Một số bài tập về nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ NHĨM Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên Bình Dương, tháng 04/2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ NHĨM Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên Sinh viên thực hiện: Phan Thị Thúy Vy Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: C12TO04, khoa Tự Nhiên Ngành học: Cao đẳng Sư phạm Toán Nam, Nữ: Nữ Năm thứ: Người hướng dẫn: ThS Huỳnh Ngọc Diễm Bình Dương, tháng 04/2014 Số năm đào tạo: Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học năm học 2013 - 2014 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ NHÓM Phan Thị Thúy Vy – MSSV: 1210910251 Phạm Thiên Thanh – MSSV: 1210910225 Bùi Hoàng Vũ – MSSV: 1210910141 Lớp C12TO04 – Khoa Khoa Học Tự Nhiên GVHD: ThS Huỳnh Ngọc Diễm TÓM TẮT - Lý chọn đề tài: Do thời gian lớp giới hạn nên sinh viên tiếp cận lý thuyết làm số tập áp dụng bản, khơng có nhiều thời gian làm tập mở rộng nâng cao để hiểu sâu mơn học Do đó, nhóm chúng em định chọn đề tài nhằm tìm hiểu kỹ cấu trúc nhóm mà chúng em học môn học Đại Số Đại Cương - Ý nghĩa đề tài: Giúp sinh viên hiểu sâu phần “Nhóm” sách Đại Số Đại Cương kể lý thuyết tập Phân dạng đưa phương pháp giải tốn thường gặp nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm sau giải số tập cụ thể dạng toán phân dạng tài liệu sau: + Bùi Huy Hiền,Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1998 + Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 + Mỵ Vinh Quang, Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 + Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2005 - Sản phẩm đề tài: Có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán học "Nhóm" phân mơn Đại Số Đại Cương Q TRÌNH NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Nội dung nghiên cứu gồm có chương, chương chúng tơi phân dạng đưa cách giải chi tiết cho dạng, cụ thể sau: Chương NHÓM VÀ NHÓM CON 1.1 Lý thuyết 1.2 Các dạng toán thường gặp phương pháp giải Dạng Chứng minh tập khác rỗng X phép tốn hai ngơi (.) lập thành nhóm Phương pháp giải Cách Ta tiến hành kiểm tra tính chất sau: (i) Với x, y , z  X , có (x.y).z = x.(y.z) (ii) Tồn phần tử (đơn vị ) e  X cho x.e = e.x = x, với x  X (iii) Với x  X tồn x '  X cho x.x '  x ' x e Cách Ta chứng minh (X, ) nhóm nhóm (Y, ), (Y, ) nhóm biết Cách Ta chứng minh nửa nhóm X nhóm: (i) X có đơn vị trái e (ii) x  X , x ' X : x '.x e Dạng Cho A phận khác rỗng X Chứng minh A nhóm X Phương pháp giải Cách Ta cần chứng minh: i) x, y  A, x y  A ii) e  A, iii) x  A, x   A e phần tử trung lập X Cách Ta cần chứng minh x, y  A, x y  A x   A Cách Ta cần chứng minh x, y  X : xy   X Dạng Cho A nhóm nhóm X Chứng minh A nhóm chuẩn tắc Phương pháp giải Cách Ta cần chứng minh a  A, x  X , x  ax  A Cách Ta cần chứng minh x  X , xA  Ax 1.3 Bài tập Chương NHÓM HỮU HẠN SINH 2.1 Lý thuyết 2.2 Các dạng toán thường gặp phương pháp giải Dạng Cho phần tử x thuộc G Chứng minh x n   Phương pháp giải: Cách Ta chứng minh x e, x3 e, , x n  e, x n e Cách Ta tiến hành kiểm tra tính chất sau: i) x n e ii) Giả sử tồn cho x k e Ta chứng minh n|k Dạng Cho x thuộc nhóm G Chứng minh x có cấp vơ hạn Phương pháp giải Lấy m, n thuộc cho m  n Ta cần chứng minh xm  xn Dạng Chứng minh G nhóm hữu hạn sinh Phương pháp giải Ta cần tập S  G cho i) S có hữu hạn phần tử ii) G = Dạng Cho G nhóm có cấp n Chứng minh G nhóm xyclic Phương pháp giải: Cách Lấy cần Cách Cần chứng minh : : Dạng Cho G nhóm xyclic cấp n Tìm nhóm G Phương pháp giải: Tìm ước n Khi nhóm G có dạng: với k|n 2.3 Bài tập Chương ĐỒNG CẤU NHÓM 3.1 Lý thuyết 3.2 Các dạng toán thường gặp phương pháp giải Dạng Cho ánh xạ f : X  Y Chứng minh f đồng cấu nhóm Phương pháp giải Ta chứng minh : i) X, Y lập thành nhóm với phép tốn tương ứng ii) Mọi x1 , x2  X , ta có f (x1 x2 ) = f (x1) f (x2 ) Dạng Cho ánh xạ f : X  Y Chứng minh f đơn cấu Phương pháp giải Ta chứng minh : i) f đồng cấu nhóm ii) f đơn ánh Kerf  e Dạng Cho ánh xạ f : X  Y Chứng minh f toàn cấu Phương pháp giải Ta chứng minh : i) f đồng cấu nhóm ii) f toàn ánh Dạng Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f đẳng cấu nhóm Phương pháp giải Ta chứng minh i) f đồng cấu nhóm ii) f đơn ánh iii) f tồn ánh Dạng Chứng minh X Y , với X, Y nhóm cho trước Phương pháp giải Cách Lập ánh xạ f : X  Y chứng minh f đẳng cấu nhóm Cách Nếu X = G/H ta lập tồn cấu nhóm f : G  Y cho Kerf = H Cách Nếu X nhóm xylic cấp n ta cần chứng minh Y nhóm xylic cấp n 3.3 Bài tập KẾT LUẬN Trong phần nghiên cứu, chúng tơi tìm dạng tốn phương pháp giải dạng tốn liên quan đến nhóm học phần Đại số Đại cương Bên cạnh đó, chúng tơi phân dạng 13 dạng tốn giải 40 tập liên quan đến dạng tốn tìm Mặc dù có nhiều cố gắng, song báo cáo cịn nhiều khiếm khuyết, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Huy Hiền,Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1998 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 Mỵ Vinh Quang, Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2005 PHẦN MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Hiện nay, đề tài Nhóm đặc biệt Bài tập Nhóm thực nhiều, số giáo trình sách liên quan xuất phổ biến đặc biệt sách tập phân môn Đại số đại cương nhiều tác giả khác Song, sách tập nêu lên cách khái quát lý thuyết đưa nhiều tập liên quan khơng phân dạng tốn phương pháp giải cụ thể cho dạng gây khó khăn cho người đọc Vì vậy, nhóm chúng em lựa chọn đề tài nhằm đưa dạng toán thường gặp Nhóm học phần Đại số đại cương mà em học chương trình đồng thời nêu phương pháp giải cho dạng Bên cạnh đó, chúng em lựa chọn tập Nhóm sách Bài tập Đại số đại cương tác giả để đưa lời giải chi tiết nhằm làm rõ vấn đề nghiên cứu, cụ thể tập trong: +Bài tập đại số đại cương,Bùi Huy Hiền, Nhà xuất giáo dục, 1998 + Đại số đại cương, Hồng Xn Sính, Nhà xuất giáo dục, 2008 + Bài tập đại số đại cương, Mỵ Vinh Quang, Nhà xuất giáo dục, 1999 + Đại số đại cương, Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2005 Lý chọn đề tài Do thời gian lớp giới hạn nên sinh viên tiếp cận lí thuyết làm số tập áp dụng bản, khơng có nhiều thời gian làm tập mở rộng nâng cao để hiểu sâu mơn học Do đó, nhóm chúng em định chọn đề tài nhằm tìm hiểu kỹ cấu trúc nhóm mà chúng em học môn học Đại số đại cương Mục tiêu đề tài Phân dạng đưa phương pháp giải tốn thường gặp nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm sau giải số tập cụ thể dạng toán phân dạng tài liệu Phương pháp nghiên cứu Đọc thật kỹ nắm vững phần lý thuyết nhóm tài liệu tham khảo nói trên, sau xác định dạng toán thường gặp phương pháp giải cụ thể cho dạng, áp dụng vào giải tập liên quan Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Một số tập nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm tài liệu - Phạm vi nghiên cứu: Các tập nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm Nội dung nghiên cứu Chương NHÓM VÀ NHÓM CON 1.1 Lý thuyết 1.2 Các dạng toán thường gặp phương pháp giải 1.3 Bài tập Chương NHÓM HỮU HẠN SINH 2.1 Lý thuyết 2.2 Các dạng toán thường gặp phương pháp giải 2.3 Bài tập Chương ĐỒNG CẤU NHĨM 3.1 Lý thuyết 3.2 Các dạng tốn thường gặp phương pháp giải 3.3 Bài tập CHƯƠNG NHÓM VÀ NHÓM CON 1.1 LÝ THUYẾT 1.1.1 Nhóm Định nghĩa Cho tập X khác rỗng, * phép tốn hai ngơi X (X,*) gọi nhóm nếu: i) Mọi a,b,c ¿ X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c ii) Tồn phần tử e ∈X iii) Mọi phần tử x ∈X cho x ∈X , ta có e*x = x*e = x ln tồn x '  X cho x * x '  x '* x e Nếu (X,*) có tính giao hốn X gọi nhóm giao hốn hay nhóm Abel Định lý (về điều kiện tương đương với nhóm) Cho X tập khác rỗng, * phép tốn hai ngơi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), a, b, c  X Khi phát biểu sau tương đương: i) X nhóm ii) Các phương trình a*x=b x*a=b có nghiệm X, với a, b ¿ X iii)Trong X có phần tử đơn vị trái phần tử X có nghịch đảo trái iv) Trong X có phần tử đơn vị phải phần tử X có nghịch đảo phải Định lý Cho (X,.) nhóm ta có khẳng định sau: i) Mỗi phần tử X có phần tử nghịch đảo ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) y = z (luật giản ước) iii) Với x, y ¿ X , ta có (xy) iv) ( x −1 −1 −1 −1 =y x )1 = x , với x ∈X 1.1.2 Nhóm Định nghĩa Một phận ổn định A nhóm X nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm Ký hiệu : A  X Định lý Một phận A khác nhóm X nhóm X điều kiện sau thỏa mãn: i) ∀ x , y∈ A, x y∈A ii) e∈A , e phần tử trung lập X iii) ∀ x∈ A , x ∈A −1 Hệ Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: i) A nhóm X ii) ∀ x , y∈ A , xy∈A x ∈A iii) ∀ x , y∈ A , xy ∈A −1 −1 Định lý Giao họ nhóm nhóm X nhóm X 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc Định nghĩa Một nhóm A nhóm X gọi chuẩn tắc −1 x ax∈A ,∀a∈A ,∀ x∈ X Ký hiệu: A  X Một số tính chất i) Mọi nhóm nhóm Abel nhóm chuẩn tắc ii)Cho H ≤G , H ⊲G xhx−1 ∈H x−1 hx ∈H ,với h∈H , với x ∈X iii) G nhóm, H ⊲G , K ≤G H ∩K ⊲ K iv) Giao họ tùy ý khác rỗng nhóm chuẩn tắc nhóm G nhóm chuẩn tắc nhóm G v) Cho G nhóm, H ⊲G K ≤G Khi KH nhóm nhỏ G chứa H K ( theo nghĩa bao hàm ) KH = HK vi) Cho H H H n ⊲G H ,H , , H n nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi 28 Dạng Cho ánh xạ f : X  Y Chứng minh f đơn cấu Phương pháp giải Ta chứng minh : i) f đồng cấu nhóm ii) f đơn ánh Kerf  e Dạng Cho ánh xạ f : X  Y Chứng minh f toàn cấu Phương pháp giải Ta chứng minh : i) f đồng cấu nhóm ii) f toàn ánh Dạng Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f đẳng cấu nhóm Phương pháp giải Ta chứng minh : i) f đồng cấu nhóm ii) f đơn ánh iii) f toàn ánh Dạng Chứng minh X Y , với X, Y nhóm cho trước Phương pháp giải Cách Lập ánh xạ f : X  Y chứng minh f đẳng cấu nhóm Cách Nếu X = G/H ta lập tồn cấu nhóm f : G  Y cho Kerf = H Cách Nếu X nhóm xylic cấp n ta cần chứng minh Y nhóm xylic cấp n 3.3 MỘT SỐ BÀI TẬP Bài Cho D tập hợp đường thẳng  mặt phẳng có phương trình y = ax + b ( a 0 , b số thực) Ánh xạ  : D D  D  1 ,    3 1   Trong 1, 2, 3 có phương trình y a1 x  b1 , y a2 x  b2 , y a1a2 x   b1  b2  xác định phép tốn hai ngơi D a) Chứng minh D nhóm với phép tốn b) Ánh xạφ : D → R¿ Δ ↦a Trong R* nhóm nhân số thực khác  đường thẳng có phương trình y = ax + b đồng cấu 29 Giải a) Chứng minh theo định nghĩa nhóm: Đơn vị D đường thẳng 0 có phương trình y = x Nghịch đảo đưởng thẳng y  x b a  có phương trình y = ax + b đường thẳng ’ có phương trình b) Ánh xạ  : D  R*  a Với  đường thẳng xác định phương trình y = ax + b đồng cấu giả sử 1 2 hai đường thẳng xác định y a1 x  b1 , y a2 x  b2 ,   1.  a1a2   1      Bài Cho X nhóm giao hốn Chứng minh ánh xạ: :X  X a  a k với k số nguyên cho trước, đồng cấu Xác định Ker  Giải  ab  ab a k b k  ab   a    b  Ta có:     (vì X nhóm Abel) nên    đồng cấu Ker   x  X x k e x X ={ cấp x ước k} k Bài Cho tập hợp ma trận cấp hai sau: A= {[ ] } a :a∈ Chứng minh rằng: f : R  A  ln a  a  f (a)   0  đơn cấu Giải  Dễ thấy f đồng cấu a, b  R ta có:  ln ab   ln a  ln b  1 ln a   ln b  f (a.b)         f (a) f(b)   0     30 Tính   ln a     Ker f  a  R  : f (a )     0  0       a  R  : ln a 0 {1} Vậy f đơn cấu Bài Cho X nhóm, Y nhóm sinh tập S '  y1 y , , y m  đồng cấu nhóm f : X  Y Chứng minh f toàn cấu f toàn ánh lên S’ Giải   Nếu f : X  Y đồng cấu toàn ánh lên tập S’ với i= 1, 2, …, m tồn xi  X f(xi) = yi Lấy y phần tử thuộc Y, ta phải chứng minh tồn x thuộc X f(x) = y Vì y  Y nên m1 m2 mk y= y m1 y m2 … y mk , k , m i ∈ , ∀ i=1 ´, k Chọn x  x1 x x k với xi thỏa f(xi) = yi;i = k 1, 2,…, k Hiển nhiên x  X   m m m m m m m m m Khi đó: f  x   f x1 x x k  f  x1    f  x    f  xk    y1 y y k  y k k k Vậy f toàn cấu    Nếu f tồn cấu hiển nhiên f toàn ánh lên tập S’ Bài 5.Cho X nhóm xyclic sinh phần tử a Chứng minh cấp a vơ hạn X đẳng cấu với Giải Xét ánh xạ f :→X n ↦a n ∀ m , n∈ mn m n Ta có f (m  n) a a a  f (m) f (n) nên f đồng cấu nhóm Hiển nhiên f tồn ánh X nhóm xyclic sinh a m n m n Nếu f (m)  f (n) a a , a e Do a có cấp vơ hạn nên m – n = tức f đơn cấu Vậy f đẳng cấu Bài Chứng minh rằng: a) Mọi nhóm xyclic cấp vơ hạn đẳng cấu với 31 b) Hai nhóm xyclic cấp hữu hạn đẳng cấu với chúng cấp Giải a) Giả sử X  a ,Y  b nhóm xyclic cấp vơ hạn, Khi ánh xạ f : X  Y ak  bk Rõ ràng đẳng cấu b) Nếu hai nhóm xyclic hữu hạn đẳng cấu hiển nhiên chúng cấp Ngược lại, giả sử X  a ,Y  b nhóm xyclic cấp n Khi ánh xạ: f :X  Y a k  bk k l k l đẳng cấu Thật vậy, ta có a a  k  l n  b b , f ánh xạ đơn ánh, hiển nhiên f toàn ánh Ngồi ra, ta có f  a k a l   f  a k l  b k l b k bl  f  a k  f  a l  Vậy f đẳng cấu Bài Giả sử A B hai nhóm chuẩn tắc nhóm X cho A  B  e X = AB Chứng minh X đẳng cấu với nhóm A x B Giải Do AB = X nên với phần tử x X viết dạng x = ab với a  A b  B Giả sử có x = ab = a'b' với a, a'  A b, b'  B (a')1a = b'b1  A  B Vì A  B  e nên(a')1a = b'b1 = e a' = a b' = b Vậy phần tử x  X viết cách dạng x = ab, với a  A, b  B Mặt khác phần tử A giao hoán với phần tử B Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B, xét tích a1b1ab Vì A B nhóm chuẩn tắc X nên b1ab  A a1b1a  B Vậy a1b1ab  A  B = {e} nên a1b1ab = e hay ab = ba Ánh xạ  : A B  X  a, b   ab 32 đồng cấu ab = ba, đơn cấu Vậy  đẳng cấu A  B  e , toàn cấu X = AB Bài Cho A1 , A2 nhóm chuẩn tắc nhóm X , X Chứng minh rằng: A1 A2  X X  X X  /  A1 A2   X / A1   X / A2  Giải Gọi  i : X i  X i / Ai , i 1,2 tồn cấu tắc Xét tương ứng:  : X X   X / A1   X / A2   x1 , x     x1 ,   x   Ta thấy  tồn cấu nhóm Ker  A1 A2  X X  /  A1 A2   X1 A1  /  X A2  Do A1 x A2 X x X Bài Cho X Y hai nhóm xyclic cấp tương ứng s t phần tử sinh x y n a) Chứng minh quy tắc  cho tương ứng với phần tử x  X với phần tử y  k n Y ,với k số tự nhiên khác không cho trước đồng cấu nhóm sk bội t b) Chứng minh  đẳng cấu (s,k)=1 Giải eY   eX    x s    x    y ks y ks eY  a) Nếu đồng cấu nhóm Vậy nên s ks t Ngược lại, ks t , ta chứng minh  đồng cấu nhóm Đầu tiên, ta chứng minh  ánh xạ kn km n m n  m  s Thật vậy, x  x  k (n  m)t Bởi y  y tức  ánh xạ Ngoài ra, ta có b) Ta có   x n x m    x n m   y  n m k  y nk y mk   x n    x m  X  x, x , , x s  , x s e   k 2k  s  1 , y sk e Do  đẳng cấu nên Y  y , y , , y k 33 i j Thật vậy,  đẳng cấu nên s t tức số phần tử X Y x  x k k y  y , i, j 1, s i j k Do y phần tử sinh Y nên  k , t  1 Vì t = s nên (s, k) = Bài 10 Tìm tất đồng cấu từ a) ❑6 đến ❑18 b) ❑18 đến ❑6 c) Một nhóm xyclic cấp n đến d) Một nhóm xyclic cấp n đến nhóm xyclic vơ hạn Giải Ta có đồng cấu f : ❑n  ❑mhoàn toàn xác định f 1 k (tức f  x  kx ) Theo Bài f đồng cấu knm Bởi ta có: a) Mỗi đồng cấu f : ❑6  ❑18 hoàn toàn xác định f (1) k với k  18 6k 18  k 3 Do k = 0, 3, 6, 9, 12, 15 nên có tất đồng cấu f : ❑6  ❑18 đồng cấu xác định bởi:   f 0 , f 3 f (1) 6, f (1) 9, f (1) 12, f (1) 15 b) Mỗi đồng cấu f : ❑18  ❑6 hoàn toàn xác định f (1) k với k  18k 6 Do k 0,5 Như có đồng cấu f : ❑18  ❑6 , f (1) 0 , f (1) 1 , f (1) 2 , f (1) 3 , f (1) 4 , f (1) 5 c) Mỗi đồng cấu f : ❑n  ❑n hoàn toàn xác định f (1) k với k < n knn Do có tất n đồng cấu f : ❑n  ❑n xác định bởi: f (1) k với k 0,1,2, , n  d) Giả sử f : a  b k đồng cấu nhóm giả sử f (a) b Khi ta có e  f (e)  f (a n ) ( f (a)) n b nk Vì b có cấp vô hạn nên nk = 0, suy k = f ( a ) e 34 Vậy có đồng cấu từ nhóm xyclic hữu hạn nhóm xyclic cấp vơ hạn đồng cấu tầm thường Bài 11 a) Tìm Ker   (25) đồng cấu  :  ❑7 biết (1) 4 b) Tìm Ker   (18) đồng cấu  :  ❑10 Biết  (1) 6 c) Tìm Ker   (3) đồng cấu  : ❑10  ❑20 biết  (1) 8 Giải a)  :  ❑7, (1) 4 Ker  ={x  |  (x)= } ={x  | x  (1) = }= { x  | x = }={x  | 4x 7} =   25   25.1 25 1 25.4 2 b)  :  10 , 1 6 Ker  ={x  |  (x)= }={x  |x  (1)= }={x  | x = }={x  | 6x 10} = (18)  (18.1) 18(1) 18.6 8 c)  :  10 Ker  ={ x  ={ x 10 20 10 ,  1 8 |  ( x ) = } ={ x  | 8x 20} = { x  10 10 | x  (1 ) = } = { x  10 | 8x = } | x 5}= { , , 10 }  (3)  (31) 3 (1) 24 4 Bài 12 Cho X nhóm sinh tập S với S  x1 , x , , x n  , Y nhóm f : X  Y , g : X  Y đồng cấu nhóm Chứng minh f = g f  xi   g  xi  với i 1, n Giải () Nếu f = g f(x) = g(x), x  X Do f  xi   g  xi  với i 1, n ()Nếu f  xi   g  xi  với i 1, n , ta phải chứng minh f = g Thật vậy, với x thuộc X ta có  x  x1n1 x 2n2 x knk  f  x   f x1 x 2n2 x knk  f  x1   n , k, ni  Z, i= 1, k Thế n1  f  x2  n  f  xk  n k  g  x1   n1  g  x2   n  g  xn   n k 35   n n n Nên f  x   g x1 x x k  g  x  , với x  X Vậy f = g k 36 PHẦN KẾT LUẬN Trong phần nghiên cứu, chúng em tìm dạng toán phương pháp giải dạng tốn liên quan đến nhóm học phần Đại số Đại cương Bên cạnh đó, chúng em giải được42 tập liên quan đến dạng toán tìm Mặc dù có nhiều cố gắng, song báo cáo cịn nhiều khiếm khuyết, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Huy Hiền,Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1998 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 Mỵ Vinh Quang, Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2005 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Lý chọn đề tài Mục tiêu đề tài Phương pháp nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu CHƯƠNG NHÓM VÀ NHÓM CON 1.1 LÝ THUYẾT 1.1.1 Nhóm 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc 1.2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP .5 1.3 MỘT SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG NHÓM HỮU HẠN SINH 15 2.1 LÝ THUYẾT 15 2.2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP .17 2.3 MỘT SỐ BÀI TẬP 18 CHƯƠNG ĐỒNG CẤU NHÓM 24 3.1 LÝ THUYẾT 24 3.2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP .25 3.3 MỘT SỐ BÀI TẬP 26 PHẦN KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: - Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ NHÓM - Sinh viên thực hiện: Phan Thị Thúy Vy - Lớp: C12TO04 Khoa: Tự Nhiên Năm thứ: Số năm đào tạo: - Người hướng dẫn: ThS Huỳnh Ngọc Diễm Mục tiêu đề tài: Phân dạng đưa phương pháp giải toán thường gặp nhóm, nhóm con, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm sau giải số tập cụ thể dạng toán phân dạng tài liệu sau: + Bùi Huy Hiền,Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1998 + Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2008 + Mỵ Vinh Quang, Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 + Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 1999 + Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2005 Tính sáng tạo: Có thể đưa dạng tốn thường gặp nhóm phương pháp giải cho dạng Kết nghiên cứu: Đưa dạng tốn thường gặp nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, nhóm hữu hạn sinh, nhóm xyclic đồng cấu nhóm giải 40 tập có liên quan tài liệu tham khảo Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: Bài nghiên cứu làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên học chun ngành Tốn học phần nhóm phân môn Đại số đại cương Công bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài (ghi rõ họ tên tác giả, nhan đề yếu tố xuất có) nhận xét, đánh giá sở áp dụng kết nghiên cứu (nếu có): Ngày tháng năm Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài: Bài viết đạt mục tiêu đề tài, trình bày rõ ràng, mạch lạc Các tập đưa phù hợp với nội dung nghiên cứu, trình bày lời giải chi tiết, xác Bài viết làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành Tốn học Nhóm phân mơn Đại số đại cương Ngày tháng năm Xác nhận lãnh đạo khoa Người hướng dẫn (ký, họ tên) (ký, họ tên) UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Ảnh 4x6 Họ tên: Phan Thị Thúy Vy Sinh ngày: 10 tháng 04 năm 1994 Nơi sinh: Thủ Dầu Một – Bình Dương Lớp: C12TO04 Khóa: 2012 - 2015 Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Địa liên hệ: 4/159, Hòa Lân I, Thuận Giao, Thuận An, Bình Dương Điện thoại: 0979795954 Email: phanthithuyvy104@gmail.com II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích sinh viên từ năm thứ đến năm học): * Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Kết xếp loại học tập: Giỏi Sơ lược thành tích: * Năm thứ 2: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Khoa Học Tự Nhiên Kết xếp loại học tập: Giỏi Sơ lược thành tích: Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Ngày tháng năm Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI ST T Họ tên Bùi Hoàng Vũ Phạm Thiên Thanh MSSV 1210910141 1210910225 Lớp C12TO04 C12TO04 Khoa Tự Nhiên Tự Nhiên