sangaku-problemas y resoluciones

Problemas San Gaku o Problemas Bonitos de Geometr´ıa resueltos por M´etodos Elementales Francisco Javier Garc´ıa Capit´an Priego de C´ordoba, 2003 ´ Indice 1. Introducci´on 1 2. Las Herramientas 2 2.1. La semejanza de tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2. El teorema de Pit´agoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.3. Tangencia de dos circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4. Un poco de pr´actica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.5. Longitud de las tangentes comunes a dos circunferencias . . . . . 8 2.6. Relaci´on entre segmentos de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.7. El n´umero de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8. Radio de la circunferencia inscrita en un tri´angulo rect´angulo . . 12 2.9. Otras herramientas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.9.1. El teorema de Ptolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.9.2. El teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.9.3. El teorema de Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.9.4. El teorema de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Los Enunciados 17 4. Las Soluciones 44 5. Las Pistas 78 6. Bibliograf´ıa y referencias 79 6.1. P´aginas web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1. Introducci´on Se pretende que el t´ıtulo del presente trabajo cumpla dos misiones: Llamar tu la atenci´on. Reflejar el contenido de las p´aginas que siguen. Esperando que la primera de ellas ya est´e conseguida, a partir de aqu´ı co- mienza a desarrollarse las segunda: conseguir que los problemas y soluciones, as´ı como las t´ecnicas utilizadas te parezcan bonitos e interesantes. Muchos de los problemas aqu´ı presentados son problemas sangaku, es decir problemas que colgaban los japoneses bajo las terrazas de templos y santuarios durante la ´epoca de aislamiento que Jap´on tuvo de Occidente. Es com´un a casi todos los problemas sangaku precisamente el hecho de tratarse de problemas de enunciado sencillo y soluci´on elemental. En algunos pocos casos, sin embargo, la soluci´on del problema era bastante dif´ıcil y requer´ıa muchos c´alculos. Este trabajo comienza presentando una serie de herramientas ´utiles para resolver con ´exito la mayor´ıa de los problemas. Las herramientas b´asicas son el teorema de Pit´agoras y la semejanza de tri´angulos, aunque tambi´en se pro- porcionan otras menos usuales como los teoremas de Casey y Descartes, entre otros, que ser´an necesarios para la resoluci´on de alg´un problema concreto, pero que pueden obviarse en una primera lectura. Preparamos con las herramientas, a continuaci´on est´an los enunciados de los problemas a resolver. El lector puede echarles un vistazo en general e ir resolviendo los que les parezcan m´as f´aciles, dejando los m´as dif´ıciles para el final. Se avisa que el orden de los problemas no sigue ning´un patr´on determinado. Las soluciones de los problemas se incluyen de forma separada a continua- ci´on de los enunciados de los problemas. De esta forma nos resulta f´acil no ver la soluci´on de un problema si no lo deseamos. Al final, antes de la bibliograf´ıa, pueden encontrarse pistas de las soluciones, a las que nos podemos agarrar antes de mirar la soluci´on completa. 1 2. Las Herramientas Antes de comenzar a resolver los problemas debemos hacer recuento de las herramientas de que disponemos para lograr nuestro objetivo con ´exito. Procu- raremos llevar a cuestas unas armas ligeras: por ejemplo, nada c´alculo diferencial y lo m´ınimo de geometr´ıa anal´ıtica o trigonometr´ıa. Sin embargo, para dar res- puesta a alg´un problema famoso o curioso usaremos algunos resultados poco conocidos, como el teorema de Descartes o el teorema de Casey, entre otros. Estos teoremas se describen con detalle en la secci´on 2.9 2.1. La semejanza de tri´angulos Decimos que dos tri´angulos son semejantes cuando tienen iguales los tres ´angulos y proporcionales los tres lados. A B C D E F Hay tres situaciones que nos permiten afirmar que dos tri´angulos son seme- jantes: 1. Si dos tri´angulos tienen dos ´angulos respectivamente iguales, entonces son semejantes. 2. Si dos tri´angulos tienen dos lados proporcionales, e iguales los ´angulos comprendidos, entonces son semejantes. 3. Si dos tri´angulos tienen tres lados proporcionales, entonces son semejantes. Como aplicaci´on de la semejanza de tri´angulos obtendremos en el apartado siguiente una demostraci´on del teorema de Pit´agoras. 2.2. El teorema de Pit´agoras El teorema de Pit´agoras afirma que si a e b son los catetos de un tri´angulo rect´angulo y c es la hipotenusa, entonces se cumple la relaci´on a 2 + b 2 = c 2 . El rec´ıproco tambi´en es cierto, es decir, si se cumple esta relaci´on en un tri´angulo, entonces el tri´angulo es rect´angulo. 2 El teorema de Pit´agoras aparece como la Proposici´on 47 del primer Libro de los Elementos de Euclides. El rec´ıproco del teorema de Pit´agoras es la Proposi- ci´on 48 y ´ultima de dicho libro. La siguiente demostraci´on, atribuida a Lagrange, es de las m´as simples entre las que usan la semejanza de tri´angulos. Consideremos el tri´angulo ABC, rect´angulo en C. Al trazar la perpendicular CD a AB resultan tres tri´angulos semejantes ACB, ADC y CDB. Por ejemplo ADC y ACB comparten el ´angulo A y adem´as ambos tienen un ´angulo recto. Por tanto tienen dos ´angulos iguales. A D B C a b x y c-y Por ser ADC semejante a ACB, y b = b c ⇒ yc = b 2 . Por ser CDB semejante a ACB, c − y a = a c ⇒ (c − y)c = a 2 . Entonces, a 2 = (c − y)c = c 2 − yc = c 2 − b 2 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 . De las demostraciones del teorema de Pit´agoras basadas en la disecci´on, consideraremos aqu´ı la basada en la siguiente figura: 3 Aqu´ı, si a y b son los catetos menor y mayor, respectivamente, el cuadrado central mide a − b, y entonces, sumando ´areas tenemos: c 2 = 4 · ab 2 + (b − a) 2 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 . Ejercicio. ¿Querr´ıa el lector encontrar la justificaci´on a otra demostraci´on similar del teorema de Pit´agoras, basada en la siguiente figura? 4 2.3. Tangencia de dos circunferencias En los problemas en los que intervengan circunferencias tangentes tendremos en cuenta que: (a) (b) a) Si dos circunferencias son tangentes exteriores, entonces la distancia entre sus centros es la suma de los radios. b) Si dos circunferencias son tangentes interiores, entonces la distancia entre sus centros es la diferencia de los radios. 5 2.4. Un poco de pr´actica Teniendo en cuenta el teorema de Pit´agoras y las condiciones de tangencia de dos circunferencias que acabamos de ver podemos resolver algunos problemas sencillos como los siguientes, tomados de la p´agina web de Matias Giovanni: en ambos casos se pide el radio de del c´ırculo inscrito, en funci´on del lado del cuadrado. (a) (b) Llamemos a al lado del cuadrado y r al radio buscado. En el caso (a), tendremos √ 2 2 a = SP = SO + OP = √ 2r + r =  1 + √ 2  r. Por tanto, r = 1 √ 2 + 1 · √ 2a 2 =  √ 2 − 1  · √ 2a 2 =  1 − √ 2 2  a. P O R Q S (a) M N O (b) En el caso (b), aplicamos el teorema de Pit´agoras al tri´angulo M NO: MN 2 + NO 2 = MO 2 ⇒ ⇒ (a − r) 2 +  a 2 − r  2 =  a 2 + r  2 ⇒ (a − r) 2 =  a 2 + r  2 −  a 2 − r  2 = 2ar ⇒ a 2 − 2ar + r 2 = 2ar ⇒ r 2 − 4ar + a 2 = 0, 6 de donde deducimos que r =  2 − √ 3  a. 7 2.5. Longitud de las tangentes comunes a dos circunferen- cias A continuaci´on se dan f´ormulas de tangentes comunes a dos circunferencias. 1. Supongamos que dos circunferencias, con radios R 1 y R 2 son tangentes ex- teriores. Entonces la longitud T del segmento de tangente exterior com´un vale 2 √ R 1 R 2 . T R 2 R 1 En efecto, usando el teorema de Pit´agoras, T 2 + (R 1 − R 2 ) 2 = (R 1 + R 2 ) 2 ⇒ T 2 = 4R 1 R 2 . 2. Si dos circunferencias, con centros O 1 y O 2 , y radios R 1 y R 2 , son exte- riores, la longitud T del segmento de tangente exterior com´un T verifica: T 2 = O 1 O 2 2 − (R 1 − R 2 ) 2 . En efecto, basta usar de nuevo el teorema de Pit´agoras: T R 2 R 1 O 1 O 2 3. Si dos circunferencias, con centros O 1 y O 2 , y radios R 1 y R 2 , son exte- riores, la longitud T del segmento de tangente interior com´un verifica: T 2 = O 1 O 2 2 − (R 1 + R 2 ) 2 . 8 [...]... a c b a 2 x+ 2 y = 2 R, o ax+cy = bR De forma similar, usando los cuadril´teros OECF y OF AD, obtendremos que by + az = cR y que bx + cz = aR Adem´s, exprea sando la suma de las ´reas de los tri´ngulos OAB, OBC y OCA e igual´ndolas a a a al ´rea del tri´ngulo ABC obtenemos a a cx + ay + bz = 2(ABC) = (a + b + c)r 14 Sumando a esta igualdad las tres anteriores obtenemos (a + b + c)(x + y + z) = (a +... los cuadril´teros OEDB, OF AD y OCF E obtenemos, respectivaa mente: cy + bR = ax, bx + cz = aR, cR + by = az Por otro lado, la igualdad (OAB) + (OAC) − (OBC) = (ABC) se expresa cx + bz − ay = (a + b + c)r Sumando las cuatro igualdades obtenemos (a + b + c)(x − y + z) = (a + b + c)(R + r), es decir, OD − OE + OF = R + r 2.9.3 El teorema de Casey El teorema de Casey (John Casey, 1820-1891) es una generalizaci´n... un tri´ngulo a rect´ngulo a Consideremos un tri´ngulo rect´ngulo con catetos x e y, y con hipotenusa z a a Seg´n se muestra en la figura, podemos expresar x = a + r, y = b + r, z = a + b u a a b r r b Entonces, z = a + b = x − r + y − r De aqu´ resulta ı, z = a + b = (x + r) + (y − r) = x + y − 2r Despejando obtenemos r= x +y z 2 Como aplicaci´n, el lector puede resolver el siguiente o Ejercicio Si un... tangentes a un cuadrado y a un c´ ırculo (Gumma, 1874) En el interior de un cuadrado hay un c´ ırculo Cuatro c´ ırculos todos con radio diferente, tocan a ´ste c´ e ırculo central y a lados contiguos del cuadrado ¿Qu´ relaci´n hay entre los radios de los cuatro c´ e o ırculos y el lado del cuadrado? 20 Problema 5 Un c´ ırculo que contiene a dos c´ ırculos, un tri´ngulo is´sa o celes y una perpendicular... ırculo grande y los lados DE y EF de los pent´gonos, y el c´ a ırculo inscrito en el tri´ngulo ABH a tiene radio t Demostrar que r = 2t (No hay que hacer c´lculos complicados: a intentar inscribir el c´ ırculo de radio r en un tri´ngulo.) a F D E G C A H B 23 Problema 8 Dos c´ ırculos y un cuadrado inscritos en un tri´ngulo a rect´ngulo a Un cuadrado est´ inscrito en un tri´ngulo rect´ngulo y los c´ a... ABE y ACD son semejantes y a AB BE = ⇒ AB · DC = AC · BE AC DC (1) Tambi´n son semejantes los tri´ngulos ADE y ACB: e a AD ED = ⇒ DA · CB = AC · ED AC CB Sumando miembro a miembro (1) y (2) obtenemos (2) AB · DC + DA · CB = AC(BE + ED) = AC · BD 2.9.2 El teorema de Carnot Dado cualquier tri´ngulo ABC, la suma de las distancias con signo desde el a circuncentro O a los lados es R + r, siendo R y r los... inscritos en un tri´ngulo a rect´ngulo a (Miyagi, 1913) Tres cuadrados naranjas est´n dibujados como se muestra dentro a del tri´ngulo grande verde ¿C´mo est´n relacionados los radios de los tres a o a c´ ırculos azules? 18 Problema 3 Circunferencia tangente a dos circunferencias y una recta (Gumma, 1824) El c´ ırculo naranja y el azul se tocan el uno al otro en un punto y son tangentes a la misma recta El... rect´ngulo tiene por altura la unidad y por base una cantidad a x Suponiendo que se cumple la propiedad anterior, tenemos √ x 1 1+ 5 = ⇒ x2 − x − 1 = 0 ⇒ x = 1 x−1 2 El valor obtenido de x se conoce como n´mero de oro y se representa por Φ u El n´mero de oro est´ muy presente en el pent´gono regular En la figura u a a de la p´gina siguiente, los tri´ngulos ACD y CDF son semejantes, por lo que a a √... un tri´ngulo puede expresarse en la forma sr, siendo s el semia a per´ ımetro y r el radio de la circunferencia inscrita al tri´ngulo a 3 Un cuadril´tero est´ inscrito en una circunferencia si y solo si los ´ngulos a a a opuestos son suplementarios Ahora, en el caso del tri´ngulo acut´ngulo, sean x = OD, y = OE, z = OF a a y, como es habitual, a = BC, b = CA, c = AB El cuadril´tero OBDE est´ insa a... infinito y e curvatura cero Para una demostraci´n del teorema de Descartes puede verse el libro de o Coxeter 16 3 Los Enunciados Problema 1 C´ ırculos inscritos encadenados (Tokyo, 1788) ¿Cu´l es el radio del en´simo c´ a e ırculo azul, en t´rminos de r, el e radio del c´ ırculo grande verde? Observa que los dos c´ ırculos rojos son iguales, r ambos con radio 2 17 Problema 2 Tres c´ ırculos y tres cuadrados . ACB, ADC y CDB. Por ejemplo ADC y ACB comparten el ´angulo A y adem´as ambos tienen un ´angulo recto. Por tanto tienen dos ´angulos iguales. A D B C a b x y c -y Por ser ADC semejante a ACB, y b = b c ⇒. c -y Por ser ADC semejante a ACB, y b = b c ⇒ yc = b 2 . Por ser CDB semejante a ACB, c − y a = a c ⇒ (c − y) c = a 2 . Entonces, a 2 = (c − y) c = c 2 − yc = c 2 − b 2 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 . De las demostraciones. aplicar el teorema de Ptolomeo: a 2 x+ c 2 y = b 2 R, o ax+cy = bR. De forma similar, usando los cuadril´ateros OECF y OF AD, obtendremos que by + az = cR y que bx + cz = aR. Adem´as, expre- sando