Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Phạm Anh Vinh ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đồn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đồn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy thuộc phịng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu quý thầy cô, anh chị bạn bè Viện Tốn học Việt Nam Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Phạm Anh Vinh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ đồ thị Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.2 Không gian tiếp xúc 13 Đa tạp cát tuyến tính chất 22 2.1 Đa tạp nối đa tạp 22 2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s 29 Đa tạp Veronese Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese 39 3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz 45 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre 58 4.2 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 64 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Đường cong X = V (x3 − y ) 16 1.2 Đường cong Y = V (x3 −x2 −x−1−y) 17 2.1 Hợp nối điểm đường 23 thẳng P2 2.2 Đường cát tuyến đường tròn 29 2.3 Đường thẳng cắt đường conic hai 30 điểm 3.1 Giuseppe Veronese (1854-1917) 40 3.2 Đường cubic xoắn 43 4.1 Corrado Segre (1863-1924) 59 4.2 Hyperbolic paraboloid 62 MỞ ĐẦU Đa tạp cát tuyến chủ đề nhà hình học đại số trường phái Ý nghiên cứu từ kỉ 19 Gần quan tâm nhà hình học đại số đa tạp cát tuyến tăng nhanh Đa tạp cát tuyến có ứng dụng số chuyên ngành toán học thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống khoa học máy tính, sinh học Thơng thường việc tính tốn với đa tạp cát tuyến khó Do đó, nhiều tốn thay cho việc xét đa tạp cát tuyến đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến số đa tạp đặc biệt đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese Đa tạp cát tuyến thứ s đa tạp đại số X ⊂ PN bao đóng Zariski hợp tất khơng gian tuyến tính qua s điểm X kí hiệu σs (X) Tính tốn số chiều σs (X) câu hỏi việc nghiên cứu đa tạp cát tuyến Bằng việc xem σs (X) hợp nối X với σs−1 (X), ta chứng minh dim σs (X) ≤ (s dim X + s − 1, N ), giá trị (s dim X + s − 1, N ) gọi chiều kì vọng σs (X) Ta nói đa tạp X s- khuyết số chiều σs (X) khác với số chiều kì vọng đa tạp Đối với đa tạp Veronese, Alexander Hirschowitz đưa phân loại đa tạp khuyết Trong đó, kết tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre đa tạp Segre-Veronese đạt số trường hợp đặc biệt Mục đích luận văn trình bày lại cách hệ thống số kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre, đồng thời tính tốn số ví dụ minh hoạ Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Chương dành để nêu tóm tắt số khái niệm tính chất đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh không gian tiếp xúc để phục vụ cho việc trình bày chương sau Chương 2: Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất hợp nối đa tạp xạ ảnh Trong đó, tính chất liên quan đến khơng gian tiếp xúc đa tạp hợp nối Định lý 2.1.10 xem tính chất quan trọng Trong tiết chương này, chúng tơi trình bày đa tạp cát tuyến, trường hợp đặc biệt đa tạp hợp nối Đồng thời, cuối chương, phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11) Đây kết tiếng việc nghiên cứu số chiều đa tạp cát tuyến Từ Bổ đề Terracini, ta dẫn đến hệ quan trọng Mệnh đề 3.2.4 Định lý 4.2.5, cho ta mối quan hệ số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre với giá trị hàm Hilbert lược đồ điểm kép Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày đa tạp Veronese Trong đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh không gian tiếp xúc đa tạp Veronese Trong tiết hai, phát biểu chứng minh Định lý Alexander - Hirschowitz phân loại đa tạp cát tuyến khuyết (Định lý 3.2.8 Định lý 3.2.9) Chương 4: Chương dành để trình bày đa tạp cát tuyến đa tạp Serge Kết chương kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13) Trong tồn luận văn này, ln ký hiệu k trường đóng đại số Với n ≥ 0, ta ký hiệu An , Pn không gian afin, không gian xạ ảnh k CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm sở hình học đại số đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc minh hoạ khái niệm số ví dụ Tài liệu tham khảo chương sách [1] [2] 1.1 Đa tạp đại số Tập không điểm đa thức f ∈ A := k[x1 , , xn ] V (f ) = {P ∈ An |f (P ) = 0} ⊆ An Nếu T tập A, ta định nghĩa tập không điểm T V (T ) = {P ∈ An |f (P ) = với f ∈ T } Một tập Y An gọi tập đại số tồn tập T ⊆ A cho Y = V (T ) Những tập đại số thoả mãn tính chất sau - Nếu X, Y hai tập đại số X ∪ Y tập đại số - Nếu {Xα }α∈∧ họ tập đại số - Tập ∅ An tập đại số T α∈∧ Xα tập đại số Với tính chất này, lớp tập đại số thoả mãn tiên đề tập đóng tơ pơ khơng gian afin An , gọi tô pô Zariski Tập mở tô pô phần bù tập đại số Định nghĩa 1.1.1 Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) tập đóng bất khả quy An , nghĩa là, tập khơng hợp hai tập đóng thực Với tập đa thức T ⊆ A, ký hiệu I iđêan sinh T Khi V (T ) = V (I) Ngược lại, với tập Y ⊆ An , ta định nghĩa iđêan Y A I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = với P ∈ Y } Mối quan hệ iđêan tập không điểm mô tả Định lý không điểm Hilbert sau Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert) [1, Định lý 4.6] Cho iđêan I ⊂ A Nếu đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = với P ∈ V (I), f r ∈ I với số nguyên r > Định lý khơng điểm Hilbert cho ta mối quan hệ quan trọng đa tạp afin An với iđêan nguyên tố vành đa thức A Ta thấy rõ điều thông qua hệ sau Hệ 1.1.3 Nếu J iđêan A, I(V (J)) = J Khi có tương ứng 1-1 iđêan tập đại số Qua tương ứng đa tạp afin tương ứng với iđêan nguyên tố Hơn nữa, iđêan cực đại tương ứng với điểm đóng Dưới số ví dụ tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin) Ví dụ 1.1.4 (a) Tập An bất khả quy tương ứng với iđêan 0, nguyên tố A αi (ai + tbi ) t=0 d α0 αi −1 αn bi αi (a0 + b0 t) (ai + tbi ) (an + tbn ) = α , , α n i=0 t=0 ! n X d−1 bi aα0 aiαi −1 aαnn =d α0 , , αi−1 , , αn i=0 n X Trong khai triển trên, Ld−1 tọa độ ! ! d−1 aα0 aiαi −1 aαnn , , , α0 , , αi−1 , , αn nên ta có ∂(L + tM )d = Ld−1 M ∂t t=0 45 Từ ánh xạ vi phân dvd : T[L] Pn → T[Ld ] (X) xác định [M ] 7→ [Ld−1 M ] Hơn nữa, ánh xạ đẳng cấu M tùy ý nên ta suy TP (V d,n ) = [Ld−1 M ] : M ∈ S1 Hệ 3.1.5 Cho L ∈ S1 dạng tuyến tính Nếu H siêu phẳng PN chứa T[Ld ] (vd (Pn )) vd−1 (H) siêu mặt bậc d kì dị [L] ∈ Pn Chứng minh Ta chọn sở S1 {L, L1 , , Ln } Li dạng tuyến tính Suy P := vd ([L]) = [1 : : : 0] Với i = 0, , n, gọi Pi điểm thuộc PN có tọa độ Pi = [Z0 : : ZN ] cho Zj = δij Theo Mệnh đề 3.1.4, ta có TP (V d,n ) = [Ld−1 M ] : M ∈ S1 Do đó, với sở chọn S1 , ta có TP (V d,n ) = hP0 , , Pn i Gọi FH = a0 Z0 + · · · + aN ZN dạng tuyến tính định nghĩa H Nếu T[Ld ] (vd (Pn )) ⊆ H FH (Pi ) = 0, với i = 0, , n Do a0 = = an = Giả sử f đa thức xác định vd−1 (H) Pn Khi f = an+1 xd1 + · · · + aN xdn Rõ ràng f kì dị điểm [1 : : : 0] 3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz Định lý Alexander-Hirschowitz cho câu trả lời trọn vẹn cho tốn tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese Nội dung chứng minh định lý tham khảo tài liệu [11] [12] Bổ đề 3.2.1 Giả sử P điểm thuộc Pn mP iđêan cực đại ứng ∂f (P ) = với với P Mọi hàm f ∈ m2P kì dị P , nghĩa ∂xj j = 0, 1, , n 46 Chứng minh Ta viết f = j = 0, , n ta có n P fi gi , fi , gi ∈ mP Khi đó, với i=1 n n X ∂f ∂ ∂ X (P ) = fi gi (P ) fi gi (P ) = ∂xj ∂xj i=1 ∂x j i=1 n X ∂ = (fi gi ) (P ) ∂x j i=1 n X ∂gi ∂fi (P )gi (P ) + (P )fi (P ) = ∂x ∂x j j i=1 = 0, fi (P ) = gi (P ) = fi , gi ∈ mP Do 0, , n, hay f kì dị P ∂f (P ) = với j = ∂xj Định nghĩa 3.2.2 Xét [L] ∈ P(S1 ) iđêan cực đại k[x0 , , xn ] ứng với [L] m[L] := {f ∈ S|f đa thức f ([L]) = 0}, tức chứa phương trình siêu mặt qua [L] Iđêan m2[L] chứa phương trình tất siêu mặt qua [L] kì dị [L], theo Bổ đề 3.2.1 Khi đó, định nghĩa lược đồ, kí hiệu [L]2 gọi điểm kép Từ định nghĩa ta thấy siêu mặt kì dị L chứa [L]2 Định nghĩa 3.2.3 Giả sử P1 , , Ps ∈ Pn điểm với iđêan tương ứng m1 , , ms Khi lược đồ xác định iđêan m21 ∩ ∩ m2s gọi lược đồ điểm kép Khi ta xét đa tạp Veronese X = V d,n ⊆ PN thơng qua Hệ 3.1.5, ta có tương ứng − hai tập {H ⊆ PN siêu phẳng |H ⊃ hTP1 (X), , TPs (X)i}