(Luận văn) một vài ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN TRẦN THÀNH lu an va n MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH tn to p ie gh TRONG TỐI ƢU HÓA d oa nl w lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN TRẦN THÀNH lu an n va MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH ie gh tn to TRONG TỐI ƢU HĨA p Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 d oa nl w lu ll u nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh Ngƣời hƣớng dẫn: GS TSKH LÊ DŨNG MƢU z m co l gm @ va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng, nội dung luận văn tổng hợp từ tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Luận văn chép lại tài liệu khác Thái Ngyên, tháng năm 2015 Tác giả lu an Nguyễn Trần Thành n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Lê Dũng Mƣu Trước tiên, Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Lê Dũng Mưu, người đặt toán tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho lu an để hồn thành luận văn Tơi gửi lời cảm ơn đến bạn n va lớp Cao học Toán K21, chia sẻ động viên giúp đỡ tơi q gh tn to trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình p ie cảm thơng chia sẻ tơi năm qua để tơi học tập w hoàn thành luận văn oa nl Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó d tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận bảo tận tình lu ll u nf va an thầy cô bạn bè, xin chân thành cảm ơn! oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÝ HIỆU iv DANH MỤC CÁC HÌNH v MỞ ĐẦU 1 Lý chọn luận văn lu Mục đích nghiên cứu an va Nhiệm vụ nghiên cứu n Bố cục luận văn gh tn to Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI p ie 1.1 Tập lồi 1.2 Định lý tách tập lồi 17 oa nl w 1.3 Hàm lồi 22 d Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG BÀI TOÁN TỐI ƢU 25 an lu 2.1 Bài toán tối ưu 25 u nf va 2.2 Ứng dụng định lý tách tối ưu hóa 28 ll KẾT LUẬN 41 oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si iv BẢNG KÝ HIỆU n Không gian Euclide n - chiều trường số thực;  Trục số thực; xi Tọa độ thứ i x; aT Véc-tơ hàng (chuyển vị a) xT y Tích vơ hướng hai véc-tơ x y; Chuẩn Euclide x; x lu an n va Đoạn thẳng đóng nối x y; (x,y) Đoạn thẳng mở nối x y; C coC Bao đóng C; coneC Nón sinh tập C; aff(C) Bao affine tập C; riC Tập hợp điểm tương đối C; V(C) Tập điểm cực biên (đỉnh) C; Bao lồi C; p ie gh tn to [x,y] Bao lồi đóng C; Tập hợp điểm C; lu Thứ nguyên (số chiều) tập C; va an dimC d intC Nón lùi xa (nón hướng vô hạn) C; oa reC nl w coC Dưới vi phân f x; f ( x) Đạo hàm f x; ll u nf f ( x) m Hình nón pháp tuyến C x* ; N C ( x) Nón pháp tuyến C x ; - N C ( x) Nón pháp tuyến C x ; FC ( x) Nón hướng chấp nhận được; TC ( x) Nón tiếp xúc C x; dC ( y ) Là khoảng cách từ y đến C; C ( x* ) Tập hợp hướng chấp nhận C x* oi NC ( x* ) z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si v DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Hình chiếu vng góc 13 Hình 1.2: Tách chặt không tách mạnh 18 Hình 1.3: Tách khơng tách mạnh 21 Hình 1.4: Bổ đề Farkas 22 Hình 1.5: Đồ thị hàm lồi ( C  ) 23 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Tối ưu hóa ngành toán học ứng dụng, nghiên cứu lý thuyết thuật toán giải toán cực trị Ngành toán học nhiều người quan tâm nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng Các tốn tối ưu phong phú đa dạng, chúng có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tiễn Trong tối ưu hóa Định lý tách đóng vai trị quan trọng, nhờ Định lý tách mà ta chứng minh định lý Karush-KuhnTucker, định lý Kuhn-Tucker hai định lý quan trọng dùng để giải lu an toán tối ưu Ngồi Định lý tách cịn có nhiều ứng dụng n va khác Giải tích tốn học Chính mà tơi chọn đề tài “ Một vài ứng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày vài ứng dụng Định lý p ie gh tn to dụng định lý tách tối ưu hóa” tách tối ưu hóa nl w Nhiệm vụ nghiên cứu d oa Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: an lu Tổng hợp lại số kiến thức Giải tích lồi, số tính chất va tập lồi, hàm lồi phép toán liên quan oi m z at nh Bố cục luận văn ll ưu hóa u nf Trình bày Định lý tách ứng dụng Định lý tối Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn z trình bày hai chương l chúng, phát biểu chứng minh Định lý tách gm @ Chương 1: Tổng hợp kiến thức tập lồi, hàm lồi, tính chất m co Chương 2: Trình bày vài ứng dụng Định lý tách tối ưu hóa, sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-Kuhn-Tucker, an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si Định lý Kuhn-Tucker, Định lý đối ngẫu Lagrange Ngoài xét đến áp dụng Định lý tách kỹ thuật vơ hướng hóa tốn tối ưu đa mục tiêu Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI Định lý tách hai tập lồi định lý trung tâm Giải tích lồi, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhau, đặc biệt tối ưu hóa Trong chương trình bầy số lý thuyết Giải tích lồi, khái niệm tập lồi tính chất chúng, phát biểu lu chứng minh Định lý tách, Bổ đề Farkas Các kết chương an tổng hợp tài liệu [1], [2], [3] va n 1.1 Tập lồi to gh tn Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a, b  n tập hợp tất p ie véc-tơ x  n có dạng: x n x , b, , w a a b, 0, 0, an lu x n x d oa nl Đoạn thẳng nối hai điểm a b  n tập hợp véc-tơ x có dạng va Tập lồi khái niệm Giải tích lồi, định ll u nf nghĩa sau: m  n gọi tập lồi, C chứa oi 1.1.1 Định nghĩa Một tập C 0,1 x (1 )y C z x,y C, z at nh đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi @ k k j j x , j j 1, , k , j j j 1 m co x l gm ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk an Lu Tương tự, x tổ hợp a-phin điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si k k j x j x , j j 1 j Tập hợp tổ hợp a-phin x1, x2 , , xk thường gọi bao aphin điểm Ví dụ Trong  đa giác lồi, hình trịn, hình elíp…là tập lồi Trong  đa diện, hình cầu,… tập lồi 1.1.2 Định nghĩa Nửa không gian tập hợp có dạng lu an n va x aT x ,  Đây nửa không gian đóng Tập x aT x , p ie gh tn to a oa nl w nửa không gian mở d Như siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, lu an nửa không gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa khơng gian u nf va đóng phần chung chúng siêu phẳng ll Mệnh đề cho thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến m z at nh 1.1.3 Mệnh đề M oi không gian tập a-phin có dạng M L a z với L không gian a M , không gian L xác @ l gm định Chứng minh Giả sử M tập a-phin a M Khi L a Ngược lại, L a với L không va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN  ta có M an Lu gian con, với x, y M , a m co không gian Vậy L M M ac th si 28 Chứng minh Đặt C (a) : x C : f ( x) f (a) với a C Rõ ràng, C ( a ) bị chặn đóng Do f có điểm tối thiểu C ( a ) điểm cực tiểu f C  2.2 Ứng dụng định lý tách tối ƣu hóa 2.2.1 Điều kiện tối ưu Câu hỏi Nếu x* nghiệm tối ưu (địa phương hay tồn cục), điều xảy với x* ? lu 2.2.2 Định lý (cho trường hợp lồi) Giả sử C tập lồi khác rỗng, f an n va hàm lồi, khả vi C Thì x* nghiệm tối ưu (P) (2.3) tn to f ( x* ) NC ( x* ) ie gh NC ( x* ) ký hiệu hình nón pháp tuyến C x* p Chứng minh Đặt C hàm tiêu C , nghĩa C x C Vậy tốn (P) biến đổi tương đương thành w ( x) oa nl C x C d tốn khơng giới hạn lu ( x), x  (UP) an f ( x) C va ll u nf Do x* nghiệm tối ưu (UP) ( x* )) oi C m ( f ( x* ) z at nh Sử dụng Định lý Moreau-Rackafellar ta viết C ( x* ) z f ( x* ) @ ( x* ) N C ( x* ) : w : w, x x* http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN  va f ( x* ) NC ( x* ) an Lu ta có 0, x C , m co C l gm từ ac th si 29 2.2.3 Hệ Nếu x* int C x* S (C, f ) (các tập nghiệm tối ưu (P)), f ( x* ) Trong trường hợp đặc biệt, f khả vi C toàn f ( x* ) khơng gian, Hãy xem xét toán (P) định nghĩa là: f ( x) phụ thuộc vào: x D: x lu an X : g j ( x) 0, hi ( x) 0, j 1, , m; i 1, , k  n f , g j , hi :  n X j, i Định nghĩa hàm Lagrange  va n cách lấy: to k f ( x) h ( x) j g j ( x) j i i i p ie gh tn m L( x, , ) : w Ta gọi (P) toán lồi X lồi tất hàm f , g j lồi, hi oa nl affine d 2.2.4 Định lý (Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử (P) toán lồi Nếu x* an lu ( i 1, , m ) ( j 1, , k ) không đồng thời cho ll * j * i u nf va nghiệm tối ưu cho phương trình (P), tồn * * ) L( x, x X * , * ) (đạo hàm triệt tiêu) z at nh , oi m L( x* , g ( x* ) (i 1, , m) (điều kiện bù) * i i z m co l D : gi ( x0 ) 0(i 1, , m) gm x0 điều kiện Slater @ Hơn int X thỏa mãn hàm affine hi (i 1, , m) độc lập tuyến tính X , an Lu * 0 hai điều kiện đủ cho x* trở thành nghiệm tối ưu (P) va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 30 Chứng minh Giả sử x* nghiệm tối ưu (P) Ta đặt C : {( , , , Từ X k )( x , gi ( x) i X ) : f ( x) f ( x* ) , i 1, , m, hj ( x) j , j 1, , k} lồi, f , gi hàm lồi, h j hàm affine X , nên tập C tập lồi, đóng khác rỗng  m k Hơn C , tồn nghiệm chấp nhận x cho f ( x* ) Điều mâu thuẫn với thực tế x* nghiệm tối ưu f ( x) toán (P) Vậy C theo Định lý tách, tồn lu an * i (i 1, , m) , va n m j ( j 1, , k ) không đồng thời cho k to * i i * j gh tn i 0 ( , , j Lưu ý p ie m k ) C (2.4) , , cách lấy x m ,0, ,0) C Bằng thực tế ta thấy w ra, với X , ta lấy x f ( x* ) f ( x) oa nl h j ( x)( j 1, , k) sử dụng (2.3) cho , * * , , , x* , ta có * m Ngoài gi ( x)( i 1, , m) , i ta có được: d m * i i f ( x) k k * * j j g (x ) i j * * ) L( x, * , * (2.5) ) x X z , X x z at nh Hoặc L( x* , h ( x* ) oi m * i i f (x ) j ll m * h ( x) u nf i * * i i g ( x) va * an lu j ),( 1, , ( , , m j @ gm Điều kiện đạo hàm triệt tiêu chứng minh Để chứng minh điều kiện gi ( x* ) , với m co l bù, ta thấy rằng, từ x* khả thi, g j ( x* ) với j Nếu có i cho , ta có va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN vị trí thứ i ) an Lu ( , , , , , ,0, ,0) C ( ac th si 31 Thay vào (2.4) cho * i Vậy * i Nhưng từ * i , ta có Bây ta chứng minh điều kiện đủ Trước hết ta có ngược lại Thật vậy, * 0 , theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện bù, ta có * m k * i i 0 suy m * g (x ) * i i h ( x) i j Nhưng từ k * j j * j j g ( x) với j phải tồn (2.6) j nên với i phải tồn * X h ( x) x i , * i * i 0, i Ta xét hai trường hợp sau: * j lu an Trường hợp 1: Thay x x vào bất đẳng thức (2.6) ta có: va n m k m * i i g ( x* ) to * i i g ( x0 ) h ( x) j * j j h ( x0 ) , i j suy vô lý p ie gh tn i k * j j nl w Trường hợp 2: Ta có h j affine với j , dẫn đến * j j h ( x) , x X j d oa Từ int X k lu với j , điều mâu thuẫn với giả thiết * i * j không đồng thời ll u nf * j va an Bây sử dụng giả thiết h j độc lập tuyến tính X , ta kết luận Từ cách chia hai vế (2.5) cho * i * i oi * i m Vậy ta có z at nh thể giả thiết hàm Lagrange có dạng m k i gi ( x) j i h j ( x) j gm @ f ( x) z L( x, , ) l Lại giả sử điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện bù ta có, với m co nghiệm khả thi x , f (x ) * k * i i f0 ( x ) * * j j h ( x* ) g (x ) i va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN j an Lu m * ac th si 32 m k * i i f ( x) * j j g ( x) f ( x) h ( x) i j Điều dẫn đến x* nghiệm tối ưu (P)  2.2.5 Định lý (Kuhn-Tucker) Cho f , g j , hi khả vi liên tục Gọi x* nghiệm tối ưu (P) thỏa mãn điều kiện bị chặn tồn tích Lagrange * ( 1* , , * m * ) 0, ( 1* , , * k (2.7) ) cho: m k * * j lu f (x ) * * i g j (x ) an j va n * j hi ( x* ) (2.8) i g ( x* ) j 1, , m (điều kiện bổ xung) (2.9) to gh tn Nếu (P), g j lồi với j hi affine với i nghĩa (P) p ie qui hoạch lồi, x* thỏa mãn (2.7), (2.8), (2.9) nghiệm tối w ưu (P) d oa nl Chứng minh Sử dụng triển khai Taylor, ta có d) với d C ( x* ) Từ C ( x* ) S ( x* ) , ta có với d S ( x* ) Sử dụng bổ đề Farkas với ma trận A có f ( x* ), d A( x* ), hi ( x* ), oi 0, * i 0, i 1, , k cho z k g j ( x* ) j A( x* ) với j * j ) hi ( x* ) i A( x* ) * i * i * i với i ta có (2.8) (2.9) m co * j * j l Lấy ( gm * j @ f ( x* ) hi ( x* ), i 1, , k , ta có số z at nh * i m A( x* ) ll u nf g j ( x* ), j hàng 0, j r( d ) va f ( x* ), d * j f ( x* ), d an Ta có f ( x* ) lu f ( x* an Lu Bây ta giả sử g j lồi hi affine với i, j Ta chứng minh (2.7), (2.8) (2.9) điều kiện đủ để x* C nghiệm tối ưu toán (P) va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 33 Thật vậy, x* không nghiệm tối ưu tồn x C cho f ( x* ) Đặt d f ( x) x x* Thì ta có f ( x* ) f ( x td ) lim t t * f ( x ), d Mặt khác, * j g j ( x* ) với j , ta có * j , j A( x* ) Đồng thời từ x C , ta có g j ( x* ), x x* g j ( x ) g j ( x* ) j A( x* ) Do lu * j an g j ( x* ), d j n va Với hàm hi theo tính chất affine, với i , ta có tn to hi ( x* ), d * j p ie gh vậy, với i i, w hi ( x* ), d oa nl kết hợp lại với ta có m k * j d * lu f ( x ), d * * i g j ( x ), d i an j hi ( x* ), d Điều mâu thuẫn với (2.8) u nf va  ll Lƣu ý Ta định nghĩa (hàm Lagrange) m oi Theo điều kiện (2.7) viết dạng * , * ) f ( x* ) z at nh m L ( x* , * j j hi ( x* ) i x2 1, x1 x2 va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 2, x1 an Lu x  x1 m co x2 , với điều kiện x D , l gm @ D : * i z Ví dụ Xét toán f (x)= x12 k g j ( x* ) ac th si 34 Đây toán qui hoạch lồi với hàm mục tiêu lồi chặt nên có nghiệm cực tiểu Trong toán này, n , n , g1 (x) x1 x2 , g3 ( x) g ( x) x1 x2 , x1 Giải hệ xL( x, ) 0 g1 ( x ) x1 x2 x1 2(1 ' Lx x1 x2 x2 x1 2(1 1 ' Lx ( x12 x12 g1 ( x) x22 1) x22 lu an va n ta có x1 x2 ) x2 x22 1) x22 x2 Vì điểm ( 1, 1)T điểm x2 0 nên từ phương trình thứ ba hệ ta có x12 x22 Kết p ie gh tn to ) x1 x12 chấp nhận toán xét nên kết luận Do ( x12 Từ hai phương trình hệ suy x1 Nếu hợp với kiện x1 x2 oa nl w x2 suy x1 d 2.2.6 Tính đối ngẫu Lagrange lu va an Tính đối ngẫu chủ đề quan trọng tối ưu hóa Có số loại u nf đối ngẫu, tính đối ngẫu Lagrange sử dụng rộng rãi Tính đối ll ngẫu Lagrange dựa hàm Lagrange Để đơn giản xét m z at nh f ( x) : x oi toán sau đây: (P) X , g j ( x) j 1, , m z X tập khác rỗng (thơng thường, X tồn khơng gian) @ va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (D) an Lu sup d ( y) : y Y m co xác cần viết dạng (D) l max d ( y) : y Y gm Với toán ta định nghĩa tốn tối ưu khác có dạng ac th si 35 Y tập  m 2.2.7 Định nghĩa Ta nói (D) đối ngẫu (P) với điểm khả thi x (P) y (D) ta có f ( x) d ( y ) Nếu tồn điểm khả thi x* (P) y* (D) cho f ( x* ) d ( y* ) , ta nói (P) (D) cặp đối ngẫu xác (D) tốn đối ngẫu xác (P) (và ngược lại) Vậy, làm để định nghĩa tốn đối ngẫu lu an xác? n va Với tốn (P) ta định nghĩa hàm Lagrange sau m to tn L ( x, y ) : f ( x ) y j g j ( x) j gh p ie lấy w d ( y) : inf L( x, y) (LD) x X oa nl Thì ta định nghĩa toán đối ngẫu d sup d ( y ) : supinf L( x, y ) y x X an lu y u nf va 2.2.8 Định lý Bài toán (LD) toán đối ngẫu (P) ll Chứng minh Dễ dàng thấy rằng, nói chung cặp đối ngẫu khơng m x2 , x X z at nh f ( x) oi xác Ví dụ: Bài tốn [0,2], x tốn đối ngẫu Lagrange nó, khơng xác z  @ m co l (i) (P) có nghiệm tối ưu gm 2.2.9 Định lý (đối ngẫu xác) Giả sử (ii) X tập lồi, đóng f , g j với j liên tục lồi X an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 36 (iii) Điều kiện Slater thỏa mãn, nghĩa tồn x cho g j ( x ) với j Thì (P) (D) cặp đối ngẫu xác Chứng minh Đặt g T ( x) : ( g1 ( x), , gm ( x)) xét A:  n :t (t , z )  f ( x), z X g ( x), x Từ g j f lồi với j , A lồi Đặt x* nghiệm tối ưu (P) lu an Thì ( f ( x* ),0) A Theo Định lý tách tồn ( , y )  va n t yT z  n cho: f ( x* ) (t , z) A to gh tn Vì tính liên tục f g j , bất đẳng thức với (t , z ) p ie (đóng kín A ) Từ ( f ( x), g ( x)) y T g ( x) * f( A, ) x X (2.10) nl w f ( x) Đặt d oa Ta thấy ( , y ) Thật vậy, giả sử có giá trị j cho y j e j ) A với ( e j véc-tơ đơn vị thứ an lu (t0 , z ) A Thì (t , x) (t0 , z o ta dẫn tới mâu thuẫn Vậy u nf va j ) Áp dụng (2.10) với (t0 , z ) cho Nhưng ll y Bằng cách tương tự ta thấy m Trong trường hợp từ (2.10) ta có oi y A z at nh yT g ( x) x X z Điều mâu thuẫn với điều kiện Slater m co Ví dụ Trong  cho hàm x3 va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN x4 an Lu f ( x1, x2 , x3 , x4 ) : x1 x2  l ngẫu (P), chúng phải đối ngẫu xác f ( x* ) Như vậy, từ (D) đối gm @ Sử dụng định nghĩa d ta có d ( y / ) ac th si 37 g ( x1, x2 , x3 , x4 ) : x12 x22 x32 x42 Xét toán f ( x1, x2 , x3 , x4 ) : g ( x1, x2 , x3 , x4 ) (P) Lập toán đối ngẫu max d ( y) : y d ( y ) min4 L( x1 , x2 , x3 , x4 , y ) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x  min4 x1 x2 x  x3 x4 lu yx1 x22 x32 x42 1) an yx2 yx3 n va xL( x, y ) y ( x12 yg ( x1, x2 , x3 , x4 ) 0 gh tn to yx4 p ie x1 hệ phương trình có nghiệm là: oa nl w Giả sử y x2 d x3 an lu u nf va x4 ll Khi ta có 2y y[( va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN an Lu ta có m co y l max d ( y) gm Xét @ y 1 ) ( )2 ( ) ( )2 ] 2y 2y 2y 2y z y 2y z at nh 2y oi 2y m d ( y) 2y 2y 2y 2y ac th si 38 d ' ( y) y2 y y xét y nên ta y* d ( y* ) f ( x* ) Để tính x* ta giải x* arg f ( x1, x2 , x3 , x4 ) y* g ( x1, x2 , x3 , x4 ) x 4 x* arg x1 x 4 x2 x3 x12 x4 x22 x32 x42 lu cách cho an va n x1 to x2 x3 ie gh tn xL( x, y* ) x1 0 x2 p x4 x3 nl w x4 d oa 2.2.10 Tối ưu véc-tơ  p (ở có p - mục tiêu) oi z at nh ( f1 , , f p ):  n (VP) m F n ll V F ( x) : x C u nf va toán: an lu Trong phần ta nghiên cứu véc-tơ (nhiều mục tiêu) tối ưu hóa Xét 2.2.11 Định nghĩa Một véc-tơ x* C gọi nghiệm (toàn cục) hiệu z (Pareto-nghiệm tối thiểu) (VP) không tồn x C cho F ( x* ) l gm @ F ( x) F ( x* ) F ( x) x* gọi m co Nếu không tồn x C cho F ( x) F ( x* ) an Lu nghiệm (toàn cục) hiệu yếu nghiệm tối thiểu (VP) Câu hỏi: Làm để giải tốn tối ưu hóa véc-tơ? va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 39 2.2.12 Định lý Cho  n Thì với nghiệm tồn cục tối thiểu toán mục tiêu T ( P ( )) F ( x) : x C nghiệm tối ưu toàn cục Pareto (VP) Chứng minh Giả sử x C nghiệm ( P ( )) Nếu x nghiệm tối ưu Pareto, x C , F ( x ) F ( x* ) f i0 ( x ) lu an Do fi ( x) fi ( x* ) i f i0 ( x* ) , nên va f ( x* ) i f ( x) n i i i i to f ( x* ) f ( x) i i  i i gh tn Cộng lại ta p ie Ví dụ: Trong  xét F ( x) ( f1 ( x), f ( x), f3 ( x)) (p=3 có ba mục tiêu) biểu thị w f1 ( x) : Biểu thị cho học lực học sinh x lớp học, oa nl f ( x) : Biểu thị cho đạo đức học sinh x lớp học, d f3 ( x) : Biểu thị cho khức khỏe học sinh x lớp học 1 ( , , )  ta có 3 u nf va an lu giả sử có trọng số f1 ( x) 1 F ( x) ( , , ) f ( x) 3 f3 ( x) ll oi m T z at nh z l gm @ 1 f1 ( x) f ( x) f ( x) 3 số cho x nghiệm tối ưu ( P ( )) ? m co Câu hỏi: Có với nghiệm tối ưu Pareto x (VP) tồn trọng an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 40 2.2.13 Định lý Giả sử (VP) toán tối ưu lồi (có nghĩa F C lồi) Thì với nghiệm Pareto-tối ưu u (VP) tồn T u arg x cho F ( x) : x C Chứng minh Đặt y  p:y K: F ( x) F (u ), x C Đặt D coK (bao lồi) Ta thấy D tồn y1, , y r  (không dương) D p , từ K Đặt y D K cho lu an r r j va y j , tj y , tj tj n j to Lấy x K , tồn x j r C cho y j F ( x j ) F (u) với j t j x j Từ F lồi, ta có p ie gh tn Từ y j j j w r t j F ( x j ) F (u ) oa nl F ( x) F (u ) j d r lu r j u nf va j tjy j an t j ( F ( x j ) F (u )) Do vậy, từ u hiệu dẫn đến y , y=0 Vậy D  p ll m Theo Định lý tách có y y K p j p ta giả sử http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va x C từ (2.12) định nghĩa K an Lu dẫn đến: j m co Từ (2.11) ta thấy j l j gm Bằng cách chia cho ( F ( x) F(u)) (2.12) @ p T (2.11) z T z at nh y y  oi T cho ac th si 41 nghĩa u nghiệm tối ưu ( P ( ))  KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: lu Tổng hợp số kiến thức Giải tích lồi, tính chất an tập lồi, hàm lồi; phát biểu chứng minh Định lý tách va n Sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-Kuhn- gh tn to Tucker, Định lý Kuhn-Tucker Định lý đối ngẫu Lagrange Cuối luận ie văn trình bày Định lý vơ hướng hóa cho tốn tối ưu véc-tơ lồi, cách chứng p minh dựa vào Định lý tách d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra) Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội lu an n va Tiếng Anh Cambridge University press, New York p ie gh tn to Stephen Boys and Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu va http://www.lrc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si