(Luận văn) một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI lu an n va tn to MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM p ie gh d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Bình Định - Năm 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI lu MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM an n va tn to p ie gh Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUỐC THƯƠNG z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục Mở đầu 1 Đại cương chuỗi số chuỗi hàm an 1.1.1 Một số khái niệm dãy số 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm 1.2 Một số khái niệm tính chất chuỗi số 1.2.1 Một số khái niệm chuỗi số Một số tính chất chuỗi số Một số khái niệm tính chất chuỗi hàm n va Một số khái niệm dãy số dãy hàm ie lu 1.1 gh tn to p 1.3.1 oa nl 1.3 w 1.2.2 Một số khái niệm chuỗi hàm d Tính chất chuỗi hàm 10 nf va an lu 1.3.2 Các định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm 11 Các định lý hội tụ chuỗi số 11 2.2 Các định lý hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.1 Một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm 26 2.2.2 Chuỗi lũy thừa 29 2.2.3 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 32 Một số phương pháp tìm tổng chuỗi vơ hạn 36 2.3.1 Sử dụng phương pháp tổng riêng 36 2.3.2 Sử dụng chuỗi lũy thừa hàm số sơ cấp 2.3.3 Phương pháp lấy đạo hàm tích phân chuỗi 40 2.3.4 Phương pháp Abel 42 z at nh oi z m co l gm @ 2.3 lm ul 2.1 an Lu n va i 38 ac th si ii Một số ứng dụng chuỗi Taylor 46 3.1 Tính giới hạn hàm số 46 3.2 Xấp xỉ tích phân 47 3.3 Ứng dụng phương trình vi phân 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu lu Chuỗi số chuỗi hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm người ta quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Trong trường hợp chuỗi hội tụ ta quan tâm đến việc tìm tổng chuỗi hội tụ an n va ie gh tn to Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các định lý hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm ứng dụng quan trọng chúng Một số phương pháp đặc biệt để khảo sát hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng trường hợp chúng hội tụ chúng tơi quan tâm nghiên cứu p Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương nhắc lại số kiến thức dãy số, dãy hàm chuỗi hàm Chương trình bày định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm, bao gồm điều kiện cần, điều kiện đủ để chuỗi số, chuỗi hàm hội tụ Một số phương pháp tìm tổng chuỗi hội tụ chúng tơi trình bày chi tiết chương Chương cuối dành cho việc giới thiệu số ứng dụng chuỗi Taylor việc tính giới hạn hàm số, tính gần tích phân tìm nghiệm gần phương trình vi phân d oa nl w nf va an lu lm ul Luân văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề chuỗi số chuỗi hàm z at nh oi Luận văn hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối tơi xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi z co l gm @ m Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện an Lu n va ac th si Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Cao Yến nhi lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Đại cương chuỗi số chuỗi hàm lu an Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] n va tn to Một số khái niệm dãy số dãy hàm p ie gh 1.1 Một số khái niệm dãy số w 1.1.1 d oa nl Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N Ñ R cho n ÞĐ apnq :“ an Dãy số thường ký hiệu tan u, pan q, a1 , a2 , , an , Trong luận văn ta dùng ký hiệu pan q an lu nf va Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số pan q có giới hạn L P R với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N ta có lm ul |an ´ L| ă ε z at nh oi Ta ký hiệu lim an “ L, an Ñ L n Ñ nÑ8 z Nếu dãy số pan q có giới hạn L P R ta nói dãy pan q hội tụ, ngược lại ta nói dãy pan q phân kỳ @ l gm Định lý 1.3 (Định lý hội tụ đơn điệu, [1]) Cho dãy số pan q n va an Lu lim an “ suptan : n P Nu nÑ8 m co Nếu pan q tăng bị chặn pan q hội tụ, ta có ac th si Nếu pan q giảm bị chặn pan q hội tụ, ta có lim an “ inftan : n P Nu nÑ8 Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số pan q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N ta có |am ´ an | ă ε Định lý 1.5 ([1]) Dãy pan q hội tụ pan q dãy Cauchy 1.1.2 Một số khái niệm dãy hàm lu an n va gh tn to Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với n ě N ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε Ký hiệu: ie p fn pxq Ñ f pxq, x P A d oa nl w Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R gọi hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfn pxq ´ f pxqˇ ă ε nf va an lu Ký hiệu: lm ul fn pxq Ñ f pxq, x P A z at nh oi Nhận xét 1.8 Từ hai định nghĩa trên, ta dễ dàng suy nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A tfn pxqu hội tụ điểm đến hàm số f pxq A z Định lý 1.9 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A ˇ ˇ sup ˇfn pxq ´ f pxqˇ Ñ 0, n Ñ l gm @ xPA m co Định lý 1.10 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ đến hàm số f pxq A với ε ą 0, tồn N “ N pεq P N cho với m ě n ě N x P A ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε an Lu n va ac th si Định lý 1.11 ([1]) Dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R hội tụ điểm đến hàm số f pxq A với ε ą x P A, tồn N “ N pε, xq P N cho với m ě n ě N ta có ˇ ˇ ˇfm pxq ´ fn pxqˇ ă ε Định lý 1.12 ([1]) Cho dãy hàm tfn pxqu xác định A Ă R giả sử với n P N, hàm số fn pxq liên tục điểm x0 P A Nếu dãy hàm tfn pxqu hội tụ đến hàm số f pxq A hàm số f pxq liên tục điểm x0 Nhận xét 1.13 Từ định lý ta suy tfn pxqu liên tục A tfn pxqu hội tụ đến f pxq A f pxq liên tục A lu an 1.2 Một số khái niệm tính chất chuỗi số va n 1.2.1 Một số khái niệm chuỗi số tn to gh Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thực tan u Một tng cú dng p ie a1 ` a2 ` ă ¨ ¨ ` an ` ¨ ¨ ¨ nl w gọi chuỗi số Chuỗi số ký hiu l oa a1 ` a2 ` ă ă ¨ ` an ` ¨ ¨ ¨ “ ÿ an (1.1) n“1 d nf va an lu tan u “ a1 , a2 , , an , gọi chuỗi số an số hạng thứ n chuỗi Một chuỗi coi xác định xem số hạng chuỗi biết hàm số n, an “ f pnq Ví dụ 1.1 Xét dãy số tan u với an “ Khi ta nhận chuỗi số npn ` 1q n“1 an “ z at nh oi lm ul 1 ` ` ăăă ` ` ăăă 1.2 2.3 npn ` 1q nh ngha 1.15 Xét chuỗi số (1.1) Ta đặt z m Sn “ a1 ` a2 ` ă ă ă ` an co ăăă l gm S2 a1 ` a2 , @ S1 “ a1 , an Lu Khi ta nhận dãy số tSn u dãy gọi dãy tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) n va ac th si Định nghĩa 1.16 ([2]) Xét chuỗi số (1.1) gọi tSn u dãy tổng riêng thứ n chuỗi số • Nếu dãy số tSn u hội tụ số thực S ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S, ta viết ÿ an “ S n“1 • Nếu dãy số tSn u phân kỳ ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ (hay khơng hội tụ) ÿ 1 Ta tính Sn “ ´ , npn ` 1q n`1 n“1 lim Sn “ Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng Ví dụ 1.2 ([2]) Xét chuỗi số lu nÑ8 an Một số tính chất chuỗi số n va 1.2.2 tn to ÿ Tính chất 1.1 Nếu chuỗi số un hội tụ có tổng S, chuỗi số ie gh p S chuỗi hội tụ có tổng n“1 n“1 ÿ ÿ pun ` q hội tụ có tổng S ` S nl w n“1 ÿ un n“1 d ÿ oa Chứng minh Gọi Sn Sn1 tổng riêng thứ n chuỗi số nÑ8 nÑ8 nf va an nĐ8 n“1 lu Khi lim Sn “ S lim Sn1 “ S Suy lim pSn ` Sn1 q “ S ` S Ta có điều phải chứng minh lm ul Tính chất 1.2 Nếu chuỗi số ÿ tụ có tổng kS un hội tụ có tổng S chuỗi số kun hội n“1 z at nh oi n“1 ÿ Chứng minh Gọi Sn tổng riêng thứ n chuỗi số ÿ un z n“1 gm @ Ta có lim kSn “ k lim Sn “ kS m co Ta có điều phải chứng minh nĐ8 l nĐ8 an Lu Tính chất 1.3 Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng n va ac th si 40 Vậy ÿ 8 ÿ ÿ 1 ´1 “2 ´2 2 n pn ` 1q n npn ` 1q n“1 n“1 n“1 “ “ Ví dụ 2.28 ([2]) Tính tổng π2 ´2´1 π2 ´ 3 ÿ p´1qn n2 ` n ´ n“2 lu Lời giải Ta có an 1 1 1 ă ă `n2 pn ´ 1qpn ` 2q n´1 n`2 n va n2 tn to Ta lại có p ie gh 8 ÿ ÿ p´1qn p´1qn`1 “ n´1 n n“2 n“1 (Chuỗi Leibniz) oa nl w 8 ÿ ÿ ÿ p´1qn p´1qn`1 p´1qn`1 1 ´ “ “ ´1` ´ n`2 n`2 n n“2 n“2 n“1 Áp dụng công thức (2.12) ta d nf va an lu 8 ÿ p´1qn`1 ÿ p´1qn`1 p´1qn “ ` n2 ` n ´ n“1 n n“2 n ` n“2 8 ÿ p´1qn`1 ´ ÿ p´1qn`1 1¯ “ ` ´1` ´ n“1 n n“1 n ÿ lm ul z at nh oi ÿ p´1qn`1 ´ “ n“1 n 18 “ ln ´ 18 z gm @ Phương pháp lấy đạo hàm tích phân chuỗi co l 2.3.3 m Bằng cách lấy đạo hàm tích phân cách thích hợp chuỗi Maclaurin hàm số sơ cấp biết, ta tính tổng số chuỗi luỹ thừa an Lu Trong phần ta sử dụng số quy tắc tính đạo hàm sau n va ac th si 41 d u du pe q “ eu , dx dx • pex q1 “ ex ; du d n pu q “ nun´1 , dx dx • pxn q1 “ nxn´1 ; d ; pln uq “ du , x dx u dx • pu.vq1 “ u1 v ` u.v , ´ u ¯1 u1 v ´ uv • “ v v2 • rlnpxqs1 “ Ví dụ 2.29 ([2]) Chứng minh lu ÿ xn “ ln , n ´ x n“1 |x| ă (2.16) an va Lời giải Áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) cho hàm số f ptq “ n , sau 1´t p ie gh tn to lấy tích phân hai vế từ đến x, ta żx żx dt “ p1 ` t ` t2 ` ă ă ă ` tn ` ă ă ¨ q dt ´ t 0 ˇx ˇx t2 tn`1 ` ăăă ủ lnp1 tq t ` ` ă ă ă ` n`1 0 n`1 ÿ xn x x ủ ln x` ` ăăă ` ` ăăă 1´x n`1 n n“1 d oa nl w an lu Ví dụ 2.30 ([2]) Tính tổng nf va n lm ul ` 2x ` 3x ` 4x ` ă ă ă ` pn ` 1qx “ pk ` 1qxk k“0 z at nh oi Lời giải Đặt n ÿ Sn “ ` 2x ` 3x2 ` 4x3 ` ă ă ă ` pn ` 1qxn Nhân hai vế Sn với x, ta z • Nếu x ‰ ta có 1.p1 ´ xn`1 q ´ pn ` 1qxn`1 , 1´x m co p1 ´ xqSn “ l gm @ xSn “ x ` 2x2 ` 3x3 ` ă ă ă ` nxn ` pn ` 1qxn`1 Sn “ p1 ´ xn`1 q pn ` 1qxn`1 ´ p1 ´ xq2 1´x an Lu n va ac th si 42 • Nếu x “ Sn “ ` ` ` ` ă ă ă ` pn ` 1q pn ` 1qpn ` 2q Ví dụ 2.31 ([2]) Tìm tổng S “1´ 1 1 ` ` ăăă lu Li giải Trước tiên ta áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) thay x ´z , ta “ ´ z ` z ă ă ă ` p1qn z 2n ` ă ¨ ¨ ` z2 Lấy tích phân hai vế từ đến x, ta żx żx żx żx żx dz n “ dz ´ z dz ` z dz ă ă ă ` p1q z 2n dz ` ă ă ă ` z 0 0 an n va tn to ðñ arctan x “ x ´ gh Cho x “ 1, ta c x3 x x2n`1 ` ă ¨ ¨ ` p´1qn ` ¨¨¨ , 2n ` |x| ă p ie π 1 1 ` ` ăăă oa nl w 2.3.4 Phương pháp Abel d lu nf va an Từ Định lý 2.28, Định lý 2.37 (Định lý Abel) ta rút nhận xét quan trọng ÿ sau chuỗi luỹ thừa: Nếu chuỗi luỹ thừa ak hội tụ khoảng p´1; 1q k“0 lm ul xác định z at nh oi tổng Spxq liên tục khoảng Hơn chuỗi luỹ thừa hội tụ điểm x “ hàm Spxq liên tục bên trái điểm x “ ÿ Ta rút phương pháp Abel sau: Nếu chuỗi số an hội tụ tổng S gm n“1 an x n @ xĐ1 z S “ lim´ ÿ n“1 m co l Để sử dụng phương pháp Abel, ta cần chắn chuỗi số cho hội tụ, sau xét chuỗi lũy thừa tương ứng tìm giới hạn x Đ 1´ n“1 an Lu Điều kiện mấu chốt để sử dụng phương pháp Abel hội tụ chuỗi số, tức ÿ S“ an , không phương pháp áp dụng n va ac th si 43 Ví dụ 2.32 ([2]) Xét khai triển Maclaurin hàm số f pxq “ lnp1 ` xq, ta có ÿ p´1qn`1 xn f pxq “ lnp1 ` xq “ n n“1 ÿ p´1qn`1 hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng chuỗi n n“1 tính sau Vì chuỗi số ÿ p´1qn`1 “ lim´ f pxq “ lim´ lnp1 ` xq “ ln xĐ1 xĐ1 n n“1 Ví dụ 2.33 ([2]) Xét khai triển Maclaurin hàm số gpxq “ arctan x, ta có lu an ÿ p´1qn x2n`1 gpxq “ arctan x “ 2n ` n“0 n va p ie gh tn to ÿ p´1qn hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng chuỗi 2n ` n“1 tính sau Vì chuỗi số oa nl w ÿ p´1qn π “ lim´ gpxq “ lim´ arctan x “ xĐ1 2n ` xĐ1 n“1 Ví dụ 2.34 ([2]) Tính tổng d 1.3 1.3.5 p´1qn p2n ´ 1q!! ` ` ăăă ` ` ăăă 2.4 2.4.6 p2nq!! nf va an lu 1´ lm ul Lời giải Nếu |x| ă chuỗi hội tụ Xét chuỗi lũy thừa ÿ p´1qn p2n ´ 1q!! 2n x p2nq!! n“1 z at nh oi p1 ` x2 q´ “ ` Theo phương pháp Abel, ta tính z 1 1.3 1.3.5 ` ` ă ă ă lim p1 ` x2 q´ “ ? xÑ1 2.4 2.4.6 m co ÿ p´1qn Ví dụ 2.35 ([2]) Tính tổng 3n ` n“0 l gm @ 1´ an Lu n va ac th si 44 ÿ p´1qn x3n`1 Lời giải Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Xét chuỗi lũy thừa 3n ` n“0 với khoảng hội tụ |x| ă Theo phương pháp Abel, ta có 8 ÿ ÿ p´1qn p´1qn x3n`1 “ lim´ 3n ` xÑ1 n“0 3n ` n“0 ´ż x ¯ ÿ p´1qn t3n dt “ żn“0 x “ 0 dt ` t3 Ta có ` t3 “ p1 ` tqp1 ´ t ` t2 q lu an Do ta phân tích n va A Bt ` C “ ` 1`t ` t ´ t ` t2 tn to A, B, C xác định từ hệ phương trình $ ’ ’ ’ &A ` C “ ie gh $ ’ ’ ’ &A “ p A`B`C “0 ’ ’ ’ %A ` B “ ðñ nl w B “ ´1 ’ ’ ’ %C “ d oa Tiếp theo, tháy giá trị A, B C vào tích phân, ta có żx ż ż ż dt tdt dt x dt x x “ ´ ` 3 1`t 1´t`t ´ t ` t2 1`t żx żx ż ż dt p2t ´ 1qdt x dt x dt “ ´ ` ` 2 1`t 1´t`t 1´t`t ´ t ` t2 żx żx żx dt p2t ´ 1qdt dt 1 “ ´ ` 1`t 1´t`t ´ t ` t2 nf va an lu z at nh oi lm ul Ta tính żx z dt 1 2x ´ π “ lnpx ` 1q ´ lnpx2 ´ x ` 1q ` ? arctan ? ` ? 1`t 3 żx px ` 1q 2x ´ π dt “ ln ` ? arctan ? ` ? lim´ x ´x`1 3 xÑ1 ` t3 π 1 “ ln 22 ` ? ` ? arctan ? 6 3 π “ ln ` ? 3 1´ π ¯ “ ln ` ? 3 m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 Vậy ÿ p´1qn π “ ln ` ? 3n ` 3 n“0 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số ứng dụng chuỗi Taylor lu an 3.1 Tính giới hạn hàm số n va gh tn to Bằng cách khai triển hàm số sơ cấp dạng chuỗi Taylor ta tính số giới hạn hàm số Ta xét ví dụ sau ie Ví dụ 3.1 Tính giới hạn p sin x ´ x xĐ0 x3 nl w L “ lim d oa Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ sin x, ta có Do nf va an lu sin x “ x ´ ` x3 3! ` lm ul L “ lim x´ xÑ0 x5 ` 5! x ăăă x z at nh oi Ví dụ 3.2 Tính giới hạn x3 x5 ` ` ăăă 3! 5! x2 ex xẹ0 cos x ´ L “ lim z @ n va 46 an Lu x2 x4 ` ` ăăă 2! 4! m cos x “ ´ co x x2 ` ` ăăă 1! 2! l ex ` gm Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ ex y “ cos x, ta có ac th si 47 Do ` ˘ x2 ` 1!x ` x2! ` ă ă ă ´ x ˘ “ ´2 L “ lim ` xẹ0 x2! ` x4! ` ă ă ¨ ´ Ví dụ 3.3 Tính giới hạn ˆ L “ lim xÑ0 1 ´ 2 sin x x ˙ Lời giải ˙ 1 x2 ´ sin2 x L “ lim ´ “ lim xÑ0 xÑ0 x2 sin2 x sin2 x x2 x2 ´ sin2 x x ´ sin x x ` sin x “ lim lim ă lim xẹ0 xẹ0 xẹ0 x x x ˆ lu an va n Xét khai triển Maclaurin với y “ sin x, ta có gh tn to Do p ie L “ lim “ x ´ px ´ x3 x3 ` opx3 qq x ` px ` opxqq xÑ0 x lim d oa nl w 1 ă2 an lu Xấp xỉ tích phân nf va 3.2 z at nh oi lm ul Nhiều tích phân bất định khơng biểu diễn dạng hàm số sơ cấp ta khơng thể tính xác tích phân xác định tương ứng Trong số trường hợp, ta biểu diễn hàm số dấu tích phân dạng chuỗi luỹ thừa ta tính gần giá trị cuả tích phân ż1 Ví dụ 3.4 ([2]) Tính gần e´x dx với độ xác 10´4 z gm @ m co l Lời giải Vì nguyên hàm hàm số e´x hàm số sơ cấp nên khơng thể dùng cơng thức Newton Leibniz để tính tích phân Nhưng hàm số khai triển thành chuỗi lũy thừa R Từ công thức khai triển Maclaurin hàm ex ta suy x2 x x2n e´x “ ´ ` ´ ¨ ¨ ¨ ` p´1qn ` ¨¨¨ 1! 2! n! an Lu n va ac th si 48 Do ż 1{4 e ´x2 dx “ ż 1{4 ÿ p´1qn n“0 x2n dx n! ż ÿ p´1qn 1{4 2n “ x dx n! n“0 ˇ1{4 p1qn x2n`1 ă n! 2n ` ˇ0 n“0 ÿ “ p´1qn 2n`1 n!p2n ` 1q4 n“0 Kết ta nhận chuỗi đan dấu chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz lu an Để ý số hạng thứ ba chuỗi thoả mãn va n 1 “ ă 10´4 2!5.4 10240 tn to p ie gh Do để tính gần tích phân với độ xác 10´4 ta cần lấy hai số hạng chuỗi, cụ thể ż 1{4 e´x dx « d oa nl w 1 1 ´ “ ´ « 0, 2448 1!3.4 192 ż `8 lu an Ví dụ 3.5 ([2]) Tính gần dx với độ xác 0, 001 ` x3 nf va lm ul Lời giải Vì x ě nên x3 ě 8, áp dụng công thức ( ) để khai triển “ p1 ` x3 q´1 thành chuỗi lũy thừa, công thức x3 ă Ta có 1`x3 Vì ď , ´ ta khai triển ` x3 ¯´1 thành chuỗi lũy thừa z x3 z at nh oi 1 1´ ¯´1 “ “ ` ` x3 x3 ` x13 x3 x3 x3 Ta @ m co l gm ı 1” 1 n ` ă ă ¨ ` p´1q 3n ` ¨ ¨ ¨ ` x3 x x x x 1 1 “ ` ă ă ă ` p1qn 3n`3 ` ă ă ă x x x x n ÿ p´1q “ 3n ` n“0 an Lu n va ac th si 49 Do ż `8 8 ˇ2 ÿ ÿ dx p´1qn p´1qn ˇ “ “ ˇ ` x3 n“0 p3n ` 2qx3n`2 `8 n“0 p3n ` 2q23n`2 Vì chuỗi vế phải chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện định lý leibniz nên ta tính gần tổng k số hạng đầu sai số phạm phải nhỏ p3k`5q.2 3k`5 Sai số nhỏ hươn 0, 001 k ą Do ż `8 dx “ 0, 118 « ´ 1`x 160 ż 0,1 Ví dụ 3.6 ([2]) Tính gần lu sin x dx với độ xác 0, 00001 x an va Lời giải Sử dụng công thức khai triển Maclaurin cho hàm y “ sin x, ta n ie gh tn to 2k`1 ÿ x3 x2k`1 n x sin x x ` ă ă ă ` p1q ` ăăă p1qk 3! p2k ` 1q! p2k ` 1q! k“0 p Từ đó, ta có x P R an ż 0,1 ż 0,1 ż 0,1 x2 x2k n 1dx dx ` ă ă ă ` p1q dx ` ă ă ă 3! p2k ` 1q! 0 0, 001 0, 00001 p0, 1q2k`1 “ 0, ` ă ă ă ` p1qk ` ăăă 3.3! 5.5! p2k ` 1qp2k ` 1q! sin x dx “ x nf va lu Do ż 0,1 d oa nl w ÿ sin x x2 x2k x2k ` ă ă ă ` p1qn ` ăăă p1qk , x 3! p2k ` 1q! p2k ` 1q! k“0 0,001 3.3! “ 0, 000055 ą 0, 00001 ż 0,1 0,00001 5.5! “ 0,00001 600 ă 0, 00001 Do sin x dx « 0, ´ 0, 000055 “ 0, 09994 x z z at nh oi lm ul Vì 0, ą 0, 00001; ? e với độ xác 0, 0001 l ? e “ e , ta khai triển hàm ex lân cận điểm x “ Ta có m co Lời giải Vì gm @ Ví dụ 3.7 Tính xấp xỉ an Lu ex “ ` x x2 xn ` ` ăăă ` ` Rn pxq, x `8 1! 2! n! n va ac th si 50 Trong Rn pxq “ f pn`1q pξq n`1 eξ x “ xn`1 , ξ nằm x Lấy x “ , ta pn ` 1q! pn ` 1q! có 1 ? e ă e ă “ ă ξ Do 1 |Rn p q| ă “ n`1 n pn ` 1q!4 2.4 pn ` 1q! Vậy cần tìm n cho 2.4n pn ` 1q! ă 0, 0001 Thử trực tiếp ta thấy với n “ 4, ta có lu 1 |Rn p q| ă “ ă 0, 00002 ă 0, 0001 2.44 61440 an va n p ie gh tn to ? 1 1 e « ` ` ` ` “ 1, 28402 4 2! 3! 4! Ứng dụng phương trình vi phân oa nl w 3.3 d Chuỗi luỹ thừa sử dụng để giải phương trình vi phân, chẳng hạn trường hợp nghiệm khơng viết dạng hàm số sơ cấp an lu Ta nhắc lại khai triển Taylor hàm số ypxq lân cận điểm x0 sau nf va y px0 q y px0 q y pnq px0 q px x0 q ` px x0 q2 ` ă ¨ ¨ ` px ´ x0 qn ` ¨ ¨ ¨ 1! 2! n! lm ul ypxq “ ypx0 q ` z at nh oi Ví dụ 3.8 ([2]) Tìm nghiệm y “ ypxq toán xy ´ y “ px ´ 1q2 , y p1q “ yp1q “ 1, z Lời giải Giả sử nghiệm toán viết dạng chuỗi Taylor tâm x0 , @ y px0 q y px0 q y pnq px0 q px ´ x0 q ` px x0 q2 ` ă ă ă ` px x0 qn ` ă ă ă 1! 2! n! l gm ypxq “ ypx0 q ` m co Hai hệ số khai triển ta tìm nhờ vào điều kiện ban đầu Khi đó, x0 “ ta có an Lu ypxq “ yp1q ` n va y p1q y p1q y p4q p1q px ´ 1q ` px 1q2 ` ă ă ă ` px 1q4 1! 2! 4! ac th si 51 Ta tính yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ Lấy vi phân phương trình cho ta y ` xy ´ y “ 2px ` 1q (3.1) Thay x “ vào (3.1), sử dụng yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ 1, ta y p1q ` 1.y p1q ´ y p1q “ suy y p1q “ ´1 Lấy vi phân phương trình trước lần nữa, thay x “ ta 2y p1q ` 1y p4q p1q ´ y p1q “ ñ y p4q “ lu an Khi đó, ta có yp1q “ 1, y p1q “ 0, y p1q “ 1, y p1q “ ´1, y p4q p1q “ va Vậy n px ´ 1q2 px ´ 1q3 5px ´ 1q4 ´ ` 2! 3! 4! gh tn to ypxq “ ` p ie Ví dụ 3.9 ([2]) Tìm năm số hạng nghiệm chuỗi toán y “ x2 ` y , nl w yp0q “ d oa Lời giải Giả sử nghiệm chuỗi toán viết dạng chuỗi Maclaurin lu y p0q y p0q y p0q y pnq p0q n x` x ` x ` ăăă ` x ` ăăă 1! 2! 3! n! nf va an ypxq “ yp0q ` Ba đạo hàm tìm cách lấy vi phân phương trình vi phân lm ul y “ 2x ` 2yy z at nh oi y “ ` 2py q2 ` 2yy y p4q “ 6yy ` 2yy z Tính giá trị đạo hàm x “ sử dụng điều kiện ban đầu yp0q “ phương trình vi phân cho y “ x2 ` y , ta ´ ¯2 1 y p0q “ ` “ 1 y p0q “ 2.0 ` “ 4 1 19 y p0q “ ` 2 ` “ 4 1 19 11 p4q y p0q “ ` ` “ 8 m co l gm @ an Lu n va ac th si 52 Thay giá trị vào chuỗi Maclaurin, ta nghiệm xấp xỉ sau ypxq “ 1 19 19 ` x ` x ` x3 ` x4 ` ă ă ¨ 48 48 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Kết luận Luận văn đạt số kết sau lu • Trình bày cách chi tiết có hệ thống kết lý thuyết chuỗi số chuỗi hàm, đặc biệt định lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm an n va • Giới thiệu số ứng dụng quan chuỗi Taylor p ie gh tn to • Đưa số phương pháp để tính tổng chuỗi trường hợp hội tụ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 53 ac th si Tài liệu tham khảo [1] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) lu [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhăauser (2016) an va n [3] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 54 ac th si