(Luận văn) một số vấn đề về iđêan chiều không trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH lu an n va tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG p ie gh TRONG VÀNH ĐA THỨC d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH lu an n va tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG p ie gh TRONG VÀNH ĐA THỨC oa nl w d Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 nf va an lu z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN lu Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Lâm Xn Châu người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Tốn K21 giúp đỡ em suốt q trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy cô Xin trân trọng cảm ơn an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an n va Đại số đa thức 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức 1.3 Cơ s Grăobner 10 Đa tạp afin 16 Cơ sở đại số tuyến tính 18 gh tn to 1.1 1.4 p ie nl w 1.5 21 Các đại số hữu hạn chiều 2.2 Thuật toỏn chuyn i c s Grăobner FGLM 25 2.2.1 Bước lặp 25 2.2.2 Bước kiểm tra tính dừng 26 2.2.3 Bước chọn đơn thức 26 31 nf va an lu 2.1 z d oa Chuyn i c s Gră obner z at nh oi lm ul gm @ Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp 31 35 m co l 3.1 22 an Lu n va i ac th si 41 Kết luận lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Mở đầu Giải hệ phương trình đa thức f1 = f2 = · · · = fs = 0, fi đa thức n biến với hệ số trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn lu an Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm hệ va n phương trình đa thức xét iđêan I = hf1 , f2 , , fs i sinh đa gh tn to thức xác định hệ phương trình Khi tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm iđêan I Dựa vào tính chất ta tìm p ie w hệ sinh khác iđêan I mà hệ sinh giúp ta giải hệ phương oa nl trỡnh C s Grăobner ca I i vi th t từ điển hệ d sinh đáp ứng yêu cầu (Chú ý xem tổng quát lu nf va an hóa phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính cho hệ phương trình đa thức) lm ul Tuy nhiờn, vic tớnh c s Grăobner ca I i vi thứ tự từ điển z at nh oi trường hợp iđêan I tùy ý vành đa thức với số biến lớn nói chung nhiều thời gian Đối với iđêan chiều không, tương ứng với z trường hợp hệ phương trình có hữu hạn nghiệm vic tớnh mt c gm @ s Grăobner nh vy trở nên đơn giản nhờ vào thuật toán chuyển l m co đổi sở FGLM Mặt khác, iđêan I có chiều khơng đại an Lu số A = C[x1 , x2 , , xn ]/I không gian véctơ hữu hạn chiều n va ac th si trường C Khi nghiên cứu nghiệm I dựa vào ma trận biểu diễn số tốn tử tuyến tính khơng gian véctơ A sở định A Điều cho phép ta sử dụng công cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều không vành đa thức” nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều I khơng Với mục đích nêu trên, ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương lu an trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến va n trường, thứ tự đơn thức phép chia a thc nhiu bin, c s Grăobner, gh tn to thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, định lý không điểm p ie Hilbert (Nullstellensatz), định lý Cayley-Hamilton Các kết w dùng cho phép chứng minh chương luận oa nl văn Chương trình bày đại số hữu hạn chiều tương ứng với iđêan d chiều khơng thuật tốn FGLM dùng để chuyển đổi c s Grăobner ca lu nf va an mt iờan chiều khơng Chương trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại lu an số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức phép chia đa va n thức nhiều biến, c s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c gh tn to s Grăobner, nh lý khụng im ca Hilbert (Nullstellensatz), định lý p ie Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh w chương luận văn Các kết chương d oa nl tham khảo từ tài liệu [CLO1], [NVTrung] lu Đại số đa thức nf va an 1.1 lm ul Cho R vành x1 , x2 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn z at nh oi thức biểu thức có dạng xa11 xa22 · · · xann ∈ N, i = 1, , n Nếu a1 = · · · = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau z @ l gm (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn m co Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ R gọi hệ số từ an Lu Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với n va ac th si Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: f (x) = X αa x a có hữu hạn hệ số αa 6= Từ αa xa với αa 6= gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) P P βa xa xem αa xa g(x) = Hai đa thức f (x) = a∈N n a∈N n n αa = βa với a ∈ N Phép cộng đa thức định nghĩa sau: lu an ! X va αa x a ! + n a∈Nn X βa xa = a∈Nn X (αa + βa ) xa a∈Nn p ie gh tn to Phép nhân đa thức định nghĩa sau: ! ! X X X a a αa x · βa x = γa xa , w a∈Nn a∈Nn P αb βc b,c∈Nn , b+c=a d oa nl γa = a∈Nn an lu Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp tất đa thức n biến với hệ số nf va vành R, ký hiệu R[x1 , , xn ], lập thành vành giao hoán, có đơn vị lm ul 1, gọi vành đa thức n biến vành R z at nh oi Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện sau tương đương: z i) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (đối với m co ii) Mọi dãy tăng iđêan R l gm @ quan hệ bao hàm) n va an Lu I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ac th si dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh, tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2 , , fs ∈ I cho I = (f1 , f2 , , fs ) Định nghĩa 1.1.2 Một vành giao hốn, có đơn vị, thỏa mãn ba điều kiện tương đương gọi vành Noether Định lý 1.1.1 (Định lý sở Hilbert) Cho R vành Noether x biến Khi vành R[x] vành Noether Hệ 1.1.1 Vành đa thức n biến K[x1 , , xn ], K lu an trường, vành Noether n va tn to Định lý 1.1.2 (Định lý chia đa thức biến) Cho K trường gh g(x) đa thức khác K[x] Khi đa thức f ∈ K[x] p ie viết dạng f (x) = q(x).g(x) + r(x), nl w d oa q(x), r(x) ∈ K[x] r(x) = deg r(x) < deg g(x) nf va an lu Hơn nữa, q(x) r(x) xác định Hệ 1.1.2 Vành đa thức K[x] trường tùy ý vành lm ul iđêan chính, nghĩa iđêan sinh đa thức z at nh oi 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức z gm @ Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập hợp, S phận m co điều kiện sau thỏa mãn: l X × X, S gọi quan hệ thứ tự (bộ phận) X n va an Lu i) (Phản xạ) Với x ∈ X : xSx ac th si có G =1 xG = − y + z G x2 = z G x3 = − yz + z G x4 = z G x5 = z + 2yz − 2z + Đến bước ta có Glex = ∅ Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } Với đơn thức G lu x6 ta có x6 = z Vì x6 G G G G = x5 + 2x3 − nên ta thêm đa an thức x6 − x5 − 2x3 + vào Glex Như kết thúc bước ta có n va Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } gh tn to Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1}, Thực bước kiểm tra tính dừng, điều kiện dừng khơng thỏa mãn p ie w nên thuật tốn tìm đơn thức kế tiếp, y Ta có G d oa nl y G = y = x2 − xG an lu Ta thêm y − x2 + x vào Glex Kết thúc bước ta có nf va Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x}, lm ul Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } z at nh oi Điều kiện dừng không thỏa mãn, đơn thức xét z Ta có G z z G = z = x2 @ l gm Ta thêm z − x2 vào Glex Kết thúc bước ta có m co Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z − x2 } n va 28 an Lu Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } ac th si Vì LTlex (z − x2 ) = z nên thuật toán dừng Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z − x2 } sở Grăobner cn tỡm nh lý 2.2.1 Thut toỏn c mụ t trờn dng i vi mi c s Grăobner G iđêan chiều không I Glex mt c s Grăobner ca I theo th t t điển lex, nữa, Blex sở đơn thức tương ứng vành thương A = k[x1 , , xn ]/I Chứng minh Trước tiên ta nhận xét đơn thức đầu vào tăng lu an dần theo thứ tự lex nên Glex = {g1 , , gk } va n LT (g1 ) lex xn Ta an Lu chứng minh Glex mt c s Grăobner ca I theo th t lex Giả sử trái n va 29 ac th si lại rng Glex khụng l mt c s Grăobner ca I Khi tồn g ∈ I cho LT (g) không bội LT (gi ) nào, i = 1, , k Bằng cách thay g g Glex , ta giả sử g rút gọn Glex Nếu LT (g) lớn LT (gk ) = xα1 LT (g) phải bội LT (gk ) (vì lex thứ tự từ điển x1 biến lớn nhất) Điều không xảy ra, nghĩa tồn i < k cho LT (gi ) < LT (g) ≤ LT (gi+1 ) Nhưng đơn thức Blex tăng nghiêm ngặt đơn thức lu an LT (gi ) Tất đơn thức không dẫn đầu g phải nhỏ n va LT (g) theo thứ tự lex Những đơn thức không chia hết cho bất tn to kỳ LT (gj ) với j ≤ i g rút gọn Vì đơn thức không ie gh dẫn đầu xuất g thêm vào Blex thời điểm mà p LT (g) xét bước chọn đơn thức g đa thức oa nl w gi thêm vào Glex , tức g = gi+1 Điều trái với giả thiết g Vậy Glex s Grăobner ca I i vi th t lex d lu nf va an Cuối ta chứng minh thuật toán dừng, Blex bao gồm tất đơn thức sở xác định sở Grăobner Glex Tht vy, lm ul cỏc n thc Blex có phần dư chia cho G độc lập tuyến z at nh oi tính A Mặt khác, đơn thức không chia hết cho LT (gi ) với gi ∈ Glex có phần dư phụ thuộc tuyến tính với phần dư z đơn thức Blex Vì Blex sở A gm @ Chú ý 2.2.1 C s Grăobner nhn c t thut toỏn chuyn sở l m co sở Grăobner rỳt gn an Lu n va 30 ac th si Chương Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng lu an n va Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải hệ tn to phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng tốn tử nhân ie gh khơng gian véctơ hữu hạn chiều xác định iđêan có chiều không p Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO2] nl w Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức d oa 3.1 lu nf va an Xét k-không gian véctơ A = C[x1 , , xn ]/I, I iđêan chiều khơng Với đa thức f ∈ C[x1 , , xn ] ta định nghĩa ánh xạ lm ul nhân mf : A → A theo quy tắc z at nh oi mf ([g]) = [f ] · [g] = [f g] ∈ A z với [g] ∈ A Khi mf có tính chất sau gm @ Mệnh đề 3.1.1 a) Ánh xạ mf ánh xạ tuyến tính từ A đến A co l m b) Ta có mf = mg f − g ∈ I Do hai đa thức cho an Lu ánh xạ tuyến tính chúng sai khác phần n va 31 ac th si tử I Nói riêng, mf ánh xạ khơng f ∈ I Chứng minh a) Nếu [g], [h] ∈ A c ∈ C mf (c[g] + [h]) = [f ] · (c[g] + [h]) = c[f ] · [g] + [f ] · [h] = cmf ([g]) + mf ([h]) b) Vì [1] ∈ A đơn vị phép nhân nên mf = mg [f ] = [f ] · [1] = mf ([1]) = mg ([1]) = [g] · [1] = [g], lu f − g ∈ I Ngược lại, f − g ∈ I, [f ] = [g] A, an n va mf = mg gh tn to Vì A khơng gian véctơ hữu hạn chiều C nên ta biểu p ie diễn mf ma trận theo sở A Trong phần này, ta w dùng sở đơn thức B A để biểu diễn ma trận mf Ta oa nl dùng mf để ký hiệu cho ma trận ánh xạ tuyến tính d Ví dụ 3.1.1 Cho G = {x2 +3/2xy+1/2y −3/2x−3/2y, xy −x, y −y} an lu nf va Sử dụng thứ tự từ điển ngược phân bậc grevlex với x > y, ta dễ dàng lm ul chứng minh G l mt c s Grăobner ca iờan I = hGi ⊂ C[x, y] Từ suy ra, hLT (I)i = hx2 , xy , y i Do đơn thức không thuộc z at nh oi hLT (I)i B = {1, x, y, xy, y }, z @ gm B sở C-không gian véctơ A = C[x, y]/I co l Bằng cách tính trực tiếp phần dư tích đơn thức m chia cho G, ta lập bảng nhân cho phần tử sở B an Lu Đó n va 32 ac th si · x y xy y 1 x y xy y x x α xy β x y y xy y x y xy xy β x α xy y2 x y xy y y2 α = −3/2xy − 1/2y + 3/2x + 3/2y, lu an β = 3/2xy + 3/2y − 3/2x − 1/2y n va p ie gh tn to Chẳng hạn, với f = x ta có  d oa nl w an lu  0 0 0   1 3/2 −3/2 1      mx = 0 3/2 −1/2 0    0 −3/2 3/2 0     −1/2 3/2 nf va Ta chứng minh tương ứng f 7→ mf xác định đồng lm ul cấu vành từ C[x1 , , xn ] đến vành ma trận Md×d (C) cấp d, z at nh oi d chiều không gian véctơ A C hạt nhân đồng cấu iđêan I Cụ thể, ta có mệnh đề sau z Mệnh đề 3.1.2 Cho f, g phần tử C[x1 , , xn ] Khi gm @ co (trong phép nhân bên phải hiểu hợp m b) mf g = mf · mg l a) mf +g = mf + mg an Lu tốn tử tuyến tính phép nhân ma trận) n va 33 ac th si P i Giả sử h(t) = m i=0 ci t ∈ C[t] đa thức biến Ta ký hiệu P Pm i i h(f ) = m c f ∈ C[x , , x ] h(m ) = i n f i=0 i=0 ci (mf ) ∈ Md×d (C) Từ mệnh đề ta suy hệ sau Hệ 3.1.1 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi mh(f ) = h(mf ) Hệ 3.1.2 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi h(mf ) = ⇔ h([f ]) = [0] A lu an Chứng minh Theo Hệ 3.1.1, h(mf ) = ⇔ mh(f ) = Theo Mệnh n va đề 3.1.1, mh(f ) = ⇔ h(f ) ∈ I Điều tương đương với h([f ]) = [0] gh tn to A p ie Vì A khơng gian véctơ hữu hạn chiều nên tập hợp {1, [f ], [f ]2 , } w phụ thuộc tuyến tính A Do có tổ hợp tuyến tính không nl tầm thường d oa m X ci [f ]i = [0], lu an i=0 nf va P i ci ∈ C khơng đồng thời khơng Từ suy m i=0 ci f ∈ I P i m i=0 ci f triệt tiêu tập V (I) Nói cách khác, ta đặt P i h(t) = m i=0 ci t h(f ) ∈ I h(mf ) = mh(f ) = z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 34 ac th si 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp Ta muốn tìm nghiệm hệ phương trình đa thức     f1 (x1 , x2 , , xn ) =       f2 (x1 , x2 , , xn ) =          fs (x1 , x2 , , xn ) = C Gọi I iđêan vành đa thức C[x1 , x2 , , xn ] sinh lu an đa thức f1 , , fs Khi tập nghiệm hệ phương trình n va tập nghiệm I, to ie gh tn V (I) = {(a1 , a2 , , an ) ∈ Cn | f (a1 , a2 , , an ) = 0, ∀f ∈ I} p Khi hệ phương trình có hữu hạn nghiệm, tức V (I) tập hữu nl w hạn, theo Định lý hữu hạn 2.1.1 ta có I iđêan chiều không đại d oa số A = C[x1 , , xn ]/I hữu hạn chiều lu nf va an Để xác định điểm V (I) ta xác định thành phần tọa độ điểm lm ul Trong phần ta xác định giá trị hàm đa thức điểm z at nh oi V (I) Nói riêng, ta áp dụng điều cho hàm tọa độ f = xi ta tọa độ điểm V (I) z gm @ Ký hiệu hf đa thức cực tiểu toán tử nhân mf A co l Định lý 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan có chiều khơng, m cho f ∈ C[x1 , , xn ] giả sử hf đa thức cực tiểu mf an Lu A = C[x1 , , xn ]/I Khi đó, với λ ∈ C, điều sau tương đương: n va 35 ac th si a) λ nghiệm phương trình hf (t) = 0, b) λ giá trị riêng ma trận mf , c) λ giá trị hàm f V (I) Chứng minh (a) ⇒ (b) Vì hf chia hết đa thức đặc trưng mf nên nghiệm λ hf nghiệm đa thức đặc trưng mf , tức λ giá trị riêng ma trận mf (b) ⇒ (c) Giả sử λ giá trị riêng mf Khi có véctơ riêng tương ứng [z] 6= [0] ∈ A cho [f −λ][z] = [0] Giả sử λ không lu phải giá trị f V (I) Nghĩa là, giả sử V (I) = {p1 , , pm } an n va f (pi ) 6= λ với i = 1, , m tn to Đặt g = f − λ, ta có g(pi ) 6= với i Bằng cách xây dựng tương ie gh tự công thức nội suy Lagrange ta tồn đa thức p gi cho gi (pj ) = i 6= j gi (pi ) = Xét đa thức w oa nl g = m X i=1 gi g(pi ) d an lu Ta có g (pi )g(pi ) = với i − g g ∈ I(V (I)) Theo định lý nf va không điểm Hilbert dạng mạnh (Định lý 1.4.2), tồn số nguyên lm ul l ≥ cho (1 − g g)l ∈ I Bằng cách khai triển theo định lý nhị z at nh oi thức tập hợp số hạng chứa nhân tử g, ta − g˜g ∈ I với g˜ ∈ C[x1 , , xn ] Điều suy [1] = [˜ g ][g] A z Mặt khác, ta có [g][z] = [f − λ][z] = [0] A Nhân hai vế với @ gm [˜ g ], ta [z] = [0], mâu thuẫn Do λ phải giá trị co l f V (I) m (c) ⇒ (a) Đặt λ = f (p) với p ∈ V (I) Theo Hệ 3.1.2, hf (mf ) = an Lu nên hf ([f ]) = [0] A Điều suy hf (f ) ∈ I Nghĩa hf (f ) n va 36 ac th si triệt tiêu điểm V (I), hf (λ) = hf (f (p)) = (hf (f ))(p) = Áp dụng định lý với f = xi ta có hệ sau Hệ 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan chiều không Khi giá trị riêng tốn tử nhân mxi A trùng với tọa độ thứ i điểm V (I) Hơn nữa, thay t = xi đa thức cực tiểu hxi lu ta nhận phần tử sinh đơn iđêan khử I ∩ C[xi ] an n va =0 =0 p ie gh tn to Ví dụ 3.2.1 Xét hệ phương trình  3   xy + y − x − y x +    2 2  xy − x      y − y nl w = d oa Vì phương trình hệ đơn giản nên ta giải trực nf va an lu tiếp thấy hệ có nghiệm sau (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (2, −1) lm ul z at nh oi Trong ví dụ ta muốn tìm lại nghiệm cách sử dụng Hệ 3.2.1 Xét iđêan sinh đa thức xác định hệ phương trình z 3 I = hx2 + xy + y − x − y, xy − x, y − yi 2 2 gm @ l Như ta xét Ví dụ 3.1.1, sở đơn thức C-khơng gian m co véctơ A = C[x, y]/I n va 37 an Lu B = {1, x, y, xy, y } ac th si Đối với sở này, ta tìm ma trận  0  1 3/2   mx =  0 3/2  0 −3/2   −1/2 toán tử nhân mx ,  0 0  −3/2 1   −1/2 0   3/2 0   3/2 Sử dụng lệnh MinimalPolynomial Maple (gói LinearAlgebra), ta đa thức cực tiểu ma trận mx lu an hx (t) = t4 − 2t3 − t2 + 2t va n Các nghiệm đa thức 0, −1, 1, Đây tọa độ thứ gh tn to điểm V (I) p ie Tương tự, ta tìm ma trận toán tử nhân my ta   0 0 0   0 0 0      my =  0     0 0 0     0 0 d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Chú ý tính my lệnh MultiplicationMatrix gói Groebner Đa thức cực tiểu ma trận my z gm @ hy (t) = t3 − t co l Các nghiệm đa thức 0, 1, −1 Đây tọa độ thứ hai m điểm V (I) Bằng cách thử hữu hạn cặp giá trị (x, y) ta tìm an Lu nghiệm hệ phương trình n va 38 ac th si Ví dụ 3.2.2 Xét hệ phương trình     x2 − 2xz + =    xy + yz + =      3y − 8xz = u tiờn, tớnh mt c s Grăobner xác định sở đơn thức cho đại số thương Ta sử dụng thứ tự đơn thức grevlex: Polylist:=[x^2-2*x*z+5, x*y^2+y*z+1, 3*y^2-8*x*z]; lu G:=Basis(Polylist, tdeg(x,y,z)); an B:=NormalSet(G, tdeg(x,y,z))[1]; n va tn to Ta ie gh B = {1, y, z, x, z , yz, xz, xy} p Ma trận toán tử nhân mx sở   −3/8  0 0 −5 −3/16   0 0  5/2 0     0 0  0 −5     1 0  0 0   mx =   0 0  −1 −2     0 0 −3/16 −3/20 −3/8 −3/10       0 0  0   0 0 3/40 3/20 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ 375 27 15 355 157 − t + t + t + t + t + t8 16 2 16 16 m co hx (t) = − l Đa thức cực tiểu mx an Lu n va 39 ac th si Tương tự, ta có đa thức cực tiểu my mz 80 400 20 157 − t + t − t − t + t7 + t8 , 9 12 27 45 3991 157093 77 1263 hz (t) = − + t− t2 + t − t − t − t +t 20480 128 32 320 3840 16 320 hy (t) = Đây đa thức bậc cao Việc tìm nghiệm xác đa thức khó Trong trường hợp ta áp dụng phương pháp số để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình đa thức phương pháp số để tìm giá trị riêng xấp xỉ ma trận Chú ý ma trận mx , my , mz đa thức cực tiểu chúng độc lập Vì lu an ta tìm nghiệm xấp xỉ (x, y, z) hệ phương trình phương va n pháp sai số của thành phần tọa độ không ảnh hưởng p ie gh tn to đến sai số thành phần tọa độ khác d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 40 ac th si Kết luận Luận văn thực công việc sau Trình bày khái niệm lý thuyt c s Grăobner v lu i s tuyn tớnh an n va Trình bày thuật tốn chuyển đổi c s Grăobner ca mt iờan chiu ú i vi thứ tự từ điển Kết ứng dụng để giải hệ ie gh tn to không thứ tự cho trước để tìm sở Grăobner ca iờan p phng trỡnh a thc bng phng pháp khử w oa nl Trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào d giá trị riêng toán tử nhân không gian véctơ hữu hạn lu nf va an chiều tương ứng với iđêan chiều không z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 41 ac th si Tài liệu tham khảo [CLO1] D Cox, J Little, D O’Shea Ideals, Varieties, and Algorithms, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1997 [CLO2] D Cox, J Little, D O’Shea Using algebraic geometry Springer lu an (2005) n va putation of zero-dimensional Grăobner bases by change of ordering, ie gh tn to [FGLM] J Faugère, P Gianni, D Lazard and T Mora Efficient com- p J Symbolic Comput 16 (1993), 329-344 oa nl w [NVTrung] Ngơ Việt Trung Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐHQG Hà Nội (2001) d nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 42 ac th si