material de apoyo, de geometría- universidad nacional de colombia

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın Matem´aticas B´asicas ´ Angulos y Tri´angulos 6.8.1 Conceptos b´asicos: Geometr´ıa Plana 6.8.1.1 Objetivo de aprendizaje • Conocer los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen la geometr´ıa plana, y desa- rrollar capacidades de deducci´on para lograr demostraciones mediante un conjunto de razona- mientos. • Caracterizar y definir con precisi´on elementos geom´etricos, de tal forma que se puedan construir y clasificar a partir de sus propiedades. • Identificar las rectas y los puntos notables de un tri´angulo y reconocer sus propiedades, de tal forma que puedan ser aplicados a problemas de aplicaci´on. 6.8.1.2 Matem´atica formal Definici´on 6.8.1 Punto, l´ınea recta y plano: Son conceptos que no se definen, pero se utiliza su representaci´on gr´afica y se denotan usando letras may´usculas as´ı. • Por dos puntos distintos pasa una y solo una l´ınea recta. • Se dice que tres puntos distintos son colineales si est´an sobre una misma l´ınea recta. Si L es una l´ınea recta y A, B son dos puntos sobre ella, podemos hablar tambi´en de la recta AB. Definici´on 6.8.2 Semirrecta y segmento rectil´ıneo: toda recta se prolonga al infinito por sus dos extremos; por eso su longitud no puede ser calculada. Si en una recta se fija un punto, ´este divide la recta en dos partes opuestas llamadas semirrectas. Si en una recta se fijan dos puntos, la parte de recta comprendida entre dichos puntos se denomina segmento rectil´ıneo. Para medir los segmentos rectil´ıneos se emplean las medidas de longitud y se usa generalmente una regla graduada en dec´ımetros, cent´ımetros y mil´ımetros. Decimos que dos segmentos AB y CD son congruentes si tienen la misma longitud y lo denotamos AB ∼ = CD. Definici´on 6.8.3 L´ınea Poligonal (o l´ınea quebrada) es una l´ınea compuesta de varios segmentos rectos que siguen diferentes direcciones. Definici´on 6.8.4 Figura Plana es una regi´on del plano limitada por una l´ınea cerrada. Definici´on 6.8.5 Pol´ıgono es una figura plana limitada por rectas que forman una l´ınea quebrada cerrada. Definici´on 6.8.6 Un ´angulo es la abertura comprendida entre dos rectas trazadas desde un mismo punto. Estas rectas se llaman lados del ´angulo y el punto com´un, v´ertice. Para denotar un ´angulo se utiliza  AOB o  BOA, por una letra griega α, β, γ, . . . , por un n´umero 1, 2, 3, . . . , o por una letra min´uscula a, b, c, d,. . . 6.8.1.2.1 Medida de ´angulos Para medir los ´angulos se toma como unidad de medida el grado, que es igual a 1 360 del ´angulo de una vuelta. Decimos que el  AOB mide un grado, y lo denotamos 1 ◦ . 6.8.1.2.2 Clases de ´angulos Definici´on 6.8.7 Un ´angulo se puede clasificar seg´un su medida: • ´ Angulo agudo es el que mide menos de 90 ◦ . • ´ Angulo recto es el que mide exactamente 90 ◦ . • ´ Angulo obtuso es el que mide m´as de 90 ◦ . • ´ Angulo llano es el que mide exactamente 180 ◦ . Definici´on 6.8.8 Un ´angulo se puede clasificar seg´un su posici´on: • ´ Angulos consecutivos son aquellos que tienen el v´ertice y un lado com´un. • ´ Angulos adyacentes son dos ´angulos que tienen el mismo v´ertice, un lado com´un y los otros dos pertenecen a la misma recta (es decir, la suma de la medida de los dos ´angulos es igual a 180 ◦ ). • ´ Angulos opuestos por el v´ertice son aquellos que tienen el v´ertice com´un y los lados del uno son prolongaci´on de los del otro. Definici´on 6.8.9 Dos ´angulos se pueden clasificar seg´un su suma: • ´ Angulos complementarios son dos ´angulos cuya suma de las medidas es igual a la de un ´angulo recto. • ´ Angulos suplementarios son dos ´angulos cuya suma de las medidas es igual a la de dos ´angulos rectos. Se dice que dos rectas L 1 y L 2 en el plano, que tienen un ´unico punto en com´un, se intersectan o intersecan en dicho punto, en caso contrario se dice que L 1 y L 2 son paralelas, y escribimos L 1  L 2 . En particular, si L 1 y L 2 son dos rectas que tienen todos los puntos comunes, se dice que son rectas coincidentes. Si dos rectas L 1 y L 2 se intersectan formando un ´angulo recto se dice que son perpendiculares, y escribimos L 1 ⊥ L 2 . Definici´on 6.8.10 ´ Angulos formados por dos rectas cortadas por una secante: • ´ Angulos alternos internos son dos ´angulos internos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante. • ´ Angulos alternos externos son dos ´angulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante. • ´ Angulos correspondientes son dos ´angulos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante, uno interno y otro externo. • ´ Angulos alternos internos: “1 y 8”, “2 y 7”. • ´ Angulos alternos externos: “3 y 6”, “4 y 5”. • ´ Angulos correspondientes: “1 y 5”, “2 y 6”, “3 y 7”, “4 y 8”. • ´ Angulos opuestos por el v´ertice: “1 y 4”, “2 y 3”, “5 y 8”, “6 y 7”. Teorema 6.8.1 Si las dos rectas de la definici´on anterior son paralelas, entonces los pares de ´angulos mencionados arriba son congruentes (puede verse la demostraci´on de este teorema en el cap´ıtulo III del texto de F. J. Landaverde). 6.8.1.2.3 Tri´angulos Definici´on 6.8.11 Un tri´angulo es un pol´ıgono de tres lados. Se designan generalmente los ´angulos de un tri´angulo por letras may´usculas A, B, C, por ejemplo, y los lados opuestos a estos ´angulos, por las mismas letras min´usculas a, b, c. Con frecuencia se sustituye la palabra tri´angulo por el s´ımbolo . En el siguiente ABC, los ´angulos  1,  2 y  3 se llaman ´angulos interiores o internos del tri´angulo y los ´angulos  4,  5 y  6 se llaman ´angulos exteriores o externos del tri´angulo. 6.8.1.2.4 Propiedades de los tri´angulos Teorema 6.8.2 La suma de los ´angulos de un tri´angulo es igual a la suma de dos ´angulos rectos. Prueba Tracemos por B una recta paralela a AC, entonces:  α +  β +  2 = 180 ◦ (Ecuaci´on [1]) Y como por teorema  α ∼ =  1 y  β =  3, por ser alternos internos, entonces reemplazando en la ecuaci´on [1]  1 +  2 +  3 = 180 ◦ Colorario 6.8.1 Un ´angulo exterior de un tri´angulo es igual a la suma de los ´angulos interiores no adyacentes. Prueba  3 +  γ = 180 ◦ ya que  3 y  γ son suplementarios. Ahora, como:  1 +  2 +  3 = 180 ◦ Entonces:  3 = 180 ◦ −  1 +  2 Luego, 180 ◦ −  1 −  2 +  γ = 180 ◦ Y entonces,  γ =  1 +  2 6.8.1.2.5 Clasificaci´on de tri´angulos 6.8.1.2.6 Rectas y puntos notables en el tri´angulo • Altura: cada una de las rectas que pasa por un v´ertice y es perpendicular al lado opuesto, o a su prolongaci´on. Las tres alturas de un tri´angulo se cortan en un punto llamado ortocentro. • Mediana: cada una de las rectas que pasa por un v´ertice y el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un tri´angulo se cortan en un punto llamado baricentro. • Mediatriz: cada una de las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado. Se cortan en un punto llamado circuncentro. • Bisectriz: cada una de las rectas que dividen sus ´angulos en dos ´angulos iguales. El punto de corte de las tres bisectrices de un tri´angulo se llama incentro. 6.8.1.3 Ejercicios y problemas para resolver en clase 1. Uno de los ocho ´angulos formados al cor- tar dos rectas paralelas por una secante, vale 60 ◦ . Halle el valor de cada uno de los siete restantes. 2. La longitud del radio de la circunferencia ins- crita a un tri´angulo equil´atero es 20cm. (a) ¿Cu´anto mide el radio de la circunfe- rencia inscrita? (b) ¿Cu´al es el per´ımetro del tri´angulo? 3. Referente al gr´afico adjunto, se tienen las siguientes relaciones con respecto a las lon- gitudes de los lados: |AB| = |AD| + 10, |EC| = 12, |AC| = 20, |EF| = |F C|, m(  BAC) = m(  EAD). Determine la lon- gitud del lado AD. 4. En la figura adjunta, el ´angulo P RQ mide π 2 , QT = QV , |PS| = |P V |. Determine la medida del ´angulo SV T . 6.8.1.4 Ejercicios y problemas de estudio extraclase 1. Sea ABC un tri´angulo y C  el pie de la altura por el v´ertice C (esto es, C  es la intersecci´on de la altura por C con el lado AB). Sea P el punto de corte de la paralela a AC por C  con la mediatriz del segmento CC  . De- muestre que el segmento PC mide la mitad que el lado AC. 2. En el tri´angulo ABC, P es el punto de in- tersecci´on de la bisectriz del ´angulo A con el lado opuesto BC. Demuestre que |BP| |P C| = |AB| |AC| 3. Sea ABC un tri´angulo rect´angulo en C, P el punto de corte de la bisectriz en A y el lado BC y Q el punto de corte de la bisec- triz en B y el lado AC. Sean M y N los pies de las perpendiculares a AB por P y por Q, respectivamente. Halle el ´angulo NCM. 4. ¿Existe alg´un tri´angulo en el que las medi- das de sus tres lados sean n´umeros naturales consecutivos y el ´angulo mayor sea el doble que el menor? Si existe, determine sus medi- das. 5. En el tri´angulo acut´angulo ABC, AH, AD, y AM son, respectivamente, la altura, la bi- sectriz y la mediana que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respec- tivamente, 11, 8 y 1, calcule la longitud del segmento DH. 6. En el tri´angulo ABC, la bisectriz trazada desde A divide al lado opuesto en dos seg- mentos, de los que conocemos uno: |BT | = 572m. Si dicha bisectriz corta a la medi- ana BM en los segmentos |BD| = 200m y |DM| = 350m, calcule el lado a de di- cho tri´angulo y plantea una ecuaci´on con inc´ognita c para obtener el lado c (no hace falta que lo calcule expl´ıcitamente). 7. En un tri´angulo rect´angulo is´osceles, los la- dos iguales miden 3m de longitud. Calcule el per´ımetro del tri´angulo. 8. Considere tres tri´angulos ABC (uno acut´angulo, uno rect´angulo y otro ob- tus´angulo), haciendo uso de regla y comp´as trace en cada uno de ellos: (a) Las tres medianas, mediatrices, bisec- trices y alturas (b) La circunferencia inscrita (c) La circunferencia cincunscrita 9. En el gr´afico adjunto, los arcos  MN,  NP , y  P Q tienen la misma longitud y O es el cen- tro de la circunferencia. Determine la medida del ´angulo P RQ. 10. La esquina inferior derecha de una p´agina se dobla hasta alcanzar el lado mayor izquierdo, como se muestra en la figura. Si el ancho de la p´agina es 6cm y A = 30 ◦ , determine la longitud L: Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın Matem´aticas B´asicas Congruencia y Semejanza de Tri´angulos 6.8.2 Semejanza y congruencia de tri´angulos 6.8.2.1 Objetivo de aprendizaje • Conocer los axiomas, postulados, teoremas y corolarios que rigen a la geometr´ıa plana, y de- sarrollar capacidades de deducci´on para lograr demostraciones mediante un conjunto de razo- namientos. • Identificar las rectas y los puntos notables de un tri´angulo y reconocer sus propiedades, de tal forma que puedan ser aplicados a problemas de aplicaci´on. 6.8.2.2 Matem´atica formal 6.8.2.2.1 Congruencia de tri´angulos Dos tri´angulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los tres lados del otro, y los tres ´angulos de uno son respectivamente congruentes con los tres ´angulos del otro. Es decir, dos tri´angulos son congruentes si tienen la misma forma y tama˜no. Si el ABC es congruente con el EDF, escribimos ABC ∼ = EDF 6.8.2.2.2 Criterios de congruencia Dos tri´angulos son congruentes si: 1. Dos pares de lados correspondientes y el ´angulo comprendido entre ellos, son congruentes. Este criterio se conoce como L-A-L (Lado- ´ Angulo-Lado). [...]... Un cilindro de 5cm de altura, cuyo radio de la base mide 2cm (c) Un cono con 2cm de radio de la base y 5cm de altura (d) Un prisma de base cuadrada, de 6cm de altura, cuyo lado de la base mide 3cm 10 Halle el volumen y el ´rea superficial total a de la siguiente figura: 9 Halle el volumen y el ´rea superficial de a las siguientes figuras: (a) Un prisma de 7cm de altura, cuyas bases son rombos de diagonales... tiene forma de prisma hexagonal regular El lado de la base mide 15cm La altura de la columna es de 2, 95m Halle su peso y ´rea supera ficial sabiendo que 1m de basalto pesa 2845kg 6 Determine el ´rea A de la base de la a pir´mide sabiendo que el volumen total a es de 3600cm3 : 3 ¿Qu´ porci´n de la caja ocupa cada uno e o de los siguientes tetraedros? 4 Determine el di´metro interior D del tubo a de modo... piscina tiene 2, 3m de ancho; situ´ndonos a 116cm del borde, desde a una altura de 1, 74m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la l´ ınea del fondo ¿Qu´ profundidad tiene e la piscina? 6.8.2.4 Ejercicios y problemas de estudio extraclase 1 Si en un determinado instante del d´ una ıa estaca de un metro produce una sombra de 70cm de longitud ¿Cu´l ser´ la altura de un a a ´rbol que... diagonales 6cm y 4cm Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ ın Matem´ticas B´sicas a a ´ Angulos 6.8.5 6.8.5.1 Trigonometr´ ´ngulos ıa: a Objetivo de aprendizaje • Identificar los conceptos b´sicos de la trigonometr´ plana, especialmente los diferentes sistemas a ıa de medici´n de ´ngulos o a • Establecer las relaciones matem´ticas entre las medidas de las longitudes de los lados de un a tri´ngulo... longitudes de dos lados de un tri´ngulo y θ es el ´ngulo entre ellos entonces a a el ´rea A del tri´ngulo es: a a 1 A = ab senθ 2 6.8.5.3 Ejercicios y problemas para resolver en clase 1 En la figura se muestran las coronas dentadas y la cadena de una bicicleta La corona dentada de los pedales tiene un radio de 4 pulg, la corona dentada de la rueda tiene un radio de 2 pulg y la rueda tiene un radio de 13... del jard´ ın Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ ın Matem´ticas B´sicas a a ´ Areas y Per´ ımetros 6.8.3 6.8.3.1 ´ Areas y per´ ımetros Objetivo de aprendizaje • Comprender y aplicar en situaciones problema las f´rmulas de c´lculo del ´rea y per´ o a a ımetro de las principales figuras planas 6.8.3.1.1 Matem´tica formal a ´ En la gu´ acerca de “Angulos y Tri´ngulos”, se hab´ de nido pol´... |AB| = 5 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ ın Matem´ticas B´sicas a a ´ Volumen y Area Superficial de S´lidos o 6.8.4 6.8.4.1 Volumen y ´rea superficial de s´lidos a o Objetivo de aprendizaje • Clasificar y enunciar propiedades de los principales cuerpos geom´tricos (s´lidos regulares, prise o mas, pir´mides y cuerpos redondos) a • Plantear y resolver problemas empleando elementos de la geometr´... cap´ o ıtulo X del texto de F J Landaverde) Si en ∆ABC trazamos DE AB, entonces ∆ABC ∼ ∆DEC 6.8.2.2.6 Criterios de semejanza Como en la congruencia, podemos utilizar criterios para probar la semejanza de tri´ngulos sin a necesidad de probar la congruencia de todos los ´ngulos correspondientes y la proporcionalidad de a todos los lados correspondientes Estos criterios son: 1 Dos ´ngulos de un tri´ngulo... prolongaci´n del lado adyacente o De nici´n 6.8.18 V´rtices de un pol´ o e ıgono son los de los ´ngulos del pol´ a ıgono Atendiendo al n´mero de lados o ´ngulos, los pol´ u a ıgonos reciben los siguientes nombres: N.o de Lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 Nombre Tri´ngulo a Cuadril´tero a Pent´gono a Hex´gono a Hept´gono a Octagono Ene´gono a Dec´gono a Endec´gono a Dodec´gono a Pentedec´gono a Sin embargo, los dem´s... particular de rect´ngulo y de rombo) a De nici´n 6.8.25 Romboide es el paralelogramo que tiene los lados contiguos desiguales y los o ´ngulos oblicuos a Otra de las clasificaciones de los cuadril´teros son los trapecios: a De nici´n 6.8.26 Trapecio es el cuadril´tero que tan s´lo tiene dos lados paralelos o a o 6.8.3.2.1 Per´ ımetro de un pol´ ıgono De nici´n 6.8.27 Per´ o ımetro es la suma de las medidas de . figura. Si el ancho de la p´agina es 6cm y A = 30 ◦ , determine la longitud L: Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın Matem´aticas B´asicas Congruencia y Semejanza de Tri´angulos 6.8.2. BCM 4. Una piscina tiene 2, 3m de ancho; situ´andonos a 116cm del borde, desde una altura de 1, 74m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la l´ınea del fondo. ¿Qu´e profundidad. el per´ımetro del jard´ın. Universidad Nacional de Colombia - Sede Medell´ın Matem´aticas B´asicas ´ Areas y Per´ımetros 6.8.3 ´ Areas y per´ımetros 6.8.3.1 Objetivo de aprendizaje • Comprender y aplicar