Bài tập trắc nghiệm oxy có lời giải

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 01 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vectơ phương đường thẳng Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng ∆ u ≠ giá u song song trùng với ∆ Nhận xét Một đường thẳng có vơ số vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x ; y0 ) có VTCP u = (a; b )  x = x + at  → phương trình tham số đường thẳng ∆ có dạng    y = y0 + bt t ∈ ℝ b Nhận xét Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b ) có hệ số góc k = a Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n ≠ n vuông góc với vectơ phương ∆ Nhận xét ● Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến ● Nếu u = (a; b ) VTCP ∆  → n = (b; −a ) VTPT ∆ ● Nếu n = ( A; B ) VTPT ∆  → u = ( B ;− A) VTPCTcủa ∆ Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x ; y0 ) có VTPT n = ( A; B )  → phương trình tổng quát đường thẳng ∆ có dạng A ( x − x ) + B ( y − y0 ) = hay Ax + By + C = với C = − Ax − By0 Nhận xét ● ● A B Nếu A, B, C khác ta đưa phương trình tổng qt dạng Nếu đường thẳng ∆ có VTPT n = ( A; B ) có hệ số góc k = − x y + =1 a0 bo với a0 = − C C , b0 = − A B Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng cắt Ox Oy M (a0 ;0) N (0; b0 ) Vị trí tương đối hai đường thẳng Xét hai đường thẳng có phương trình tổng qt ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆2 : a2 x + b2 y + c = a1 x + b1 y + c1 = Tọa độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:   a2 x + b2 y + c = ● Nếu hệ có nghiệm ( x ; y0 ) ∆1 cắt ∆2 điểm M ( x ; y0 ) ● Nếu hệ có vơ số nghiệm ∆1 trùng với ∆2 ● Nếu hệ vơ nghiệm ∆1 ∆2 khơng có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2 Cách Xét tỉ số a b c ● Nếu = = ∆1 trùng với ∆2 a2 b2 c ● Nếu a1 b c = ≠ ∆1 song song ∆2 a2 b2 c ● Nếu a1 b ≠ ∆1 cắt ∆2 a2 b2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = có VTPT n1 = (a1 ; b1 ) ; ∆2 : a2 x + b2 y + c = có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) Gọi α góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 Khi ( ) cos α = cos n1 , n2 = n1.n2 n1 n2 = a1.a2 + b1.b2 a + b12 a22 + b22 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ M ( x ; y0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = tính theo cơng thức d ( M , ∆) = ax + by0 + c a2 + b2 Nhận xét Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = ∆2 : a2 x + b2 y + c = cắt phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là: a1 x + b1 y + c1 2 a +b =± a2 x + b2 y + c a22 + b22 CÂU HỎI V< B b > a b • Độ dài trục nhỏ elip 12 suy 2b = 12 ⇔ b = c 4 • Tiêu cự elip 2c , độ dài trục lớn 2a suy tỉ số = ⇔ c = a a 5 16 Mặt khác a − b = c ⇔ a − = a ⇔ a = 36 ⇔ a = 100 25 25 x2 y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn D 100 36 Câu 32 Elip có tổng độ dài hai trục 18 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn Phương trình tắc elip là: x y2 x y2 x y2 x y2 A + = B + = C + = D + = 25 16 25 9 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Tổng độ dài hai trục elip 2a + 2b = 18 ⇔ a + b = ⇔ b = − a • Tiêu cự elip 2c , độ dài trục lớn 2a suy tỉ số c 3 = ⇔ c = a a 5 a ⇔ a = ( a = 45 loại b = − 45 = − 36 < ) 25 x y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn A 25 16 Mà a − b = c suy a − (9 − a ) = Câu 33 Elip có tổng độ dài hai trục 10 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn Phương trình tắc elip là: x y2 x y2 x y2 x y2 A + = B + = C + = D + = 25 16 25 9 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Tổng độ dài hai trục elip 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = ⇔ b = − a > • Tiêu cự elip 2c , độ dài trục lớn 2a suy tỉ số c 5 = ⇔c= a a 3 a ⇔ a = ( a = 15 loại b = −15 = −10 < ) x y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn D Mà a − b = c suy a − (5 − a ) = Câu 34 Lập phương trình tắc elip, biết elip qua hai điểm A (7;0) B (0;3) x y2 x y2 + = D + = 49 49 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Elip qua điểm A (7;0) suy = ⇔ a = 49 a 32 • Elip qua điểm B (0;3) suy = ⇔ b = b x y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn D 49  12  Câu 35 Elip qua điểm M (0;3) N 3; −  có phương trình tắc là:  5 A x y2 + = 40 B x y2 + =1 16 B x y2 + = 16 C x y2 + =1 25 C x y2 x y2 + =1 D − =1 25 25 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b 2 • Elip qua điểm M (0;3) suy + = ⇔ b = a b A  12  • Elip qua điểm N 3; −   5  12  −    144 suy + = ⇔ = 1− ⇔ a = 25 a b a 25 b x y2 + = Chọn B 25   Câu 36 Elip qua điểm A (0;1) N 1;  có phương trình tắc là:   Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 x y2 + = D + = x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b 12 • Elip qua điểm A (0;1) suy + = ⇔ b = a b         12   • Elip qua điểm N 1;  suy + = ⇔ = − ⇔ a =    a b a b A x y2 + = 16 B x y2 + = C x y2 + = Chọn C Câu 37 Tìm phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé qua điểm M (2; −2) Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 x y2 + = D + = 24 16 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy 2a = 2.2b ⇔ a = 2b A x y2 + = 20 B x y2 + = 36 C 2 (− ) 1 + =1⇔ + = a b a b a = 4b a = 2b a = 20   Do đó, ta có hệ phương trình  ⇔  ⇔  1 1  + =  + = b = b b a  b • Elip qua điểm M (2; − ) suy Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Chọn A 20 Câu 38 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua A (5;0 ) x y2 x y2 + =1 D + =1 25 100 81 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b 2 • Elip có tiêu cự suy 2c = ⇔ c = ⇔ a − b = c = 52 • Elip qua điểm A (5;0 ) suy + = ⇔ a = 25 a b 2 a − b = a = 25 Do đó, ta có hệ phương trình  ⇔  a = 25 b = 16   A x y2 − =1 25 16 B x y2 + =1 25 16 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : C x y2 + = Chọn B 25 16 Câu 39 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua A (2;1) x y2 x y2 + = D + = 2 x y Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b A x y2 + = B x y2 + = C • Elip có tiêu cự suy 2c = ⇔ c = ⇔ a − b = c = • Elip qua điểm A (2;1) suy 2 12 + =1⇔ + =1 a2 b2 a b (1) (2) a = b + a − b =      a = b + a = Từ (1), (2) suy  ⇔ ⇔ ⇔ 1 + = b − 2b − = b =  + =  b + b a b   Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Chọn A Câu 40 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự qua điểm M ( ) 15; −1 x y2 x y2 + = D + = 18 20 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b 2 • Elip có tiêu cự suy 2c = ⇔ c = ⇔ a − b = c = 16 (1) A 2 x y + = 12 • Elip qua điểm M B ( x y2 + = 16 ) 15; −1 ( suy C 15 a ) 2 + (−1) b =1⇔ 15 + =1 a2 b2 (2) 2   a − b = 16 a = b + 16 a = b + 16 a = 20 Từ (1), (2) suy 15 ⇔  15 ⇔  ⇔ + = b = 16  + =  b = b  a  b + 16 b Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Chọn D 20  5 Câu 41 Elip qua điểm M 2;  có tiêu điểm F (−2;0) Phương trình tắc   elip là: x y2 A + =1 x y2 x y2 + =1 D + =1 25 16 25 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Elip có tiêu điểm F (− 2;0 ) suy c = ⇔ a = b + c = b + (1) B x y2 + =1 C         25 • Elip qua điểm M 2;  suy + = ⇔ + =   a b a 9b 2 2   a = b + a = b + a =  Từ (1), (2) suy  ⇔ ⇔ 4    + 25 =  + 25 = b = 2 2  9b  a  b + 9b (2) Vậy phương trình cần tìm ( E ) : x y2 + = Chọn A Câu 42 Phương trình tắc elip có hai tiêu điểm F1 (−2;0 ), F2 (2;0) qua điểm M (2;3) là: x y2 x y2 + = D + = 16 16 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b • Elip có hai tiêu điểm F1 (− 2;0 ), F2 (2;0 ) ⇒ c = ⇔ a = b + c = b + (1) A x y2 + = 16 12 B x y2 + = 16 • Elip qua điểm M (2;3) suy C 2 32 + =1⇔ + =1 a2 b2 a b (2) 2   a = b + a = b + a = b + a = 16     Từ (1), (2) suy  ⇔ ⇔ ⇔    9 + = b − 4b − 36 = b = 12  + =  b  a  b + b x y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn A 16 12 Câu 43 Tìm phương trình tắc elip qua điểm A (6;0 ) tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn x y2 x y2 + = D + = 36 18 2 x y Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b 62 02 • Elip qua điểm A (6;0 ) suy + = ⇔ a = 36 a b 2c c a2 • Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn suy = ⇔ = ⇔ c2 = 2a a 2 a 3 Kết hợp với điều kiện b = a − c , ta b = a − = a = 36 = 27 4 x y2 Vậy phương trình cần tìm ( E ) : + = Chọn A 36 27  5 Câu 44 Tìm phương trình tắc elip qua điểm N 2; −  tỉ số  3 A x y2 + = 36 27 B x y2 + = tiêu cự với độ dài trục lớn x y2 x y2 + = D + = 9 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b A x y2 + = C B x y2 + = C  5 • Elip qua điểm N 2; −   3   −    25 suy + =1 ⇔ + =1 a b2 a 9b (1) 2c c suy = ⇔ = ⇔ c = a2 2a a Kết hợp với điều kiện b = a − c , ta b = a − a = a ⇔ 9b = 5a (2) 9    a =  42 + 252 =  42 + 252 =  92 =    Từ (1), (2) suy  a ⇔ a ⇔ a ⇔  9b 5a    b = 2  b = a b = a b = a    • Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn x y2 + = Chọn B Vậy phương trình cần tìm ( E ) : Câu 45 Tìm phương trình tắc elip qua điểm A 2; tỉ số ( độ dài trục lớn với tiêu cự x y2 x y2 + = D + = 4 16 x y2 Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( E ) : + = 1, với a > b > a b A x y2 + = 16 ) B x y2 + = C ( ) 22 • Elip qua điểm A 2; suy + a b + =1 (1) a2 b2 2a • Tỉ số độ dài trục lớn với tiêu cự suy = ⇔ c = a2 2c 3 a Kết hợp với điều kiện b = a − c , ta b = a − a = ⇔ a = 4b (2) 4    a = 16  42 + 32 =  + 32 =  42 = Từ (1), (2) suy  ⇔ ⇔ ⇔  b b a  4b b    b = 2  a = b a = 4b a = b 2 x y + = Chọn A Vậy phương trình cần tìm ( E ) : 16 ( ) =1⇔ Vấn đề CÂU HỎI VẬN DỤNG x y2 + = với a > b > Gọi 2c tiêu cự ( E ) Trong a2 b2 mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A c = a + b B b = a + c C a = b + c D c = a + b 2 2 2 Lời giải Ta có c = a − b ← → a = b + c Chọn C Câu 46 Cho elip ( E ) : Câu 47 Cho elip có hai tiêu điểm F1 , F2 có độ dài trục lớn 2a Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A 2a = F1 F2 B 2a > F1 F2 C 2a < F1 F2 Lời giải Ta có a > c ← → 2a > 2c ← → 2a > F1 F2 Chọn B D a = F1 F2 x y2 + = Hai điểm A, B hai đỉnh elip nằm 25 hai trục Ox , Oy Khi độ dài đoạn thẳng AB bằng: Câu 48 Cho elip ( E ) : A 34 Lời giải B 34 C D 136 Ta có a = 25  → a = b =  →b = Tam giác OAB vng, có AB = OA2 + OB = 34 Vậy AB = 34 Chọn B Câu 49 Một elip ( E ) có trục lớn dài gấp lần trục nhỏ Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A e = B e = 3 Lời giải Ta có A1 A2 = 3B1 B2  → a = 3b C e = D e = 2  → a = 9b = (a − c )  → 9c = 8a  → c2 c 2 =  → = a2 a Vậy e = 2 Chọn D Câu 50 Một elip ( E ) có khoảng cách hai đỉnh gấp lần tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng: A e = Lời giải B e = C e = D e = F1 F2  → a + b = 3c  → a + b = 9c  → a + (a − c ) = 9c  → 2a = 10c Ta có AB =  → c2 c =  → = a a Vậy e = Chọn A Câu 51 Cho điểm M (2;3) nằm đường elip ( E ) có phương trình tắc: x y2 + = Trong điểm sau điểm không nằm ( E ) : a2 b2 A M (−2;3) B M (2; −3) C M (−2; −3) D M (3;2 ) Lời giải Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ (2; −3) Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ (−2;3) Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ (−2; −3) Chọn D Câu 52 Cho elip ( E ) : x y2 + = Khẳng định sau đúng? a2 b2 A ( E ) trục đối xứng B ( E ) có trục đối xứng trục hoành C ( E ) có hai trục đối xứng trục hồnh trục tung D ( E ) có vơ số trục đối xứng Lời giải Ta có ( E ) có hai trục đối xứng trục hoành trục tung Chọn C Câu 53 Cho elip ( E ) : x y2 + = Khẳng định sau đúng? a2 b2 A ( E ) tâm đối xứng B ( E ) có tâm đối xứng C ( E ) có hai tâm đối xứng D ( E ) có vơ số tâm đối xứng Lời giải Ta có ( E ) có tâm đối xứng gốc tọa độ O Chọn B Câu 54 Elip ( E ) có độ dài trục bé tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn ( E ) bằng: A e = B e = Lời giải Ta có B1 B2 = F1 F2 ← →b = c  → b = c  → (a − c ) = c c2 c =  → = a a Vậy e = Chọn C  → C e = D e = Câu 55 Elip ( E ) có hai đỉnh trục nhỏ với hai tiêu điểm tạo thành hình vng Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn ( E ) bằng: A e = B e = C e = F F Lời giải Ta có F1 B1 F2 = 900  → OB1 =  →b = c  → b = c  → (a − c ) = c D e = c2 c =  → = a a 2 Vậy e = Chọn C  → Câu 56 Elip ( E ) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm elip nằm đường tròn Độ dài trục nhỏ ( E ) bằng: A Lời giải B C D 16 Ta có A1 A2 =  → a = 2 bốn điểm F1 , B1 , F2 , B2 nằm đường tròn  → b = c  → b2 = c2  → b = a − b  →b = a = Vậy độ dài trục nhỏ ( E ) Chọn B Câu 57 Cho elip ( E ) : A ≤ OM ≤ x y2 + = M điểm tùy ý ( E ) Khi đó: 16 B ≤ OM ≤ C OM ≥ D OM ≤ Lời giải Ta có a = 16  → a = b =  → b = Mà OB ≤ OM ≤ OA ← → ≤ OM ≤ Chọn A x2 y2 + = điểm M nằm ( E ) Nếu M có hồnh độ 169 144 −13 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: Câu 58 Cho elip ( E ) : A 10 B 18 C 13 ± D 13 ± 10 Lời giải Ta có a = 169  → a = 13 , b = 144  → b = 12 c = a − b = Tọa độ hai tiêu điểm F1 (−5;0) , F2 (5; 0) 2 M có hồnh độ −13  → y = 0, M (−13; 0)  → MF1 = 8, MF2 = 18 Chọn B x y2 + = điểm M nằm ( E ) Nếu M có hồnh độ 16 12 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng: A 3,5 4,5 B C ± D ± Câu 59 Cho elip ( E ) : Lời giải Ta có a = 16  → a = , b = 12  → b = c = a − b = Tọa độ hai tiêu điểm F1 (−2;0) , F2 (2;0) M có hồnh độ  →y=± Do tính đối xứng ( E ) nên chọn    M 1;    → MF1 = , MF2 = Chọn A 2 Câu 60 Cho elip có phương trình 16 x + 25 y = 100 Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có hồnh độ đến hai tiêu điểm A B 2 C x y2 Lời giải Ta có 16 x + 25 y = 100 ← → + =1 25 4 25 a2 =  → a = , b =  →b = MF1 + MF2 = 2a = Chọn C D x2 y2 + = Qua tiêu điểm ( E ) dựng đường thẳng 100 36 song song với trục Oy cắt ( E ) hai điểm M N Tính độ dài MN Câu 61 Cho elip ( E ) : A 64 Lời giải Xét ( E ) : B 36 C 25 D 25 a = 100 x2 y2 + = ⇒  ⇔ c = a − b = 100 − 36 = 64 b = 36 100 36  Khi đó, elip có tiêu điểm F1 (− 8;0 ) ⇒ đường thẳng d // Oy qua F1 x = −   x = −  x = −   Giao điểm d ( E ) nghiệm hệ phương trình  x ⇔  24 y  + =  y = ± 100 36    24  24  Vậy tọa độ hai điểm M − 8; , N − 8; −  ⇒ MN =   5 5 x y2 + = Một đường thẳng qua điểm A (2;2 ) song song với 20 16 trục hoành cắt ( E ) hai điểm phân biệt M N Tính độ dài MN Câu 62 Cho ( E ) : A B 15 C 15 D Lời giải Phương trình đường thẳng d qua điểm A (2;2 ) song song trục hồnh có phương trình y =  y =  x y  y =  M 15;2  +  y =   =    Ta có d ∩ ( E ) ⇔  20 16 ⇔ x ⇔ ⇔  x = 15 ⇒    + = x = 15  N − 15;2  20 16  y =  x = − 15  ( ( ) ) Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 15 Chọn C Câu 63 Dây cung elip ( E ) : x y2 + = (0 < b < a ) vng góc với trục lớn tiêu a2 b2 điểm có độ dài bằng: 2c 2b A B a a C 2a c D a2 c Lời giải Hai tiêu điểm có tọa độ F1 (− c ;0 ), F2 (c ;0 ) Đường thẳng chứa dây cung vng góc với trục lớn (trục hoành ) tiêu điểm F có phương trình ∆ : x = c  x y  x = c x = c  x = c  +   =     2 2 2 ⇔ Suy ∆ ∩ ( E ) ⇔  a ⇔ c ⇔ b a − c b y ( ) b y = ± b =  x = c  + =  y =   a b   a a2 a2  2  b   b  2b Vậy tọa độ giao điểm ∆ ( E ) M c ; , N c ; −  ⇒ MN = Chọn B a  a  a   Câu 64 Đường thẳng d : x + y −12 = cắt elip ( E ) : x y2 + = hai điểm phân 16 biệt M N Khi độ dài đoạn thẳng MN bằng: A B C D 25 Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( E ) nghiệm hệ   y = − 3x   y = − x 3 x + y −12 =   x     y = −   2 ⇔  ⇔ ⇔    x y x  +  3 −    x = =1     16 x − x = 4  x +  =   x =  16  M (0;3) Vậy tọa độ giao điểm  ⇒ MN = Chọn C  N (4;0 )  Câu 65 Giá trị m để đường thẳng ∆ : x − y + m = cắt elip ( E ) : hai điểm phân biệt là: A m = ±2 B m > 2 C m < −2 x y2 + = D −2 < m < 2 Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng ∆ ( E ) nghiệm hệ  x − y + m =  x = y − m  x = y − m   ⇔ (2 y − m )2 y ⇔  x y (∗) =1 + = 8 y − my + m − =  +   4  Hai đồ thị có hai giao điểm phân biệt (∗) có hai nghiệm phân biệt Suy ∆(′∗) > ⇔ m − (m − ) > ⇔ m < ⇔ − 2 < m < 2 Chọn D