(Luận văn) một số phương pháp đếm trong các bài toán hình học tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THÚY QUỲNH lu an n va gh tn to p ie MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM TRONG CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THÚY QUỲNH lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẾM TRONG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN lm ul z at nh oi Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 z gm @ m co l Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU an Lu n va THÁI NGUYÊN - NĂM 2016 ac th si i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị an n va 1.1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.1.2 Tổ hợp chỉnh hợp Một số nguyên lý 1.2.1 Bất biến 1.2.2 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí cực hạn p ie gh tn to 1.2 Các quy tắc đếm lu 1.1 1.2.3 nl w học tổ hợp Phân loại toán đếm nf va an 2.1.1 Đếm đối tượng tạo điểm, đoạn thẳng, đường thẳng 2.1.2 Đếm đối tượng tạo thành miền mặt phẳng 12 Các phương pháp giải toán đếm 14 z at nh oi lm ul 2.2 lu 2.1 d oa Phân loại phương pháp giải tốn đếm hình 2.2.1 Phương pháp sử dụng nguyên lí bất biến 14 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet 22 2.2.3 Phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn 38 z @ 49 gm Các dạng toán liên quan Bài tốn tơ màu hình vẽ 49 3.2 Đếm cấu hình 63 3.3 Phối hợp phương pháp đếm khác an Lu Tài liệu tham khảo m co l 3.1 64 71 n va ac th si Mở đầu Hình học tổ hợp phần quan trọng toán học nói chung tổ hợp nói riêng, thường xuất đề thi học sinh giỏi Olympic cấp Bài tốn tổ hợp nói chung hình học tổ hợp nói riêng lu an thường tốn khó, phong phú linh hoạt cách giải Tuy nhiên, va nước ta nay, tài liệu tổ hợp chưa nhiều, tài liệu hình học tổ hợp n tn to lại Do đó, tơi viết luận văn với mong muốn cung cấp ie gh thêm cho em học sinh phổ thông tài liệu hay bổ ích, nhằm đáp p ứng phần lịng đam mê, u thích khám phá tốn học học sinh, đồng thời mong tài liệu bổ ích để w oa nl đồng nghiệp tham khảo d Luận văn đề cập đến số phương pháp để giải lu an tốn đếm hình học tổ hợp Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, nội nf va dung luận văn gồm ba chương z at nh oi đếm tổ hợp lm ul Chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị, liên quan đến công thức Chương đưa phân loại số đối tượng đếm hình học tổ hợp nêu ba phương pháp để giải toán đếm z Phương pháp sử dụng nguyên lí bất biến phương pháp hiệu @ gm để giải toán đếm Ta thường sử dụng nguyên lí bất biến m hệ thống co l tốn có tính chất không thay đổi qua tác động, biến đổi an Lu Phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet phương pháp thông dụng để giải tốn hình học tổ hợp Dùng ngun lí nhiều n va ac th si trường hợp ta dễ dàng chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định, với nguyên lí ta thường chứng minh tồn mà khơng đưa phương pháp tìm đối tượng cụ thể Phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn vào giải tốn hình học tổ hợp phương pháp vận dụng cho nhiều lớp tốn khác Ngun lí dùng để giải toán mà đối tượng phải xét tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ theo nghĩa thường kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng lu Chương nêu số dạng toán liên quan toán tơ màu, an tốn đếm cấu hình số tốn hình học tổ hợp đề thi học n va sinh giỏi quốc gia quốc tế tn to Trong chương tập thường dẫn dắt theo chủ đề ie gh định Đồng thời, có lời giải chi tiết, ngắn gọn, sáng tạo p bất ngờ Tác giả hi vọng, điều giúp người đọc tìm thấy cho kiến thức bổ ích kích thích ham hiểu biết lịng say mê w oa nl học toán người đọc d Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm túc lu nf va an thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy lm ul Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán z at nh oi Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy cô giảng viên quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường z Học viên m co l gm @ Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2016 an Lu Dương Thúy Quỳnh n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an 1.1 Các quy tắc đếm n va to Quy tắc cộng quy tắc nhân gh tn 1.1.1 p ie Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực (loại trừ lẫn nhau), phương án có n1 cách thực hiện, phương án có n2 cách thực nl w cơng việc A có n1 + n2 cách thực Trên ngôn ngữ tập hợp: A∩B = ∅ d oa |A ∪ B| = |A| + |B| an lu Quy tắc nhân: Nếu cơng việc A chia thành công đoạn tiếp nối nf va nhau, cơng đoạn có n1 cách thực hiện, cơng đọan có n2 cách thực cơng việc A có n1 n2 cách thực Trên ngơn ngữ tập hợp: |A.B| = |A|.|B| lm ul Quy tắc phần bù: |A| = |X| − |A|, A phần bù A X Tổ hợp chỉnh hợp z at nh oi 1.1.2 z Xét tập hợp X gồm n phần tử Từ tập hợp này, ta xây dựng gm @ đối tượng tổ hợp phong phú co l Tập tập tập X : Tập tập X ký hiệu P (X) an Lu nhiều toán đếm m Dễ thấy |P(X)| = 2n Các tập tập hợp đối tượng xuất Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k tập hợp k phần tử phân n va ac th si biệt thứ tự tập hợp Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Akn Hoán vị: Hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử đó, nói cách khác, cách thứ tự phần tử Hốn vị X cịn định nghĩa song ánh từ X vào X Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Tổ hợp: Tổ hợp chập k tập hợp k phần tử phân biệt không thứ tự tập hợp Nói cách khác, tập k phần lu tử Ví dụ X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp {1, 2}, {1, 3}, an {2, 3} Số tổ chập k n phần tử ký hiệu Cnk va n Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k tập hợp k phần to tn tử không thiết phân biệt thứ tự tập hợp Ví dụ ie gh X = {1, 2, 3} k = ta có chỉnh hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, p {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}, {3, 3} Số chỉnh hợp lặp chập k k w n phần tử ký hiệu An oa nl Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k tập hợp k phần tử d không thiết phân biệt không thứ tự tập hợp Ví dụ lu nf va an X = {1, 2, 3} k = ta có tổ hợp lặp {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3} Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu k Một số nguyên lý l gm a) Khái niệm bất biến @ Bất biến z 1.2.1 z at nh oi 1.2 lm ul C n m co Giả sử ta có hệ thống (X) đại lượng phép biến đổi theo sau s bước biến đổi ta nhận lại tính chất P n va b) Ứng dụng nguyên lý bất biến an Lu thứ tự Tính chất P gọi bất biến sau s bước hệ thống (X) ac th si Bất biến đại lượng (hay tính chất) khơng thay đổi q trình thực phép biến đổi Chẳng hạn thực phép tịnh tiến khoảng cách hai điểm không thay đổi Với phép vị tự khác, khoảng cách thay đổi có bất biến khác, tỉ lệ hai đoạn thẳng Có hai mẫu tốn tổng quát thường giải bất biến Bài toán tổng quát 1.1 Có tập hợp trạng thái X tập hợp phép biến đổi T từ X vào X Có hai trạng thái a b thuộc X , hỏi dùng hữu hạn phép biến đổi thuộc T để đưa trạng thái a trạng thái lu b không? an va Bài tốn tổng qt 1.2 Có tập hợp trạng thái X tập hợp n tn to phép biến đổi T từ X vào X Cần chứng minh trạng gh thái a bất kì, sau số hữu hạn phép biến đổi từ T , ta đến trạng p ie thái kết thúc (trong nhiều trường hợp trạng thái ổn định, tức Nguyên lí Dirichlet d 1.2.2 oa nl w không thay đổi tiếp tục tác động phép biến đổi từ T ) an lu a) Nguyên lí Dirichlet nf va Ngun lí Dirichlet - cịn gọi ngun lí chuồng chim bồ câu (The Pi- lm ul geonhole Principle) - nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lí z at nh oi xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) Nguyên lí nhà toán học người Đức Johann Dirichlet phát biểu năm 1834 ơng đề cập tới với tên gọi "ngun lí ngăn kéo" Vì vậy, tên gọi thông dụng z gm @ khác nguyên lý chuồng bồ câu "nguyên lí ngăn kéo Dirichlet" hay đơi gọi gọn "ngun lí Dirichlet" Trong số ngơn ngữ l an Lu Ngun lí Dirichlet bản: m "ngăn kéo" "chuồng bồ câu" co tiếng Pháp, tiếng Ý tiếng Đức, nguyên lí gọi tên n va ac th si Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ, với n số nguyên dương Nguyên lí Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa hN i đồ vật (ở kí hiệu [α] để phần nguyên số α) k Chứng minh hN i Giả sử hộp chứa vật Khi tổng số đồ vật là: k h N i  hN i k −1