(Luận văn) một số vấn đề về lý thuyết đối ngẫu liên hợp và lý thuyết đối ngẫu lagrange

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ BÁ LONG NHẬT lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LIÊN HỢP VÀ LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU LAGRANGE d oa nl w Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Dương Thị Việt An m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2020 ac th si Möc löc lu an n va Mð ¦u Líi c£m ìn Kián thực chuân b gh tn to Danh mửc kỵ hiằu p ie 1.1 1.2 1.3 1.4 d oa nl w Têp lỗi v Hm lỗi H m liản hủp v mởt số tẵnh chĐt Dữợi vi phƠn cừa hm lỗi Mởt số k¸t qu£ bê trđ an lu nf va Mët sè vĐn à và lỵ thuyát ối ngău lm ul z @ 17 17 20 24 27 31 35 m co K¸t luªn l gm Ph¡t biºu b i to¡n ối ngău liản hủp ối ngău Lagrange V½ dư v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău p dửng tẵnh toĂn dữợi vi phƠn z at nh oi 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 11 13 14 an Lu n va ac th si Danh mửc kỵ hiằu R lu an R n va R+ tn to X∗ p ie gh ∅ ∀x nl w ∃x d oa M ∩N inf f (x) x∈K an Lu n va m co hx∗ , xi l dom f hm ch cừa têp trản ỗ th cừa hm f mi·n húu hi»u cõa h m f gi¡ trà cõa phiám hm x tÔi x gm epi f @ (·) z sup f (x) x∈K z at nh oi int A lm ul B X (0, 1) nf va an ||x|| lu |x| trữớng số thỹc têp số thỹc suy rởng têp số thỹc khổng Ơm khổng gian liản hủp (ối ngău) cừa X têp rộng vợi mồi x tỗn tÔi x giao cừa hai têp hủp M v N gi¡ trà tuy»t èi cõa x chu©n cõa v²ctì x hẳnh cƯu ỡn v õng X phƯn cõa tªp A infimum cõa tªp sè thüc {f (x) | x ∈ K} supremum cõa tªp sè thüc {f (x) | x K} ac th si dữợi vi phƠn cừa hm lỗi f tÔi x hm liản hủp cõa h m f h m li¶n hđp thù hai cõa h m f nỷa liản tửc dữợi hồ cĂc lƠn cên cừa x têp cĂc giĂ tr tối ữu cừa bi toĂn P ∂f (x) f∗ f ∗∗ l.s.c N (x) val(P ) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to Lỵ thuyát ối ngău l mởt bở phên quan trồng cừa lỵ thuyát tối ữu hoĂ Tữỡng ựng vợi mội bi toĂn Quy hoÔch tuyán tẵnh (cỏn gồi l bi toĂn gốc) cõ mởt bi toĂn ối ngău Bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău cõ mối liản hằ qua lÔi vợi nhau, tẵnh chĐt cừa bi toĂn n y câ thº ÷đc kh£o s¡t thỉng qua b i to¡n NhiÃu quy trẳnh tẵnh toĂn hay phƠn tẵch ữủc ho n thi»n xem x²t c°p b i to¡n gèc v  bi toĂn ối ngău mội quan hằ cht ch cừa chúng, mang lÔi nhỳng lủi ẵch viằc giÊi quyát cĂc vĐn à phĂt sinh tứ thỹc tá d oa nl w an lu nf va B i to¡n quy hoÔch toĂn hồc cĂc khổng gian vổ hÔn chiÃu  ữủc nghiản cựu tứ giỳa thá k trữợc, bưt Ưu vợi mổ hẳnh bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh vổ hÔn chiÃu NhiÃu bi toĂn tối ữu cĂc khổng gian hm, cõ cĐu trúc phực tÔp, nhữ bi toĂn iÃu khin tối ữu v bi toĂn bián phƠn cõ th ữa và bi toĂn quy hoÔch toĂn hồc khổng gian vổ hÔn chiÃu z at nh oi lm ul z gm @ m co l Php tẵnh vi phƠn l mởt nhỳng à ti cỡ bÊn nhĐt cừa giÊi tẵch cờ in Trong giÊi tẵch lỗi, lỵ thuyát ny lÔi cng tr nản phong phú nhớ nhỳng tẵnh chĐt c biằt cừa têp lỗi v hm lỗi Dữợi vi phƠn l khĂi an Lu n va ac th si ni»m mð rëng cho khĂi niằm Ôo hm hm khổng khÊ vi iÃu ny cho thĐy vai trỏ cừa dữợi vi phƠn giÊi tẵch hiằn Ôi cụng cõ tƯm quan trồng nhữ vai trỏ cừa Ôo hm giÊi tẵch cờ in Trong Lỵ thuyát tối ữu nõi chung v GiÊi tẵch lỗi nõi riảng, cĂc quy tưc tẵnh tờng dữợi vi phƠn cừa cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng cõ vai trỏ h¸t sùc quan trång, °c bi»t l  ta l m viằc vợi cĂc bi toĂn tối ữu cõ rng buởc lu an n va gh tn to Mưc ½ch cõa luên vôn l nghiản cựu lỵ thuyát ối ngău liản hủp v lỵ thuyát ối ngău Lagrange cho bi toĂn quy hoÔch lỗi cõ tham số khổng gian Banach Tứ õ Ăp dửng lữủc ỗ ối ngău  nghiản cựu quy tưc tẵnh tờng dữợi vi phƠn cừa cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng dữợi nhỳng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hủp p ie Nởi dung cừa luên vôn ữủc dàch Ti¸ng Vi»t mët sè nëi dung tø mưc 2.5 Duality Theory cuèn s¡ch chuy¶n kh£o "Perturbation Analysis of Optimization Problems" (Springer, New York, 2000) cõa c¡c t¡c gi£ J F Bonnans and A Shapiro [3] Trong qu¡ trẳnh nghiản cựu tĂc giÊ cụng tẳm hiu, tờng hủp cĂc kián thực cỡ bÊn liản quan v cố gưng diạn Ôt chi tiát chựng minh cừa cĂc mằnh à v cĂc nh lỵ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, phƯn kát luên, danh mưc t i li»u tham kh£o, v  hai ch÷ìng câ nëi dung nhữ sau: gm @ l Chữỡng 1: Kián thực chuân b nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v kián m co thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi, hm liản hủp mởt số kát quÊ bờ trủ nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát qu£ ð ch÷ìng sau an Lu n va ac th si Chữỡng 2: Mởt số vĐn à và lỵ thuyát ối ngău trẳnh by hai cĂch tiáp cên và lỵ thuyát ối ngău: ối ngău liản hủp v ối ngău Lagrange Vẵ dử v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău cụng ữủc nghiản cựu chữỡng ny c biằt, phƯn cuối chữỡng, mởt kát quÊ và quy tưc tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng thu ữủc bơng cĂch Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Líi c£m ìn lu an n va tn to Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa TS Dữỡng Th Viằt An Em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi Cổ  hữợng dăn hiằu quÊ v truyÃn cho em nhỳng kinh nghiằm nghiản cựu quĂ trẳnh em hồc têp v hon thiằn luên vôn ny p ie gh Em cơng xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƯy cổ Khoa ToĂn - Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho em suốt quĂ trẳnh em hồc têp trữớng oa nl w d ThĂi Nguyản, ngy 16 thĂng nôm 2020 nf va an lu Håc vi¶n z at nh oi lm ul Lả BĂ Long Nhêt z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b lu an n va p ie gh tn to Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi, hm liản hủp mởt số kát quÊ bờ trủ nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ cừa chữỡng sau Nởi dung cõa ch÷ìng ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2] v  [3] oa nl w 1.1 Tªp lỗi v Hm lỗi d GiÊ sỷ X l khổng gian Banach vợi khổng gian ối ngău tữỡng ựng l X ∗, D ⊂ X, f : D → R = R {} CĂc têp hủp dữợi Ơy: nf va an lu lm ul epif := {(x, α) ∈ D × R | f (x) ≤ α}, z at nh oi domf := {x ∈ D | f (x) < +}, z lƯn lữủt ữủc gồi l trản ỗ v  mi·n húu hi»u cõa h m f H m f ữủc gồi l chẵnh thữớng náu domf 6= v f (x) > −∞, ∀x ∈ D @ co l gm nh nghắa 1.1 Têp A X ữủc gồi l lỗi náu m x, y A, ∈ (0, 1) ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ A an Lu Quy ữợc: Têp l têp lỗi n va ac th si V½ dư 1.1 Trong khổng gian hỳu hÔn chiÃu, mt phng, oÔn thng, ữớng thng, tam giĂc, hẳnh cƯu l cĂc têp lỗi Mằnh · 1.1 (xem [1, trang 4]) Gi£ sû Aα ⊂ X( I) l cĂc têp lỗi, vợi I l têp ch số bĐt ký Khi õ A = T A I cụng l têp lỗi Mằnh à 1.2 (xem [1, trang 4]) Gi£ sû tªp Ai λi ∈ R, 1, m X l cĂc têp lỗi, Khi õ 1A1 + à à à + mAm l têp lỗi M»nh · 1.3 (xem [1, trang 4]) Gi£ sû Xi l khổng gian tuyán tẵnh, têp lu Ai Xi an lỗi (i = 1, n) Khi õ, tẵch à cĂc A1 ì A2 ì ì An l têp lỗi n va X1 ì X2 ì ì Xn tn to ành ngh¾a 1.2 H m f : D R ữủc gồi l lỗi trản D náu epif l têp ie gh lỗi X ì R p M»nh · 1.4 (xem [1, trang 40]) Cho f : X → (−∞, +∞] Khi â f l  w d oa nl hm lỗi náu v ch náu an lu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1) (1.1) nf va Chùng minh ⇒) V¼ f l hm lỗi nản epif l têp lỗi Khi â vỵi måi ta câ z at nh oi lm ul (x, r) ∈ epif , (y, s) ∈ epif , λ ∈ (0, 1), λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif z ⇔ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s gm @ ⇔ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), (l§y r = f (x), s = f (y)) m co l N¸u x ho°c y khỉng thc domf th¼ f (x) = +∞ ho°c f (y) = +∞ Khi â (1.1) óng ) Ngữủc lÔi giÊ sỷ (1.1) úng LĐy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif , vỵi måi an Lu n va ac th si th¼ ta câ v(u) ≥ hu∗ , ui − v ∗ (u∗ ) Theo M»nh · 2.2, v(u) = hu∗ , ui − v ∗ (u∗ ) n¸u v  ch¿ n¸u u∗ ∈ ∂v(u) lu an n va p ie gh tn to V¼ v∗(u∗) = ϕ∗ (0, u∗), i·u n y suy rơng u l mởt nghiằm tối ữu cừa (Du) náu u∗ ∈ ∂v(u) v  tr÷íng hđp â val (Pu) = val (Du), v ngữủc lÔi Do õ (i) v (ii) x£y Hìn núa, theo M»nh · 2.4, ta câ S(Du ) = ∂v ∗∗ (u) V¼ v(·) l  khÊ dữợi vi phƠn tÔi u, nản tứ Mằnh à 1.8 ta công câ ∂v∗∗(u) = ∂v(u), v  â (i) xÊy Náu v(u) = v(u), thẳ mởt lƯn núa ∂v∗∗(u) = ∂v(u), v  â (ii) x£y N¸u val (Pu) = val (Du) v  gi¡ trà n y hỳu hÔn, thẳ ró rng tứ nhỳng lêp luên trản, x X v u U lƯn lữủt l  c¡c nghi»m tèi ÷u cõa (Pu ) v  (Du ) n¸u v  ch¿ n¸u i·u ki»n (2.4) óng Hìn nỳa, ta cụng thĐy rơng, náu (2.4) úng thẳ val (Pu) = val (Du), v  â (iii) x£y d oa nl w an lu  nf va nh nghắa 2.1 Ta nõi rơng bi toĂn (Pu) tắnh náu val(Pu) hỳu hÔn v z at nh oi lm ul hm giĂ tr tối ữu v(Ã) khÊ dữợi vi tÔi u, nghắa l v(u) 6= Tứ nh lỵ 2.1, ta cõ kát quÊ sau z Mằnh à 2.5 GiÊ sỷ rơng val(Pu) hỳu hÔn Náu (Pu) tắnh Khi â khæng m co l gm @ câ khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu) v (Du), v têp nghiằm tối ữu cừa bi toĂn ối ngău (Du) khĂc rộng Ngữủc lÔi, náu khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu ) v (Du ) bơng khổng, thẳ bi toĂn ối ngău (Du ) cõ mởt nghiằm tối ữu náu v ch náu (Pu) tắnh an Lu n va 22 ac th si nh lỵ 2.2 (nh lỵ ối ngău) GiÊ sỷ rơng (x, u) l lỗi, chẵnh thữớng, hm giĂ tr tối ữu v(u) = val(Pu) hỳu hÔn v liản tửc tÔi u U Khi õ val(Pu ) = val(Du¯ ), S(Du¯ ) 6= ∅, v  hìn núa S(Du ) = v( u) Chựng minh Vẳ v(Ã) lỗi v liản tửc tÔi u nản theo nh lỵ 1.3 ta cõ v(u) khĂc rộng Do õ, theo nh lỵ 2.1 (i), ta thu ữủc iÃu cƯn chựng minh  lu an n va p ie gh tn to i·u kiằn v(Ã) liản tửc tÔi u ữủc xem nhữ mởt iÃu kiằn chẵnh quy Cõ th viát iÃu kiằn ny dữợi nhiÃu dÔng tữỡng ữỡng Vẵ dử, náu v(Ã) l lỗi v val(Pu) hỳu hÔn thẳ iÃu kiằn ny tữỡng ữỡng vợi iÃu kiằn val(Pu) b chn trản mởt lƠn cên cừa u Hỡn nỳa, náu U l khổng gian hỳu hÔn chiÃu thẳ v(Ã) liản tửc tÔi u náu v  ch¿ n¸u u¯ ∈ int(dom v) N¸u X, U l cĂc khổng gian Banach thẳ ta cõ kát quÊ sau nl w M»nh · 2.6 Cho X, U l  c¡c khỉng gian Banach Gi£ sû r¬ng h m d oa l chẵnh thữớng, lỗi, nỷa liản tửc dữợi v v(u) hỳu hÔn Khi õ v(Ã) l liản tửc tÔi u¯ n¸u v  ch¿ n¸u u¯ ∈ int(dom v) ϕ(x, u) an lu nf va V½ dư 2.1 Cho x = (x1, x2) ∈ R2, u ∈ R v  −x1 + ex2 + u 0, z at nh oi lm ul ϕ(x, u) :=   x1 ,  +, cĂc trữớng hủp khĂc z Vợi mồi u R, cĂc giÊ thiát cừa nh lỵ 2.2 thọa mÂn v v(u) = u vợi mồi u R Ngo i ra, c¡c tr÷íng hđp kh¡c; m an Lu  +∞, co u∗ = 1, l gm @ ϕ∗ (0, u∗ ) := v ∗ (u∗ ) =   0, n 23 va vªy khỉng câ khoÊng cĂch ối ngău giỳa (Pu) v (Du); v S(Du) = {1} ac th si 2.3 ối ngău Lagrange Trong mửc ny chúng tổi trẳnh by cĂch tiáp cên ối ngău dũng hm Lagrange PhƯn cuối chúng tổi cụng ch mối quan hằ giỳa ối ngău liản hủp (Mửc 2.2) v ối ngău Lagrange Cho KX X, KY Y l cĂc têp hủp khĂc rộng bĐt kẳ Ta x²t c°p b i to¡n gèc v  b i to¡n èi ngău thổng qua hm L : KX ì KY R, ÷đc x¡c ành nh÷ sau lu sup an x∈KX y∈KY (P L) L(x, y) (DL) n va L(x, y), to max inf tn y∈KY x∈KX p ie gh Ta gồi L l hm Lagrange tữỡng ựng vợi cĂc b i to¡n ð tr¶n Hi»u sè giúa val(P L ) − val(DL ) (khi val(P L ) v  val(DL ) khổng nhên giĂ tr vổ hÔn) ữủc gồi l khoÊng cĂch ối ngău tữỡng ựng vợi cp bi toĂn ối ngău trản Ta nõi rơng (x, y) KX ì KY l mởt im yản ngỹa cừa hm L(x, y) n¸u L(¯x, y¯) ∈ R v : d oa nl w nf va an lu L(¯x, y) ≤ L(¯x, y¯) ≤ L(x, y¯), lm ul ∀(x, y) ∈ KX ì KY z at nh oi nh lỵ 2.3 (i) Ta câ val(DL) ≤ val(P L) Hìn núa khoÊng cĂch ối z ngău val(DL) val(P L) (náu nâ x¡c ành) l  khỉng ¥m (ii) H m L(x, y) cõ mởt im yản ngỹa náu v ch náu cĂc b i to¡n (DL)v  (P L ) câ còng gi¡ trà tối ữu v têp nghiằm tối ữu cừa mội bi toĂn l khĂc rộng Trong trữớng hủp ny, têp hủp cĂc im yản ngỹa ữủc kẵ hiằu S(P L ) × S(DL ) m co l gm @ an Lu n va 24 ac th si Chùng minh (i) LĐy (x, y) KX ì KY bĐt kẳ Khi â inf L(x, yˆ) ≤ L(ˆ x, yˆ) ≤ sup L(ˆ x, y) x∈K y∈K X Y v  sup inf y∈Ky x∈KX L(x, y) ≤ x∈K inf L(x, y) sup X y∈KY Tø â, suy b§t ¯ng thùc val(DL) val(P L), v õ khoÊng cĂch ối ngău l khổng Ơm (ii) GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi mởt iºm y¶n ngüa (¯x, y¯) Khi â lu an sup n va y∈KY L(¯x, y) ≤ L(¯x, y¯) ≤ x∈K inf L(x, y) X gh tn to Thỹc tá thẳ cĂc bĐt ng thực trản chẵnh l cĂc ng thực, bi vẳ cên trản úng v cên dữợi úng lƯn lữủt thu ữủc vợi y v x, vẳ vêy p ie L (¯ x, y) = L(¯ x, y¯) = inf L(x, y¯) ≤ val(DL ) x∈K y∈K M°t kh¡c, vẳ val(DL) val(P L) nản val(DL) = L(x, y) = val(P L) val(P L ) ≤ sup X Y d oa nl w Hìn núa, lu L y∈KY lm ul v  nf va an val(P L ) = (¯ x, y¯) = sup L val(DL ) = (¯ x, y¯) = inf z at nh oi x∈KX L(¯x, y) L(¯x, y) z Hay nâi c¡ch kh¡c x¯ ∈ S(P L) v y S(DL) tữỡng ựng BƠy giớ ta s ch rơng giĂ tr tối ữu cừa bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău l bơng nhau, v  n¸u x¯ ∈ S(P L) v  y¯ ∈ S(DL), thẳ (x, y) l mởt im yản ngỹa cừa L iÃu ny cho thĐy rơng iÃu kiằn ny l i·u ki»n õ, v  tø â tªp hđp c¡c iºm yản ngỹa l S(P L) ì S(DL) Thêt vêy, vẳ m co l gm @ x∈KX L(x, y¯) ≤ L(¯x, y¯) ≤ y∈K sup L(¯ x, y) = val(P L ), Y n va 25 an Lu val(DL ) = inf ac th si v  gi¡ trà tèi ÷u cừa bi toĂn gốc v bi toĂn ối ngău l b¬ng nhau, ta câ L(¯x, y¯) = x∈K inf L(x, y¯) ≤ L(x, y¯), ∀x ∈ KX X T÷ìng tü, ta công câ L(¯x, y¯) = y∈K sup L(x, y¯) ≥ L(¯ x, y), ∀y ∈ KY Y Khi â (¯x, y¯) l  iºm y¶n ngüa  lu  thĐy ữủc quan hằ giỳa ối ngău Lagrange v ối ngău liản hủp, ta xt hm sau, hm ny câ thº ÷đc xem l  h m Lagrange cõa c°p b i toĂn gốc (Pu) v bi toĂn ối ngău (Du) tữỡng ùng, an n va tn to L(x, u∗ , u) := hu∗ , ui − ϕ∗u (x, u∗ ) , p ie gh õ, vợi x cho trữợc, u l liản hủp cừa hm theo bián u: w ϕ∗u (x, u∗ ) = sup {hu∗ , u0 i − ϕ(x, u0 )} nl u0 ∈U d oa Khi â ta câ an lu x∈X {hu∗ , u0 i − ϕ(x, u0 )} , sup (x,u0 )∈X×U z at nh oi lm ul v  â nf va inf L(x, u∗ , u) = hu∗ , ui − inf L(x, u∗ , u) = hu∗ , ui (0, u ) xX z Vêy nản, bi toĂn ối ngău (Du) tữỡng ữỡng vợi  inf L(x, u∗ , u) gm max x∈X l u∗ ∈U ∗ @  m co M°t kh¡c, ta câ an Lu sup L(x, u∗ , u) = sup {hu∗ , ui − ϕ∗u (x, u∗ )} = ϕ∗∗ u (x, u) u∗ ∈U ∗ u∗ ∈U ∗ n va 26 ac th si Chú ỵ rơng u , vẳ vêy val(Du ) = sup inf L(x, u , u) inf sup L(x, u∗ , u) u∗ ∈U ∗ x∈X x∈X u∗ ∈U ∗ = inf ϕ∗∗ u (x, u) val(Pu ) x∈X Ngo i ra, n¸u h m (x, Ã) lỗi v õng vợi mồi x X , theo nh lẵ FenchelMoreau (nh lỵ 1.2), ta cõ sup L(x, u∗ , u) = ϕ(x, u), u∗ ∈U lu vẳ vêy bi toĂn gốc (Pu) cõ th viát dữợi dÔng an va  n xX  sup L(x, u , u) ∗ u∗ ∈U ∗ p ie gh tn to Suy rơng náu (x, Ã) l mởt hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng thẳ bi toĂn (Pu) v (Du) cõ ữủc nhớ thay êi thù tü â c¡c to¡n tû "max" v "min" ữủc Ăp dửng cho hm ối ngău Lagrange L(x, u∗, u) Tùc l , tr÷íng hđp n y, èi ngău liản hủp trũng vợi ối ngău Lagrange, v náu x, u lƯn lữủt l nghiằm tối ữu cừa bi toĂn gốc v ối ngău, v cĂc giĂ tr cừa cĂc bi toĂn ny bơng nhau, thẳ (x, u) l mët iºm y¶n ngüa cõa L(·, ·, u), tùc l  d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi sup L(¯ x, u∗ , u) = L(¯ x, u¯∗ , u) = inf L(x, u¯∗ , u) u∗ ∈U ∗ x∈X z 2.4 V½ dử v Ăp dửng sỡ ỗ ối ngău @ min{f (x) + F (G(x))}, n va 27 (2.5) an Lu (P ) m co l gm Cho X, X ∗ v  Y, Y ∗ l  c°p c¡c khæng gian vectỡ tổpổ lỗi a phữỡng Xt bi toĂn tối ÷u ac th si â f : X → R, F : Y → R l  c¡c h m ch½nh thữớng, v G : X Y Têp chĐp nhên ữủc cừa bi toĂn (P 0) l := {x ∈ dom f | G(x) ∈ dom F } Chú ỵ rơng náu F (Ã) = K (Ã) l h m ch¿ cõa tªp khỉng réng K ⊂ Y , õ bi toĂn (P 0) cõ dÔng (P ) f (x) x∈X cho G(x) ∈ K (2.6) lu Ta x²t hå c¡c b i to¡n tèi ÷u câ tham sè an (Py0 ) va min{f (x) + F (G(x) + y)}, x∈X n p ie gh tn to â y ∈ Y l  tham sè Hiºn nhi¶n y = b i to¡n (P00 ) trịng vỵi b i to¡n (P 0) °t nl w ϕ(x, y) = f (x) + F (G(x) + y) d oa inf (x, y) Vẳ Hm giĂ tr tối ữu cõa b i to¡n v(y) = val(Py0 ) hay v(y) = xX hm f v F l chẵnh thữớng, nản tỗn tÔi x dom f v y dom F Khi â ϕ(x, y − G(x)) = f (x) + F (y) < +∞, suy (x, y − G(x)) ∈ dom ϕ Hìn núa ϕ(x, y) ≥ −∞, vợi mồi (x, y) X ì Y , õ l hm chẵnh thữớng Náu f v F nỷa liản tửc dữợi thẳ cụng nỷa liản tửc dữợi Trữớng hủp riảng náu F (Ã) = K (Ã) l  h m ch¿ cõa tªp K , â F l nỷa liản tửc dữợi v ch K âng nf va an lu z at nh oi lm ul z @ gm nh nghắa 2.2 Ta nõi rơng b i to¡n (P 0) ÷đc cho bði cỉng thùc (2.5) m co l l lỗi náu hm F (Ã) l nỷa liản tửc dữợi v f (x) v (x, y) = F (G(x) + y) l lỗi an Lu n 28 va nh nghắa 2.3 Ta nõi rơng bi to¡n (P 0) ÷đc cho bði cỉng thùc (2.6) ac th si l lỗi náu hm f (x) lỗi, têp K l lỗi v õng, Ănh xÔ G(x) l lỗi tữỡng ựng vợi têp (K) (hay (x, y) := K (G(x) + y) l lỗi) Hm Lagrange cừa bi toĂn (P 0) l  L(x, y ∗ ) := f (x) + hy ∗ , G(x)i M»nh · 2.7 Cho h m ϕ(x, y) = f (x) + F (G(x) + y) Khi õ hm liản hủp thự nhĐt v thự hai cừa lƯn lữủt ữủc xĂc nh bi lu ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = sup{hx∗ , xi − L(x, y ∗ )} + F ∗ (y ∗ ) an x∈X va ϕ∗∗ (x, y) = sup {hy ∗ , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} x∈X n y ∗ ∈Y ∗ ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = p ie gh tn to Chùng minh Theo cæng thùc cõa h m li¶n hđp, ta câ {hx∗ , xi + hy ∗ , yi − ϕ(x, y)} sup = (x,y)∈X×Y {hx∗ , xi + hy ∗ , G(x) + yi sup lu = {hx∗ , xi + hy ∗ , yi − f (x) − F (G(x) + y)} sup d oa nl w (x,y)∈X×Y nf va an (x,y)∈X×Y − hy ∗ , G(x)i − f (x) − F (G(x) + y)} lm ul = sup{hx∗ , xi − f (x) − hy ∗ , G(x)i z at nh oi x∈X + sup[hy ∗ , G(x) + yi − F (G(x) + y)]} yY z Bơng cĂch ời bián G(x) + y 7−→ y ta ÷đc gm @ ϕ∗ (x∗ , y ∗ ) = sup{hx∗ , xi − L(x, y ∗ )} + F ∗ (y ∗ ) m co Bơng cĂch bián ời tữỡng tỹ ta cụng tẵnh ữủc l x∈X an Lu ϕ∗∗ (x, y) = sup {hy ∗ , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} x∈X n 29 va y ∗ ∈Y ∗ ac th si  B i to¡n ối ngău (Dy0 ) cừa bi toĂn (Py0 ) cõ dÔng (Dy0 ) {hy , yi + inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} max ∗ ∗ y ∈Y x∈X Tr÷íng hđp y = 0, bi toĂn ối ngău cừa (P 0) l (D0) max { inf L(x, y ∗ ) − F ∗ (y ∗ )} y ∗ ∈Y ∗ x∈X Ta luæn câ val(P 0) val(D0) vẳ v(u) v(u) Náu vợi mët v i x0 ∈ X, y¯∗ ∈ Y ∗ m  lu (2.7) an f (x0 ) + F (G(x0 )) = inf L(x, y¯∗ ) − F ∗ (¯ y ∗ ), x∈X n va th¼ val(P 0) = val(D0) (theo nh lỵ 2.1) p ie gh tn to Khi val(P 0) = val(D0) hỳu hÔn thẳ x0 X v  y¯∗ ∈ Y ∗ t÷ìng ùng l  nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0) v  (D0) i·u ki»n (2.7) ữủc viát lÔi nhữ sau nl w oa = f (x0 ) + F (G(x0 )) − inf L(x, y¯∗ ) − F ∗ (¯ y∗) d x∈X an lu ⇔ = L(x0 , y¯∗ ) − hy ∗ , G(x0 )i + F (G(x0 )) − inf L(x, y¯∗ ) + F ∗ (¯ y ∗ ) x∈X nf va lm ul Hay x∈X z at nh oi

L(x0 , y¯∗ )− inf L(x, y¯∗ ) + F (G(x0 )) + F ∗ (¯ y ∗ ) − hy ∗ , G(x0 )i = (2.8) Nhªn x²t 2.2 (i) L(x0, y¯∗) ≥ x∈X inf L(x, y¯∗ ) hay L(x0 , y¯∗ )− inf L(x, y ) xX z DĐu bơng x£y v  ch¿ x0 ∈ arg L(x, y¯∗ ) x∈X ∗ ∗ ∗ (ii) F (G(x0)) ≥ hy , G(x0)i − F (¯y ) D§u ¯ng thùc x£y v  ch¿ y¯∗ ∈ ∂F (G(x0)) co l gm @ m Tø c¡c nhªn xt trản ta cõ iÃu kiằn (2.8) tữỡng ữỡng vợi an Lu x0 ∈ arg L(x, y¯∗ ) v  y¯∗ ∈ ∂F (G(x0 )) n 30 (2.9) va x∈X ac th si nh lỵ 2.4 Náu val(P 0) = val(D0) v  x0 ∈ X, l  nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0) v  (D0) t÷ìng ùng Khi â iÃu kiằn (2.9) thọa mÂn Ngữủc lÔi, náu iÃu kiằn (2.9) thọa mÂn vợi mởt vi x0, y, õ x0 l  nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (P 0), y¯∗ l  nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n (D0) v  y¯∗ ∈ Y ∗ val(P ) = val(D0 ) lu BƠy giớ ta xt iÃu kiằn chẵnh quy M»nh · 2.6 i·u ki»n ch½nh quy v(y) < +∞ vợi mồi y thuởc lƠn cên cừa 0, iÃu ny tữỡng ữỡng vợi int(dom v) Mt khĂc, ta cõ v(y) < + v ch tỗn tÔi x ∈ dom f cho G(x) + y ∈ K Tùc l  an va n dom v = K − G(dom f ) p ie gh tn to Vẳ vêy trữớng hủp ny, iÃu kiằn chẵnh quy int(dom v) ữủc viát dữợi dÔng w oa nl ∈ int(G(dom f ) − K) d 2.5 p dửng tẵnh toĂn dữợi vi phƠn nf va an lu z at nh oi lm ul Cho X, Y l  c¡c khæng gian Banach, f : X → R v  g : Y → R l  c¡c h m lỗi, chẵnh thữớng, A : X Y l toĂn tỷ tuyán tẵnh Xt hm F (x) := f (x) + g(Ax), z vỵi mi·n húu hi»u gm @ l dom F := {x ∈ dom f | Ax ∈ dom g} m min{f (x) + g(Ax)} x∈X (2.10) n va 31 an Lu (P 00 ) co X²t b i to¡n tèi ÷u ac th si (B i to¡n n y l trữớng hủp riảng cừa bi toĂn (2.5) vợi g ≡ F, A ≡ G.) H m Lagrange cõa b i to¡n n y l  L(x, y ∗ ) = f (x) + hy ∗ , Axi = f (x) + hA∗ y ∗ , xi, suy inf L(x, y ∗ ) = − sup{−f (x) + h−A∗ y ∗ , xi} = −f ∗ (−A∗ y ∗ ) x∈X x∈X V¼ vêy bi toĂn ối ngău cừa bi toĂn (2.10) l {−f ∗ (−A∗ y ∗ ) − g ∗ (y ∗ )} max ∗ ∗ lu (D00 ) y ∈Y an n va H m gi¡ trà tèi ÷u t÷ìng ùng vỵi b i to¡n (2.10) l  to tn v = inf {f (x) + g(Ax)} x∈X gh p ie Ta câ nl w dom v = {x ∈ dom f | Ax ∈ dom g} d oa = dom g − A(dom f ) nf va an lu i·u ki»n chẵnh quy int(dom v) ữủc viát lÔi thnh (2.11) lm ul ∈ int{A(dom f ) − dom g} z at nh oi nh lỵ 2.5 Cho X, Y l  c¡c khæng gian Banach, c¡c h m f : X → R z v  g : Y → R l cĂc hm lỗi, chẵnh thữớng, l.s.c., A : X Y l toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc v F (x) = f (x) + g(Ax) Gi£ sû r¬ng iÃu kiằn chẵnh quy (2.11) thọa mÂn Khi õ, vợi bĐt kẳ x0 dom F , ta cõ l gm @ m co ∂F (x0 ) = ∂f (x0 ) + A∗ [∂g(Ax0 )] an Lu Trong tr÷íng hủp X = Y , Ănh xÔ tuyán tẵnh A l Ănh xÔ ỗng nhĐt, ta cõ kát quÊ sau n va 32 ac th si nh lỵ 2.6 Cho X l  khæng gian Banach, h m f, g : X R l cĂc hm lỗi, l.s.c., chẵnh thữớng Náu i·u ki»n ch½nh quy (2.12) ∈ int{dom f − dom g} ữủc thọa mÂn thẳ vợi bĐt kẳ x0 ∈ (dom f ) ∩ dom g, ta câ (2.13) ∂(f + g)(x0 ) = ∂f (x0 ) + ∂g(x0 ) nh lỵ 2.6 chẵnh l quy tưc  tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi, chẵnh thữớng lu an n va tn to Sau Ơy ta xt mởt số vẵ dử minh hồa  thĐy vai trỏ cừa cĂc giÊ thiát nh lỵ 2.6 Ưu tiản l mởt vẵ dử ch sỹ cƯn thiát cừa iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) Vẵ dử 2.2 LĐy X = Y ữủc xĂc nh bði f (x) = n¸u x = v  f (x) = +∞ n¸u x 6= Cho g ữủc cho bi g(y) = y náu y v  g(y) = +∞ n¸u y < Khi â p ie gh = R, f d oa nl w lu if x ≥ 0,   +∞ if x < nf va an g(Ax) = g(x) =   √  − x dom g = [0, +∞) Suy z at nh oi lm ul Ta câ A(dom f ) = dom f = {0}, 0∈ / int(A(dom f ) − dom g) z Hìn núa if x = 0,   +∞ if x 6= co l gm @ F (x) = f (x) + g(Ax) =    0 m Chån x¯ := ∈ dom F , ta câ ∂F (¯x) = R â n va 33 an Lu ∂f (¯ x) + A∗ (∂g(A¯ x)) = ∅ ac th si Tiáp theo, vẵ dử sau Ơy chựng tọ rơng giÊ thiát và tẵnh l.s.c cừa f v g khổng th bọ qua nh lỵ 2.6 Vẵ dử 2.3 Cho X l khổng gian Banach vổ hÔn chiÃu Khi õ luổn tỗn tÔi phiám hm tuyán tẵnh khỉng li¶n tưc f : X → R °t g := −f , ta câ dom f = dom g = X , vẳ vêy iÃu kiằn chẵnh quy (2.12) thọa mÂn Vẳ f v g l cĂc phiám hm tuyán tẵnh khổng liản tửc, nản chúng khổng l.s.c Mởt m°t ta câ, ∂f (x) = ∂g(x) = ∅ vỵi bĐt kẳ x X Mt khĂc, vẳ f (x) + g(x) ≡ 0, ta câ ∂(f + g)(x) = {0} Vẳ vêy, (2.13) khổng úng lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 34 ac th si Kát luên lu an n va p ie gh tn to Trong luên vôn ny, chúng tổi nghiản cựu quy tưc  tẵnh toĂn dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi bơng cĂch Ăp dửng lữủc ỗ ối ngău Cử th, chúng tổi sỷ dửng cĂc cổng cử cừa lỵ thuyát ối ngău  nghiản cựu cổng thực tẵnh dữợi vi phƠn cừa tờng hai hm lỗi, chẵnh thữớng, nỷa liản tửc dữợi sỷ dửng nhỳng iÃu kiằn chẵnh quy thẵch hủp CĂc kát quÊ Ơy ữủc xt trản cĂc khổng gian Banach Nởi dung chẵnh cừa luên vôn ữủc dch, tờng hủp v trẳnh by chi tiát theo cĂc nởi dung tữỡng ựng cừa mửc 2.5 Duality Theory cuèn s¡ch chuy¶n kh£o [3] d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 35 ac th si T i liằu tham khÊo Tiáng Viằt lu [1] ộ Vôn Lữu, Phan Huy KhÊi, GiÊi tẵch lỗi, Nh xuĐt bÊn Khoa håc Kÿ thuªt, H  Nëi (2000) an n va gh tn to [2] Huýnh Thá Phũng, Cỡ s giÊi tẵch lỗi, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc Viằt Nam,  Nđng (2012) p ie Ti¸ng Anh d oa nl w [3] J F Bonnans and A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer-Verlag, New York (2000) nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 36 ac th si