứng R(t) , t ∈ R ˜ R(t)2 = R(t) ˜ ˜ Do R(t) ∈ P d, R(t) liên hợp với ma trận đường chéo với giá trị ˜ dương Do mà tồn bậc hai R(t) R(t) ma trận có tính đối xứng xác định dương Mọi giá trị tính R tổng hàm vi phân liên tục với giá trị liên tục tuyệt ˜ Một tổng liên tục tuyệt đối hàm ma trận R đối R liên tục tuyệt đối Bước 3: Với t ∈ R ma trận R(t) R(t)−1 giao hoán với phép chiếu P0 Xem Coppel [2] (B) Việc chứng minh chia làm hai bước Bước 1: Ánh xạ S(t) = X(t)R−1 (t) liên tục tuyệt t ∈ R ma trận S(t) khả nghịch thỏa mãn S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 X(t) R−1 (t) khả nghịch, S(t) khả nghịch Mỗi phần tử X R−1 hàm liên tục tuyệt đối t ∈ R Do tổng tích hàm liên tục tuyệt đối có tính liên tục tuyệt đối nên ta suy giá trị tính S liên tục tuyệt đối t ∈ R Chúng ta có S(t)P0 S(t)−1 = X(t)R(t)−1 P0 R(t)X(t)−1 Do P0 giao hoán với R(t) với t ∈ R nên đồng thức S(t)P0 S(t)−1 = X(t)P0 X(t)−1 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thỏa mãn Bước 2: Với t ∈ R ước lượng (2.3) (2.4) Xem Coppel [2] 2.2 Phép biến đổi tương đương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (2.5) với hàm ma trận khả tích địa phương A : R → RN ×N , N ∈ N Trước hết giới thiệu khái niệm tương đương hai phương trình vi phân tuyến tính có hệ số phụ thuộc vào thời gian Định nghĩa 2.7 Xét hệ (2.5) hệ z˙ = B(t)z (2.6) với B : R → RN ×N khả tích địa phương Khi (2.5) (2.6) gọi tương đương tồn hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) cho |S| := sup S(t) < ∞ S −1 := sup S(t)−1 < ∞ t∈R (2.7) t∈R z(t) = S(t)−1 x(t) Bổ đề 2.8 Với hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) thỏa mãn điều kiện tính bị chặn (2.7) phát biểu sau tương đương (A) Hệ (2.5) (2.6) tương đương theo phép biến đổi.S (B) Với tốn tử tiến hóa ΦA ΦB (2.5) (2.6) thỏa mãn ΦA (t, τ )S(τ ) = S(t)ΦB (t, τ ) không đổi với t, τ ∈ R (C) Hàm S giải phương trình vi phân S˙ = A(t)S − SB(t) 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Xem Bổ để 2.2 Daleckii Krein [5, Chứng minh bổ đề 2.1, trang 158] Bổ đề 2.9 Giả sử hệ (2.5) (2.6) tương đương theo phép biến đổi S Nếu với γ ∈ R hệ x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với hàng số K ≥ 1, α > phép chiếu bất biên P (t), t ∈ R, hệ z˙ = [B(t) − γI]z có tính nhị phân mũ với số |S| · S −1 · K ≥ 1, α > phép chiếu bất biến S(t)−1 P (t)S(t), t ∈ R Chứng minh Đặt γ ∈ ρ(A) x˙ = [A(t) − γI]x nhận phép nhị phân theo số mũ với số K ≥ 1, α > phép chiếu bất biến P Chúng ta z˙ = [B(t) − γI]z nhận phép nhị phân theo số mũ Chúng ta xác định phép chiếu Q(t) := S(t)−1 P (t)S(t) Sử dụng Bổ đề 2.8 ta dễ dàng thấy Q(t)ΦB (t, s) = ΦB (t, s)Q(s) với t, s ∈ R Q tốn tử bất biến với (2.6) Các bất đẳng thức nhị phân với x˙ = [A(t) − γI]x ΦB (t, s)Q(s) ≤ |S| S −1 Ke(γ−α)(t−s) với t ≥ s ΦB (t, s)[I − Q(s)] ≤ |S| S −1 Ke(γ+α)(t−s) với t ≤ s z˙ = [B(t) − γI]z có tính nhị phân mũ ta có điều phải chứng minh Hệ 2.10 Giả sử hệ (2.5) (2.6) tương đương Khi chúng có phổ nhị phân 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bổ đề 2.11 Giả sử hệ 2.5 có phép chiếu bất biến P : R → RN ×N , với P (t) = 0, I P (t) ≤ K, I − P (t) ≤ K với t ∈ R với số K ≥ Khi tồn hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) với √ √ S(t) ≤ S(t)−1 ≤ 2K với t ∈ R (2.8) S(t)−1 P (t)S(t) = I 0 , với t ∈ R (2.9) Chứng minh Chọn τ ∈ R tùy ý Khi tồn T ∈ GLN (R) cho T P (τ )T −1 = IN1 ×N1 0N1 ×N2 0N2 ×N1 0N2 ×N2 với N1 = dim imP N2 = dim kerP Với tốn tử tiến hóa Φ(t, τ ) (2.5) cách xác định X(t) := Φ(t, τ )T −1 P0 := T P (τ )T −1 với t ∈ R giả thiết Bổ đề 2.6 thỏa mãn Do đó, tồn hàm liên tục R, S : R → GLN (R) với S(t) = Φ(t, τ )T −1 R(t)−1 P0 R(t) = R(t)P0 (2.10) Khi đó, tính bất biến P (2.10) ta có S(t)−1 P (t)S(t) = R(t)T P (τ )T −1 R(t)−1 từ suy (2.9) Sử dụng Bổ đề 2.6, bất đẳng thức (2.8) chứng minh 2.3 Chéo hóa Trước đề cập đến kết đưa kết đơn giản kết việc tách hệ đường chéo hai khối 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lý 2.12 (Tách hai khối) Giả sử hệ (2.5) có phép chiếu bất biến P : R → RN ×N với P (t) = P (t) ≤ K, I − P (t) ≤ K với t ∈ R số K ≥ Khi đó, hệ (2.5) tương đương với hệ tách x˙ = B1 (t) 0 B2 (t) x (2.11) với hàm ma trận khả tích địa phương B1 : R → RN1 ×N1 B2 : R → RN2 ×N2 N1 := dim imP N2 := dim kerP Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.11 ta có hàm liên tục tuyệt đối S : R → GLN (R) với S(t)−1 P (t)S(t) = IN1 ×N1 0N1 ×N2 0N2 ×N1 0N2 ×N2 =: Chúng ta xác định với hầu hết giá trị t ∈ R ˙ B(t) := S(t)−1 [A(t)S(t) − S(t)] ˙ xác định B(t) = với t ∈ R mà S(t) khơng tồn Hàm ˙ ma trận B : R → RN ×N có tính khả tích địa phương Ta có S(t) = A(t)S(t) − B(t)S(t) với hầu hết t ∈ R, Bổ đề 2.8 (2.5) x˙ = B(t)x tương đương thông qua phép biến đổi S Áp dụng Bổ đề 2.8, S(t)−1 Φ(t, τ ) ma trận x˙ = B(t)x Sử dụng (2.10) ta có kết sau với hầu hết giá trị t ∈ R −1 ˙ B(t) = R(t)R(t) với R(t) = S(t)−1 Φ(t, τ )T −1 Dựa vào (2.10) R(t) R(t)−1 giao hoán với ˙ ma trận P0 với t ∈ R Khi đó, đạo hàm R(t) giao hốn với P0 Điều dẫn đến P0 B(t) = B(t)P0 (2.12) 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với hầu hết tất t ∈ R Bây phân tích B : R → RN ×N thành bốn hàm số B1 : R → RN1 ×N1 , B2 : R → RN2 ×N2 B3 : R → RN1 ×N2 , B4 : R → RN2 ×N1 với B(t) = B1 (t) B3 (t) B4 (t) B3 (t) với t ∈ R Đồng thức (2.12) B (t) B3 (t) B (t) = 0 B4 (t) 0 với t ∈ R Vì B3 (t) ≡ B4 (t) ≡ Với B , ta có dạng đường chéo khối B1 (t) với t ∈ R B(t) = B2 (t) chứng minh hoàn tất Định lý 2.13 Xét hệ (2.5) Do định lý phổ nên phổ nhị phân (2.5) rỗng hợp rời rạc n khoảng phổ đóng λ1 , , λn với ≤ n ≤ N (Xem Định lý 1.9), tức Σ(A) = ∅ (n = 0) Σ(A) =λ1 ∪ · · · ∪ λn Đặt W0 , , Wn+1 đa tạp phổ tương ứng Khi đó, tồn phép biến đổi tương đương S : R → RN ×N (2.5) hệ đường chéo khối B (t) x˙ = (2.13) Bn+1 (t) 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với hàm có tính khả quy địa phương Bi : R → RNi ×Ni , Ni = dim Wi Σ(B0 ) = λ0 ,Σ(B1 ) = λ1 , , Σ(Bn ) = λn ,Σ(Bn+1 ) = ∅, Một khối Bi giản ước số chiều khối Ni Tác động tương đương S cảm sinh với i = 0, ,n+1 ánh xạ song ánh S : Vi → Wi , (τ, ξ) → (τ, S(τ )ξ), S −1 : Wi → Vi , (τ, ξ) → (τ, S(τ )−1 ξ), Vi := {(τ, ξ0 , , ξn+1 ) ∈ R ×RN0 +···+Nn+1 : ξj = với j = i} đa tạp phổ tương ứng (2.13) Chứng minh Chúng ta thực phương pháp quy nạp toán học với i ∈ 0, , d, d số khoảng phổ Một khoảng phổ thành phần liên thông cực đại (nghĩa khoảng mở) tập giải thức Với γ nằm khoảng phổ Λ hệ x˙ = B(t)x hệ biến đổi theo γ x˙ = [B(t) − γI]x có tính nhị phân mũ phép chiếu bất biến P không phụ thuộc vào γ ∈ Λ Hơn nữa, P bị chặn P khơng tầm thường Định lý 2.13 cho kết phép tách khối Vì vậy, Σ(A) = R khai triển thêm kết thúc việc chứng minh Bây giờ, giả sử Σ(A) = R, vậy, ta có khoảng phổ Chúng ta chứng minh trường hợp cụ thể trường hợp khác tương tự Giả sử N0 := dim W0 ∈ {1, , N − 1} Sử dụng Định lý phổ (xem Định lý 1.9), ta có (−∞, γ0 ) ⊂ ρ(A) W0 = Sγ0 Chọn cố định giá trị γ ∈ (−∞; γ0 ] x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với số K0 ≥ α0 > phép chiếu bất biến P0 không phụ thuộc vào γ ∈ (−∞; γ0 ] Bây giờ, N0 = dim imP0 Do P0 = 0, I theo Định lý 2.13, hệ (2.5) tương đương với hệ tách B0 (t) x x˙ = B1,n+1 (t) (2.14) 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với hàm có tính khả tích địa phương B0 : R → RN0 ×N0 ,B1,n+1 : R → RN1,n+1 ×N1,n+1 với N0 + N1,n+1 = N phép biến đổi tương đương S Hệ x˙ = [diag(B0 (t), B1,n+1 (t)) − γI]x có tính nhị phân mũ với ˜ = |S0 | S0 −1 K0 ≥ 1, α0 > phép chiếu bất biến số K IN0 ×N0 0N0 ×N1,n+1 , với t ∈ R Q0 (t) = 0N1,n+1 ×N0 0N1,n+1 ×N1.n+1 Do có bất đẳng thức nhị phân sau ˜ e(γ−α0 )(t−τ ) với t ≥ τ, Ψ0 (t, τ ) ≤ K ˜ e(γ+α0 )(t−τ ) với t ≤ τ Ψ1,n+1 (t, τ ) ≤ K (2.15) Với toán tử tiến hóa Ψ0 Ψ1,n+1 x˙ = B0 (t)x0 x˙ 1,n+1 = B1,n+1 (t)x1,n+1 Điều γ ∈ ρ(B0 ), (−∞, γ0 ] ⊂ ρ(B0 ) Tuy nhiên, bất đẳng thức (2.15) γ nhận giá trị lớn ρ(B0 ) = R tương tự, ta có Σ(B0 ) = ∅ Do Σ(diag(B0 , B1,n+1 )) = Σ(B0 ) ∪ Σ(B1,n+1 ) = Σ(A) nên từ ta có Σ(B1,n+1 ) = Σ(A Do V0 = imQ0 , (2.6) V0 đa tạp phổ (2.14) Bây giờ, đặt (t, τ ) ∈ V0 Khi Ψ(t, τ )ξ = Ψ0 (t, τ )ξ0 Ψ(t, τ )S(τ )ξ = S(t)Ψ(t, τ )ξ ≤ |S0 | Ψ0 (t, τ )ξ0 với t ≥ τ Cùng với bất đẳng thức (2.15) ta suy sup Φ(t, τ )S(τ )ξ e−γt < ∞ t≥τ (τ, S(τ )ξ) ∈ W0 Bây đặt (τ, ξ) ∈ W0 Vì vậy, ξ ∈ W0 (τ ) = Sγ0 (τ ) Do Sγ0 (τ ) = imP0 (τ ) ta có S0 (τ )−1 ∈ imS0 (τ )P0 (τ ), S0 (τ )−1 ξ ∈ imQ0 (τ ) = imS0 (τ )−1 P0 (τ )S0 (τ ) điều bao thức hàm (τ, S0 (τ )−1 ξ) ∈ V0 Nếu n = kết thúc với S := S0 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giờ giả sử n ≥ 1, mục đích tách phương trình với số chiều N1,n+1 x˙ 1,n+1 = B1,n+1 (t)x1,n+1 (2.16) (2.14) Nếu khoảng phổ λ1 bị chặn λ1 = [a1 , ∞) = Σ(A) với a1 ∈ R ta khơng có khoảng phổ ta khơng thể thực trình tách với Định lý 2.13 Giả sử khoảng phổ λ1 khoảng compact λ1 = [a1 , b1 ] Do ta chọn giá trị γ1 ∈ ρ(A) = ρ(B1,n+1 ) với (b1 , γ1 ) ⊂ ρ(B1,n+1 ) Bây chọn cố định γ ∈ (b1 , γ1 ) Khi hệ γ chuyển đổi thành x˙ 1,n+1 = [B1,n+1 (t) − γI]x1,n+1 có tính nhị phân t mũ với số K1 ≥ 1, α1 > phép chiếu bất biến P1 , ta lại có P1 không phụ thuộc vào γ ∈ (b1 , γ1 ) Do đa tạp phổ (2.16) thuộc λ1 có chiều ≥ với imP1 nên hệ có P1 = Nếu P1 = I kết thúc với S := S0 Giả sử P1 = I Khi dựa vào Định lý 2.13 hệ (2.14) tương đương với hệ tách x˙ 1,n+1 = B1 (t) B2,n+1 (t) x1,n+1 (2.17) với hàm khả tích địa phương B1 : R → RN1 ×N1 , B2,n+1 : R → RN2,n+1 ×N2,n+1 với N0 + N1 + N2,n+1 = N tác dụng tính tương đương theo phép dời hình S1 : R → RN1,n+1 ×N1,n+1 Ta có hệ x˙ 1,n+1 = [diag(B1 (t), B2,n+1 (t))− ˜ = |S1 | S1 −1 K1 ≥ 1, α1 > γI]x1,n+1 có tính nhị phân mũ với số K phép chiếu bất biến Q1 = IN1 ×N1 0N1 ×N2,n+1 0N2,n+1 ×N1 0N2,n+1 ×N2,n+1 Do hệ có đẳng thức nhị phân ˜ e(γ−α1 )(t−τ ) với t ≥ τ Ψ1 (t, τ ) = K 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ˜ e(γ+α1 )(t−τ ) với t ≤ τ Ψ2,n+1 (t, τ ) = K (2.18) với tốn tử tiến hóa Ψ1 Ψ2,n+1 x˙ = B1 (t)x1 x˙ 2,n+1 = B2,n+1 (t)x2,n+1 Điều γ ∈ ρ(B1 ), (b1 , γ1 ) ⊂ ρ(B1 ) (b1 , ∞) ⊂ ρ(B1 ), đẳng thức (2.18) γ nhận giá trị lớn Nó (−∞, a1 ) ⊂ ρ(B1 ) Điều suy từ đẳng thức (2.16) Ψ1 (t, τ ) ≤ diag(Ψ1 (t, τ ), Ψ2,n+1 (t, τ )) = S1 (t)−1 Ψ1,n+1 (t, s)S1 (τ ) ˜ e(γ+α0 )(t−τ ) , với t ≤ τ ≤ S1 −1 |S1 | K Điều hàm ý γ ∈ ρ(B1 ) với γ ∈ (−∞, γ0 ] Do γ0 chọn cách tùy ý gần với a1 ta có (−∞, a1 ) ⊂ ρ(B1 ) Điều dẫn đến Σ(B1 ) = λ1 Σ(B2,n+1 ) = (A) \ λ1 Bây S : R → RN ×N , t → IN0 ×N0 S1 (t) · S0 (t) tác dụng tính tương đương theo phép biến đổi hệ (2.5) hệ B (t) x˙ = x B1 (t) B2,n+1 (t) Ta vừa S0 ánh xạ đa tạp phổ W0 V0 lên Rõ ràng S gây ảnh hưởng Chứng minh tương tự, ta S ánh xạ W1 V1 lên Phần lại phép quy nạp toán học 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Trong luận văn này, trình bày số kết sau: Trình bày phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Trình bày việc chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] B D Craven (1982), Lebesgue measure and integral, Pitman [2] W A Coppel (1967), Dichotomies and reducibility J Differential equations 504 [3] W A Coppel (1978), Dichotomies in stability theory Lecture Notes in Mathematics 629 [4] F Colonius and W Kliemann (2000), The dynamics of control Birkhauser [5] J L Daleckii and M G Krein (2000), Stability of solutions of differential equations in Banach space Stranslation of mathematical monographs 43 [6] J K Hale (1980) , Ordinary differential equations.Robert E Krieger [7] K J Palmer, On the reducibility of almost periodic systems of linear differential equations J Differential equations 36 [8] G R Sell (1974), The Floquet problem for almost periodic linear differential equations Lecture Notes in Mathematics, 415 Springer [9] S Siegmund (2002), Dichotomy spectrum for nonautonomous differential equations Journal of Dynamics and Differential equations, Vol 14, no 1, 243-258 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [10] S Siegmund (2002), Reducibility of nonautonomoous linear differential equations Journal of the London Mathematical Society , Vol 65, 397410 34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com Kết luận Trong luận văn này, trình bày số kết sau: Trình bày phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Trình bày vi? ??c chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính khơng gian... thời gian Siegmund [9], luận văn bao gồm nội dung sau: Chương 1: Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Chương 2: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính không gian hữu hạn... bất biến P đa tạp tích phân tuyến tính (1.1) với ker P ⊕ im P = R ×RN Tiếp theo, xét ví dụ phương trình vi phân tuyến tính cụ thể Ví dụ 1.4 Xét phương trình vi phân tuyến tính x˙ = −x1 , x˙ =
Ngày đăng: 19/12/2022, 20:03
Xem thêm:
