Chuyên đề đại só tổ hợp kết nối tri thức và cuộc sống

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP   BÀI 23: QUY TẮC ĐẾM I LÝ THUYẾT Quy tắc cộng sơ đồ hình Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo hai phương án khác nhau: - Phương án có n1 cách thực Phương án n1 cách Phương án n2 cách - Phương án có n2 cách thực Khi số cách thực công việc : n1  n2 cách Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiên, hành động có n cách thực hiên khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: số phần tử tập hợp hữu hạn X kí hiệu X n  X  Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao n  A  B   n  A  n  B  Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động không trùng cơng việc có m1  m2  m3   mk cách thực Page 357   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một công việc hoàn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với cách thực hành động A1 có m2 cách thực hành động A2,…, có mk cách thực hành động Ak cơng việc có m1.m2 m3 .mk cách hồn thành NHẬN XÉT CHUNG: Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực cơng việc A (có nghĩa cơng việc A hồn thành phương án A1, A2, ,An) Page 358   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x2 , , xn phương án A1 , A2 , , An Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x  x1  x2    xn Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả sử A hồn thành sau tất cơng đoạn A1 , A2 , , An hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x2 , , xn công đoạn A1 , A2 , , An Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x  x1.x2  xn Cách đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau:  Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a  b BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 8.1 Trên giá sách có truyện ngắn, tiểu thuyết tập thơ (tất khác nhau) Vẽ sơ đồ hình minh họa cho biết bạn Phong có cách chọn để đọc vào ngày cuối tuần 8.2 Một người gieo đồng xu hai mặt, sau lần gieo ghi lại kết sấp hay ngửa Hỏi người gieo ba lần có khả xảy ra? 8.3 Ở loài thực vật, A gen trội quy định tình trạng hoa kép, a gen lặn quy định tình trạng hoa đơn a) Sự tổ hợp hai gen tạo kiểu gen? b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có kiểu giao phối khác từ kiểu gen đó? 8.4 Có số tự nhiên a) có ba chữ số khác nhau? b) số lẻ có ba chữ số khác nhau? c) số có ba chữ số chia hết cho 5? d) số có ba chữ số khác chia hết cho 5? 8.5 a) Mật khNu chương trình máy tính quy định gồm kí tự, kí tự chữ số Hỏi tạo mật khNu khác nhau? b) N ếu chương trình máy tính quy định mật khNu gồm kí tự, kí tự phải chữ in hoa bảng chữ tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) kí tự sau chữ số (từ đến 9) Hỏi quy định tạo nhiều quy định cũ mật khNu khác nhau? Page 359   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: QUY TẮC CỘNG PHƯƠNG PHÁP N ếu cơng việc thực theo n hướng khác nhau, đó: Hướng thứ có m1 cách thực Hướng thứ có m2 cách thực … ……… Hướng thứ n có mn cách thực Khi đó, có: m1  m2   mn cách để hoàn thành công việc cho BÀI TẬP Câu Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 cỡ 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi có lựa chọn (về màu áo cỡ áo)? Câu Một người có quần khác nhau, áo khác nhau, cà vạt khác Hỏi có cách chọn quần áo cà vạt? Câu Trên bàn có bút chì khác nhau, bút bi khác 10 tập khác Một học sinh muốn chọn đồ vật bút chì bút bi tập số cách chọn khác bao nhiêu? Câu Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ N hà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? Page 360   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP DẠNG 2: QUY TẮC NHÂN PHƯƠNG PHÁP N ếu cơng việc phải hồn thành qua n giai đoạn liên tiếp, đó: Giai đoạn có m1 cách thực Giai đoạn có m2 cách thực … ……… Giai đoạn n có mn cách thực Khi đó, có: m1.m2 mn cách để hồn thành cơng việc cho Ta thường gặp toán sau: Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x  a1 an ta cần lưu ý: *  0,1, 2, ,9 a1  * x số chẵn  an số chẵn * x số lẻ  an số lẻ * x chia hết cho  a1  a2   an chia hết cho * x chia hết cho  an 1an chia hết cho * x chia hết cho  an  0,5 * x chia hết cho x số chẵn chia hết cho * x chia hết cho  an2an1an * x chia hết cho a1  a2   an chia hết cho chia hết cho * x chia hết cho 11  tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số nguyên chia hết cho 11 * x chia hết cho 25  hai chữ số tận 00, 25, 50, 75 Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học Page 361   CHUN ĐỀ VIII – TỐN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI TẬP Câu Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Có cách từ thành phố A đến thành phố C, biết phải qua thành phố Câu Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số 3? Câu Có học sinh nữ hs nam.Ta muốn xếp vào bàn dài có ghế ngồi Hỏi có cách xếp để: học sinh nữ ngồi kề 2 học sinh nam ngồi kề Câu Xếp người A, B, C, D, E, F vào ghế dài.Hỏi có cách xếp cho: A F ngồi hai đầu ghế A F ngồi cạnh A F khơng ngồi cạnh Câu Có chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi khác lập từ số 0,1, 2, 4, 5, 6,8 Câu Từ số 1, 2,3, 4,5, lập số tự nhiên,mỗi số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện:sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị Câu Bạn An có áo quần Hỏi bạn An có cách chọn a) Một quần áo? b) Một quần áo ? Câu Cho hai đường thẳng song song d , d ’ Trên d lấy 10 điểm phân biệt, d ’ lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà đỉnh chọn từ 25 đỉnh nói trên? Page 362   CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP VIII ĐẠI SỐ TỔ HỢP   BÀI 23: QUY TẮC ĐẾM I LÝ THUYẾT Quy tắc cộng sơ đồ hình Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo hai phương án khác nhau: - Phương án có n1 cách thực Phương án n1 cách Phương án n2 cách - Phương án có n2 cách thực Khi số cách thực công việc : n1  n2 cách Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiên, hành động có n cách thực hiên khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: số phần tử tập hợp hữu hạn X kí hiệu X n  X  Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao n  A  B   n  A  n  B  Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động khơng trùng cơng việc có m1  m2  m3   mk cách thực Page   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc nhân Một công việc hồn thành hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với cách thực hành động A1 có m2 cách thực hành động A2,…, có mk cách thực hành động Ak cơng việc có m1.m2 m3 .mk cách hồn thành NHẬN XÉT CHUNG: Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực công việc A (có nghĩa cơng việc A hồn thành phương án A1, A2, ,An) Page   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x2 , , xn phương án A1 , A2 , , An Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x  x1  x2    xn Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước sau: Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực cơng việc A (giả sử A hồn thành sau tất công đoạn A1 , A2 , , An hoàn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 , x2 , , xn công đoạn A1 , A2 , , An Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A là: x  x1.x2  xn Cách đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù tốn sau:  Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H không thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa u cầu tốn là: a  b BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 8.1 Trên giá sách có truyện ngắn, tiểu thuyết tập thơ (tất khác nhau) Vẽ sơ đồ hình minh họa cho biết bạn Phong có cách chọn để đọc vào ngày cuối tuần Lời giải Truyện ngắn …… Tiểu thuyết ………7 Thơ ……….5 tập Để chọn sách đọc vào ngày cuối tuần, bạn Phong thực lựa chọn sau: Chọn truyện ngắn : Có cách Chọn tiểu thuyết : Có cách Chọn tập thơ : Có cách Theo quy tắc cộng bạn Phong có :    20 cách 8.2 Một người gieo đồng xu hai mặt, sau lần gieo ghi lại kết sấp hay ngửa Hỏi người gieo ba lần có khả xảy ra? Page   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Lời giải Lần gieo thứ nhất: Có khả xảy Lần gieo thứ hai: Có khả xảy Lần gieo thứ ba: Có khả xảy Nếu người gieo ba lần số khả xảy là: 2.2.2  8.3 Ở lồi thực vật, A gen trội quy định tình trạng hoa kép, a gen lặn quy định tình trạng hoa đơn a) Sự tổ hợp hai gen tạo kiểu gen? b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có kiểu giao phối khác từ kiểu gen đó? Lời giải a) Sự tổ hợp gen A gen a thành kiểu gen là: AA, Aa, aa Vậy có kiểu gen b) Khi giao phối ngẫu nhiên có kiểu giao phối: AA  AA aa  aa Aa  Aa AA  aa Aa  AA Aa  aa Vậy có kiểu giao phối khác 8.4 Có số tự nhiên a) có ba chữ số khác nhau? b) số lẻ có ba chữ số khác nhau? c) số có ba chữ số chia hết cho 5? d) số có ba chữ số khác chia hết cho 5? Lời giải a) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên đôi khác nhau, a  Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Chọn c : Có cách Như có 9.9.8  648 số tự nhiên có ba chữ số khác b) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên đôi khác nhau, a  c lẻ Chọn c : Có cách Chọn a : Có cách Chọn b : Có cách Như có 5.8.8  320 số tự nhiên lẻ có ba chữ số khác c) Gọi số tự nhiên cần tìm abc với a, b, c chữ số tự nhiên a  c  0;5 Chọn a : Có cách Page   CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Dạng Tính tổng tổ hợp Cnk  k  n  5; k , n    ứng dụng (nếu có) Câu 1: BÀI TẬP TỰ LUẬN (NB) Tính tổng sau S  C100  C101   C1010 Lời giải 10 Xét khai triển  a  b    C10k a10 k b k 10 k 0 Ta chọn a  b  , thu 1  1  C100  C101   C1010 10 Vậy S  210  1024 Câu 2: (NB) Tính tổng sau S  C61  C62   C65 Lời giải Xét khai triển  a  b    C6k a  k b k k 0 Ta chọn a  b  , thu 1  1  C60  C61   C66 Do S  26  C60  C66  62 Vậy S  62 Câu 3: (NB) Tính tổng sau S  C60  2.C61  22.C62   26 C66 Lời giải Xét khai triển  a  b    C6k a  k b k k 0 Ta chọn a  1; b  , thu 1    C60  2.C61  22.C62   26 C66 Vậy S  36  729 Câu 4: (NB) Tính tổng sau S  C120  C121  C122   C1211  C1212 Lời giải 12 Xét khai triển  a  b    C12k a12 k b k 12 k 0 Ta chọn a  1; b  1 , thu 1  1  C120  C121  C122   C1211  C1212 12 Vậy S  012  Câu 5: (TH) Cho n số tự nhiên thỏa mãn n  6n   Tính tổng S  Cn0  Cn1   Cnn Lời giải Page 23 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP n  Ta có n  6n      n  1 Do n   nên n  Khi S  C70  C71   C77 Xét khai triển  a  b    C7k a  k b k k 0 Ta chọn a  b  , thu 1  1  C70  C71   C77 Vậy S  27  128 Câu 6: (TH) Cho đa thức P  x   1  x  Tính tổng hệ số đa thức P  x  Lời giải Ta có P  x   1  x    C8k ( 1) k x k Khi tổng hệ số đa thức P  x  k 0 S  C80  C81   C87  C88 Xét khai triển  a  b    C8k a 8 k b k k 0 Ta chọn a  1; b  1 , thu 1  1  C80  C81  C82   C87  C88 Vậy tổng hệ số đa thức P  x  Câu 7: (TH) Tính tổng sau S  C20  2C202  22.C20   219 C2020 Lời giải Ta có S  2.C20  22 C202  23.C20   220.C2020 20 Xét khai triển  a  b    C20k a 20 k b k 20 k 0 Ta chọn a  1; b  , thu 1    C200  2.C20   220.C2020 20 Do S  1    C200  320  20 Vậy S  Câu 8: 320  (TH) Tính tổng sau S  C200  C202  C204   C2020 Lời giải 20 Xét khai triển  a  b    C20k a 20 k b k 20 k 0 Chọn a  b  , ta thu 1  1  C200  C20  C202  C20  C2020 20 Chọn a  1; b  1 , ta thu 1  1  C200  C20  C202  C20   C2020 20 Cộng theo vế hai phương trình ta 20   C20  C202  C204   C2020   S  220 Page 24 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP  S  219 Câu 9: 2018 2018 2019 2019 Tính tổng: S  C2019 32018.2  C2019 32017.2  C2019 32016.23   C2019  C2019 Lời giải Xét A   a  b  2019 2019 k   C2019 a 2019 k b k k 0 C 2019 a 2019 C 2019 2018 2018 2019 2019 a 2018 b  C2019 a 2017 b  C2019 a 2016 b3   C2019 a b  C2019 b Ta chọn a  3, b  ,  3   2019 2018 2018 2019 2019  C2019 32019  C2019 32018.2  C2019 32017.22  C2019 32016.23   C2019  C2019    S  S   3   2019 C 2019 2019   1 2019 3 2019  2019 1 2020 2020 Câu 10: Tính tổng: S  C2021 2021  C2021 42010.2  C2021 2019.22  C2021 42018.23   C2021 Lời giải A  a  b C 2021 a 2021 2021 2021 k   C2021 a 2021 k b k C k 0 2020 2021 a 2020 2020 2021 2021 b  C2021 a 2019 b  C2021 a 2018 b3   C2021 a b  C2021 b Ta chọn a  4, b  2 ,   2 2021 2020 2021 2021  C2021 42021  C2021 42020.2  C2021 42019.22  C2021 42018.23   C2021 4.22020  C2021  S  S    2 2021 C 2021 2021 2021 2 2021 2 2021  2022 Câu 11: Cho n  * , tính tổng S  27 C20n  28 C21n  29 C22n  210 C23n   22 n  C22nn 1  22 n  C22nn Lời giải Ta có: S  C  C  C  C   2 n 1 C22nn 1  2 n C22nn  Xét khai triển Newton  x  2 2n 2n 1 2n 2 2n 3 2n  C20n x n  2   C21n x n 1  2   C22n x n   2    C22nn 1 x1  2  2 n 1  C22nn  2  Tại x  ta có   1  C20n  21 C21n  22 C22n  23 C23n   2 n 1 C22nn 1  2 n C22nn 2n Vậy S  27  1  27 2n Câu 12: Cho n số tự nhiên Hãy tính tổng sau: S  C20n 1  C21n 1  C22n 1   C2nn 1 Lời giải S C n 1 C n 1 C 2 n 1   C n n 1  S  C20n 1  C21n 1   C2nn 1   C20n 1  C21n 1   C2nn 1  Ta có Cnk  Cnn  k (tính chất tổ hợp)  S  C20n 1  C21n 1   C2nn 1   C22nn11  C22nn1   C2nn11   S  C20n 1  C21n 1   C2nn 1  C2nn11   C22nn1  C22nn1 Xét khai triển  x  1 n 1  C20n 1 x  C21n 1 x1   C22nn11 x n 1 Khi x   S  2 n 1  S  2 n  4n Page 25 2n CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 13: Cho n số tự nhiên Thu gọn biểu thức S  3Cn0  7Cn1  11Cn2    4n  3 Cnn theo n Lời giải Ta có S   0.4  3 C  1.4  3 C   2.4  3 Cn2    n.4  3 Cnn n n  S   Cn1  2Cn2  3Cn3   n.Cnn    Cn0  Cn1   Cnn  Xét khai triển  x  1  Cn0 x  Cn1 x1   Cnn x n n Khi x   Cn0  Cn1   Cnn  n Mặt khác ta lại có: k Cnk  k n  n  1 ! n!   n.Cnk11 k ! n  k  !  k  1 !  n  1   k  1  ! Do đó: Cn1  2.Cn2  3Cn3   n.Cnn  n  Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11  Tương tự xét khai triển  x  1 n 1  Cn01 x  Cn11.x1   Cnn11 x n 1 Khi x   Cn01  Cn11  Cn21   Cnn11  2n 1 Vậy S  4n.2n 1  3.2n   2n  3 2n 1 1     1.0!.2019! 2.1!2018! 3.2!.2017! 2020.2019!.0! Lời giải 2019 2019 2020! 2019 k 1 Ta có S      C2020 2020! k 0 k   k  1 k ! 2019  k  ! k  2020! k  1 ! 2020   k  1  ! Câu 14: Rút gọn biểu thức S  Xét nhị thức  x  1 2020 2020 2020 k 0 k 1 k k   C2020 x k    C2020 x k 2020 2019 k 1 k 0 k k 1 Cho x    C2020   C2020  22020  Vậy: S  Câu 1: 1 2020! 2020 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (NB) Tổng T  Cn0  Cn1  Cn3  Cn4   Cnn A 2n1 B 2n1 C n Lời giải D Chọn C n Theo khai triển nhị thức Niuton  a  b    Cnk a n  k b k n  * k 0 Với a  b  , ta có *  2n  Cn0  C1   Cnn­1  Cnn Câu 2: (NB) Với n  , tổng T  Cn0  Cn2  Cn4  A 22 n1 B 2n1 D 2n  C n Lời giải Chọn B n Theo khai triển nhị thức Niuton  a  b    Cnk a n  k b k n k 0 Page 26  * CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Với a  b  , ta có *  2n  Cn0  C1   Cnn­1  Cnn 1 Với a  1; b  1 , ta có *   Cn0  C     1 Cnk     1 Cnn   k n Lấy 1     2n  2T Vậy T  2n 1 Câu 3: (NB) Tổng T  Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnk    1 Cnn k A 2n1 n B 2n1 C n Lời giải D Chọn D n Theo khai triển nhị thức Niuton  a  b    Cnk a n  k b k n  * k 0 Với a  1; b  1 , ta có *   Cn0  C     1 Cnk     1 Cnn k Câu 4: n (NB) Với n  , tổng T  Cn1  Cn3  Cn5  A 22 n1 B 2n1 D 2n  C n Lời giải Chọn D n Theo khai triển nhị thức Niuton  a  b    Cnk a n  k b k n  * k 0 Với a  b  , ta có *  2n  Cn0  C1   Cnn­1  Cnn 1 Với a  1; b  1 , ta có *   Cn0  C     1 Cnk     1 Cnn   k n Lấy 1     2n  2T Vậy T  2n 1 Câu 5: (NB) Biểu thức P  Cnk  Cnk 1 A Cnk11 B C nk1 C C nk1 D Cnk Lời giải Chọn C Áp dụng Cnk  Cnk 1  Cnk11 Câu 6: (TH) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn7  Cn8  Cn91 Giá trị số n A 16 B 24 C 18 Lời giải D 17 Chọn A Điều kiện : n  8; n   Áp dụng Cnk  Cnk 1  Cnk11 Ta có Cn7  Cn8  Cn91  Cn81  Cn91   n  1!  n  1!  8! n   ! 9! n  8 ! 1   n  16 n7 (TH) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cnn41  Cnn3   n    Câu 7: Page 27 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP B 13 A 14 C 16 Lời giải D 15 Chọn B Điều kiện : n   Ta có Cnn41  Cnn3   n     Cnn3  Cnn31   Cnn3   n    Cnn31   n    Câu 8:  n   n  3   n  2 2!  n   8.2!  n   16  n  13 (TH) Cho n số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2   Cnn  4095 Giá trị n B 16 A 14 C 13 Lời giải D 12 Chọn D Ta có Cn1  Cn2   Cnn  4095  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  4096 Mà Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n nên suy 2n  4096  n  12 Câu 9: (TH) Tổng T  C20n  C22n  C24n   C22nk   C22nn A 2n1 C 2 n  Lời giải B 22 n1 D 22 n Chọn B Ta có Cn0  Cn2  Cn4   2n 1 Áp dụng hệ thức trên, ta có T  C20n  C22n  C24n   C22nk   C22nn  22 n 1 2021 Câu 10: (TH) Cho T  C2022 Tính biểu thức T  2n n  C2022  C2022   C2022 A 2023 B 2022 C 2021 Lời giải D 2020 Chọn D Ta có Cn1  Cn3  Cn5   Cnn  n 1 2021 Áp dụng T  C2022  C2022  C2022   C2022  2021 Do n  2021 Câu 11: Tính tổng C0n + C1n + Cn2 + + Cnn ta kết là: A 3n B n C n ! Lời giải D 2n1 Chọn B Xét khai triển:  a  b n  Cn0 an  Cn1an1b  Cn2 an2b2   Cnnbn n a  Chọn  ta : 1  1  Cn0 1n  Cn1 1n1.1  Cn2 1n2.12   Cnn 1n b   2n = C0n + C1n + Cn2 + + Cnn n Câu 12: Tính tổng C0n  C1n + Cn2 + +  1 Cnn ta kết là: A B n C 2n1 Page 28 D 2n1 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Lời giải Chọn A Xét khai triển:  a  b n  Cn0 an  Cn1an1b  Cn2 an2b2   Cnnbn n n a  n n 1 n2 n Chọn  ta : 1 1  Cn  Cn  1  Cn  1   Cn  1 b  1 n  = C0n  C1n + Cn2 + +  1 Cnn Câu 13: Tính tổng C02n + C22n + C42n + + C22 nn ta kết là: B n A 2n1 C 22 n1 Lời giải D 22 n1 Chọn A Xét khai triển:  a  b 2n  C20n a2n  C21n a2n1b  C22n a2n2b2   C22nnb2n a  Chọn  ta : 2 n  C20n  C21n  C22n   C22nn b  (1) a  Chọn  ta :  C20n  C21n  C22n  C23n  C24n   C22nn 1  C22nn b  1 (2) Từ (1) (2) suy : C02n + C22n + C42n + + C22 nn  22 n1  Câu 14: Xét khai triểm  x  x  20  a0  a1 x   a40 x 40 Tổng S  a0  a1   a40 là: B 220 A 40 C 240 Lời giải D 410 Chọn C  Xét khai triển:  x  x   1  x  20 40 2 40 40  C40  C40 x  C40 x   C40 x Chọn x  ta S  a0  a1   a40  240 Câu 15: Tính tổng (C0n )2 + (C1n )2 + (Cn2 )2 + + (Cnn )2 ta kết là: A C2nn B C 22nn  C 22 n1 D 22 n Lời giải Chọn A Xét khai triển: (1+ x) m (1+ x) n = (1+ x)m+n ta có: k-2 m k-m C0m Ckn + C1m Ck-1 = Ckm+n , m  k  n ( hệ số chứa x k hai vế) n + Cm Cn + + Cm Cn n n Áp dụng với khai triển 1  x  1  x   1  x  2n ta có hệ số chứa x n nên:   + C  C0n Cnn + C1n Cnn1 + + Cnn C0n = C2nn  Cn0 n   + + Cnn = C2nn Câu 16: Tính tổng n.2n1.C0n +  n -1 2n2.3.C1n +  n -  2n3.32.C2n + + 3n1.Cnn1 ta kết là: A 5n B n.5 n Page 29 C n.5n 1 Lời giải D 5n1 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chọn C Ta có: n.2n1.C0n +  n -1 2n2.3.C1n +  n -  2n3.32.C2n + + 3n1.Cnn1  n1 n1 k 0 k 0   n  k .2nk 1.3k.Cnk  Câu 17: Tính tổng Cn1  Cn2 Cn1 3 Cn3  n.2nk 1.3k.Cnn1k 1  n   3   n Cn2 Cnn Cnn 1  n.5n1 ta kết là: n  n  1 Lời giải B n A 3n n1 C D n  n  1 Chọn D Cnk Ta có: Cnk 1 n  k 1 k  Suy ra: Cn1  Cn2 C n 3 Cn3 C n   n Cnn C n 1 n  n   n   n  1   n       n 1 n2 3   n n n  n  1 Dạng Dùng hai số hạng khai triển  x  x  ,  x  x  để tính gần ứng dụng (nếu có) BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 18: Viết khai triển lũy thừa  x  x  Lời giải Ta có:  x  x   C x  C x x  C x  x   C53 x  x   C54 x  x   C55  x  5 5 3 Câu 19: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  x  x  để tính gần số  6, 01 n Lời giải Ta có:  6, 01    0, 01  C40 64  C41 63.0,01  C42 62  0, 01  C43  0, 01  C44  0, 01 4  C40 64  C41 63.0,01  1304,64 Vậy:  6,01  1304,64 Câu 20: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  2022, 02  Lời giải Ta có: Page 30  x  x  n để tính gần số CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP  2022, 02    2022  0, 02   C50 20225  C51.20224.0, 02  C52 20223.0, 022  C53 20222.0, 023  C54 2022.0, 024  C55 0, 025  C50 20225  C51.20224.0, 02  3,38.1016 Vậy: 2022, 025  3,38.1016 Câu 21: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  x  x  để tính gần số  4,98  n Lời giải Ta có:  4,98    (0,02)   C50 55  0,02   C51.54  0,02   C52 52  0, 02   C53 52  0,02   C54  0,02   C55  0,02   C50 55  C51.54  0,02   3062,5 Vậy: 4,985  3062,5 Câu 22: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa 1999,99   x  x  n để tính gần số Lời giải Ta có: 1999,99    2000  (0, 01)   C40 20004  0, 01  C41 20003  0, 01  C42 20002  0, 01  C43 2000  0, 01  C44  0, 01  C40 20004  C41 20003  0, 01  1,599968.1013 Vậy: 1999,99   1,599968.1013 Câu 23: Tìm giá trị gần x , biết   x   59705,1 ta dùng số hạng khai triển   x  Lời giải Ta có:   x   C  C x  C x  C53 2.x  C54 9.x  C55 x 5 5 5  C50 95  C51 x  59705,1  x  0, 02 Vậy x  0, 02 Câu 24: Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7, 2% / năm Với giả thiết sau tháng người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau n tháng tính cơng thức T  T0 1  r  , T0 số tiền gởi lúc đầu r lãi suất tháng Dùng hai số n hạng khai triển nhị thức Niu – tơn, tính gần số tiền người nhận (cả gốc lẫn lãi) sau tháng Lời giải 7, Lãi suất tháng r  %  0, 6% / tháng 12 Ta có: T  T0 1  r  n Suy ra: T  500.106 1  0, 006   500.106  C60  C61 0, 006   518000000 đồng Page 31 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Vậy: sau tháng người nhận 518 000 000 đồng Câu 25: Một người có T0 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7, 2% / năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Đây gọi hình thức lãi kép Biết số tiền vốn lẫn lãi T sau n năm tính cơng thức T  T0 1  r  , T0 số tiền gởi lúc đầu r lãi suất năm Sau năm n người nhận số tiền gốc lẫn lãi số tiền 386 400 000 đồng dùng hai số hạng khai triển nhị thức Niu – tơn Tính gần số tiền người gởi lúc đầu Lời giải Ta có: T  T0 1  r  n Suy ra: T  T0 1  0, 072   T0  C40  C41 0, 072   T0  300 000 000 đồng Vậy lúc đầu người gởi vào khoảng 300 000 000 đồng Câu 26: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa  x  x  để so sánh  3,01  2,1 n Lời giải Ta có:  3, 01    0, 01  C40 34  C41 33.0, 01  C42 32  0, 01  C43  0,01  C44  0,01 4  C40 34  C41 33.0, 01  82,08  2,1    0,1  C50 25  C51.24.0,1  C52 23  0,1  C53 22  0,1  C54  0,1  C55  0,1 5  C50 25  C51.24.0,1  40 Vậy:  3,01   2,1 Câu 27: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa   x  để ước lượng giá trị gần x (làm tròn sau dấy phNy hai chữ số), biết   3x   12,8 Lời giải Ta có:   3x   C40 24  C41 23  3x   C42 22  3x   C43  3x   C44  3x   C40 24  C41 23  3x   16  96 x Khi đó:   3x   12,8  16  96x  12,8  x  0,03 Vậy: x  0, 03 Câu 28: Dùng hai số hạng khai triển lũy thừa T   1 a  gần T theo a Lời giải Ta có:  T  2   a C53      a   2  1 a   C50  2   C51  a  2   C52  a  2   C54    a  2   C55  C50  2   C51  a  2   32  80  a Vậy: T  32  80  a Page 32  để ước lượng giá trị CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Câu 29: Một người có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6,8% / năm Với giả thiết sau năm người khơng rút tiền số tiền lãi nhập vào số tiền ban đầu Dùng hai số hạng khai triển nhị thức N iu – tơn, tính số tiền người thu (cả gốc lẫn lãi) sau năm Lời giải Gọi P số tiền ban đầu người gửi vào, r lãi suất, Pn số tiền nhận sau n năm Khi đó: Pn  P 1  r  n Theo giả thiết: 4   6,8   6,8  8  6,8   6,8   6,8   6,8  P4  10 1   10   10 C  C  C  C  C  4              100   100   100   100   100   100    6,8    108 C40  C41  127 200 000 (đồng) 100   Vậy: sau năm người nhận 127 200 000 đồng Câu 30: Số dân thời điểm tỉnh triệu người Tỉ lệ tăng dân số hàng năm tỉnh 5% Sử dụng hai số hạng khai triển lũy thừa  a  b  , hỏi sau bao n nhiêu năm số dân tỉnh 1, triệu người? Lời giải Gọi A số dân ban đầu, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm, An số dân tỉnh sau n năm Khi đó: An  A 1  r  n Theo giả thiết: n n 1 n     n 1   n      1,  1    1,  Cn  Cn    Cn     Cn    Cn     100   100   100   100   100     1,   0,05n  n  (năm) 100 Vậy: Sau khoảng năm số dân tỉnh 1, triệu người  1,  Cn0  Cn1 Câu 31: Ơng A có 800 triệu đồng ơng B có 950 triệu đồng gửi hai ngân hàng khác với lãi suất 7% / năm 5% / năm Dùng hai số hạng khai triển nhị thức N iu – tơn, ước lượng sau năm số tiền hai ông thu người nhận tiền? Lời giải Gọi P số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng, r lãi suất, Pn số tiền nhận sau n năm Khi đó: Pn  P 1  r  n Page 33 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Theo giả thiết: n n     800 1    950 1    100   100  19   7n 19 19n 17n  Cn0  Cn1   Cn  Cn1      n  17,   1 100 16  100  100 16 320 1600 16   P17  800 000 000  C170  C171   192 000 000 (đồng) 100   Vậy: Sau 17 năm người nhận 192 000 000 đồng BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dùng hai số hạng khai triển  x  x  để tính gần số 1,01 Tìm số đó? A 1, 04 B 1, 0406 C 1, 040604 Lời giải D 1.04060401 Chọn A 1,01  1  0.01  C40  C41 0,01  C42 0,012  C43 0,013  C44 0,014 Khi đó: 1,01  C40  C41 0,01  1,04 Câu 2: Dùng hai số hạng khai triển  x  x  để tính gần số  2,01 Tìm số đó? A 32.808 B 32,80804 C 32,8 D 32,8080401 Lời giải Chọn C  2,01    0.01  C50 25  C51.24.0,01  C52 23.0,012  C53 22.0,013  C54 2.0,014  C55 0,015 Khi đó:  2,01  C50 25  C51.24.0,01  32,8 Câu 3: Dùng ba số hạng khai triển  x  x  để tính gần số 1,02  Tìm số đó? B 1.0824 A 1, 08 C 1, 08243 D 1, 082432 Lời giải Chọn B 1,02   1  0,02   C40  C41 0,02  C42 0,022  C43 0,023  C44 0,024 Khi đó: 1,02   C40  C41 0,02  C42 0,022  1,0824 Câu 4: Dùng ba số hạng khai triển  x  x  để tính gần số  2,03 Tìm số đó? A 34, 473 B 34, 47 C 34, 47308 Lời giải D 34, 473088 Chọn A  2,03    0.03  C50 25  C51.24.0,03  C52 23.0,032  C53 22.0,033  C54 2.0,034  C55 0,035 Page 34 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Khi đó:  2,03  C50 25  C51.24.0,03  C52 25.0,032  34, 473 Câu 5: Dùng bốn số hạng khai triển  x  x  để tính gần số 1,03 Tìm số đó? A 1,15 B 1,1592 C 1,159274 D 1,15927407 Lời giải Chọn C 1,03  1  0.03  C50  C51.0,03  C52 0,032  C53 0,033  C54 0,034  C55 0,035 Khi đó: 1,03  C50  C51.0,03  C52 0,032  C53 0,033  1,159274 Câu 6: Dùng bốn số hạng khai triển  x  x  để tính gần số  4,001 Tìm số đó? A 256, 2560963 B 256, 25 C 256, 256 Lời giải D 256, 256096 Chọn A  4,001    0.001  C40 44  C41 43.0,001  C42 42.0,0012  C43 43.0,0013  C44 44.0,0014 4 Khi đó:  4,001  C40 44  C41 43.0,001  C42 42.0,0012  C43 43.0.0013  256, 2560963 Câu 7: Dùng ba số hạng khai triển  x  x  để tính gần số 1,0002  Tìm số đó? A 32, 02 B 32, 024 C 32, 0240072 D 32, 024007 Lời giải Chọn C  2,0003    0.0003  25.C50  24.C51.0,0003  23.C52 0,00032  22 C53 0,00033 2C54 0,00034  C55 0,00035 Khi đó:  2,0003  C50 25  C51.24.0,0003  C52 23.0,00032  C53 22.0,00033  32,0240072 Câu 8: Dùng bốn số hạng khai triển  x  x  để tính gần số  4,0002  Tìm số đó? A 1024, 25 B 1024, 256026 C 1024, 25602 D 1024, 256 Lời giải Chọn C  4,0002     0.0002   45.C50  44.C51.0,0002  43.C52 0,00022  42 C53 0,00023 4C54 0,00024  C55 0,00025 Page 35 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Khi đó:  4,0002  Câu 9:  22 C152   214 C1514  215 C1515 Tính giá trị H  C150  2C15  C50 45  C51.44.0,0002  C52 43.0,00022  C53 42.0,00023  1024, 256026 A 315 B 315 D 1 C Lời giải Chọn D 1  x  15  C150  C151 x  C152 x   C1514 x14  C1515 x15 Chọn x  2 , ta C150  2C15  22 C152   214 C1514  215 C1515  1    1 15 19 Câu 10: Tính giá trị K  320 C20  319.4.C20  318.42.C202   3.419.C20  420.C2020 C 1 B 7 20 A 20 D Lời giải Chọn D 3  x 20 19 19  320 C200  319 C20 x  318 C202 x   3C20 x  C2020 x 20 19  319.4.C20  318.42.C202   3.419.C20  420.C2020     Chọn x  4 ,ta 320 C20 Câu 11: Trong khai triển biểu thức F  A  3  B 60 Ta có số hạng tổng quát Tk 1  C5k  3  2 5 k 1 số hạng nguyên có giá trị lớn C 58 Lời giải Chọn B 20 D 20 k Ta thấy bậc hai thức hai số nguyên tố, để Tk 1 số ngun k    0  k   k   T4  C 53 3    k   k  Vậy khai triển có giá trị lớn số hạng nguyên T4  60    Câu 12: N ếu người gửi số tiền A vào ngân hàng theo thể thức lãi kép (đến kỳ hạn mà người gửi không rút lãi tiền lãi tính vào vốn kỳ kế tiếp) với lãi suất r kì sau N kì, số tiền người thu vốn lẫn lãi C = A(1 + r)N (triệu đồng) Ông An gửi 20 triệu đồng vào ngân hàng X theo thể thức lãi kép với lãi suất 8,65% quý Hãy dùng ba số hạng đầu khai triển 1  0, 0865  tính sau q (vẫn tính lãi suất kì hạn theo q), ơng An thu số tiền vốn lẫn lãi (giả sử lãi suất năm ngân hàng X không đổi) ? A 30.15645 triệu đồng B 30.14645 triệu đồng C 30.14675 triệu đồng D 31.14645 triệu đồng Page 36 CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN 10 – CHƯƠNG VIII – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Lời giải Chọn B Áp dụng công thức C  A 1  r  với A  20 triệu r  8, 65% , n  quí 1  x   C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x 1  0, 0865   C50  C51.0, 0865  C52  0, 0865    5.0, 0865  10  0, 0865   1,5073225 = 2 Vậy số tiền thu sau quý là: C  20.1,5073225  30.14645 triệu đồng Câu 13: Để dự báo dân số quốc gia người ta sử dụng công thức S  A 1  r  , A n dân số năm lấy làm mốc, 𝑆 dân số sau 𝑛 năm, 𝑟 tỉ lệ tăng dân số hàng năm, r  1, 5% N ăm 2015 dân số quốc gia 212.942.000 người Dùng ba số hạng đầu khai triển 1  0, 015  ta ước tính số dân quốc gia vào năm 2020 gần số sau ? A 229391769 nghìn người C 229391759 nghìn người B 329391769 nghìn người D 228391769 nghìn người Lời giải Chọn A Lấy năm 2015 làm mốc tính dân số năm 2015 n  2020  2015  Áp dụng công thức S  A 1  r  1  x  n với A  212.942.000 , r  1, 5%  C50  C51 x  C52 x  C53 x  C54 x  C55 x 1  0, 015   C50  C51.0, 015  C52  0, 015    5.0, 015  10  0, 015   1, 07725 2 Ước tính dân số quốc gia vào năm 2020 là: 212.942.000  1, 07725  229391769, Vậy dân số quốc gia 229391769 nghìn người Page 37